(共40张PPT)
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
第五章
课标要求
1.了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.
2.了解函数的零点与方程解的关系.
3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 函数的零点
1.代数定义:使得f(x0)=0的数 称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.
2.几何定义:f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的 .
名师点睛
1.并不是所有的函数都有零点,如f(x)=1,f(x)=x2+1就没有零点.
2.若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.
3.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标.
x0
横坐标
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数的零点是一个点.( )
(2)函数的零点是一个点的坐标.( )
×
×
2.函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)=0解的个数有什么关系
提示相等.
3.当b2-4ac满足什么条件时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)没有零点
提示当b2-4ac<0时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)没有零点.
知识点2 零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点.即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
f(a)·f(b)<0是在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点的充分但不必要条件
名师点睛
1.定理要求具备两个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线;(2)f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可.
2.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续的曲线,则由f(a)·f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,但是由函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)<0.如f(x)=x2在(-1,1)内存在零点,但
f(-1)·f(1)>0.
3.如果单调函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的x0∈(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是方程f(x)=0的解.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)设f(x)= ,由于f(-1)·f(1)<0,所以f(x)= 在(-1,1)内有零点.( )
(2)若函数f(x)在[a,b]内有零点,则f(a)·f(b)<0.( )
(3)若f(a)·f(b)>0,则f(x)在[a,b]内无零点.( )
×
×
×
答案 B
3.若函数f(x)=mx2-2x+3有且只有一个零点,则实数m的取值是 .
重难探究 能力素养全提升
探究点一
求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16.
(3)存在.令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2.
规律方法 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1
已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.
解由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的解.
所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).
令log2(-2x+1)=0,得x=0.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
探究点二
函数零点个数的判断
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2- ;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数f(x)只有一个零点.
(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,
f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,
∴f(x)在(0,2)上必定存在零点.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上单调递增,故f(x)有且只有一个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
规律方法 判断函数零点个数的常用方法
(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.
(2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数.
(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2
(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.1或2
(2)判断函数f(x)=x-3+ln x的零点个数.
(1) 答案 A
解析 ∵b2=ac,且abc≠0,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2<0.
故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.
(2)解(方法一)令f(x)=x-3+ln x=0,则ln x=3-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln x与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln x与y=-x+3的图象只有一个交点,即函数f(x)=x-3+ln x只有一个零点.
(方法二)因为f(3)=ln 3>0,
所以f(3)·f(2)<0,
说明函数f(x)=x-3+ln x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln x在区间(0,+∞)上单调递增,所以原函数只有一个零点.
探究点三
已知零点个数求参数的取值范围
A.(1,2] B.[1,+∞)
C.[1,2) D.[1,2]
答案 B
【例4】 已知a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 .
答案 (1,+∞)
解析 函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.
分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.
由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有两个
不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).
规律方法 已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
直接法 根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围
数形 结合法 先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解
变式训练3
已知关于x的函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在零点,则( )
答案 C
解析 显然a≠0,∴f(x)=3ax-1-2a在(-1,1)上单调,且存在零点,
∴f(-1)·f(1)<0,即(-3a-1-2a)·(3a-1-2a)=(-5a-1)·(a-1)<0,
探究点四
判断函数零点所在的区间
【例5】 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:
x -3 -1 0 1 2 4
y 6 -4 -6 -6 -4 6
不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根所在区间是( )
A.(-3,-1)和(2,4)
B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2)
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
(2)已知函数f(x)= -log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
答案 (1)A (2)C
解析 (1)易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,
又f(-3)·f(-1)=6×(-4)=-24<0,所以f(x)在(-3,-1)内有零点,即方程ax2+bx+c=0(a≠0)在(-3,-1)内有根,同理,方程ax2+bx+c=0(a≠0)在(2,4)内有根.
故选A.
规律方法 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法
(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
变式训练4
(1)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
(2)若方程xlg(x+2)=1的实根在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=( )
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0
答案 (1)C (2)C
解析 (1)∵f(0)=e0+0-2=-1<0,
f(1)=e1+1-2=e-1>0,∴f(0)·f(1)<0,
∴f(x)在(0,1)内有零点.又函数f(x)为单调增函数,
∴C选项符合条件.
(2)由题意知x≠0,则原方程即为lg(x+2)= ,在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg(x+2)与y= 的图象,如图所示.由图象可知原方程有两个根,一个在区间(-2,-1)上,一个在区间(1,2)上,所以k=-2或k=1.故选C.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)求函数的零点;
(2)判断零点个数;
(3)由零点个数求参数范围;
(4)确定函数零点所在的区间.
2.方法归纳:转化法、数形结合法.
3.常见误区:误将零点当作点,零点是数,是图象与x轴交点的横坐标.
学以致用 随堂检测全达标
1.如下图四个函数图象,在区间(-∞,0)内存在零点的函数图象是( )
答案 B
解析 只有选项B中的函数图象与x轴的负半轴有交点.
A
3.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为( )
A.(0,1) B.(-1,0) C.(2,3) D.(1,2)
答案 D
解析 由f(-1)=- <0,f(0)=-3<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,得f(x)的零点所在区间为(1,2).
4.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为 .
解析 当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点.
当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.
∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,
∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.
5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点,如果存在,求出零点的个数.
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[-4,7];
(2)f(x)=x2+2x+1- ,x∈(0,+∞).
解(1)令x2-3x-18=0,解得x=-3或x=6.
又-3∈[-4,7],6∈[-4,7],
∴f(x)=x2-3x-18在区间[-4,7]上有两个零点.(共53张PPT)
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
第五章
课标要求
1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.能建立函数模型解决实际问题.
3.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 实际问题的函数刻画
1.在现实世界中,事物之间存在着广泛的联系,当面对的实际问题中存在几个变量,并且它们之间具有依赖关系时,我们往往用函数对其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象,但常见的还是使用解析式.
2.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦被认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质,使问题得到解决.
通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式,求出具体的函数解析式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.在自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先通过实验,得到数据,再通过数据拟合得到的.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.( )
(2)某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为y=-4x+350.
( )
(3)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( )
×
×
√
2.世界上很多事物间的联系可以用函数刻画,在试图用函数刻画两个变量的联系时,需要关注哪些要点
提示先确定两个变量是谁;再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义;如果满足,就要考虑建立函数关系式.
知识点2 数学建模
1.定义:用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.
2.过程:如下图所示.
名师点睛
常见的函数模型及其特点:(1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0),其增长特点是直线式上升(k>0)或下降(k<0),其特例是y=kx(k≠0).(2)一元二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0),其增长特点是函数值先减小后增大(a>0)或先增大后减小(a<0).(3)反比例函数模型:y= (k≠0)型,其增长特点是当x>0时,y随x的增大而减小(k>0)或y随x的增大而增大(k<0).(4)指数型函数模型:y=a·bx+c(b>0,且b≠1,a≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.(5)对数型函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a>1,m>0).(6)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0),其增长特点是y随x的增大而增大(n>0,a>0,x>0).
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)当a>1时,不存在实数x0,使ax0<
(2)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.( )
(3)某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是y=2x.( )
√
√
×
2.某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据:
x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x,y的函数关系最符合(其中a,b为待定系数)函数( )
A.y=a+bx B.y=bx
C.y=ax2+b D.y=
答案 B
解析 画出散点图(如图所示):
由散点图可知,此函数图象不是直线,排除A;此函数图象是上升的,是增函数,排除C,D,故选B.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
用函数图象刻画变化过程
【例1】 (1)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系图象正确的是( )
(2)(多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中错误的有( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多
C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
答案 (1)A (2)ABC
解析 (1)前3年年产量的增长速度越来越快,只有A,C的图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.
(2)根据图象所给数据,逐个验证选项.
根据图象知,当行驶速度大于40千米/时时,消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错误;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错误;甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错误;最高限速80千米/时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D正确.
规律方法 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
变式训练1
已知正方形ABCD的边长为4,动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是( )
答案 D
解析 依题意知,当0≤x≤4时,f(x)=2x;
当4当8探究点二
建立一元二次函数模型解决实际问题
【例2】 设某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业,分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0(1)若要保证第二产业的产值不减少,求x的取值范围;
(2)在(1)的条件下,问应分流出多少万人,才能使该市第二、第三产业的总产值每年增加最多
因此当0(2)设该市第二、三产业的总产值每年增加f(x)(0∵x∈(0,50]时,f(x)单调递增,
∴当x=50时,f(x)max=60a.
即应分流出50万人,才能使该市第二、三产业的总产值每年增加最多.
规律方法 求解本题时,应注意以下两点:一是x∈N+,二是第二、三产业的总产值每年增加量为剩余人员创造的产值与分流人员创造产值的和减去没有人员分流时创造的产值.
变式训练2
有A,B两城相距100 km,在A,B两城之间距A城x km的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.
(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求其定义域;
(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小
探究点三
建立指数型函数、对数型函数模型解决实际问题
【例3】 某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,决定用买一个这种商品,赠送一个小礼品的办法.实践表明:礼品价值为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价值为(n+1)元时比礼品价值为n元(n∈N+)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时,利润yn(单位:元)与n的函数关系式;
(2)请你设计礼品的价值,以便商店获得最大利润.
解(1)设没有礼品时销售量为m,则当礼品价值为n元时,销售量为m(1+10%)n,利润yn=(100-80-n)·m·(1+10%)n=(20-n)·m·1.1n(0(2)令yn+1-yn≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(20-n)·m·1.1n≥0,解得n≤9.
∴y1令yn+1-yn+2≥0,
即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)·m·1.1n+2≥0,
解得n≥8.∴y9=y10>y11>y12>y13>…>y19,
∴当礼品价值为9元或10元时,商店获得最大利润.
规律方法 1.指数型函数模型应用非常广泛,有关人口增长、银行利息、细胞分裂等问题都可以建立指数型函数模型来解决问题,建立函数解析式时要善于通过列举、归纳等方法寻求变量之间的关系,探寻内在的规律.
2.对于本题通过作差探讨出函数的单调情况是解题的关键所在.
变式训练3
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2 000 m,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 ,单位是m/s,其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时,它的游速是多少
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速,问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大 并说明理由.
探究点四
建立分段函数模型
【例4】 WAP手机上网每月使用量在500 min以下(包括500 min),按30元计费;超过500 min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60 min)使用量在1 min以下不计费,在1 min以上(包括1 min)按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.
(1)写出上网时间x(单位:min)与所付费用y(单位:元)之间的函数关系式.
(2)12月份小王WAP上网使用量为20 h,要付多少钱
(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少
解(1)由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为
(2)当x=20×60=1 200(min)时,x>500,应付y=30+0.15×(1 200-500)
=135(元).
(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500 min,由30+0.15(x-500)=90,解得x=900,所以10月份的上网时间为900 min.
规律方法 1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.
2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意分段函数的最大值是各段函数最大值中最大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中最小的一个.
变式训练4
为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价格p(单位:元/件)之间满足关系式:
q= 该企业职工每人每月工资为1 200元,其他经营性费用为每月13 200元.
(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价格p为52元/件时,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;
(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款
解(1)设该企业职工人数为t,依题意p=52时,q=36时,则(52-40)×36×100
=1 200t+13 200,
∴t=25.
即该企业有25名职工.
(2)设每个月的利润为f(p),则f(p)=
∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,
当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,
∵450>441,∴p=55时,能更早还清贷款,
又(100×450-1 200×20-13 200)×12=93 600, =5,
∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款.
探究点五
拟合函数模型解决实际问题
【例5】 某个体经营者把开始六个月试销售A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
投资A种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
投资B种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润.
解以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图①②所示.
图①
图②
观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图①所示.取(4,2)为最高点,则
y=a(x-4)2+2(a≠0),再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图②所示.
设y=kx+b(k≠0),取点(1,0.25)和(4,1)代入,
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是
y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.
设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为x,12-x(单位:万元),则0=-0.15x2+0.95x+2.6.
当x= ≈3.2时,W取最大值,约为4.1,此时12-x=8.8.
即该经营者下月用3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大纯利润约为4.1万元.
规律方法 解决拟合函数模型问题一般有以下步骤:
(1)根据原始数据、表格,绘出两个变量之间的散点图.
(2)通过散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,“点滴”不漏,那么这将是一件十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般不会发生.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点的个数大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识,结合已知数据,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和检验,为决策和管理提供依据.
变式训练5
为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x(单位:cm)与当年灌溉面积y(单位:hm2).现有连续10年的实测资料,如下表所示:
年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/hm2
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/hm2
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
(1)描出灌溉面积y随积雪深度x变化的数据点(x,y);
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象;
(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,则可以灌溉的土地面积是多少
解(1)数据点分布如图①所示.
图①
图②
(2)从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).
取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
用计算器可算得a≈2.4,b≈1.8.
这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图②,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25 cm时,可以灌溉土地47.4 hm2.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)用函数模型解决实际问题;
(2)数据拟合与函数建模的优劣.
2.方法归纳:数学建模.
3.常见误区:实际问题中一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,最后要将数学问题还原为实际问题.
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1.一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,则图象所对应的函数模型是( )
A.分段函数 B.一元二次函数
C.指数函数 D.对数函数
答案 A
解析 由题图知,在不同的时间段内,对应的图象不同,故对应函数模型应为分段函数.
2. (2022浙江金华高一期末)用一段长为50 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙a长25 m.要使围成的矩形菜园ABCD的面积最大,则这个矩形菜园ABCD的宽(矩形的较短边)为( )
答案 B
解析 设矩形的宽为x m,矩形的面积为S m2,
所以矩形的面积为S=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-12.5)2+312.5(0当x= 时,S取得最大值312.5.
故选B.
3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y,则x,y的函数关系是( )
A
4.(多选题)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中正确的有( )
(注:结余=收入-支出)
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D.前6个月的平均收入为40万元
答案 ABC
解析 由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为 ×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.
5.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如下表:
月份 1 2 3
产量/千件 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=kx+m(k,m为常数,且k≠0)或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y(单位:千件)与月份x的关系.请问用以上哪个函数拟合较好 并说明理由.
∴y=2x+48.
当x=3时,y=56.
由题知3月份的产量为53.9千件,因此用函数y=2x+48拟合估计时误差较小,故用函数y=2x+48拟合比较好.(共27张PPT)
本章总结提升
第五章
内容索引
01
02
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
网络构建归纳整合
专题突破素养提升
专题一
利用函数性质判定方程的解
1.一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点必须同时满足:①函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线;②f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可,否则结论不一定成立,如函数f(x)= ,易知f(-1)·f(1)=-1×1<0,但显然f(x)= 在(-1,1)内没有零点.
2.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且在两端点处的函数值f(a),f(b)异号,则函数y=f(x)的图象至少穿过x轴一次,即方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实根c.
3.零点存在定理只能判断出零点的存在性,而不能判断出零点的个数.
【例1】 (2022广东广州期末)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为直线x= ,且f(2)=0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.
故f(x)=7x2-13x-2.
(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),
由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,
在(1,2)内有一个零点,
解得-4所以实数m的取值范围是(-4,-2).
变式训练1
(1)已知关于x的方程a·4x+b·2x+c=0(a≠0),常数a,b同号,b,c异号,则下列结论中正确的是( )
A.此方程无实根
B.此方程有两个互异的负实根
C.此方程有两个异号实根
D.此方程仅有一个实根
(2)函数f(x)=ax2-2x+1,若y=f(x)在区间 内有零点,则实数a的取值范围为 .
答案 (1)D (2)(-∞,0]
解析 (1)由常数a,b同号,b,c异号,可得a,c异号,令2x=t,则方程变为at2+bt+c=0,t>0,由于此方程的判别式Δ=b2-4ac>0,故此方程有两个不相等的实数根,且两根之积为 <0,故关于t的方程只有一个实数根,故关于x的方程只有一个实数根.
(2)令ax2-2x+1=0,
专题二
二分法求方程的近似解(或函数的零点)
二分法求方程的近似解的步骤:
(1)构造函数,转化为求函数的零点.
(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1).
(3)利用二分法求函数的零点.
(4)归纳结论.
【例2】 求函数f(x)=x3-x-1在(1,1.5)内的零点(精确度为0.1).
解 f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,1.5) 1.25 -0.30
(1.25,1.5) 1.375 0.22
(1.25,1.375) 1.312 5 -0.05
(1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08
因为|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1,
所以函数的一个近似零点为x=1.312 5.
变式训练2
用二分法求方程x2-5=0的一个近似正解(精确度为0.1).
解令f(x)=x2-5,
因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,
所以f(2.2)·f(2.4)<0,说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,f(2.3)=0.29>0,
因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3).
再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,
f(2.25)=0.062 5>0,
因为f(2.2)·f(2.25)<0,
所以x0∈(2.2,2.25).
由于|2.25-2.2|=0.05<0.1,
所以原方程的近似正解可取为2.24.
专题三
已知函数模型解决实际问题
解决已给出函数模型的实际应用题,关键要分清函数类型,并要注意相应函数定义域以及实际生活中的自变量取值的限制条件,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.
【例3】 据市场分析,某海鲜加工公司,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y(单位:万元)可以看成月产量x(单位:吨)的二次函数;当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y(单位:万元)关于月产量x(单位:吨)的函数关系式;
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润
解(1)设y=a(x-15)2+17.5(a≠0),将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5,
解得a=0.1.
所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25).
(2)设利润为Q(x),
则Q(x)=1.6x-y=1.6x-(0.1x2-3x+40)=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).
所以月产量为23吨时,可获最大利润12.9万元.
变式训练3
某热力公司每年燃料费约24万元,为了“环评”达标,需要安装一块面积为x(x≥0)(单位:平方米)可用15年的太阳能板,其工本费为 (单位:万元),并与燃料供热互补工作,从此,公司每年的燃料费为 (k为常数)万元,记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和.
(1)求k的值,并建立y关于x的函数关系式;
(2)求y的最小值,并求出此时所安装太阳能板的面积.
专题四
用函数模型解决实际问题
解决实际问题的流程
【例4】 某地政府招商引资,为吸引外商,决定第一年产品免税.某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元,年销售量为11.8万件,第二年,当地政府开始对该商品征收税率为p%(0(1)将第二年政府对该商品征收的税收y(单位:万元)表示成p的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)要使第二年该厂的税收不少于16万元,则p的取值范围是多少
(3)在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则p应为多少
化简得p2-12p+20≤0,
即(p-2)(p-10)≤0,解得2≤p≤10,
故当2≤p≤10时,税收不少于16万元.
(3)设第二年当税收不少于16万元时,厂家的销售收入为g(p),
变式训练4
某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本).销售收入R(x)(单位:万元)满足
假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题:
(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本).
(2)要使工厂有盈利,求产量x的取值范围.
(3)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多
解(1)由题意得G(x)=2.8+x.
(2)①当0≤x≤5时,由-0.4x2+3.2x-2.8>0得x2-8x+7<0,解得1∴1②当x>5时,由8.2-x>0,得x<8.2,
所以5综上,当10.
即当产量x的范围是(1,8.2)(百台)时,能使工厂有盈利.
(3)当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,
当x=4时,f(x)有最大值为3.6;
当x>5时,∵函数f(x)单调递减,
∴f(x)综上,当工厂生产4百台时,可使盈利最多,为3.6万元.