(共19张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2.2 奇偶性
Q1：观察下列两组函数图象各有什么特征？
Q2：如何从代数的角度描述这一图象特征？
图象关于y轴对称
图象关于原点对称
对于函数f(x)，
有f(-1)=1=f(1);
f(-2)=4=f(2);
f(-3)=9=f(3);
x∈R，f(-x)=f(x)
对于函数f(x)，
有f(-1)=-2= - f(1);
f(-2)=-4= - f(2);
f(-3)=-6= - f(3);
x∈R，f(-x)= - f(x)
1.奇偶性的定义
奇偶性 定义 图象特点 等价条件
前提 设f(x)的定义域为I
偶函数 x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数 关于原点对称
备注
f(x)－f(-x)=0
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
②不能用特殊值判断奇偶性.
如: f(2)=f(-2),但f(x)不一定是偶函数
③已知奇偶性可代特殊值求参数.
④若f(x)为奇函数且在x=0有定义，则必有f(0)=0.
证: f(0)= - f(0)
2.奇偶性的判断与类型——例题讲解
2.奇偶性的判断与类型——课堂演练
一看定义域
二看关系式or图象
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
f(x)=f(﹣x)
图象关于y轴对称
﹣f(x)=f(﹣x)
图象关于原点对称
偶函数
奇函数
既奇又偶函数
2.奇偶性的判断方法
3.由奇偶性求参数
已知奇偶性可代特殊值求参数
4
0
1
-1
3.由奇偶性求参数
4.奇偶性与单调性
偶函数在对称区间上单调性相反
奇函数在对称区间上单调性相同
单调递增区间：[-1,0]，[1,+∞)
单调递减区间：[0,1]，(-∞,-1]
单调递增区间：(-∞,-1]，[1,+∞)
单调递减区间：[-1,0)，(0,1]
单调递增区间：(-∞,-1]，[1,+∞)
单调递减区间：[-1,0]，[0,1]
4.奇偶性与单调性
[例3]函数y=f(x)是R上的偶函数, 且在(－∞,0]上为增函数, 若f(a)≤f(2), 则实数a的取值范围是_____________.
[变式1]函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上单调递减，若f(m)+f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
[变式2]函数y=g(x)是定义在[－2,2]上的偶函数，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)4.奇偶性与单调性
[例3]函数y=f(x)是R上的偶函数, 且在(－∞,0]上为增函数, 若f(a)≤f(2), 则实数a的取值范围是_____________.
[变式1]f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数, 且在区间[0,2]上单调递减, 若f (m)+f (m－1)>0,求实数m的取值范围.
[变式2]g(x)是定义在[－2,2]上的偶函数, 且在区间[0,2]上单调递减, 若g(1－m)5.由奇偶性求解析式
[例4]f(x)是R上的偶函数，且x∈(0,+∞)时，f(x)＝x2＋x－1，
①求x∈(－∞,0)时, f(x)的解析式. ②写出f(x)在定义域上的解析式.
[变式]f(x)是R上的奇函数，且x<0时，f(x)＝x2－2x+3，
①求f(2)的值；②求f(x)在R上的解析式.
思路：②x>0时，-x<0，先求f(-x)，再由f(-x)=﹣f(x)得到f(x).
5.由奇偶性求解析式
[变式]f(x)是R上的奇函数，且x<0时，f(x)＝x2－2x+3，求f(x)在R上的解析式.
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
令x=y=-1, 则f(1)=f(-1)+f(-1),即2f(-1)=0,∴f(-1)=0.
解:(1)令x=y=1, 则f(1)=f(1)+f(1), ∴f(1)=0.
(2)令y=-1, 则f(-x)=f(x)+f(-1),
∵f(-1)=0,∴f(-x)=f(x).
∴f(x)是R上的偶函数.
x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y)
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
令y=﹣x, 则f(0)=f(x)+f(﹣x)
(1)令x=y=0, 则f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0.
=0
即 x∈R, f(﹣x)=﹣f(x).
∴f(x)是R上的奇函数.
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
(1)令x=1, y=0, 则f(1+0)=f(1)·f(0), 即2f(0)=2, ∴f(0)=1.
【变式3】已知函数f(x)定义在R上，若对任意的x,y∈R有f(y+x)+f(y－x)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0，请判断f(x)的奇偶性。
【例7】已知f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，请判断f(x)·|g(x)|的奇偶性。
令F(x)=f(x)·|g(x)|，则F(－x)=f(－x)·|g(－x)|
∵f(－x)=－f(x)，g(－x)=g(x)，
则F(－x)=－f(x)·|g(x)|=－F(x)
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
7.复合函数的奇偶性
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)－g(x) f(x)·g(x)
偶 偶 偶 偶 偶
偶 奇 不确定 不确定 奇
奇 偶 不确定 不确定 奇
奇 奇 奇 奇 偶
如：f偶g奇，则F(-x)=f(-x)·g(-x)
=f(x)·[-g(x)]
=﹣f(x)·g(x)
=﹣F(x)
f奇g奇，则F(-x)=f(-x)－g(-x)
= - f(x)－[-g(x)]
= - f(x)+g(x)
= - [f(x)－g(x)]
= - F(x)
第三章 第5次课内作业(共43张PPT)
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
——函数的单调性
观察下面各个函数的图象，说说图象有什么特点或变化规律？它们分别反映了函数的哪些性质？
图象从左到右保持递增
新知引入
图象从左到右有增有减
图象关于y轴对称
单调性
奇偶性
定性:图形语言
定量:符号语言
图象关于原点成中心对称
新知引入——二次函数f(x)=x2的单调性
x≤0时,y随x的增大而减小
x≥0时,y随x的增大而增大
f(x)在(-∞,0]上单调递减
f(x)在[0,+∞)上单调递增
新知学习：单调性的定义
单调递增 单调递减
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，
x1，x2∈D, 当x1图示
x1，x2∈D, 当x1f(x2),
则称函数f(x)在区间D上单调递减,
区间D为f(x)的单调递减区间.
注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
单调性是局部性质
②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.
常数函数不具有严格的单调性.
概念理解与辨析：单调性的定义
③x1,x2有“任意性”，不能用特殊值判断函数的单调性.
D
×
×
×
×
解：函数f(x)=－2x+a在R上单调递减.
[引例]试判断函数f(x)=－2x+a的单调性，并利用函数单调性的定义证明你的判断.
概念运用：1.判断函数的单调性——定义法
证明： x1,x2 ∈R且x1f(x1)－f(x2)=(﹣2x1+a)－(﹣2x2+a)
=﹣2x1+2x2
=2(x2 － x1)
∵x10，∴2(x1 – x2 )>0，∴f(x1)> f(x2)，
∴f(x)=－2x+a在R上是减函数.
将f(x)进行上/下移,单调区间不变.
概念运用：1.判断函数的单调性——定义法
任意取值
作差变形
定号
定论
概念运用：1.判断函数的单调性——图象法
1.1f(x)的图像如士所示，则函数f(x)的单调递减区间是 ( )
A.(-1，0) B.(1，+∞)
C.(-1，0)∪(1，+∞) D.(-1，0)，(1，+∞)
1.2函数f(x)=x2-2x-3的单调增区间是__________
[变式]函数f(x)=|x2-2x-3|的单调增区间是_____________.
1.3函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调减区间是_______________.
D
[1,+∞)
(1,+∞)
对称轴为x=1
[-1,0]和[1,+∞)
(-1,0)和(1,+∞)
[-1,1]和[3,+∞)
概念运用：1.判断函数的单调性——图象法
(-∞,1]和(1,+∞)
(-∞,-2]和(-2,+∞)
f(x)
将x轴下方图象向上折得| f (x) |
左移a(a>0)得f (x+a)
右移a(a>0)得f (x－a)
上移a(a>0)得f (x)+a
下移a(a>0)得f (x)－a
图象关于x轴翻折得﹣f (x)
增+增=增
减+减=减
增－减=增
减－增=减
概念运用：1.判断函数的单调性——观察法
注：“增－增”、“减－减”无法确定单调性
对勾函数
课内作业
课内作业答案
课内作业答案
课内作业答案
课内作业答案
f(x)在区间D上单调递增 x1，x2∈D且x1 x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)0
f(x)在区间D上单调递减 x1，x2∈D且x1f (x2)
x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)要在定义域上讨论单调区间.
[3,＋∞)
小结：
小结：
函数单调性的定义
判断函数单调性(求单调区间)的方法：
图象法(平移/变换)、定义法、观察法
熟悉函数作图：一次/二次/反比例/对勾/分段函数
函数单调性的主要运用：
比较函数值大小、求函数的最值/值域
概念运用：2.由单调性解不等式
[例2.1]y=f(x)是定义在(-∞，+∞)上的减函数，且f(a)析：a>2a-2，解得a<2.
(-∞, 2)
[变式]y=f(x)在[-2,2]上满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，且f(x－2)x-2<1-2x
-2≤x－2≤2
-2≤1－2x≤2
析：
[0,1)
Key：定义域+单调性
单调递增
≤
“单调区间是D”：D是唯一的;
“在区间E上单调”：E D即可.
概念区分：“在区间上单调”和“单调区间”
概念运用：3.已知函数单调性求参数值
概念运用：3.已知函数单调性求参数值
概念运用：3.已知函数单调性求参数值
Key：考虑系数和临界点函数值
概念运用：3.已知函数单调性求参数值
概念运用：3.已知函数单调性求参数值
递减
概念运用：3.已知函数单调性求参数值
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
——函数的最值与综合运用
新知引入：函数的最大值与最小值
函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0，0)
即对于任意的x∈R，都有f(x)≥ f(0)
当一个函数f(x)的图象有最低点时，就说函数f(x)有最小值.
最小值
新知学习：函数的最大值与最小值
函数 最大值 最小值
条件 设函数y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足：
x∈I，都有f(x)≤M; x0∈I，使得f(x0)=M. x∈I，都有f(x)≥M;
x0∈I，使得f(x0)=M.
结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称M是函数y=f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
①最大(小)值必须是一个确定的函数值，且为值域中的一个元素.
无最小值
②求函数的最值应先判断单调性(图象/定义/观察).
概念运用：求函数的最值or值域
求二次函数在区间D上的最值：
由零点/开口/对称轴画图，最值在顶点或区间端点取得
×
概念运用：求函数的最值or值域
二次函数型
(配方法/因式分解/换元法)
反比例函数型
(分离常数法/平移)
对勾函数
分段函数
[例2.1]求函数f(x)=2x2－2ax+4在区间[－1,1]上的最小值.
[例2.2]设函数f(x)=x2－2x－2，x∈[t,t+1]，t∈R，求f(x)的最小值h(t).
[变式]设函数f(x)=－x2+2x+5，求f(x)在x∈[t,t+2]上的最大值.
[变式]求函数f(x)=x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值.
提升运用：二次函数的最值
(轴动区间定、轴定区间动)
【例2.1】求函数f(x)=2x2－2ax+4在区间[－1,1]上的最小值。
求对称轴
以区间端
点为界移
对称轴
讨论对称轴+单调
性+最值
汇总结论
轴动区间定
【例2.1】求函数f(x)=2x2－2ax+4在区间[－1,1]上的最大值。
求对称轴
以区间端
点为界移
对称轴
讨论对称轴+单调
性+最值
汇总结论
轴动区间定
[例2.2]函数f(x)=x2－2x－3，x∈[t,t+1], t∈R, 求f(x)的最小值g(t).
求对称轴
以对称轴
为参照移
区间
讨论区间端点+单调
性+最值
汇总结论
轴定区间动
【轴定区间动】
1.求对称轴，画函数草图；
2.分类讨论（以对称轴为参照移区间）：
区间端点的范围+讨论单调性+求最值；
3.下结论
【轴动区间定】
1.求对称轴；
2.分类讨论（以区间端点为界移对称轴）：
对称轴的范围+讨论单调性+求最值；
3.下结论
阶段小结：求函数最值or值域的方法
注意新元范围
分离参数
恒成立/存在(有解)问题化为最值问题
一般只适用于二次不等式
恒成立与最值问题
分离参数
分离参数
恒成立与最值问题
分离参数
函数最值
分离参数
恒成立与最值问题
巩固练习：恒成立与最值问题
分离参数
函数最值
分离参数
存在(有解)与最值问题
THANKS
