(共44张PPT)
1.1 随机现象 1.2 样本空间
1.3 随机事件 1.4 随机事件的运算
第七章
课标要求
1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念.
2.理解随机事件的概念,在实际问题中,能正确地求出事件包含的样本点的个数,并会写出相应的样本空间.
3.理解事件的关系与运算,并会简单应用.
4.理解互斥事件与对立事件的概念及二者之间的关系.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 现象的相关概念
1.确定性现象:在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.
2.随机现象:在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.
名师点睛
随机现象的两个特点
(1)结果至少有两种;
(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
过关自诊
以下现象是随机现象的是( )
A.过了冬天就是春天
B.物体只在重力作用下自由下落
C.不共线的三点确定一个平面
D.下一届奥运会中国获得30枚金牌
答案 D
解析 A,B,C均是确定性现象,D是随机现象.
知识点2 样本空间
1.试验:在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.
2.样本空间:一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.
3.样本点:样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.
4.有限样本空间:如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)如果试验E的样本空间中只含有一个样本点,则它是有限样本空间.( )
(2)样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω是一个事件.( )
(3)空集 不含任何样本点,因此空集 不是一个事件.( )
√
√
×
2.同一试验E的样本点与样本空间是什么关系
3.连续抛掷2枚硬币,观察落地后这2枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数.
提示样本空间是集合,样本点是样本空间里的元素.
解(1)试验的样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.
(2)样本点的总数是4.
知识点3 随机事件
1.随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件.常用A,B,C等表示.
2.必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.
3.不可能事件:空集 也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称 为不可能事件.
名师点睛
应注意事件的结果是相对于条件而言的,所以必须明确何为事件发生的条件,何为此条件下产生的结果.
过关自诊
在下列事件中,哪些是必然事件 哪些是不可能事件
(1)如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;
(2)没有水分,种子发芽;
(3)在标准大气压下,水在温度达到50 ℃时沸腾.
提示由实数运算性质知(1)恒成立,故(1)为必然事件.没有水分,种子不会发芽,在标准大气压下,水在温度达到50 ℃时不沸腾,故(2)(3)是不可能事件.
知识点4 随机事件的运算
1.交事件与并事件
名称 定义 表示法 图示
交事件 (或积 事件) 一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
并事件 (或和 事件) 一般地,由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B)
2.互斥事件与对立事件
互斥 事件 定义 一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B= )称为互斥事件
符号 A∩B= (或AB= )
图示
注意 事项 例如,在掷骰子试验中,记C1={出现1点},C2={出现2点},则C1与C2互斥
对立 事件 定义 若A∩B= ,且A∪B=Ω,则称事件A与事件B互为对立事件
图示
注意 事项 A的对立事件一般记作
名师点睛
事件运算的性质
(1)A∪B=B∪A.
(2)并事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.即A∪B表示事件A,B至少有一个发生.
(3)A∩B或AB表示事件A与事件B同时发生.
过关自诊
1.“事件A与B至少有一个发生”的含义是什么
2.互斥事件与对立事件之间有什么关系
提示①事件A发生事件B不发生;②事件A不发生事件B发生;③事件A和事件B同时发生.
提示(1)根据对立事件的概念易知,若两个事件对立,则这两个事件是互斥事件;反之,若两个事件是互斥事件,则这两个事件未必是对立事件.
(2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B对立,则A与B互斥,而且A∪B是必然事件.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
样本点与样本空间
【例1】 同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数;
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点
解(1)试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.
(2)样本点的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
规律方法 确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件;
(2)根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
变式探究
同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面,写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点.
解“恰有一枚正面向上”这一事件包含3个样本点,分别是:(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正).
探究点二
随机事件的概念及分类
【例2】 以下的随机事件中不是必然事件的是( )
A.标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾
B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b
C.走到十字路口,遇到红灯
D.三角形内角和为180°
答案 C
解析 在A中,标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.
规律方法 1.要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件,要从定义出发.
2.必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件.
变式训练1
从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是( )
A.3个都是篮球
B.至少有1个是排球
C.3个都是排球
D.至少有1个是篮球
答案 C
解析 根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
探究点三
互斥事件与对立事件的判定
【例3】 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
解从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生、2名女生、1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
规律方法 互斥事件和对立事件的判定方法
利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有样本点,看它们能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
变式训练2
把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B. 不可能事件
C.互斥但不对立事件 D. 以上答案都不对
答案 C
解析 “甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.
探究点四
事件的运算
角度1事件间的运算
【例4】 连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;
(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
解由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
(1)C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
(2)E=B∪C.
规律方法 事件间的运算方法
1.利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
2.利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
变式训练3
盒子里有6个红球、4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
(1)事件D与A,B是什么样的运算关系
(2)事件C与A的交事件是什么事件
解(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球,故C∩A=A.
角度2事件运算的综合问题
【例5】 抛掷编号为1,2的两枚骰子,记“1号骰子出现2点”为事件A,“2号骰子出现3点”为事件B,分别判断下列两对事件是否为互斥事件:
(1)事件A与事件AB;
(2)事件B与事件A .
解由题意得,事件A={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)},事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3)}.
(1)事件AB={(2,3)},所以A∩(AB)={(2,3)}≠ ,所以事件A与事件AB不是互斥事件.
规律方法 事件运算应注意的两个问题
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较复杂的判断事件之间互斥关系的题目中,要严格按照定义来推理.
变式训练4
(2022辽宁大连期末)设A,B,C为三个事件,下列表述不正确的是( )
答案 B
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)随机事件、必然事件、不可能事件的概念;
(2)实际问题中样本空间及样本点的求法;
(3)随机事件的含义,随机事件的样本空间的表示;
(4)交事件与并事件;
(5)互斥事件与对立事件.
2.方法归纳:列举法、Venn图法.
3.常见误区:因未按照一定的顺序列举样本点,导致样本点重复或遗漏;未弄清事件之间的关系,导致互斥、对立事件判断错误.
学以致用 随堂检测全达标
1.下列现象:①当x是实数时,x-|x|=2;
②某班一次数学测试,及格率低于75%;
③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数;
④体育彩票某期的特等奖号码.
其中是随机现象的是( )
A.①②③ B.①③④
C. ②③④ D.①②④
答案 C
解析 由随机现象的定义知②③④正确.
2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,则必然事件是( )
A.3件都是正品
B.至少有1件次品
C.3件都是次品
D.至少有1件正品
答案 D
解析 从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,对于A,3件都是正品不是必然事件,A错误;对于B,至少有1件次品不是必然事件,B错误;对于C,3件都是次品是不可能事件,C错误;对于D,至少有1件正品是必然事件,D正确.故选D.
3.已知事件M“3粒种子全部发芽”,事件N“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N是( )
A.不可能事件
B.不是互斥事件
C.互斥但不对立事件
D.对立事件
答案 C
解析 事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,有可能1个不发芽,也有可能2个不发芽,也有可能3个不发芽,故事件M和事件N不对立,故事件M和事件N互斥但不对立.故选C.
4.为了丰富学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,则包含的样本点共有 个.
答案 3
解析 由题意可得,包含的样本点有“数学与计算机”“数学与航空模型”“计算机与航空模型”,共3个.
5.打靶三次,事件Ai表示“击中i次”,i=0,1,2,3,则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为 .
答案 A1∪A2∪A3(或A1+A2+A3)
解析 因为A0,A1,A2,A3彼此互斥,“至少有一次击中”是击中一次A1,击中二次A2和击中三次A3这三个事件的并事件,应表示为A1∪A2∪A3(或A1+A2+A3).(共37张PPT)
第2课时 互斥事件概率的求法
第七章
课标要求
1.理解互斥事件的概率加法公式.
2.了解互斥事件与对立事件之间的关系,掌握对立事件的概率公式.
3.能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概型的概率计算问题.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 互斥事件的概率加法公式
1.定义:在一个试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B),这一公式称为互斥事件的概率加法公式.
使用该公式时必须检验是否满足前提条件“两两互斥”.
2.推广:一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
名师点睛
互斥事件概率加法公式的作用
在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的并且概率已知或较容易求出的彼此互斥的事件,再利用互斥事件的概率加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功能.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率.( )
(2)事件A发生的概率为P(A),事件B发生的概率为P(B),那么事件A+B发生的概率为P(A)+P(B).( )
(3)事件A1∪A2∪…∪An发生即事件A1,A2,…,An中至少有一个发生.( )
×
×
√
2.在同一试验中,对任意两个事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)一定成立吗
提示不一定.只有A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.
知识点2 对立事件的概率公式
名师点睛
1.对立事件的概率公式使用的前提是两个事件对立,否则不能使用.
2.当一个事件的概率不易直接求出,但其对立事件的概率易求时,可运用对立事件的概率公式,即运用间接法求概率.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)对于任意事件A,总有P(A)+P( )=1.( )
(2)若三个事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1.( )
√
×
2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率为0.42,摸出白球的概率为0.28,那么摸出黑球的概率为( )
A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7
答案 C
解析 由题意知摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3,故选C.
3.若事件A与B是对立事件,且P(A)=0.2,则P(B)= .
答案 0.8
解析 因为A与B是对立事件,所以P(A)+P(B)=1,即P(B)=1-P(A)=0.8.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
互斥事件、对立事件的概率求解
角度1互斥事件的概率
(1)分别求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率;
(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.
解(1)从袋中任取一球,记事件A为“得到红球”,B为“得到黑球”,C为“得到黄球”,D为“得到绿球”,则事件A,B,C,D两两互斥.
规律方法 互斥事件的概率的求解策略
(1)当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率的加法公式计算.
(2)使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判断A,B是否为互斥事件.
变式训练1
(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为( )
A.0.42 B. 0.38
C. 0.2 D. 0.8
(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.2,炸中第二个军火库的概率为0.12,炸中第三个军火库的概率为0.28,三个军火库中,只要炸中一个另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.
(1) 答案 C
解析 记“摸一个球为红球”“摸一个球为白球”和“摸一个球为黑球”为事件A,B,C,则A,B,C为两两互斥事件,且A+B+C为必然事件,由题意知P(A)+P(B)=0.58,P(A)+P(C)=0.62,P(A)+P(B)+P(C)=1,解得P(A)=0.2.
(2)解设A,B,C分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件,事件D表示军火库爆炸,已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.又因为只投掷了一枚炸弹,故不可能炸中两个及以上军火库,所以A,B,C是两两互斥事件,且D=A+B+C,所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28=0.6,即军火库发生爆炸的概率为0.6.
角度2对立事件的概率
【例2】 某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或7环的概率;
(2)不够7环的概率.
解(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B,故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环,但由于这些概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手,不够7环的反面为大于等于7环,即7环、8环、9环、10环,由于这两个事件必有一个发生,另一个不发生,故是对立事件.设“不够7环”为事件E,则事件 为“射中7环或8环或9环或10环”,又“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”是彼此互斥的事件,所以P( )=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P(E)=1-P( )=1-0.97=0.03.所以不够7环的概率为0.03.
规律方法 公式P(A)=1-P( )的应用说明
(1)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,常常使用该公式转化为求其对立事件的概率.
(2)该公式的使用实际是运用逆向思维(正难则反),比较适合含有“至多”“至少”“最少”等关键词语型题目.
变式训练2
在数学考试中,小明的成绩在[90,100]的概率是0.18,在[80,90)的概率是0.51,在[70,80)的概率是0.15,在[60,70)的概率是0.09,在[0,60)的概率是0.07.计算下列事件的概率:
(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩;
(2)小明考试及格.
解分别记小明的成绩在[90,100],[80,90),[70,80),[60,70)为事件B,C,D,E,显然这四个事件彼此互斥.
(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是
P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.
(2)(方法一)小明考试及格的概率是
P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
(方法二)因为小明考试不及格的概率是0.07,所以小明考试及格的概率是
1-0.07=0.93.
探究点二
互斥事件、对立事件与古典概型的综合应用
【例3】 一个盒子里有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足|a-b|=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
解(1)由题意知,(a,b,c)所有的样本点为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),
(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),
(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27个.
设“抽取的卡片上的数字满足|a-b|=c”为事件A,“抽取的卡片上的数字满足a-b=c”为事件B,“抽取的卡片上的数字满足b-a=c”为事件C,则事件B包括
规律方法 较复杂的古典概型问题的转化策略
(1)设法把一个复杂事件分拆为几个互斥事件,然后求出各事件的概率,用加法公式得出结果.
(2)当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时,可间接地计算出其对立事件的概率,再用对立事件的概率公式求解.
变式训练3
一盒中装有大小质地完全相同的小球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:
(1)取出的1球是红球或黑球的概率;
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.
解记事件A1={取出的1球为红球},A2={取出的1球为黑球},A3={取出的1球为白球},A4={取出的1球为绿球},
根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,
由互斥事件的概率加法公式,得
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)互斥事件的概率加法公式及应用;
(2)对立事件的概率公式及应用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:将事件拆分为若干事件时出现遗漏,导致计算概率错误.
学以致用 随堂检测全达标
1.某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项,已知中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.1,那么本次活动中,中奖的概率为( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.7
答案 B
解析 由于中一等奖,中二等奖为互斥事件,故中奖的概率为0.1+0.1=0.2.
答案 C
3.(多选题)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力,则下列结论正确的是( )
答案 ACD
解析 将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的样本点为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10个.令D表示“此人被评为优秀”的事件,E表示“此人被评为良好”的事件,F表示“此人被评为不合格”的事件,G表示“此人被评为良好及以上”的事件,则事件D含(1,2,3),只有1个样本点,事件E含(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,3,5),共6个样本点.故
4.据统计,在某银行的一个营业窗口等候的人数及其相应的概率如下:
排队人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.05 0.14 0.35 0.3 0.1 0.06
则至多有2人等候排队的概率是 ,至少有3人等候排队的概率是 .
答案 0.54 0.46
解析 记A为“至多有2人等候排队”,则P(A)=0.05+0.14+0.35=0.54,B为“至少有3人等候排队”,则P(B)=0.3+0.1+0.06=0.46.
5.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图所示.
(1)随机选取1个成员,他至少参加2个小组的概率是多少
(2)随机选取1个成员,他参加不超过2个小组的概率是多少
解(1)从图可以看出,3个课外兴趣小组的总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”,则 表示“选取的成员至少参加2个小组”,于是,(共31张PPT)
§3 频率与概率
第七章
课标要求
1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.
2.正确理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
3.理解概率的意义以及频率与概率的区别.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 概率
在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).
该常数是确定的,是一个理论值
名师点睛
概率的性质
(1)随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.
(2)当A是必然事件时,P(A)=1;当A是不可能事件时,P(A)=0.
过关自诊
已知某厂的产品合格率为0.8,现抽出10件产品检查,则下列说法正确的是( )
A.合格产品少于8件
B.合格产品多于8件
C.合格产品正好是8件
D.合格产品可能是8件
答案 D
解析 抽出10件产品检查合格产品约为10×0.8=8(件),由概率的意义可得合格产品可能是8件.
知识点2 频率与概率之间的关系
1.区别
频率 本身是随机的,在试验之前是无法确定的,做同样次数的重复试验,得到的事件的频率值也可能会不同
概率 本身是一个在[0,1]上的确定值,不随试验结果的改变而改变
2.联系
随机事件的频率是指大量随机试验中,此事件发生的次数与试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总是在某一个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增加,这种摆动幅度越来越小.我们给这个常数取了一个名字,叫作这个随机事件的概率.概率可看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.
名师点睛
频率本身是随机的,在试验前不能确定;概率是一个确定的数,是客观存在的,是事件的固有属性,与每次试验无关.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)随机事件的频率与概率不可能相等.( )
(2)随机事件的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值.( )
(3)随机事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的.( )
(4)频率反映随机事件的频数程度,概率反映随机事件发生的可能性大小.( )
×
√
×
√
2.若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件发生的频率f(n),则随着n的逐渐增加,有( )
A.f(n)与某个常数相等
B.f(n)与某个常数的差逐渐减小
C.f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D.f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
答案 D
解析 随着n的增大,频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定,这也是频率与概率的关系.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
概率概念的理解
【例1】 试从概率角度解释下列说法的含义:
(1)掷一枚均匀的正方体骰子得到6点的概率是 ,是否意味着把它掷6次能得到1次6点
(2)某种病的治愈率是0.3,那么前7个人没有治愈,后3个人一定能治愈吗 如何理解治愈率是0.3
解(1)把一枚均匀的骰子掷6次相当于做6次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做6次试验的结果也是随机的.这就是说,每掷一次总是随机地出现一个点数,可以是1点,2点,也可以是其他点数,不一定出现6点.所以掷一枚骰子得到6点的概率是 ,并不意味着把它掷6次能得到1次6点.
(2)如果把治疗一个病人作为一次试验,治愈率是0.3,是指随着试验次数的增加,即治疗病人人数的增加,大约有30%的人能够治愈,对于一次试验来说,其结果是随机的,因此前7个病人没治愈是可能的,对后3个人来说,其结果仍然是随机的,即有可能治愈,也可能没有治愈.
规律方法 对概率的正确理解
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
(3)正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
变式探究
我们知道,每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5,则连续抛掷质地均匀的硬币两次,是否一定出现“一次正面向上,一次反面向上”呢
解不一定.这是因为统计规律不同于确定的数学规律,对于具体的一次试验而言,它带有很大的随机性(即偶然性),通过具体试验可以知道除上述结果外,也可能出现“两次都是正面向上”“两次都是反面向上”.尽管随机事件不像函数关系那样具有确定性,但是如果我们知道某事件发生的概率的大小,也能作出科学的决策.例如:做连续抛掷两枚质地均匀的硬币的试验1 000次,可以预见:“两个都是正面向上”大约出现250次,“两个都是反面向上”大约出现250次,而“一个正面向上、一个反面向上”大约出现500次.
探究点二
概率与频率的关系及求法
【例2】 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少(结果精确到0.01)
解(1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89附近,所以这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.89.
规律方法 概率与频率的解题策略
(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率是变化的,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近左右摆动,这个稳定值就是概率.
(2)解此类题目的步骤是:先利用频率的计算公式依次计算频率,然后用频率估计概率.
变式训练1
下表是某批乒乓球质量检查结果表:
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出现的频率
(1)在上表中填上优等品出现的频率.
(2)估计该批乒乓球优等品的概率约是多少(结果精确到0.01)
(3)若抽取乒乓球的数量为1 700只,则优等品的数量大约为多少
解(1)如下表所示:
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品出现的频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
(2)从表中数据可以看出,这批乒乓球优等品的概率约是0.95.
(3)由优等品的概率为0.95,则抽取1 700只乒乓球时,优等品数量约为
1 700×0.95=1 615(只).
探究点三
概率的应用
【例3】 为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上记号,不影响其存活,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只,试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.
规律方法 概率的实际应用
由于概率体现了随机事件发生的可能性,所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生,从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时,可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
变式训练2
某中学为了了解初中部学生的佩戴胸卡的情况,在学校随机抽取初中部的150名学生,其中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调查了初中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该中学初中部一共有多少名学生.
解设初中部有n名学生,依题意得 ,解得n=1 250.所以该中学初中部共有学生大约1 250名.
1.知识清单:
(1)频率与概率的意义;
(2)用频率估计概率;
(3)概率的应用.
2.方法归纳:数据分析法.
3.常见误区:概率的意义理解错误;不能正确区分频率和概率的含义.
本节要点归纳
学以致用 随堂检测全达标
1.成语“千载难逢”意思是说某事( )
A.一千年中只能发生一次
B.一千年中一次也不能发生
C.发生的概率很小
D.为不可能事件,根本不会发生
C
2.对以下命题:
①随机事件的概率与频率一样,与试验重复的次数有关;
②抛掷两枚均匀硬币一次,出现一正一反的概率是 ;
③若一种彩票买一张中奖的概率是 ,则买这种彩票一千张就会中奖;
④“投篮一次,求投中的概率”属于古典概型概率问题.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案 A
解析 随机事件的概率与频率不一样,与试验重复的次数无关,所以①错误;抛掷两枚均匀硬币一次,包含的样本点是(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),所以出现一正一反的概率是 ,所以②错误;若买一张彩票中奖是随机事件,买这种彩票一千张也不一定会中奖,所以③错误;“投篮一次,求投中的概率”,投篮的结果中与不中概率不相等,不属于古典概型概率问题,所以④错误.故选A.
3.管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘,10天后,又从池塘内捞出100条鱼,其中有标记的有2条,根据以上数据可以估计该池塘内共有 条鱼.
答案 1 500
解析 由题意可得,从池塘内捞出100条鱼,其中有标记的有2条,所以池塘中
4.某工厂为了节约用电,现规定每天的用电量指标为1 000度,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若这个月(按30天计)仍没有采取具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率是 .
答案 0.4
解析 用电量超过指标的频率是 = 0.4,又频率是概率的近似值,故该月的第一天用电量超过指标的概率为0.4.
5.对某产品进行抽样检查,数据如下:
抽查件数 50 100 200 300 500
合格件数 47 92 192 285 475
根据上表中的数据,如果要从该产品中抽到950件合格品,则大约需要抽查 件产品.
答案 1 000
解析 根据题表中数据可知合格品出现的频率为0.94,0.92,0.96,0.95,0.95,因此抽一件产品为合格品的概率约为0.95,因此要抽到950件合格品,大约需要抽查1 000件产品.(共28张PPT)
本章总结提升
第七章
内容索引
01
02
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一
频率与概率
频率是概率的近似值,是随机的,随着试验的不同而变化;概率是多次的试验中频率的稳定值,是一个常数,不能用一次或少数次试验中的频率来估计概率.
【例1】 射手甲中靶的概率是0.9,因此我们认为,即使射手甲比较优秀,他射击10发子弹也不可能全中,其中必有一发不中,试判断这种认识正确与否.
解射手甲射击一次,中靶是随机事件,他射击10次可以看作是重复做了10次试验,而每次试验的结果都是随机的,所以10次的结果也是随机的,这10次射击可能一次也不中,也可能中一次、二次、…、甚至十次都中.虽然中靶是随机事件,但却具有一定的规律性,概率为0.9,是说在多次的试验中,中靶的可能性稳定在0.9,实际上,他10发子弹全中的概率为0.910≈0.349,这是有可能发生的.因此题中认识不正确.
规律方法 概率与频率的关系
随机事件的概率是指在相同的条件下,大量重复进行同一试验,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作事件A的概率,记作P(A).它反映的是这个事件发生的可能性的大小.
一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说),又有规律性(对大量重复试验来说).其概率一般不好求,但可以用频率来估计.
变式训练1
对一批U盘进行抽检,结果如下表:
抽出件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9
次品频率
(1)计算表中次品的频率(结果精确到0.001).
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘
解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.040,0.025,0.017,0.020,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2 000个正品U盘,则x(1-0.020)≥2 000,因为x是正整数,
所以x≥2 041,即至少需进货2 041个U盘.
专题二
互斥事件与对立事件的概率及应用
若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
设事件A的对立事件是 ,则P(A)=1-P( ).
【例2】 射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该选手射击一次,(1)命中9环或10环的概率;(2)至少命中8环的概率;(3)命中不足8环的概率.
解记“射击一次,命中k环”为事件Ak(k=7,8,9,10).
(1)因为A9与A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
(2)记“至少命中8环”为事件B,B=A8+A9+A10,又A8,A9,A10两两互斥,
所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)记“命中不足8环”为事件C,则事件C与事件B是对立事件,所以
P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
规律方法 互斥事件与对立事件的概率求法
运用互斥事件的概率加法公式时,首先要确定各事件是否彼此互斥,如果彼此互斥,分别求出各事件发生的概率,再求和.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,运用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)求解;二是先求其对立事件的概率,然后再运用公式P(A)=1-P( )求解.
变式训练2
某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少
解(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N+),那么事件Ak彼此互斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,根据互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35
=0.95.
(2)由(1)知事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件,记为 .根据对立事件的概率公式,得
P( )=1-P(A)=1-0.95=0.05.
专题三
古典概型
古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基础,在高考题中,经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点,即有限性和等可能性.
【例3】 (2021陕西铜川期中)已知函数f(x)=ax2+2bx-1.
(1)若a,b都是从集合{1,2,3}中任取的一个数,求函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减的概率;
(2)若a是从集合{1,2,3}中任取的一个数,b是从集合{1,2,3,4}中任取的一个数,求方程f(x)=0在区间(-∞,-3)上有实数根的概率.
解(1)记“函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递减”为事件A.
由于a,b都是从集合{1,2,3}中任取的一个数,则基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9种,
(2)记“方程f(x)=0在区间(-∞,-3)上有实数根”为事件B,由于a是从集合{1,2,3}上任取的一个数,b是从集合{1,2,3,4}上任取的一个数,
则基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),共12种,
由题意知a>0,f(0)=-1,所以方程f(x)=0在区间(-∞,-3)上有实数根,
则有f(-3)<0,即9a-6b-1<0,
则事件B包含其中的5个基本事件,
规律方法 古典概型的概率求法
在求古典概型问题的概率时,往往需要我们将所有样本点一一列举出来,以便确定样本点总数及事件所包含的样本点数.这就是我们常说的列举法.在列举时应注意按一定的规律、标准,做到不重不漏.
变式训练3
从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )
答案 D
解析 ∵当b=1时,没有满足条件的a值;当b=2时,a=1;当b=3时,a可以是1,可以是2,∴共3个样本点.而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a,再从{1,2,3}中随机取一个数b,共有3×5=15个样本点,∴b>a的概率为
专题四
相互独立事件的概率
【例4】 (2021北京丰台期中)甲乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各自投篮互不影响.
(1)求甲乙各投球一次,比赛结束的概率;
(2)求甲获胜的概率.
解设事件Ak表示“甲在第k次投篮投中”,其中k=1,2,3,
设事件Bj表示“乙在第j次投篮投中”,其中j=1,2,3,
规律方法 相互独立事件概率的求法
(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立),正确区分“互斥事件”与“对立事件”.当且仅当事件A和事件B相互独立时,才有P(AB)=P(A)P(B).
(2)某些事件若含有较多的互斥事件,可考虑其对立事件的概率,这样可减少运算量,提高准确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化.
变式训练4
(1)求三人中恰有一名同学当选的概率;
(2)求三人中至多有两人当选的概率.
