(共28张PPT)
§1 对数的概念
第四章
课标要求
1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握对数式与指数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 对数的概念
1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以 为底 的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.
名师点睛
“log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算.
a
N
2.两种特殊的对数
名称 定义
常用对数 当对数的底数a= 时,通常称之为 ,N的常用对数log10N,简记为
自然对数 在科学技术领域,常常使用以无理数e=2.718 281…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为ln N.
10
常用对数
lg N
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)logaN是loga与N的乘积.( )
(2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3.( )
(3)若3x=2,则x=log32.( )
×
×
√
2.logaN中N满足什么条件
提示N>0.因为ab=N>0,所以N>0.
知识点2 对数的基本性质
1.负数和零没有对数.
名师点睛
1.loga1=0,logaa=1(a>0,且a≠1)可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.
2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)对数lg N没有底数.( )
(2)只有负数没有对数.( )
×
×
2.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为( )
答案 B
3.计算log2 0221+log2 0222 022+eln 3= .
答案 4
解析 原式=0+1+3=4.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式与对数式互化:
规律方法 1.logaN=b(a>0,且a≠1)与ab=N(a>0,且a≠1)表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下表:
式子 名称 意义
a b N 指数式ab=N 底数 指数 幂 a的b次幂等于N
对数式logaN=b 底数 对数 真数 以a为底N的
对数等于b
2.将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.
变式训练1
将下列指数式与对数式互化:
探究点二
利用对数式与指数式的关系求值
【例2】 求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x; (2)log7(x+2)=2;
(2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49.∴x=47.
(3)∵ln e2=x,∴ex=e2.∴x=2.
规律方法 指数式ax=N(a>0,且a≠1)与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.
变式训练2
求下列各式中的x值:
(1)log2x= ;(2)log216=x;(3)logx27=3.
(2)∵log216=x,∴2x=16.∴2x=24.∴x=4.
(3)∵logx27=3,∴x3=27.即x3=33.∴x=3.
探究点三
利用对数的基本性质与对数恒等式求值
【例3】 求下列各式中x的值:
(1)ln(log2x)=0; (2)log2(lg x)=1;
解(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1.∴x=21=2.
(2)∵log2(lg x)=1,∴lg x=2.∴x=102=100.
规律方法
1 在对数的运算中,常见的对数的基本性质有:(1)负数和零没有对数;
(2)loga1=0(a>0,且a≠1);(3)logaa=1(a>0,且a≠1)
2 对指数中含有对数的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用
变式训练3
求下列各式中x的值:
(1)ln(lg x)=1;
(2)log2(log5x)=0;
解(1)∵ln(lg x)=1,
∴lg x=e.∴x=10e.
(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1.∴x=5.
(3)x=32×=9×5=45.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)对数的概念;
(2)两种特殊对数:自然对数、常用对数;
(3)指数式与对数式的互化;
(4)对数恒等式及对数的性质.
2.方法归纳:转化化归.
3.常见误区:易忽视对数式中底数与真数的范围.
学以致用 随堂检测全达标
1.将log5b=2化为指数式是( )
A.5b=2 B.b5=2
C.52=b D.b2=5
C
2.已知ln x=2,则x等于( )
A.±2 B.e2 C.2e D.2e
答案 B
解析 由ln x=2,得e2=x,即x=e2.
3.(多选题)下列选项中,可以求对数的是( )
A.0 B.-5 C.π D.7
答案 CD
解析 根据对数的定义可知0和负数没有对数,所以选项A,B没有对数,π>0,选项C有对数.又7>0,所以选项D有对数.
4.已知a=log23,则2a= .
答案 3
解析 由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.
5.求下列各式中x的值:
(3)log3(lg x)=1.(共35张PPT)
2.1 对数的运算性质 2.2 换底公式
第四章
课标要求
1.理解对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.
2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.能用对数的运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 对数的运算性质
可以推广到真数为有限多个正因数相乘的情形,即loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(k≥2,k∈N+)
条件 a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R
性质 (1)loga(M·N)=logaM+logaN
(2)loga =logaM-logaN
(3)logaMb=blogaM
名师点睛
1.会用语言准确地叙述运算性质,如loga(M·N)=logaM+logaN叙述为“两个正数乘积的对数等于这两个正数同底的对数之和”或“两个正数同底的对数之和等于这两个正数乘积的对数”.
2.熟练掌握对数运算性质的逆向使用:逆向应用对数运算性质,可将几个对数式化为一个对数式,有利于化简求值.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)logaxy=logax+logay(a>0,且a≠1).( )
(2)log2(-4)2=2log2(-4).( )
(3)logaxy=logax·logay(a>0,且a≠1).( )
×
×
×
2.若MN>0,运算法则“loga(MN)=logaM+logaN”还成立吗
提示不一定成立.例如对于(-2)×(-3)>0,
loga[(-2)×(-3)]≠loga(-2)+loga(-3),
因为loga(-2)和loga(-3)没有意义.
知识点2 换底公式
一般地,若a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1,则logab= .这个结论称为对数的换底公式.
名师点睛
1.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由具体已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
√
√
√
√
×
2.(多选题)下列等式正确的是( )
ABC
重难探究 能力素养全提升
探究点一
对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值:
(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2
=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=2+1=3.
规律方法 对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法
收 将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数
拆 将积(商)的对数拆成对数的和(差).
对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式
变式训练1
计算:
探究点二
换底公式的应用
【例2】 计算下列各式的值:
(1)log89·log2732;
规律方法 1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.
2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
变式训练2
计算:(1)log23·log36·log68;
(2)(log23+log43)(log32+log274).
探究点三
有附加条件的对数求值问题
(2)设ax=by=cz=k(k>0,且k≠1).
∵a,b,c是不等于1的正数,
∴x=logak,y=logbk,z=logck.
即logk(abc)=0.∴abc=1.
规律方法 条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式互化进行解题.
变式训练3
(1)解∵3x=4y=36,
∴x=log336,y=log436.
(2)证明设3x=4y=6z=m(m>0,且m≠1),
则x=log3m,y=log4m,z=log6m.
探究点四
解对数方程
【例4】 解下列方程:
(1)lg x2-lg(x+2)=0;
(2)lg x-lg 3=2lg 5-lg(x-10).
所以x1=2,x2=-1.经检验x1=2,x2=-1均为原方程的解.
即x>10.
又lg x-lg 3=lg 25-lg(x-10),
解得x=15或x=-5.
经检验x=15是原方程的解.
规律方法 对数方程的类型与解法
(1)logaf(x)=b(f(x)>0,a>0,且a≠1)型,解法为将对数式转化为指数式f(x)=ab,解出x,注意检验.
(2)logf(x)n=b(f(x)>0,且f(x)≠1,n>0)型,解法为将对数式化为指数式[f(x)]b=n,解出x,注意检验.
(3)形如logaf(x)=logaφ(x)(f(x)>0,且φ(x)>0),解法为转化为f(x)=φ(x)求解,注意检验.
(4)形如f(logax)=0(a>0,且a≠1,x>0),解法为换元,令t=logax,转化为关于t的方程f(t)=0,得t=p,再解方程logax=p,得到x=ap,注意检验.
变式训练4
解下列方程:
(1)log3(x2-10)=1+log3x;
(2)lg x+2log(10x)x=2.
原方程可化为log3(x2-10)=log33x.
所以x2-10=3x,解得x=-2或x=5.
检验知,方程的解为x=5.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)对数运算性质的应用;
(2)换底公式的应用;
(3)对数方程的求解.
2.方法归纳:转化化归.
3.常见误区:要注意对数的运算性质的结构形式及公式使用的条件.
学以致用 随堂检测全达标
1.log248-log23=( )
A.log244 B.2 C.4 D.-2
答案 C
2.log52·log425等于( )
A.-1 B. C.1 D.2
答案 C
答案 B
解析 ∵4a=9b=12,
∴a=log412,b=log912,
答案 2
5.已知方程x2+xlog26+log23=0的两根为α和β,则α+β= ,
答案 -log26 36
(2)(lg 2)2+lg 2·lg 500+lg 125.
解(1)原式=log78-log79+log7 =log78-log79+log79-log78=0.
(2)原式=lg 2(lg 2+lg 500)+3lg 5=lg 2·lg 1 000+3lg 5=3lg 2+3lg 5
=3(lg 2+lg 5)=3lg 10=3.(共45张PPT)
第1课时 对数函数的概念、图象和性质
第四章
课标要求
1.通过具体实例,理解对数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象,探索并理解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 对数函数
1.对数函数的概念
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中a称为 ,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:①定义域是 ;②图象过定点 .
2.两种特殊的对数函数
以 为底的对数函数为常用对数函
数,记作y=lg x;以 为底的对数函数为自然对数函数,记作
y=ln x.
底数
(0,+∞)
(1,0)
10
无理数e
3.反函数
对数函数表示为y=logax(a>0,且a≠1),指数函数表示为y=ax(a>0,且a≠1),指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数,即它们互为反函数.
名师点睛
1.判断一个函数是对数函数的依据:
(1)形式满足y=logax;
(2)底数a满足a>0,且a≠1;
(3)真数为x,而不是x的函数.
2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,
由指数函数的性质,可知在对数函数中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上.( )
(2)单调函数的反函数与原函数单调性相反.( )
(3)若一个奇函数存在反函数,则这个反函数也是奇函数.( )
√
×
√
2.下列函数是对数函数的是( )
A.y=logax+2(a>0,且a≠1,x>0)
B.y=log2 (x>0)
C.y=logx3(x>0,且x≠1)
D.y=log6x(x>0)
D
3.函数y= 的反函数是 .
知识点2 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质
图象和 性质 a>1 0
图象
图象和 性质 a>1 0性质 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过定点(1,0),即x=1时,y=0 (4)当x>1时,y>0;当01时,y<0;当00
(5)在定义域(0,+∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0,+∞)上是减函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;
当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大
名师点睛
1.对数函数的图象都在y轴的右侧,x的取值越接近于0,图象越接近y轴.
2.对数函数函数值的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.
3.两个底数都大于1的对数函数,图象在第一象限内越接近x轴,底数越大;两个底数都大于0小于1的对数函数,图象在第四象限内越接近x轴,底数越小.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=log5(x+1)的定义域是(0,+∞).( )
(2)函数y=log2x2(x≠0)在定义域内单调递增.( )
(4)f(x)=loga(1+ax)为增函数,则a>1.( )
(5)f(x)=|lg x|与g(x)=lg|x|在[1,+∞)上均单调递增.( )
×
×
×
√
√
2.函数y=ln x的单调增区间是( )
A.[e,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,+∞) D.[1,+∞)
B
3.已知函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1),则f(x)的图象必经过定点 .
答案 (2,1)
解析 令x-1=1得x=2,把x=2代入y=loga(x-1)+1得y=1,故函数f(x)过定点(2,1).
重难探究 能力素养全提升
探究点一
对数函数的概念
【例1】 (1)已知函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx是对数函数,则m= .
①求f(x)的解析式;
②解方程f(x)=2.
(1) 答案 2
解析 由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是
(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.
规律方法 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可.
变式训练1
(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= .
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n= .
探究点二
指数函数与对数函数关系的应用
【例2】 已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 ∵g(x)是f(x)的反函数,
∴g(x)=2x.
∴g(2)=22=4,
∴f(g(2))=f(4)=log24=2.
规律方法 涉及指数函数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.
变式训练2
已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=( )
A.-7 B.-9 C.-11 D.-13
答案 C
解析 由题意知f(x)=2x,
故当x>0时,g(x)=2x+x2.
∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.
∴g(-1)+g(-2)=-11.
探究点三
与对数函数有关的定义域、值域问题
【例3】 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )
A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(0,1) D.[0,1]
(2)已知函数 的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是 .
解析 (1)由题意得x2-x>0,
解得x>1或x<0,
故函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
(2)∵已知函数f(x)=2lox的值域为[-1,1],
∴-1≤2lox≤1,
即lo)-1≤2lox≤lo)1,
化简可得≤x2≤2.再由x>0可得≤x≤,故函数f(x)的定义域为[].
规律方法 定义域问题注意事项
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式被开方式大于或等于零等.
(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
变式探究
本例(1)中的函数变为“f(x)= ” ,结论又如何
探究点四
对数函数的图象
【例4】 函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.
(1)指出三个函数分别对应于哪个图象;
(3)从(2)的图中你发现了什么
解(1)①对应函数y=lg x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.
规律方法 对数函数图象的变化规律
(1)对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即各函数的底数,如图所示.
(2)牢记特殊点:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(1,0),(a,1), .
变式训练3
作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解先作出函数y=lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).
图①
图②
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
图③
由图易知函数的定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),函数在区间(1,2]上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.
探究点五
利用对数函数的性质比较大小
【例5】 比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
(2)log23,log0.32;
(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).
解(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32log0.32.
(3)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;
当0综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;
当0规律方法 比较两个对数式大小的常用方法
对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意对底数是否大于1进行分类讨论,不过对于这一类的大小比较问题,并不是底数为参数时,就一定要讨论,而应遵循的原则是尽量回避或推迟讨论.
变式训练4
设a=log32,b=log53,c= ,则( )
A.a答案 A
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)对数函数的概念;
(2)反函数;
(3)对数函数的图象与性质及应用.
2.方法归纳:待定系数法、分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区:对数函数中隐含的条件,真数大于0,底数大于0且不等于1容易忽视,求与对数函数有关的定义域时,易漏掉真数大于零的情况.
学以致用 随堂检测全达标
1.函数f(x)= +lg(x+1)的定义域为( )
A.[-1,3) B.(-1,3)
C.(-1,3] D.[-1,3]
答案 C
2.函数 在区间[1,2]上的值域是( )
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[1,+∞) D.(-∞,-1]
答案 A
3.(2022江苏盐城高一期末)设a与b均为实数,a>0,且a≠1,已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a+2b的值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
答案 C
解析 令f(x)=y=loga(x+b),
由图可知,f(0)=logab=2,f(-3)=loga(-3+b)=0,
4.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是 .
答案 (2,2)
解析 令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,
∴f(x)的图象恒过定点(2,2).
5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为 .
答案 b>a>c
解析 因为f(x)=log0.2x在定义域内单调递减,且0.2<0.3<1<4,所以log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,
即1>a>0>c.
同理log26>log22=1,所以b>a>c.
6.已知函数f(x)=log3x.
(1)作出这个函数的图象;
(2)若f(a)解(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.
(2)由图象知,函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.当0本章总结提升
第四章
内容索引
01
02
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一
对数运算
本专题主要考查对数与指数的互化,对数的运算性质、对数恒等式以及换底公式等,要会利用运算性质进行化简、计算、证明等,重点提升数学运算素养.
【例1】 (1)已知log152=a,b=log35,则log12518= .
规律方法 对数的运算应遵循的原则
(1)统一底数:借助换底公式,化异底为同底.
(2)运用性质:熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式进行对数计算、化简、证明.
(3)检验等价性:对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价.
变式训练1
答案 111
专题二
比较大小
比较大小是对数函数性质应用的一个重要体现,要掌握数的大小比较方法,会根据数据信息构造函数并能借助相应函数的图象及性质比较数的大小,不断提升数学建模和逻辑推理素养.
【例2】 (1)设函数 ,若a=f(log32),b=f(log52),c=f(20.2),则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.c(2)若a>b>1,0A.acC.alogbc答案 (1)C (2)C
规律方法 数的大小比较常用方法
(1)对数式的比较,可将其看成某个对数函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.
(2)幂、指数、对数函数值的大小比较:先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于或等于0且小于或等于1”“大于1”三部分,再在各部分内利用函数的性质比较大小.
变式训练2
(2021黑龙江绥化期中)已知a=log0.30.2,b=log32,c=0.03-0.2,则( )
A.a=bC.c答案 B
解析 1=log0.30.3专题三
对数函数的图象及其应用
对数函数的图象及应用有两个方面:一是已知函数解析式求作函数图象,即“知式求图”;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题.本专题重在提升直观想象和逻辑推理素养.
【例3】 (1)已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是( )
(2)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是( )
A.{x|-1C.{x|-1答案 (1)C (2)C
解析 (1)函数y=log2x的反函数为y=2x,故f(x)=2x,于是f(1-x)=21-x= ,此函数在R上为减函数,其图象过点(0,2),所以选项C中的图象符合要求.
规律方法 对数函数图象识别及应用
(1)识别:注意函数图象上的特殊点及函数自身的性质(定义域、单调性、对称性、最值等),同时运用图象平移、对称、翻折等知识加以筛选.
(2)应用:借助对数函数的图象可以求图象的交点个数、函数的最值、解不等式等.
变式训练3
函数y= 与y=log2x的图象的交点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.无数
答案 B
解析 在同一坐标系中画出函数y= 与y=log2x的图象,如图所示.
由图知它们的图象有1个交点.
专题四
对数函数的性质及其应用
1.本专题主要考查以对数函数的性质为依托,结合运算考查对数函数的图象性质,以及利用性质解不等式等问题的能力.
2.在解含对数式的方程或解不等式时,不能忘记对数中真数大于0,以免出现增根或扩大范围.
3.本专题重点提升数学运算和逻辑推理素养.
【例4】 已知函数f(x)=loga(10+x)-loga(10-x)(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f(x)>0,求x的取值范围.
所以函数的定义域为(-10,10).
(2)函数的定义域关于原点对称,
则f(-x)=loga(10-x)-loga(10+x)=-[loga(10+x)-loga(10-x)]=-f(x),
即函数f(x)是奇函数.
(3)若f(x)>0,
则f(x)=loga(10+x)-loga(10-x)>0,
即loga(10+x)>loga(10-x).
解得-10即当a>1时,x的取值范围为(0,10),
当0规律方法 求解与对数函数有关的复合函数的问题时,需要弄清楚三个方面的问题:
(1)定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;
(2)底数与1的大小关系;
(3)复合函数的构成,如y=logaf(x)是由y=logau与u=f(x)构成的.
变式训练4
(2021安徽滁州期中)已知函数f(x)=log3(x+a)(a>0),若点M(x,y)在函数y=g(x)图象上运动时,对应的点M' 在函数y=f(x)图象上运动,则称函数y=g(x)是函数y=f(x)的相关函数.
(1)当a=1时,解关于x的不等式f(x)<1;
(2)对任意的x∈[0,1],f(x)的图象总在其相关函数图象的上方,求实数a的取值范围.