首页
高中语文
高中数学
高中英语
高中物理
高中化学
高中历史
高中道德与法治(政治)
高中地理
高中生物
高中音乐
高中美术
高中体育
高中信息技术
高中通用技术
资源详情
高中数学
北师大版(2019)
必修 第一册
第三章 指数运算与指数函数
本章复习与测试
北师大版必修第一册第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展+2指数幂的运算性质+3指数函数课件(3份打包)
文档属性
名称
北师大版必修第一册第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展+2指数幂的运算性质+3指数函数课件(3份打包)
格式
zip
文件大小
3.3MB
资源类型
教案
版本资源
北师大版(2019)
科目
数学
更新时间
2022-08-17 16:12:32
点击下载
文档简介
(共35张PPT)
§1 指数幂的拓展 §2 指数幂的运算性质
第三章
课标要求
1.通过对有理数指数幂 (a >0,且a≠1,m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.
2.理解根式运算与指数运算的内在联系.
3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 指数幂的拓展
1.正分数指数幂
互素指的是两个数之间除了1之外没有更多的公约数
2.负分数指数幂
3.无理数指数幂
一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,自然地,规定 .
这样指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数.
名师点睛
1.有了分数指数幂的定义,就把指数幂拓展到了有理数指数幂.分数指数幂
不可理解为 个a相乘,它是根式的一种写法.
2.正数的负分数指数幂为正数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)0的任何指数幂都等于0.( )
×
×
×
提示不正确,因为在指数幂的概念中,总有a>0.
知识点2 指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:
运算性质的成立需此约束条件的限制
(1)aα·aβ=aα+β;
(2)(aα)β=aαβ;
(3)(ab)α=aαbα.
名师点睛
1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个常用:
2.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质进行计算.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(4)(ab)α=aα·bα,对于任意a,b都成立.( )
×
√
√
×
答案 D
重难探究 能力素养全提升
探究点一
利用分数指数幂的定义求值
答案 D
规律方法 解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与根式的对应关系,转化求解.
变式训练1
答案 A
探究点二
根式的化简(求值)
【例2】 求下列各式的值:
变式探究
(1)该例中的(2),若x<-3呢
(2)该例中的(2),若x>3呢
解由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.
(1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0,
故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.
(2)若x>3,则x-1>0,x+3>0,
故原式=(x-1)-(x+3)=-4.
探究点三
指数幂的化简与求值
【例3】 计算下列各式的值:
规律方法 对于指数幂的化简与求值要注意以下两点:
(1)对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.
(2)对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
变式训练2
探究点四
条件求值
得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.
(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,
即a2+a-2=7.
(3)设y=a2-a-2,两边平方,得
y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
规律方法 解决条件求值问题的一般方法——整体法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体法”求值时常用的变形公式如下:
变式训练3
解∵x+y=12,xy=9,
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)实数指数幂的性质;
(2)指数幂的化简与求值.
2.方法归纳:转化法、整体代换法.
3.常见误区:在运用分数指数幂的运算性质化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
学以致用 随堂检测全达标
A.5-2a B.2a-5 C.1 D.-1
答案 C
2.下列各式正确的是( )
答案 D
答案 C
答案 D
5.若 +(a-4)0有意义,则实数a的取值范围是 .
答案 [2,4)∪(4,+∞)
解析 由a-2≥0,且a-4≠0,得a≥2,且a≠4.
6.已知实数x满足x2-mx+1=0(x>0),求:
(1)x2+x-2(用m表示);
(2)x-x-1(用m表示).(共40张PPT)
第1课时 指数函数的概念、图象和性质
第三章
课标要求
1.通过具体实例,理解指数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
3.能够应用指数函数的图象及性质解决问题.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 指数函数的概念
当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数y=ax与之对应,称y=ax为指数函数.(1)定义域为R,函数值大于0;(2)图象过定点(0,1).
分“a>1”和“0
名师点睛
1.当x=0时,y=a0=1,即指数函数的图象过定点(0,1).
2.根据指数函数的定义,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数才叫指数函数,如
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)y=xx(x>0)是指数函数.( )
(2)y=ax+2(a>0,且a≠1)是指数函数.( )
(3)若f(x)=ax为指数函数,则a>1.( )
×
×
×
2.指数函数中,为什么要规定a>0,且a≠1
提示如果a<0,那么ax对某些x值没有意义,如 无意义;
如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;
如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.
所以规定a>0,且a≠1,此时x可以是任意实数.
知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质 a>1 0
图象
图象和 性质 a>1 0
性质 (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) (3)过定点(0,1),即x=0时,y=1 (4)当x<0时,0
0时,y>1 (4)当x<0时,y>1;
当x>0时,0
(5)在R上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于0 (5)在R上是减函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于0;当x值趋近于负无穷大时,函数值趋近于正无穷大
2.函数y=ax和y=bx函数值的大小关系
x x<0 x=0 x>0
0
bx>1 ax=bx=1 0
a>b>1 0
bx>1
3.一般地,指数函数y=ax和y=( )x(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称,且它们在R上的单调性相反.
注意区分函数本身图象关于y轴对称,与两个函数的图象关于y轴对称的不同
名师点睛
1.指数函数的图象,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,所以指数函数既不是奇函数,也不是偶函数.
2.指数函数的图象永远在x轴的上方.当x>0时,底数越大,图象越高,简称“底大图高”.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)指数函数y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函数.( )
(2)指数函数y=2x既不是奇函数,也不是偶函数.( )
(3)所有的指数函数图象过定点(0,1).( )
×
√
√
2.若指数函数y=(a-2)x是R上的增函数,则实数a的取值范围是 .
答案 (3,+∞)
解析 由函数y=(a-2)x是R上的增函数,得a-2>1,即a>3.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
指数函数的概念
【例1】 (1)若指数函数f(x),满足f(2)-f(1)=6,则f(3)= .
(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
(1) 答案 27
解析 设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是f(3)=33=27.
规律方法 1.判断一个函数是不是指数函数的方法
(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,且a≠1,x∈R)这一结构形式.
(2)明特征:指数函数的解析式具备的三个特征,只要有一个特征不具备,则不是指数函数.
2.已知某个函数是指数函数,求参数值的步骤
(1)列:依据指数函数解析式所具备的三个特征,列出方程(组)或不等式(组).
(2)解:解所列的方程(组)或不等式(组),求出参数的值或范围.
变式训练1
下列函数一定是指数函数的是 .(填序号)
答案 ①⑥
解析 ①y=5x符合指数函数的定义,是指数函数;
②y=4x-1中,指数是x-1而非x,不是指数函数;
③y=-3x中,系数是-1而非1,不是指数函数;
⑤y=(5x)x中,底数和指数均是自变量x,不是指数函数;
⑦y=(a+3)x中,底数a+3不一定满足“大于0,且不等于1”的条件,不一定是指数函数.
探究点二
指数函数的图象及应用
角度1指数型函数图象过定点问题
【例2】 已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是 .
答案 (-1,4)
解析 ∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象恒过点(-1,4).
变式探究
本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
规律方法 指数型函数图象过定点问题的解法
因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.
(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;
(4)y=2|x|.
解(1)如图①,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.
(2)如图①,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.
(3)如图①,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.
(4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x≥0上的图象与y=2x的图象一致,可得y=2|x|的图象如图②所示.
规律方法 变换作图法及注意点
(1)平移变换及对称变换:
(2)翻折变换:
①将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,替代原x轴下方部分,并保留y=f(x)的图象在x轴上及其上方部分即可得到函数y=|f(x)|的图象.
②将函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到y轴左侧,替代原y轴左侧部分,并保留y=f(x)的图象在y轴上及其右侧的部分即可得到函数y=f(|x|)的图象.
(3)利用变换作图法作图要注意以下两点:
①选择哪个指数函数作为起始函数;
②要注意平移的方向及距离.
变式训练2
函数y= 的图象有什么特征 你能根据图象指出其值域和单调区间吗
∴原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是
(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞).
角度3指数函数图象的识别
【例4】 如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.a
B.b
C.1
D.a
答案 B
解析 (方法一)①②中函数的底数大于0且小于1,在y轴右边,底数越小,图象向下越靠近x轴,故有b
(方法二)作直线x=1,与函数①②③④的图象分别交于A,B,C,D四点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.由图可知b
规律方法 指数函数图象的特点
指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.
无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即底数,由此可得底数的大小.
变式训练3
若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则必有( )
A.0
0 B.0
C.a>1,b<0 D.a>1,b>0
答案 D
解析 如图,若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、三、四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,且b>0.故选D.
探究点三
利用指数函数单调性比较幂值大小
【例5】 比较下列各题中两个值的大小:
(1)2.53,2.55.7;
(3)2.3-0.28,0.67-3.1.
解(1)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数都是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.
又3<5.7,∴2.53<2.55.7.
(3)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,
则2.3-0.28<0.67-3.1.
规律方法 比较幂的大小的常用方法
变式探究
比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0
(a-1)2.4.
综上,当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1
(a-1)2.4.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)指数函数的概念;
(2)指数函数的图象和性质.
2.方法归纳:待定系数法、数形结合法、换元法、
分类讨论法.
3.常见误区:易忽视底数a的限制条件;易忽视对于a是否大于1进行讨论.
学以致用 随堂检测全达标
1.下列函数图象中,有可能表示指数函数的是( )
答案 C
解析 A为一次函数图象;B为反比例函数图象;D为二次函数图象;选项C的图象可能是指数函数模型.
2.若函数f(x)=(m-2)·mx是指数函数,则f(-2)=( )
答案 B
3.设a=0.20.2,b=0.20.3,c=0.30.2,d=0.30.3,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.c>a>d>b B.c>d>a>b
C.c>a>b>d D.d>c>b>a
答案 A
解析 由指数函数的单调性知a=0.20.2>b=0.20.3,c=0.30.2>d=0.30.3.由幂函数的单调性知b=0.20.3
d=0.30.3=0.0270.1.综上可得,c>a>d>b.故选A.
4.已知函数f(x)=ax-m+n(a>0,且a≠1,m,n为常数)的图象恒过点(3,2),则m+n=( )
A.5 B.4
C.3 D.2
答案 B
5.函数f(x)=3|x|的图象是( )
答案 A
解析 f(-x)=3|-x|=3|x|=f(x),f(x)是偶函数,可排除C,D,又当x>0时,f(x)=3x是增函数,排除B.(共29张PPT)
本章总结提升
第三章
内容索引
01
02
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一
分数指数幂的运算
分数指数幂运算基本步骤
(1)有括号先算括号里面的,无括号先进行指数运算(即先乘方、开方),再乘除,最后加减.
(2)注意:①负指数幂化为正指数幂的倒数;②底数是负数,先确定符号;③底数是小数,要先化为分数;④底数是带分数的,要先化为假分数;⑤若是根式,则应先化为分数指数幂,然后要尽可能用幂的形式表示,以便于运用指数幂的运算性质.
【例1】 (2021河南郑州检测)计算:
变式训练1
计算:
专题二
与指数函数有关的图象问题
1.平移变换
(1)把函数y=f(x)的图象向右平移m个单位长度得函数y=f(x-m)的图象(m>0,若m<0,就是向左平移|m|个单位长度);
(2)把函数y=f(x)的图象向上平移n个单位长度得到函数y=f(x)+n的图象(n>0,若n<0,就是向下平移|n|个单位长度).
2.对称变换
(1)函数y=f(x)的图象与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称;
(2)函数y=f(x)的图象与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称;
(3)函数y=f(x)的图象与函数y=-f(-x)的图象关于原点对称.
【例2】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数y=3x的图象经过怎样的变换得到的.
(1)y=3x-1;(2)y=3x+1;(3)y=-3x.
解如图.
(1)y=3x-1的图象是由y=3x的图象向右平移1个单位长度得到的;
(2)y=3x+1的图象是由y=3x的图象向上平移1个单位长度得到的;
(3)y=-3x的图象是由y=3x的图象关于x轴对称得到的.
变式训练2
(1)函数f(x)= 的图象大致为( )
(2)画出函数y=2|x-1|的图象,并根据图象指出这个函数的对称性、单调性、值域.
(1) 答案 B
其图象是由两部分组成的:一部分是把y=2x的图象向右平移1个单位长度,取x≥1的部分;另一部分是把y= 的图象向右平移1个单位长度,取x<1的部分.y=2|x-1|的图象如图中实线部分所示.
由图象可知,
①对称性:图象的对称轴为直线x=1.
②单调性:在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
③函数的值域:[1,+∞).
专题三
与指数函数有关的定义域、值域问题
解与指数函数有关的定义域、值域问题需注意:
(1)充分考虑指数函数本身的要求,同时考虑指数函数的单调性,特别注意ax>0.
(2)形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(3)形如y=af(x)的函数的值域,先求出f(x)的值域,再结合y=au(u=f(x))的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
(4)形如y=f(ax)的函数的值域,先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域.
【例3】 求出下列函数的定义域与值域:
解(1)函数的定义域为R.
令-x2+2x=t,t=-(x-1)2+1≤1,
(2)∵4-2x≥0,∴x≤2,
∴函数定义域为{x|x≤2}.
∵2x>0,∴4-2x<4,又4-2x≥0,∴0≤4-2x<4,
∴y∈[-1,1),即函数值域是[-1,1).
变式训练3
解由9x-10·3x+9≤0,得(3x-1)(3x-9)≤0,即1≤3x≤9,
∴0≤x≤2.
专题四
指数函数单调性的应用
1.比较幂的大小的常用方法
(1)作差(商)法.
(2)函数单调性法.
(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C,B与C的大小即可.
(4)图象法:在同一直角坐标系中,作出相应函数的图象,根据条件观察图象变化规律,再作出分析判断.
2.解指数型不等式时,首先应化成同底的指数型函数,然后利用指数函数的单调性解决.
【例4】 (1)已知关于x的不等式 >3-2x,则该不等式的解集为( )
A.{x|x≥4} B.{x|x>-4}
C.{x|x<-4} D.{x|-4
(2)比较下列各题中两个数的大小:
①1.72.5,1.73;②1.70.3,0.93.1;
③已知am>an(a>0,且a≠1),比较m,n的大小.
(1) 答案 B
∴x-4<2x,∴x>-4.故选B.
(2)解①∵底数1.7>1,
∴指数函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.
∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.
②由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1.
0.93.1<0.90=1,∴1.70.3>0.93.1.
③当a>1时,m>n;
当0
变式训练4
(1)已知指数函数f(x)=(2a-1)x,且f(-3)>f(-2),则实数a的取值范围是 .
(2)比较0.8-0.1,1.250.2的大小.
解析 ∵指数函数f(x)=(2a-1)x,且f(-3)>f(-2),
∴函数f(x)在定义域内单调递减,
(2)解1.250.2=0.8-0.2.∵0<0.8<1,
∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上是减函数.
又-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2,
即0.8-0.1<1.250.2.
专题五
指数函数性质的综合应用
在性质的综合应用中,主要出现以指数函数为载体的复合函数,然后利用定义判断复合函数的奇偶性、单调性,从而解决问题.
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
即m(22t-1)≥-(24t-1),
∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1)恒成立即可.
∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],
∴要使m≥-(22t+1)恒成立,只需m≥-5,
故实数m的取值范围是[-5,+∞).
变式训练5
(2021山东济南高中检测)已知函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象过点(3,4),求实数a的值;
(2)求关于x的不等式f(x)>a3的解集.
解(1)函数f(x)的图象过点(3,4),
则a2=4,∵a>0,且a≠1,则a=2.
(2)由f(x)>a3可得ax-1>a3,
当0
即不等式的解集为(-∞,4),
当a>1时,x-1>3,解得x>4,
即不等式的解集为(4,+∞).
点击下载
同课章节目录
第一章 预备知识
1 集合
2 常用逻辑用语
3 不等式
4 一元二次函数与一元二次不等式
第二章 函数
1 生活中的变量关系
2 函数
3 函数的单调性和最值
4 函数的奇偶性与简单的幂函数
第三章 指数运算与指数函数
1 指数幂的拓展
2 指数幂的运算性质
3 指数函数
第四章 对数运算和对数函数
1 对数的概念
2 对数的运算
3 对数函数
4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
5 信息技术支持的函数研究
第五章 函数应用
1 方程解的存在性及方程的近似解
2 实际问题中的函数模型
第六章 统计
1 获取数据的途径
2 抽样的基本方法
3 用样本估计总体分布
4 用样本估计总体数字特征
第七章 概率
1 随机现象与随机事件
2 古典概型
3 频率与概率
4 事件的独立性
第八章 数学建模活动(一)
1 走进数学建模
2 数学建模的主要步骤
3 数学建模活动的主要过程
点击下载
VIP下载