(共46张PPT)
2.1 函数概念
第二章
课标要求
1.在实际问题中找出变量之间的对应关系,深刻理解函数的概念.
2.会用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.
3.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
4.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 函数
1.变量观点的定义
如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
2.集合语言的定义
函数的 概念 给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数
缺一不可
函数的 记法 y=f(x),x∈A
定义域 集合A称为函数的定义域,x称为自变量
值域 与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域
注意“{f(x)|x∈A} B”
建立对应关系f的基础
唯一确定
名师点睛
1.A,B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在.
2.函数定义中强调“三性”,任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.
3.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,不能认为“y等于f与x的乘积”,应理解为:x是自变量,f是对应关系(可以是解析式、图象、表格,也可以是文字描述).
4.函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关,也可以用g,F,H等表示;同样,自变量x也可以用t,m,n等表示.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)人的身高和体重之间是函数关系.( )
(2)函数的定义域和值域一定是无限集合.( )
(3)在函数的定义中,集合B是函数的值域.( )
×
×
×
2.某人坐摩天轮一圈用时8分钟.摩天轮匀速转动,若把摩天轮的转动时间t当作自变量,他的海拔高度h为因变量,则每取一个t值,有几个h值与之对应
提示每取一个t值,有唯一一个h值与之对应.
知识点2 同一个函数
由函数定义知,由于函数的值域由函数的定义域和对应关系来确定,这样确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应关系.因此,定义域和对应关系为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
名师点睛
自变量和因变量用什么字母表示与函数无关,不影响两个函数的关系.两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说:
(1)定义域不同,两个函数也就不同;
(2)对应关系不同,两个函数也是不同的.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)y=x+1与y=t+1不是同一个函数.( )
(2)f(x)=( )2与g(x)=x是同一个函数.( )
(3)y=f(x),x∈R与y=f(x+1),x∈R可能是同一个函数.( )
×
×
√
2.如果两个函数的定义域和值域分别相同,这两个函数一定是同一个函数吗
提示不一定是同一个函数.因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系.如函数y=2x和函数y=-3x+1,它们的定义域和值域都是R,但显然不是同一个函数.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
函数关系的判断
【例1】 (1)设M={x|0≤x≤2},
N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
(2)已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={x|0≤x≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是( )
答案 (1)B (2)D
解析 (1)①错误,当x=2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性.②正确.③错误,当x=2时,对应元素y=3 N,不满足存在性.④错误,当x=1时,在N中有两个元素与之对应,不满足唯一性.
(2)根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,集合B中没有元素与它对应,故不正确.
规律方法 1.根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l;
(2)在定义域内平行移动直线l;
(3)若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
2.判断一个对应是否为函数的方法
变式训练1
(1)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
(2)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},其中能构成从M到N的函数的是( )
A.y=x2 B.y=x+1
C.y=x-1 D.y=|x|
答案 (1)B (2)D
解析 (1)A中的定义域不是[-2,2],C中图形不满足唯一性,D中的值域不是[0,2].故选B.
(2)只有y=|x|是符合题意的对应关系.故选D.
探究点二
求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域:
解得x<0,且x≠-2.
故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
规律方法 求函数的定义域时,常有以下四种情况:
一 如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R
二 如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合
三 如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合
四 如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集)
变式训练2
探究点三
求抽象函数、复合函数的定义域
【例3】 (1)若函数f(x)的定义域为(-1,2),则函数f(2x+1)的定义域为 .
(2)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x)的定义域为 .
(3)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x-1)的定义域为 .
(2)由-1
∴f(x)的定义域为(-1,5).
(3)由(2)知f(x)的定义域为(-1,5),由-1规律方法 求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3)f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
(5)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B,求出φ(x)的取值范围,此取值范围就是f(x)的定义域.
变式训练3
已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数 y= 的定义域为 .
探究点四
函数的求值问题
【例4】 已知函数f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f( ),f(a+1);
(2)若f(x)=5,求x.
解(1)f(2)=22+2-1=5.
f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.
(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,
解得x=2,或x=-3.
规律方法 函数求值问题的解法
(1)已知函数的解析式求函数值,将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代入化简求解.
(2)已知函数解析式及某一函数值,求与函数值对应的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程求解即可,注意函数的定义域对自变量取值的限制.
变式训练4
探究点五
同一个函数
【例5】 试判断以下各组函数是否表示同一个函数:
(1)y=x0与y=1(x≠0);
(2)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z).
解(1)因为y=x0要求x≠0,且当x≠0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一个函数.
(2)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z),两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一个函数.
规律方法 判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤
变式训练5
下列各组函数:
④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是 .(填序号)
答案 ⑤
解析 ①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;
②f(x)与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;
③f(x)=|x+3|,与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;
④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;
⑤f(x)与g(x)的定义域、对应关系都相同,是同一个函数.
探究点六
求函数的值域
【例6】 求下列函数的值域:
规律方法 求函数值域的常用方法
(1)观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函数的值域.
(2)配方法:若函数是二次函数形式,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方再结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最值的求法.
(3)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为简单的函数,再结合基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
变式训练6
求下列函数的值域:
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数的定义;
(2)求函数的定义域、同一个函数的判断、求函数值、求函数的值域.
2.方法归纳:数形结合法、数学抽象.
3.常见误区:化简函数的对应关系时要注意定义域的变化.
学以致用 随堂检测全达标
1.函数f(x)= 的定义域是( )
A.(-∞,+∞)
B.(-∞,-1]
C.(-1,0)
D.[-1,0)∪(0,+∞)
答案 D
解析 要使函数有意义,则 解得f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞).故选D.
2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是( )
答案 ACD
解析 对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同.
3.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是 .
(2)函数y=x2+x+2,x∈R的值域是 .
4.已知函数f(x)=x+ .
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(-1),f(2)的值;
(3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.
解(1)要使函数f(x)有意义,必须使x≠0,
故f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).(共38张PPT)
第1课时 函数的表示法
第二章
课标要求
1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法,以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用换元法和代入法求函数的解析式.
2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数.
3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 函数的表示法
常用的函数的表示方法有三种,具体如下.
表示 方法 解析法 列表法 图象法
定义 在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)用代数式(或解析式)来表达的方法 通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法 用“图形”表示函数的方法
优点 通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值,较便利地利用代数工具研究其性质 可直接通过表格读数,不必通过计算就表示出两个变量之间的对应值,非常直观 可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律
表示 方法 解析法 列表法 图象法
缺点 用解析式表示函数时容易漏掉其定义域,而且对于一些实际问题很难得到解析式 任何一个表格内标出的数都是有限个,只能表示有限个数值之间的函数关系,若自变量取值有无限多个,则只能给出局部的对应关系 通过图象很难得到每个自变量取值对应的精确函数值,误差较大
名师点睛
由列表法和图象法的概念可知,函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任何一个函数都可以用列表法表示.( )
(2)任何一个函数都可以用解析法表示.( )
×
×
答案 D
3.某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是( )
答案 D
解析 由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.
知识点2 函数的图象
函数图象的作法
(1)函数图象的特征
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.
(2)描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域)
(3)利用常见函数图象作出所求函数的图象
已学过的常见函数图象有:①常函数的图象,如f(x)=1的图象为一条平行于x轴的直线;②一次函数的图象,如f(x)=-3x+1的图象是一条经过第一、二、四象限的直线;③一元二次函数的图象,如f(x)=2x2-x+1的图象是一条开口向上的抛物线;④对于反比例函数f(x)= (k≠0,且k为常数),当k>0时,其图象是在第一、三象限内,以原点为对称中心的双曲线,当k<0时,其图象是在第二、四象限内,以原点为对称中心的双曲线.
名师点睛
从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可.但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并不现实.因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代表性的点,然后根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=x2的图象向右平移3个单位长度可得函数y=(x+3)2的图象.( )
(2)函数的图象一定是一条连续不断的曲线.( )
×
×
2.如何检验一个图形是不是一个函数的图象 写出你的检验方法.
提示检验方法:过图形上任意一点作与x轴垂直的直线,若所有直线与图形都只有一个交点,则此图形是函数的图象,否则这个图形不是函数的图象.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
三种表示法的应用
【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来.
解(1)列表法:
x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图象法:
(3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.
规律方法 函数表示法的注意事项
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
变式训练1
将一条长为10 cm的铁丝剪成两段,并用每一段铁丝各做一个正方形.试用解析法、列表法、图象法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N+)的函数关系.
解这个函数的定义域为{x|1≤x<10,x∈N+}.
②列表法:
③图象法:
探究点二
求函数的解析式
【例2】 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).
(2)已知f(x)是一元二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).
解(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.
将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2
=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(2)设所求的一元二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
∴所求一元二次函数为f(x)=x2-x+1.
(3)∵对于任意的x,都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x- .
规律方法 求函数解析式的四种常用方法
方法 一 直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入
方法 二 待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(或方程
组)求出待定系数,进而求出函数解析式
方法 三 换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x)
方法 四 消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式
变式训练2
(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式.
解(1)∵f(x)为一次函数,
∴可设f(x)=ax+b(a≠0).
探究点三
函数的图象及应用
【例3】 作出下列函数的图象,并求其值域.
(1)y=1-x(x∈Z);
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
解(1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①),由图象知,y∈Z.
(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图②),由图象知,
y∈[-5,3).
规律方法 1.作函数图象最基本的方法是描点法.主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心圈.
如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;(2)中描出两个端点及顶点,依据一元二次函数的图象特征作出函数图象,注意x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心圈.
变式训练3
作出下列函数的图象,并写出其值域.
(1)y=2x+1,x∈[0,2];
(2)y= ,x∈[2,+∞).
解(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[1,5].
由图可知,函数的值域为(0,1].
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数的表示法;
(2)求函数解析式;
(3)函数的图象.
2.方法归纳:待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法.
3.常见误区:求函数解析式时易忽视定义域.
学以致用 随堂检测全达标
1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为( )
A.f(x)=-x B.f(x)=x-1
C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x+1
D
2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D.首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.
3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表:
x 0 1 -1
f(x) 1 0 -1
x 0 1 -1
g(x) -1 0 1
则g(f(g(-1)))的值为( )
A.1 B.0
C.-1 D.无法确定
答案 C
解析 g(-1)=1,则f(g(-1))=f(1)=0,
则g(f(g(-1)))=g(0)=-1.
4.若一个长方体的高为80 cm,长比宽多10 cm,则这个长方体的体积y(单位:cm3)与长方体的宽x(单位:cm)之间的函数解析式是 .
y=80x(x+10),x∈(0,+∞)
5.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解(1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],故f(x)的值域是[-1,3].(共37张PPT)
第2课时 分段函数
第二章
课标要求
1.了解分段函数的概念.
2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.
内容索引
01
02
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03
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知识点 分段函数
1.分段函数的定义
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数.
分段函数是一个函数而不是几个函数
2.分段函数的图象
分段函数有几段,它的图象就由几部分组成.在同一平面直角坐标系中,根据分段函数每段的定义区间和解析式依次画出图象,要注意确定每段图象的端点是空心圈还是实心点,各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象.
名师点睛
1.求分段函数的函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪个区间,就只能用那个区间上的解析式来进行计算.
2.写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集.
3.分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合后取并集;分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值,然后比较各段的最大(小)值,其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)y=|x-8|可以转化为分段函数的形式.( )
(2)分段函数f(x)= 的图象可以作出来.( )
√
×
2.函数f(x)=|x-1|的图象是( )
答案 B
作出此分段函数的图象.故选B.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
分段函数的求值
规律方法 1.求分段函数的函数值的步骤
(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一区间.
(2)再代入该区间对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知分段函数的函数值求自变量的值的步骤
(1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
变式探究
在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
解∵f(x)>0,
∴-2∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).
探究点二
分段函数的图象
【例2】 画出下列函数的图象,并写出它们的值域.
(2)y=|x+1|+|x-3|.
规律方法 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的虚实之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,再作其图象.
变式训练1
答案 C
解析 因为当x=0时,y=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1),排除A,B;
当x<0时,y=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有选项C中的图象符合.
探究点三
根据分段函数图象求解析式
【例3】 已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为 .
解析 根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).
∵点(1,1),(0,2)在射线上,
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的一元二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.
∴当1变式训练2
已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .
解析 ∵f(x)的图象由两条线段组成,∴由一次函数解析式求法可得
探究点四
分段函数在实际中的应用
【例4】 某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位:元)与时间t(单位:天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(单位:万股)与时间t(单位:天)的部分数据如下表所示.
第t天 4 10 16 22
Q/万股 36 30 24 18
(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(单位:元)与时间t(单位:天)所满足的函数解析式;
(2)根据表中数据确定日交易量Q(单位:万股)与时间t(单位:天)的一次函数解析式;
(3)在(2)的结论下,用y(单位:万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数解析式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少
故日交易量Q(单位:万股)与时间t(单位:天)的一次函数解析式为
Q=40-t,0规律方法 分段函数的意义是不同范围内的自变量x与y的对应关系不同,从而需分段来表达它.解决实际问题时要结合实际意义写出分段函数的解析式,再根据需要选择合适的解析式解决问题.
变式训练3
某市带空调公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)乘坐汽车5千米及5千米以内,票价2元;
(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).
每相邻两个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个站点(包括起点站和终点站),求票价y(单位:元)关于路程x(单位:千米)的函数解析式,并画出图象.
解根据题意,如果某空调汽车运行路线中设20个站点(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的总路程为19千米,所以自变量x的取值范围是{x∈N+|x≤19}.
由空调汽车票价制定的规则,可得到以下函数解析式:
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)分段函数的求值;
(2)作分段函数的图象;
(3)分段函数在实际中的应用.
2.方法归纳:数形结合法.
3.常见误区:分段函数作图时定义域中端点的处理;对分段函数定义域和值域的理解;分段函数求值时,应注意自变量所在的区间.
学以致用 随堂检测全达标
B
答案 C
3.某客运公司确定客运票价的方法是:如果路程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(单位:元)与路程x(单位:千米)之间的函数解析式是 .
4.已知f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为 ,值域为 .
答案 [-2,4]∪[5,8] [-4,3]
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)求f(1),f(-1),f[f(-1)]的值.
解(1)图象如图所示.(共36张PPT)
第1课时 函数的单调性
第二章
课标要求
1.理解函数单调性的概念.
2.会根据函数的图象判断函数的单调性.
3.能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 增函数、减函数的定义
函数 增函数 减函数
条件 设函数y=f(x)的定义域是D:如果对于任意的x1,x2∈D,当x1f(x2)
结论 称函数y=f(x)是增函数 称函数y=f(x)是减函数
条件 特别地,当I是定义域D上的一个区间时 结论 称函数y=f(x)在区间I上单调递增 称函数y=f(x)在区间I上单调递减
图象 特征 自左向右图象逐渐上升 自左向右图象逐渐下降
图示
名师点睛
x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈D;
(2)任意性,即不可用区间D上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)增(减)函数定义中的“任意两个自变量的值x1,x2”可以改为“存在两个自变量的值x1,x2”.( )
(2)若函数f(x)为R上的减函数,则f(-3)>f(3).( )
(3)函数f(x)= 在定义域上是减函数.( )
×
√
×
2.若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)A.为增函数 B.为减函数
C.先增后减 D.变化趋势不能确定
答案 D
解析 由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断函数变化趋势的依据的.故选D.
知识点2 单调性、单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.
单调性是函数的局部性质
名师点睛
1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数;若f(x),g(x)分别是区间A上的增函数和减函数,则f(x)-g(x)是区间A上的增函数.
2.若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)任何函数f(x)一定有严格的单调性.( )
(2)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.( )
×
×
2.函数y=- 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),能否说函数y=- 在区间
(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递增
提示不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符号“∪”连接.如y=- 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
判断函数的单调性
角度1利用图象判断函数的单调性
【例1】 根据函数图象直观判断下列函数的单调性:
(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.
解(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的图象,保留其在x轴上及x轴上方部分,将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方,得到y=|x2+2x-3|的图象,如图所示.
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]和[-1,1]上单调递减.
函数图象如图所示,原函数在区间(-∞,-1]和[0,1]上单调递增,在区间[-1,0]和[1,+∞)上单调递减.
规律方法 图象法判断函数单调性的注意点
图象法判断函数的单调性主要用于常见函数(如一次函数、一元二次函数、反比例函数等)的单调性判断,或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象,从而进行单调性的判断.
变式训练1
已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象判断函数的单调性.
图象如右图所示.
由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
角度2利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
【例2】 判断函数f(x)= 的单调性.
规律方法 利用单调函数的运算性质判断函数单调性的思路
当函数解析式通过变换、转化之后,是由几个基本函数的解析式构成的,则可分析这几个基本函数的单调性,看是否符合单调函数运算性质的规律,若符合,可直接得出结论,否则,不能用这种方法判断函数的单调性.此外,研究函数的单调性时,一定要坚持“定义域优先”的原则.
变式训练2
判断函数f(x)= (x<0)的单调性.
探究点二
利用定义证明函数的单调性
【例3】 证明:函数f(x)=-2x2+3x+3在区间(-∞, ]上单调递增.
规律方法 利用定义证明或判断函数的单调性的步骤
规律方法 作差变形的常用技巧
(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后通常进行因式分解.
(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.
(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.
(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
变式训练3
探究点三
函数单调性的应用
【例4】 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与f 的大小.
【例5】 若函数f(x)= 在R上单调递增,则实数a的取值范围是 .
答案 (0,3]
解析 因为函数f(x)在R上单调递增,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,故a>0.设y=ax-1,x∈(-∞,1),因为a>0,所以y规律方法 1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性比较函数值大小时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间内.
2.利用函数的单调性解有关函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.
3.由分段函数单调性求参数范围时,一般从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面是考虑端点处的衔接情况,由此列出另一相关式子,求解即可.
变式训练4
已知函数g(x)的定义域是[-2,2],且在[-2,2]上单调递增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
解∵g(x)在区间[-2,2]上单调递增,且g(t)>g(1-3t),
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)增函数、减函数的定义;
(2)函数单调性的定义及单调区间的确定.
2.方法归纳:数形结合法、定义法.
3.常见误区:函数具有多个单调区间时,单调区间之间用“,”与“和”连接,含参数的分段函数的单调性易忽视定义域端点函数值的大小.
学以致用 随堂检测全达标
1.设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1A.f(x1)f(x2)
C.f(x1)=f(x2) D.不能确定
答案 D
解析 由函数单调性的定义知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小,而本题中的x1,x2不在同一单调区间内,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定.故选D.
2.函数y=f(x)的图象如图所示,其单调递减区间是( )
A.[-4,4]
B.[-4,-3]∪[1,4]
C.[-4,-3],[1,4]
D.[-3,1]
C
3.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-∞,5)上单调递减,则实数a的取值范围是( )
答案 A
4.下列函数不在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=2x+1 B.y=3x2+1
C.y= D.y=|x|
C
5.已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)6.求证:函数f(x)= 在区间(0,+∞)上单调递减.(共40张PPT)
4.1 函数的奇偶性
第二章
课标要求
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.了解奇函数、偶函数图象的特征.
3.会判断(或证明)函数的奇偶性.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 奇、偶函数的定义
函数 奇函数 偶函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A,且 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)
结论 称函数f(x)为奇函数 称函数f(x)为偶函数
图象特征 图象关于原点对称 图象关于y轴对称
定义域特征 奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称 注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.
说明集合A是关于原点对称的
奇偶性是函数的整体性质
名师点睛
1.判断函数的奇偶性要“二看”
(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:
①f(-x)=f(x) f(x)是偶函数;
②f(-x)=-f(x) f(x)是奇函数;
③f(-x)≠±f(x) f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
④f(-x)=±f(x) f(x)既是奇函数,也是偶函数.
2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f[g(x)]
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0.f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.( )
(2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.( )
(3)若f(-2)=f(2),则f(x)(x∈R)是偶函数.( )
(4)若f(x)(x∈R)是偶函数,则f(-2)=f(2).( )
(5)若f(2)≠f(-2),则f(x)(x∈R)不是偶函数.( )
×
√
×
√
√
2.已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0∈D,f(0)是否为定值
提示为定值.∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),又0∈D,∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故f(0)为定值.
知识点2 函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.
名师点睛
1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.
2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的
图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这将研究其单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若f(x)为奇函数且在[a,b]上有最大值,则f(x)在[-b,-a]上有最小值.( )
(2)函数f(x)为偶函数且在[1,2]上为增函数,则f(x)在[-2,-1]上也是增函数.( )
(3)f(x)为偶函数且在[2,+∞)上为增函数,则f(-2)√
×
√
2.函数f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数且在[-6,0]上单调递减,则一定有( )
A.f(3)+f(4)>0
B.f(-3)-f(-2)<0
C.f(4)-f(-1)>0
D.f(-2)+f(-5)<0
答案 C
解析 ∵f(x)在[-6,6]上为偶函数且在[-6,0]上为减函数,
∴f(-4)>f(-1),f(-3)>f(-2),
∴f(4)>f(-1),∴f(4)-f(-1)>0,f(-3)-f(-2)>0,故C正确,B错误.
又无法确定f(3),f(4),f(-2),f(-5)的正负.
故选C.
3.若奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有( )
答案 B
因为f(x)是奇函数,
重难探究 能力素养全提升
探究点一
判断函数的奇偶性
【例1】 判断下列函数的奇偶性:
解(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,且对任意的x∈R,
有f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),故f(x)是奇函数.
函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=0,∴f(x)既是奇函数,也是偶函数.
(4)函数的定义域关于原点对称.
当x>0时,-x<0,
f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
规律方法 判断函数奇偶性的两种方法
1.定义法:
2.图象法:
变式训练
判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;
(3)f(x)=0.
解(1)f(x)的定义域是R,且对任意的x∈R,
(2)f(x)的定义域是R,且对任意的x∈R,有f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|
=f(x),
所以f(x)是偶函数.
(3)因为f(x)的定义域为R,且对任意的x∈R,有f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),
所以f(x)既是奇函数,也是偶函数.
探究点二
利用函数的奇偶性求解析式
【例2】 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
解(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.
当x=0时,f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
规律方法 已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,-x∈(a,b),f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,-x∈(a,b),f(x)=f(-x)=φ(-x).
提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
变式探究
若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为
探究点三
函数奇偶性与单调性的综合应用
角度1比较函数值的大小
【例3】 已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则
f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)答案 A
解析 ∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,∴f(2)规律方法 应用函数的单调性与奇偶性比较函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
变式探究
(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个函数值的大小.
解(1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递减,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以函数在R上是增函数,
因为-3<-2<π,所以f(-3)角度2解函数不等式
【例4】 已知定义在区间[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)解因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间[-2,2]上单调递减.
规律方法 解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号“f”,使不等式得解.
变式探究
若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解因为函数为区间[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上单调递减,所以函数在[0,2]上单调递增,
不等式可化为f(|1-m|)本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数奇偶性的概念;
(2)函数奇偶性与单调性的关系.
2.方法归纳:特殊值法、数形结合法.
3.常见误区:忽略函数的定义域的对称性,只有定义域关于原点对称,才可能具有奇偶性.
学以致用 随堂检测全达标
1.(多选题)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x2(x>0) B.y=|x+1|
ABD
2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )
A.-1 B.-3 C.1 D.3
答案 B
解析 当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(1)=-f(-1)=-3,故选B.
3.函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间
(-∞,-1]上单调递增,则( )
答案 D
解析 ∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),
解函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x>0时,-x<0,
综上所述,在(-∞,0)∪(0,+∞)上总有f(-x)=-f(x).
因此函数f(x)是奇函数.
5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.
解∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a).
∵f(x)为奇函数,∴-f(4-2a)=f(2a-4).
∴f(3a-10)又f(x)在R上是减函数,∴3a-10>2a-4.
∴a>6.故a的取值范围为(6,+∞).(共33张PPT)
4.2 简单幂函数的图象和性质
第二章
课标要求
1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.
3.能利用幂函数的基本性质解决相关问题.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 幂函数的定义
一般地,形如 (α为常数)的函数,即 是自变量、_______ 是常数的函数称为幂函数.
名师点睛
1.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数 就不是幂函数.
2.幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.
y=xα
底数
指数
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数f(x)=x2与函数f(x)=8x2都是幂函数.( )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( )
×
√
2.在函数①y= ,②y=3x2,③y=x2+2x中,是幂函数的为 .(填序号)
答案 ①
解析 函数y= =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α为常数)的形式,所以它不是幂函数.
知识点2 幂函数的图象和性质
1.常见的五种幂函数的图象
任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内必无图象
2.幂函数的性质
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1
定义域 R R R (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R R (-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性 奇函数 ______________
单调性 在R上是 在[0,+∞)上 , 在(-∞,0]上 在R上是 在[0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上
,
在(-∞,0)上
公共点 (1,1) [0,+∞)
[0,+∞)
[0,+∞)
奇函数
偶函数
既不是奇函数,也不是偶函数
奇函数
增函数
单调递增
单调递减
增函数
单调递减
单调递增
名师点睛
幂函数y=xα的上述性质可归纳如下:
(1)当α>0时,图象都经过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增.
(2)当α<0时,图象都经过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.( )
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( )
×
×
2.(2021上海徐汇期中)如图是幂函数y=xα的部分图象,已知α分别取 这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相应的α依次为( )
答案 A
解析 根据幂函数的图象与性质,当x>1时,图象越靠近x轴,则幂函数的指数越小,因此与曲线C1,C2,C3,C4相应的α依次为 .故选A.
3.设α∈ ,则使函数y=xα的定义域为R且y=xα为奇函数的所有α的值为 .
答案 1,3
解析 当幂函数为奇函数时,α=-3,-1,1,3,
又函数的定义域为R,所以α=1,3.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
幂函数的概念
【例1】 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
解根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3,或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
规律方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练1
如果幂函数 的图象不过原点,求实数m的取值.
解由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1,或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
探究点二
幂函数的图象
【例2】 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为( )
A.cC.b答案 A
解析 由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0规律方法 对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点
(1)恒过点(1,1).
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或 ,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递增;当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上都单调递减.
变式训练2
如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( )
A.nC.n>m>0 D.m>n>0
答案 A
解析 画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n探究点三
利用幂函数的单调性比较大小
【例3】 比较下列各组中两个数的大小:
规律方法 1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须转化为同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
探究点四
幂函数图象的应用
【例4】 已知点( ,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g(x)的图象上,问当x满足什么条件时,有:(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1变式训练3
已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求实数m的取值范围.
解根据幂函数y=x1.3的图象,知当0∴0<0.71.3<1.
又根据幂函数y=x0.7的图象,知
当x>1时,y>1,∴1.30.7>1.
于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,
当x>0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m>0.故实数m的取值范围为(0,+∞).
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)幂函数的定义;
(2)几个常见幂函数的图象;
(3)幂函数的性质.
2.方法归纳:待定系数法、数形结合法.
3.常见误区:对幂函数形式的判断易出错,只有形如y=xα(α为常数)的函数为幂函数,其他形式都不是幂函数.
学以致用 随堂检测全达标
答案 B
2.幂函数 在第一象限内的图象依次是下图中的曲线( )
A.C2,C1,C3,C4 B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4 D.C1,C4,C2,C3
答案 D
3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在区间(0,+∞)上单调递减,且对定义域中的任意x,有f(-x)=f(x),则m等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,则3m-5<0,即m< .
又m∈N,故m=0或m=1.
∵f(-x)=f(x),∴y=f(x)是偶函数.
当m=0时,f(x)=x-5是奇函数,不符合题意;
当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.
故m=1.
4.幂函数y=f(x)经过点(2,4),则f(x)是( )
A.偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.奇函数,且在(0,+∞)上单调递增
答案 A
解析 设f(x)=xα,因为幂函数y=f(x)经过点(2,4),代入可得4=2α,所以α=2,则f(x)=x2.
定义域为R,且f(-x)=x2=f(x),
所以f(x)为偶函数,由二次函数性质可知f(x)在(0,+∞)上单调递增.故选A.
5.函数y=x-3在区间[2,4]上的最小值是 .
解析 因为函数y=x-3在(0,+∞)上单调递减,
所以当x=4时,y取得最小值
6.比较下列各组中两个值的大小:(共27张PPT)
本章总结提升
第二章
内容索引
01
02
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一
求函数的定义域、值域
1.定义域:关注解析式中的根号、分母、零次幂有意义;抽象函数的定义域一般用代入法求解.
2.值域:首先考查函数类型,再确定函数在定义域上的单调性,最后计算最值.解题过程中要灵活应用换元法、配方法等方法,含字母的要分情况讨论.
(2)若函数y=f(x)的定义域是[-2,4],则函数g(x)=f(-x)的定义域是( )
A.[-4,4] B.[-4,2]
C.[-4,-2] D.[2,4]
(3)函数y= 的值域为 .
答案 (1)B (2)B (3)(-1,1]
(2)由题知-2≤-x≤4,得-4≤x≤2.
所以函数g(x)=f(-x)的定义域是[-4,2].
规律方法 求函数的定义域,始终记住是求使函数有意义的自变量x的取值范围;求函数的值域,别忘了定义域优先的原则.另外,定义域、值域一定要写成集合或区间的形式.
变式训练1
答案 (1)D (2)C
(2)由-1≤x≤2,得-2≤x-1≤1,
所以-2≤1-3x≤1,解得0≤x≤1.
专题二
分段函数
1.作分段函数的图象、求单调区间、求值域或最值、求解析式等问题的解决均可用四个字概括——分段处理.
2.掌握基本函数求值运算,会画简单函数的图象,提升数学运算和直观想象素养.
【例2】 已知函数f(x)= 是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解(1)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,
又f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,∴m=2.
(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(如图所示),
∴1故实数a的取值范围是(1,3].
规律方法 已知函数的奇偶性求参数值,可利用奇偶函数定义求解.
变式训练2
已知函数f(x)= 是R上的增函数,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,0) B.(-∞,-2]
C.[-3,-2] D.(-∞,0)
答案 C
专题三
函数的性质及应用
1.函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性,利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点题型,解不等式时经常结合图象,要注意勿漏定义域的影响.
2.掌握单调性和奇偶性的判断和证明,会简单的综合运用,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养.
【例3】 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象,并根据图象写出f(x)的单调区间;
(3)若关于x的方程f(x)=2a+1有三个不同的解,求实数a的取值范围.
解(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0.
②当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x.
(2)函数f(x)的图象如图所示.
由图可知,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间为(-1,1).
(3)因为方程f(x)=2a+1有三个不同的解,所以-1<2a+1<1,即-1规律方法 1.解决有关函数性质的综合应用问题时,可以根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答,先证明函数的单调性,再由单调性求最值.
2.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义,同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
变式训练3
(1)求实数m和n的值;
(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.
∵-2≤x1∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在[-2,-1]上单调递增.
专题四
函数图象的作法及应用
1.作函数的图象,可以用描点法,也可以用变换法,要注意利用函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性简化作图.
2.借助函数的图象可以求函数值域、最值、单调性、奇偶性等,重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象.
3.掌握简单的基本函数图象,提升直观想象和逻辑推理素养.
【例4】 在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则实数a的值为 .
解析 函数y=|x-a|-1的图象如图所示,因为直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,故2a=-1,解得
规律方法 函数图象可以使问题变得直观,但仍要结合代数运算才能获得精确结果.
变式训练4
已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式;
(3)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间.
解(1)由于函数f(x)是R上的奇函数,所以对任意的x都有f(-x)=-f(x),
所以f(-1)=-f(1)=-(-1+2+2)=-3.
(2)设x<0,则-x>0,于是f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2.
又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
因此f(x)=x2+2x-2.
(3)先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y=f(x)(x<0)的图象,其图象如图所示.
由图可知,其单调递增区间为[-1,1],单调递减区间为(-∞,-1]和[1,+∞).