(共37张PPT)
第1课时 集合的概念
第一章
课标要求
1.通过实例,了解集合的含义.
2.掌握集合中元素的三个特征.
3.理解元素与集合的“属于”关系.
4.记住常用数集及其记法.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 集合的概念
一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示.
集合中的 叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.
不能缺少任何一员
每个对象
名师点睛
1.组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等,也可以是人或物等.
2.集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似,只是描述性的说明.
3.集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义.一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)组成集合的元素一定是数.( )
(2)接近于0的数可以组成集合.( )
×
×
2.某班所有的“快乐的人”能否构成一个集合
3.是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义
提示不能构成集合,因为“快乐的人”没有明确的标准.
提示可以.比如把某位学生在初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素.
知识点2 元素与集合的关系
关系 语言表述 符号表示 读法
属于 元素a在集合A中 元素a属于集合A
不属于 元素a不在集合A中 元素a不属于集合A
a∈A
a A
名师点睛
1.a∈A与a A取决于元素a是否在集合A中,这两种情况有且只有一种成立.
2.符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系.具有方向性.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
设集合A表示小于10的所有素数构成的集合,
(1)4是集合A中的元素,即4属于集合A,记作4∈A;( )
(2)9不是集合A中的元素,即9不属于集合A,记作9 A.( )
×
√
2.符号“∈”“ ”的左边可以是集合吗
提示不能,符号“∈”和“ ”具有方向性,必须左边是元素,右边是集合.
知识点3 集合中元素的三个特性
特性 含义 示例
确定性 集合中的元素必须是确定的,即有明确的判断标准来判断给定的元素是不是属于某一集合 “个子高的人”不能组成集合,
“身高大于180 cm的人”可以组成集合
互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同,也就是说,集合中的元素没有重复 “方程(x-1)2=0的所有根的集合”不能表示成{1,1},只能表示成{1}
无序性 集合中的所有元素不存在排列次序 如{1,2,3}与{3,2,1}是同一集合
名师点睛
1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合.
2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字母)时,一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性.
过关自诊
1.已知集合S中的三个元素a,b,c分别是△ABC的三条边长,则△ABC一定不是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
答案 D
解析 由集合中元素的互异性知,a,b,c两两不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.
2.已知a∈R,a-1和1两个元素组成了一个集合,则a应满足的条件是 .
答案 a≠2
解析 根据集合中元素的互异性可知a-1≠1,即a≠2.
知识点4 几种常用的数集及其记法
集合 意义 记法
自然数集 全体自然数组成的集合 N
正整数集 全体正整数组成的集合 N+或N*
整数集 全体整数组成的集合 Z
有理数集 全体有理数组成的集合 Q
实数集 全体实数组成的集合 R
正实数集 全体正实数组成的集合 R+
名师点睛
常用数集之间的关系
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)0∈N*.( )
(2)0∈N.( )
(3){0}∈N.( )
×
√
×
2.用符号“∈”或“ ”填空:
(1)1 N+;
(2)-3 N;
答案 (1)∈ (2) (3)∈ (4) (5)∈ (6)∈
重难探究 能力素养全提升
探究点一
集合的概念
【例1】 给出下列各组对象:
①我们班比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥ 的近似值的全体.
其中能够组成集合的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 B
解析 ①②③⑥不能组成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以组成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.
规律方法 一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:
变式训练1
下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数
B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数
D.函数y= 图象上所有的点
答案 B
解析 选项A,C,D中的元素符合集合中元素的确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合.
探究点二
元素与集合的关系
【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R;② Q;③0∈Z;④|-1| N*.
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.
①0是不是集合A中的元素
②若-5∈A,求实数a的值.
③若1 A,求实数a满足的条件.
(3)若集合A是由所有形如3a+ b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2 是不是集合A中的元素.
(1) 答案 C
解析 根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.
(2)解①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素.
②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.
③若1 A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.
规律方法 判断元素与集合的关系的两种方法
变式训练2
(1)下列关系正确的是( )
(1) 答案 D
探究点三
集合中元素的特性及其应用
【例3】 已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12.若-3∈A,求a的值.
规律方法 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
变式探究
(1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制
(2)本例中集合A中能否只有一个元素呢
解(1)有限制.
(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.
由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)元素与集合的概念、元素与集合的关系;
(2)集合中元素的三个特性及应用;
(3)常用数集的表示.
2.方法归纳:分类讨论.
3.常见误区:忽视集合中元素的互异性.
学以致用 随堂检测全达标
1.(2022湖北襄阳月考)判断下列各组对象可以组成集合的是( )
①某省所有的好学校;
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点;
③π的近似值;
④不大于5的自然数.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
答案 C
解析 “好学校”不具有确定性,π的近似值不具有确定性,因此①③不能组成集合;
直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点,不大于5的自然数,满足集合的元素的特征,因此②④能组成集合.
2.(多选题)下列关系正确的是( )
BD
3.已知集合S中的元素a,b是一个四边形的两条对角线的长,那么这个四边形一定不是( )
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.菱形
答案 C
解析 因为集合中的元素具有互异性,所以a≠b,即四边形对角线不相等,故选C.
4.一个书架上有十种不同的书,每种各3本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有 个元素.
答案 10
解析 由集合元素的互异性知,集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象),相同的元素在集合中只能算作一个,因此书架上的书组成的集合中有10个元素.
5.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.
故实数x满足的条件为x≠0,且x≠-1.(共40张PPT)
1.2 集合的基本关系
第一章
课标要求
1.理解集合之间包含与相等的含义.
2.能识别给定集合的子集.
3.会判断两个集合间的基本关系.
内容索引
01
02
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重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 子集
1.Venn图
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.
2.子集
概念 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B.那么称集合A是集合B的子集
符号表示 ,读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图形表示
表示所有的意思
A B(或B A)
性质 ①任何一个集合都是它本身的子集,即A A.
② 是任何集合的子集,即对于任意一个集合A,都有 A.
③对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么
空集
A C
名师点睛
1.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
2.用Venn图表示集合的优点是能够直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)1 {1,2,3}.( )
(2)任何一个集合都有子集.( )
(3){0,1,2} {2,0,1}.( )
×
√
√
2.符号“∈”与符号“ ”表示的含义相同吗
3.在子集的定义中,能否认为集合A是由集合B中的部分元素组成的集合
提示不相同,“∈”表示的是元素与集合之间的关系,“ ”表示的是两个集合之间的关系.
提示不能.若A B,则A有以下三种情况:
①A= ;
②A=B;
③A是由B中的部分元素组成的集合.
知识点2 集合相等
概念 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等
符号 表示 若A B,且B A,则
图形 表示
A=B
名师点睛
1.因为A B,所以集合A的元素都是集合B的元素;又因为B A,所以集合B的元素也都是集合A的元素,也就是说,集合A与B相等,则集合A与B的元素是完全相同的.
2.证明或判断两个集合相等,只需证A B与B A同时成立即可.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)相等集合中的元素一定是有限的.( )
(2){0}= .( )
(3)若集合A=B,则A B且B A.( )
×
×
√
2.已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为 .
答案 0
解析 由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.
当m=-1时集合B不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.
知识点3 真子集
概念 对于两个集合A与B,如果 ,且 ,那么称集合A是集合B的真子集
符号 表示 A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
图形 表示
性质 ①任何一个集合都不是它本身的真子集.
②空集是任何非空集合的真子集.
③对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么
A B
A≠B
A C
名师点睛
1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A B;
②存在元素x,满足x∈B,且x A.
2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之则不成立.
3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)空集是任何集合的真子集.( )
(2)任何集合的真子集个数至少有1个.( )
×
×
2.若集合P={x|x<1},Q={x|x<0},则集合P与Q的关系是( )
A.P Q B.Q P
C.P=Q D.不确定
答案 B
解析 x<0 x<1,反之不成立.所以Q P.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
写出给定集合的子集
【例1】 (1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
(2)填写下表,并回答问题:
集合 集合的子集 子集的个数
{a}
{a,b}
{a,b,c}
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少
解(1)集合{a,b,c,d}所有的子集为:
不含任何元素的子集为 ;含有一个元素的子集为{a},{b},{c},{d};含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d};含有四个元素的子集为{a,b,c,d}.
其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集.
(2)
集合 集合的子集 子集的个数
1
{a} ,{a} 2
{a,b} ,{a},{b},{a,b} 4
{a,b,c} ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n.
规律方法 1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏.
2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用.
变式训练1
已知集合M满足{1,2} M {1,2,5,6,7},则符合条件的集合M有
个.
答案 7
解析 根据子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2} M {1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7},共7个.
探究点二
集合之间关系的判断
【例2】 (1)已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是( )
A.A B B.A=B
C.B A D.A B
答案 (1)A (2)A B
解析 (1)由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A B.
规律方法 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
变式训练2
答案 A B=C
∵当a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;当b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;当c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数,所以A B=C.
探究点三
集合相等关系的应用
【例3】 已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
解∵A=B,∴集合A与集合B中的元素相同,
规律方法 集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解.
变式训练3
答案 C
探究点四
由集合间的关系求参数的范围
【例4】 已知集合A={x|-5
(1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在包含关系;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
解(1)若a=-1,则B={x|-5如图在数轴上标出集合A,B.
由图可知,B A.
(2)由已知B A.
①当B= 时,2a-3≥a-2,解得a≥1.
②当B≠ 时,2a-3由已知B A,如图在数轴上表示出两个集合,
又因为a<1,所以实数a的取值范围为[-1,1).
综上,实数a的取值范围为[-1,+∞).
规律方法 由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项
(1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心圈表示.
(2)涉及“A B”或“A B,且B≠ ”的问题,一定要分A= 和A≠ 两种情况进行讨论,其中A= 的情况容易被忽略,应引起重视.
变式探究
(1)例4(2)中,是否存在实数a,使得A B 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3解(1)不存在.因为A={x|-5(2)①当B= 时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠ 时,2a-3由已知B A,如图在数轴上表示出两个集合,
由图可知2a-3≥2,或a-2≤-5,
解得a≥ ,或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3.
综上,实数a的取值范围为{a|a≥1,或a≤-3}.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)子集、集合相等、真子集的概念;
(2)集合间关系的判断,求子集、真子集的个数问题;
(3)由集合间的关系求参数的值或范围.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:忽略对集合是否为空集的讨论;求参数范围时,端点值能否取到容易出现错误.
学以致用 随堂检测全达标
1.集合{x,y}的子集个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 (方法一)集合{x,y}的子集有 ,{x},{y},{x,y},共有4个.
(方法二)集合内有2个元素,子集个数为22=4.
2.(2022北京期末)已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A与B的关系如图所示,则集合B可能是( )
A.{2,4,5} B.{1,2,5}
C.{1,6} D.{1,3}
答案 D
解析 由图可知B A,∵A={1,2,3},∴由选项可知{1,3} A,故选D.
3.(多选题)已知集合A B,A C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是( )
A.{1,8} B.{2,3} C.{1} D.{2}
答案 AC
解析 由题意知A {1,8},故选AC.
4.已知集合A={x,2},集合B={3,y}.若A=B,则x= ,y= .
答案 3 2
解析 ∵A=B,∴A,B中元素相同.∴x=3,y=2.
5.已知集合P={x|-2解Q={x|x-a≥0}={x|x≥a},
由P Q,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图.
由图可得a≤-2.故实数a的取值范围是(-∞,-2].(共37张PPT)
第1课时 交集与并集
第一章
课标要求
1.理解两个集合的并集与交集的含义.
2.能求两个集合的并集与交集.
3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 交集
概念 一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集,记作A∩B.读作“A交B”
符号 表示 A∩B ={x|x∈A, x∈B}
图形 表示
性质 对于任意集合A,B,有A∩B=B∩A,A∩B A,A∩B B,A∩A=A,A∩ =
缺一不可
且
名师点睛
求两个集合的交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集.( )
(2)若A∩B= ,则A,B均为空集.( )
√
×
2.当集合A,B无公共元素时,A与B有交集吗
提示有交集,交集是空集.
知识点2 并集
概念 一般地,由 属于集合A 属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B.读作“A并B”
符号表示 A∪B={x|x∈A, x∈B}
图形表示
性质 对任意集合A,B,有A∪B=B∪A,A A∪B,B A∪B,A∪A=A,A∪ =A
所有
或
或
名师点睛
并集符号语言中,“x∈A,或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x B;②x A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图形象地表示.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1){1,2,3,4}∪{0,2,3}={1,2,3,4,0,2,3}.( )
(2)若x∈A∩B,则x∈A∪B.( )
(3)若A,B中分别有3个元素,则A∪B中最多有6个元素.( )
×
√
√
2.集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和
提示不一定,A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
集合的交集与并集运算
角度1并集运算
【例1】 (1)设集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|x2=1},则A∪B=( )
A.{1} B.{1,3}
C.{-1,1,3} D.{-1,1}
(2)已知集合A={x|x<2},B={x≥1},则A∪B=( )
A.{x|x<2} B.{x|1≤x<2}
C.{x|x≥1} D.R
答案 (1)C (2)D
解析 (1)A={-1,3},B={-1,1},A∪B={-1,1,3}.
(2)在数轴上表示出集合A,B,则
则A∪B=R.
规律方法 (1)先解一元二次方程得集合A,B,再根据集合并集的定义求结果;
(2)用数轴表示集合A,B,根据定义求解.
变式训练1
(1)已知集合A={x∈N|1≤x≤3},B={2,3,4,5},则A∪B=( )
A.{2,3} B.{2,3,4,5}
C.{2} D.{1,2,3,4,5}
(2)设集合A={x∈N+|x≤2},B={2,6},则A∪B=( )
A.{2} B.{2,6}
C.{1,2,6} D.{0,1,2,6}
答案 (1)D (2)C
解析 (1)A={1,2,3},
则A∪B={1,2,3,4,5}.
(2)A={1,2},则A∪B={1,2,6}.
角度2交集运算
【例2】 (1)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )
A.{3} B.{5}
C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}
(2)设集合M={x|-3A.[1,2) B.[1,2]
C.(2,3] D.[2,3]
答案 (1)C (2)A
解析 (1)直接由交集定义可得A∩B={3,5}.
(2)在数轴上表示出集合M,N,如图:
∴M∩N={x|1≤x<2}.
规律方法 求两个集合交集、并集的方法技巧
当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心圈表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.
变式训练2
(1)若集合M={x∈R|-3A.{0}
B.{-1,0}
C.{-1,0,1}
D.{-2,-1,0,1,2}
(2)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B= .
答案 (1)B (2){0,1}
解析 (1)N={-1,0,1,2},M={x∈R|-3(2)由题得A={x||x|<2}={x|-2探究点二
已知集合的交集、并集求参数
【例3】 已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.若9∈A∩B,则实数a的值为 .
答案 5或-3
解析 ∵9∈A∩B,∴9∈A,且9∈B,
∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.
当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;
当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.
综上可得实数a的值为5或-3.
规律方法 已知两个有限集运算结果求参数值的方法
对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,检验求解结果是否满足集合中元素的有关特性,尤其是互异性.
变式探究
例3中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.
解∵A∩B={9},∴9∈A.
∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.
当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},
由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;
当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;
当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.
综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.
【例4】 集合A={x|-1(1)若A∩B= ,求a的取值范围;
(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.
解(1)A={x|-1∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,
∴a的取值范围为(-∞,-1].
(2)A={x|-1∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.
∴a的取值范围为(-1,1].
规律方法 已知集合运算求参数的思路
此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素能一一列举时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.
变式探究
例4(1)中,把“A∩B= ”改为“A∩B≠ ”,求a的取值范围.
解利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠ ,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以a的取值范围为(-1,+∞).
探究点三
集合的交集、并集性质的应用
【例5】 设集合M={x|-2答案 (-∞,2]
综上可知,实数t的取值范围是(-∞,2].
变式探究
将例5条件中“M∪N=M”改为“M∩N=M”,其余不变,求实数t的取值范围.
解由M∩N=M,得M N,故N≠ .用数轴(略)表示两个集合,要满足条件,
需 解得t≥4.故实数t的取值范围为[4,+∞).
【例6】 设集合A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.
(1)若A∩B=B,求a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求a的值.
解由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.
(1)∵A∩B=B,∴B A,∴B= 或{0}或{2}或{0,2}.
当B= 时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;
综上所述,a的取值范围是{a|a=1,或a≤0}.
(2)∵A∪B=B,∴A B.
∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,
∴A=B,由(1)知a=1.
规律方法 利用交集、并集运算求参数的思路
思路一:涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性
思路二:将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系
变式训练3
已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},
(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;
(2)当M∩N=M时,求实数m的值.
解(1)由题意得M={2}.
当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},
∴M∩N={2},M∪N={1,2}.
(2)∵M∩N=M,∴M N.∵M={2},∴2∈N,
∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,
即4-6+m=0,解得m=2.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)交集、并集的概念及运算;
(2)交集、并集的性质;
(3)由交集、并集的关系求参数值或范围.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论;求解参数后,易忽视代入原集合进行检验这一步骤.
学以致用 随堂检测全达标
1.设集合A={x∈N+|-1≤x≤2},B={2,3},则A∪B=( )
A.{-1,0,1,2,3} B.{1,2,3}
C.[-1,2] D.[-1,3]
答案 B
解析 集合A={1,2},B={2,3},则A∪B={1,2,3}.
2.已知集合A={x|-3A.{x|x<1} B.{x|x<3}
C.{x|-3C
3.已知集合M={-1,0,1},P={0,1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{0,1} B.{0}
C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
答案 D
解析 由Venn图,可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M={-1,0,1},
P={0,1,2,3},故M∪P={-1,0,1,2,3}.故选D.
4.已知集合M={x|-3答案
解析 利用数轴(略)表示集合M与N,可得M∩N= .
5.(2022浙江台州期中)已知集合A={x|-2(1)当m=3时,求A∩B;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
解(1)当m=3时,B={x|3≤x<6},
又A={x|-2∴A∩B={x|3≤x≤5}.
(2)由A∩B=B得B A,∵m即实数m的取值范围是(-2,2].(共28张PPT)
第2课时 全集与补集
第一章
课标要求
1.在具体情境中,了解全集的含义.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
3.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点 全集与补集
1.全集
在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合.
2.补集
概念 设U是全集,A是U的一个子集(即A U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作 UA
符号表示 UA={x|x∈U,且x A}
图形表示
性质 对任何集合A,有A∪ UA= ,A∩ UA= , U( UA)=
U
A
名师点睛
1.全集不是固定不变的,它是一个相对概念,是依据具体问题来选择的.
2.补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素一定都能在全集中找到.
3.补集既是集合之间的一种关系,也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的.
4.符号 UA有三层意思:①A是U的一个子集,即A U;② UA表示一个集合,且 UA U;③ UA是由U中不属于A的所有元素组成的集合,即 UA={x|x∈U,且x A}.
5.若x∈U,则x∈A或x∈ UA,二者必居其一.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则 U(A∪B)={5}.( )
(2)同一个集合在不同的全集中的补集不同.( )
(3)不同的集合在同一个全集中的补集可能相同.( )
√
√
×
2.集合的补集运算与实数的减法运算有什么联系
提示集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比:
实数 集合
被减数a “被减集合(全集)”U
减数b “减集合”A
差a-b 补集 UA
重难探究 能力素养全提升
探究点一
补集的基本运算
【例1】 (1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7}, UA={2,4,6}, UB={1,4,6},则集合B= .
(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则 UA= .
答案 (1){2,3,5,7} (2){x|x<-3,或x=5}
解析 (1)(方法一)∵A={1,3,5,7}, UA={2,4,6},
∴U={1,2,3,4,5,6,7}.
又 UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.
(方法二)满足题意的Venn图如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
(2)将全集U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
由补集的定义可知 UA={x|x<-3,或x=5}.
规律方法 求集合的补集的方法
变式训练1
已知全集为U,集合A={x|-3≤x<5}, UA={x|x≥5},B={x|1解由已知U={x|-3≤x<5}∪{x|x≥5}={x|x≥-3},又B={x|1所以 UB={x|-3≤x≤1或x≥3}.
探究点二
交集、并集与补集的混合运算
【例2】 (1)设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={x|x2+x-2=0},B={0,-2},则B∩( UA)=( )
A.{0,1} B.{-2,0}
C.{-1,-2} D.{0}
(2)已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求( UA)∩( UB).
(1) 答案 D
解析 由于A={x|x2+x-2=0}={-2,1},
所以 UA={-1,0,2},
所以B∩( UA)={0},故选D.
(2)解将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示,
则 UA={x|-1≤x≤3},
UB={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3},
所以( UA)∩( UB)={x|1≤x≤3}.
规律方法 求集合的交、并、补集运算的方法
变式训练2
(1)如果全集U=R,M={x|-1A.(-1,1)∪(1,2) B.(-1,2)
C.(-1,1)∪(1,2] D.(-1,2]
(2)已知全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2(1) 答案 C
解析 UN={x|x≠1,且x≠3,且x≠5},∴M∩( UN)=(-1,1)∪(1,2].
(2)解把集合A,B在数轴上表示如图.
由图知,A∪B={x|2∴ R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.
∵ RA={x|x<3,或x≥7},∴( RA)∩B={x|2探究点三
补集性质的应用
【例3】 已知全集为R,集合A={x|x答案 [2,+∞)
解析 ∵B={x|1∴ RB={x|x≤1,或x≥2}.
又A={x|x规律方法 由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的取舍.
变式训练3
已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩( UA)={2},A∩( UB)={4},U=R,求实数a,b的值.
解∵B∩( UA)={2},∴2∈B,但2 A.
∵A∩( UB)={4},∴4∈A,但4 B.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)全集和补集的概念及运算;
(2)并、交、补集的混合运算;
(3)与补集有关的参数的求解.
2.方法归纳:正难则反的补集思想、数形结合.
3.常见误区:求补集时忽视全集,运算时易忽视端点的取舍.
学以致用 随堂检测全达标
1.(2022山东青岛一模)已知全集U={-1,0,1,3,6},A={0,6},则 UA=( )
A.{-1,3} B.{-1,1,3}
C.{0,1,3} D.{0,3,6}
答案 B
解析 ∵全集U={-1,0,1,3,6},A={0,6},
∴ UA={-1,1,3}.
2.(多选题)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4A. UA={x|x<1,或36}
B. UB={x|x<2,或x≥5}
C.A∩( UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6}
D.( UA)∪B={x|x<1,或2≤x<5,或x>6}
答案 BC
解析 在数轴上表示出集合A,B,如图,
UA={x|x<1,或3 UB={x|x<2,或x≥5},故B正确;A∩( UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6},故C正确;( UA)∪B={x|x<1,或2≤x<5,或x≥6},故D错误.故选BC.
3.已知全集U=R,A={x|1≤x答案 2
解析 ∵ UA={x|x<1,或x≥2},
∴A={x|1≤x<2}.∴b=2.
4.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3},集合B={3,4,6},集合U,A,B的关系如图所示,则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为 .
答案 {4,6}
解析 题图中阴影部分所表示的集合为B∩( UA)={3,4,6}∩{2,4,5,6}={4,6}.
5.已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1解将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.
∵A={x|-4≤x<2},B={x|-1∴A∩B={x|-1 UB={x|x≤-1,或x>3}.(共33张PPT)
第1课时 必要条件与充分条件
第一章
课标要求
1.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.
2.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.
3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.
4.掌握充分条件、必要条件的判断方法.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 必要条件与性质定理
1.当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p q.
“若p,则q”为假,得不出q是p的必要条件
2.一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.
名师点睛
说条件是必要的,就是说该条件必须要有,是必不可少的.简单地说,就是“有它不一定能成立,但没它一定不成立”.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)“x=3”是“x2=9”的必要条件.( )
(2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )
(3)q不是p的必要条件,则“p推不出q”成立.( )
×
×
√
2.“若p,则q”与“p q”一样吗
提示不一样,只有“若p,则q”为真命题时,才有“p q”.
知识点2 充分条件与判定定理
一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.
综上,对于真命题“若p,则q”,即p q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件.
名师点睛
1.说条件是充分的,也就是说这个条件足以保证结论成立.即要使结论成立,只要有它就可以了.
2.可以把充分条件理解为“有之即可,无之也行”.
“若p,则q”为假,得不出p是q的充分条件
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(2)如果p是q的充分条件,则p是唯一的.( )
(3)“x>0”是“x>1”的充分条件.( )
√
×
×
2.如何从集合角度理解必要条件、充分条件
提示一般地,如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且A B,如图所示,那么p(x) q(x),因此p(x)是q(x)的充分条件,q(x)是p(x)的必要条件.
知识点3 充要条件
1.一般地,如果p q,且q p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作p q.
2.p是q的充要条件也常常说成“p成立,当且仅当q成立”,或“p与q等价”.
3.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.
名师点睛
设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.
结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p与q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
p,q的关系 p q,且q 不能推出p q p,且p 不能推出q p q p不能推出q,且q不能推出p
集合 A B B A A=B A不包含于B且B不包含于A
命题 真假 “若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是假命题 “若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是真命题 “若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是真命题 “若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是假命题
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的充分不必要条件.( )
(2)若p是q的充要条件,则条件p和q是两个相互等价的条件.( )
√
√
2.判断p是q的什么条件时,有哪些可能情况
提示(1)如果p q,且q不能推出p,则称p是q的充分不必要条件;
(2)如果p不能推出q,且q p,则称p是q的必要不充分条件;
(3)如果p q,且q p,则称p是q的充要条件;
(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
必要条件与充分条件的判断
角度1必要条件的判断
【例1】 指出下列哪些命题中q是p的必要条件
(1)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;
(2)p:A B,q:A∩B=A;
(3)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.
解(1)因为矩形的对角线相等,即p q,所以q是p的必要条件.
(2)因为p q,所以q是p的必要条件.
(3)因为p推不出q,所以q不是p的必要条件.
规律方法 必要条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断方法:
如果命题:“若p,则q”是真命题,则q是p的必要条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则q不是p的必要条件.
变式训练1
下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件
(1)若|x|=|y|,则x=y;
(2)若△ABC是直角三角形,则△ABC是等腰三角形;
(3)p:三角形是等边三角形,q:三角形是等腰三角形.
解(1)若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件.
(2)直角三角形不一定是等腰三角形,因此p推不出q,所以q不是p的必要条件.
(3)等边三角形一定是等腰三角形,所以p q,所以q是p的必要条件.
角度2充分条件的判断
【例2】 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件
(1)若a∈Q,则a∈R;
(2)在△ABC中,若∠A>∠B,则BC>AC;
(3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0.
解(1)由于Q R,所以p q,所以p是q的充分条件.
(2)由三角形中大角对大边可知,若∠A>∠B,则BC>AC,因此p q,所以p是q的充分条件.
(3)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p q,所以p是q的充分条件.
规律方法 充分条件的两种判断方法
(1)定义法:
(2)命题判断方法:
如果命题:“若p,则q”是真命题,则p是q的充分条件;
如果命题:“若p,则q”是假命题,则p不是q的充分条件.
变式训练2
下列命题中,p是q的充分条件的是 .(填序号)
①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0;
②p:a是自然数,q:a是正整数;
③p:m<-2,q:方程x2-x-m=0无实根.
答案 ③
解析 ①∵(x-2)(x-3)=0,
∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.∴p不是q的充分条件.
②0是自然数,但是0不是正整数,∴p推不出q,
∴p不是q的充分条件.
③∵m<-2,∴1+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,∴p是q的充分条件.
探究点二
充分条件、必要条件、充要条件的探求
【例3】 (1)不等式1- >0成立的充分不必要条件是( )
A.x>1
B.x>-1
C.x<-1或0D.-10
(2)1<2x+2<8的一个必要不充分条件是( )
答案 (1)A (2)B
结合所给的选项可知它的一个必要不充分条件是-1规律方法 1.探究一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.
2.如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个;但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的.
变式训练3
下列不等式:①x<1;②0-1.其中,可以作为x2<1的充分不必要条件的有 ;可以作为x2<1的必要不充分条件的有 .(填序号)
答案 ②③ ①⑤
解析 由x2<1,得-1{x|-1-1},所以x<1和x>-1均可作为x2<1的一个必要不充分条件.
【例4】 已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个正实数根的充要条件.
解方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个正实数根等价于
规律方法 寻求q的充要条件有两种方法
(1)等价转化法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中求解的过程也是证明的过程,因为过程的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证.
(2)非等价转化法:先寻找必要条件,再证明充分性,即从必要性和充分性两方面说明.
变式训练4
“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是( )
答案 A
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)必要条件、充分条件的概念;
(2)必要性、充分性的判断;
(3)必要条件与性质定理、充分条件与判定定理的关系;
(4)充要条件的概念、判断和证明;
(5)必要条件、充分条件的应用.
2.方法归纳:反例法,等价转化法.
3.常见误区:必要条件、充分条件不唯一;求参数范围能否取到端点值;不能正确理解“倒装”的命题;充要条件中的条件和结论辨别不清.
学以致用 随堂检测全达标
1.若p是q的充分不必要条件,则q是p的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
答案 B
解析 因为p是q的充分不必要条件,所以p q,q推不出p,所以q是p的必要不充分条件.
2.“两条直线都和第三条直线平行”是“这两条直线互相平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由两条直线都和第三条直线平行可得这两条直线互相平行,但由两条直线相互平行不能得出这两条直线都和第三条直线平行.故选A.
3.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是( )
A.x>1 B.x<1
C.x>3 D.x<3
A
4.已知a,b是实数,则“a>0,且b>0”是“a+b>0,且ab>0”的 条件.
答案 充要
解析 a>0,且b>0 a+b>0,且ab>0;a+b>0,且ab>0 a>0,且b>0,故为充要条件.
5.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件:
充要条件① ;
充要条件② .
(写出你认为正确的两个充要条件)
答案 两组对边分别平行 一组对边平行且相等(共20张PPT)
第2课时 习题课 充分条件与必要条件的综合应用
第一章
内容索引
01
重难探究 能力素养全提升
02
学以致用 随堂检测全达标
重难探究 能力素养全提升
探究点一
充要条件的证明
【例1】 已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明(必要性)
∵a+b=1,∴a+b-1=0.
∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
(充分性)
∵a3+b3+ab-a2-b2=0,∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.
又ab≠0,∴a≠0,且b≠0.
∴a+b-1=0,即a+b=1.
综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
规律方法 充要条件的证明
(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.
(2)证明p是q的充要条件,既要证明“p q”为真,又要证明“q p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.
(3)证明p的充要条件是q,既要证明“p q”为真,又要证明“q p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.
变式训练1
求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明(必要性)
∵关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.
∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.
(充分性)
∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即
(x-1)(ax+a+b)=0.
因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
探究点二
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
【例2】 已知p:-4A.(-1,6) B.[-1,6]
C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,-1]∪[6,+∞)
答案 B
解析 设q,p表示的范围分别为集合A,B,
则A=(2,3),B=(a-4,a+4).
所以-1≤a≤6.故选B.
规律方法 根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:
(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:
条件类别 集合M与N的关系
p是q的充分不必要条件 M N
p是q的必要不充分条件 M N
p是q的充要条件 M=N
p是q的充分条件 M N
p是q的必要条件 M N
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.
变式探究
例2中,是否存在实数a,使p是q成立的必要不充分条件 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解存在.设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).若p是q的必要不充分条件,则A B.需
故存在这样的实数a,a的取值范围为[-1,6].
探究点三
由传递性判断命题间的关系
【例3】 已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:
(1)s是q的什么条件
(2)r是q的什么条件
(3)p是q的什么条件
解(1)∵q是s的充分条件,∴q s.
∵q是r的必要条件,∴r q.
∵s是r的充分条件,∴s r.
∴s r q s.即s是q的充要条件.
(2)由r q,q s r,知r是q的充要条件.
(3)∵p是r的必要条件,∴r p,∴q r p.
∴p是q的必要不充分条件.
规律方法 解决传递性问题的关键是画出推出的结构图,也可以考虑命题之间的关系.
变式训练2
如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
答案 A
解析 如图所示,∵甲是乙的必要条件,
∴乙 甲.
∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,∴丙 乙,但乙不能推出丙.
综上,有丙 乙 甲,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)充要条件概念的理解;
(2)充要条件的证明;
(3)根据条件求参数范围.
2.方法归纳:等价转化法、特例法.
3.常见误区:条件和结论辨别不清.
学以致用 随堂检测全达标
1.在四边形ABCD中,“四边形ABCD为平行四边形”是“AB与CD平行且相等”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 四边形ABCD为平行四边形等价于AB与CD平行且相等.故选C.
2.(多选题)在下列各选项中,p是q的充要条件的是( )
A.p:A B,q:A∩B=A
B.p:a=b,q:|a|=|b|
C.p:|x|+|y|=0,q:x=y=0
D.p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数
答案 AC
解析 A,C中,p都是q的充要条件;B中,p是q的充分不必要条件;D中,p是q的充分不必要条件.
3.已知集合A={x|x2+x-6≤0},B={x|3-m≤x≤m+5},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则实数m的取值范围为 .
答案 [6,+∞)
解析 由题得A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,
所以实数m的取值范围为[6,+∞).
4.“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”是否可以作为直角三角形的定义 为什么
解可以作为直角三角形的定义.
因为“有两个角之和为90°的三角形” “有一个内角为90°的三角形” “直角三角形”,即“有两个角之和为90°的三角形”是“直角三角形”的充要条件,
故“有两个角之和为90°的三角形称为直角三角形”可以作为直角三角形的定义.
5.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b=0.
证明充分性:如果b=0,那么y=kx.当x=0时,y=0,
所以一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点.
必要性:因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过坐标原点,所以当x=0时,y=0,即k×0+b=0,所以b=0.
故可得证.(共33张PPT)
3.1 不等式的性质
第一章
课标要求
1.能够用作差法比较两个数或式的大小.
2.理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
3.会用不等式的性质证明不等式或解决相关问题.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 实数的大小比较
比较实数a,b大小的依据
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)比较两个代数式的大小只能用作差法.( )
(2)不等式x≥3的含义是指x不小于3.( )
(3)若a×
√
√
2.x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见.你能想个办法,比较x2+1与2x的大小吗
提示两式作差得x2+1-2x=(x-1)2≥0,
所以x2+1≥2x.
知识点2 不等式的性质
名称 表达式
性质1(传递性) 如果a>b,且b>c,那么a>c
性质2(可加性) 如果a>b,那么a+c>b+c(c∈R)
性质3(乘法法则) 如果a>b,c>0,那么ac>bc;
如果a>b,c<0,那么ac性质4(同向不等式可加性) 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d
性质5(不等式的可乘性) 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;
如果a>b>0,c乘方法则:当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2
性质6(开方法则) 当a>b>0时, ,其中n∈N+,n≥2
名师点睛
1.注意“等式”与“不等式”的异同,如:
等式 不等式 说明
a=b b=a a>b ba=b ac=bc(c≠0) a>b ac>bc或ac2.要注意各个不等式成立的前提,如性质4中两个不等式方向要相同,性质3中要按c的正负分情况.
3.由性质2,可得a+b>c a+b+(-b)>c+(-b) a>c-b,即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边,称为移项法则,在解不等式时经常用到.
4.倒数法则:
如果a>b,ab>0,那么 ,结论成立的条件是a,b要同号.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.( )
(2)同向不等式具有可加性和可乘性.( )
(3)若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.( )
×
×
×
2.用不等号填空:
(1)若a+b>0,b<0,则b a;
(2)若a>b,c(3)已知x<1,则x2+2 3x.
答案 (1)< (2)> (3)>
解析 (1)∵a+b>0,b<0,
∴a>0,∴b(2)∵c-d,
又a>b,∴a-c>b-d,故应填“>”.
(3)∵x2-3x+2=(x-2)(x-1),而x<1,∴x-2<0,x-1<0,则(x-2)(x-1)>0,即x2-3x+2>0,∴x2+2>3x,故应填“>”.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
实数大小的比较
【例1】 比较下列各组中的两个代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R;
(2)a+2与 ,a∈R,且a≠1.
规律方法 作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形,变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
变式训练1
若a∈R,p=a2-a+1,q= ,比较p与q的大小.
探究点二
不等式基本性质的应用
角度1应用不等式性质判断命题真假
【例2】 对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:
(1)若a>b,则ac2>bc2;
(2)若aab>b2;
解(1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误.
规律方法 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.
2.注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0 ,不能误认为是a>b ,在应用时不能出错.
变式训练2
已知a,b,c满足c答案 C
角度2应用不等式性质证明不等式
∵a>b>0,c∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.
∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.
∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.
规律方法 1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证.
2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明.
变式训练3
角度3利用不等式性质求取值范围
【例4】 如果3解因为3所以3+1故a+b的取值范围为(4,17).
又因为9<3a<21,-20<-2b<-2,
所以-11<3a-2b<19.
故3a-2b的取值范围为(-11,19).
规律方法 利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围.
变式训练4
已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.
解设9a-b=x(a-b)+y(4a-b),
则9a-b=(x+4y)a-(x+y)b,
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)不等式的性质;
(2)不等式的性质的应用.
2.方法归纳:作差法、配方法.
3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性.
学以致用 随堂检测全达标
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( )
A.a>b>-b>-a
B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a
D.a>b>-a>-b
答案 C
解析 由a+b>0知,a>-b,又b<0,∴-a0,∴a>-b>b>-a.
2.(多选题)已知a,b,c∈R,则下列结论不正确的是( )
答案 ABD
3.(x+5)(x+7) (x+6)2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
答案 <
解析 (x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0,所以(x+5)(x+7)<(x+6)2.
4.已知1≤a≤2,3≤b≤6,则3a-2b的取值范围为 .
答案 [-9,0]
解析 ∵1≤a≤2,3≤b≤6,∴3≤3a≤6,-12≤-2b≤-6,由不等式的性质得
-9≤3a-2b≤0,即3a-2b的取值范围为[-9,0].(共33张PPT)
第1课时 基本不等式
第一章
课标要求
1.理解基本不等式 (a≥0,b≥0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.
3.能运用基本不等式证明不等式及解决简单的实际问题.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 基本不等式
2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
3.基本不等式的几何解释:同一个半圆中,半径大于或等于半弦.
不可忽略此条件
名师点睛
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
×
√
√
2.基本不等式中a,b只能是具体的某个数吗
提示a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式.
知识点2 利用基本不等式求最值
当x,y均为正数时,下面的命题均成立:
名师点睛
1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为:
(1)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值;
(2)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.可简记为“和定积最大,积定和最小”.
2.应用上述结论时要注意以下三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(2)若xy=4,则x+y的最小值为4.( )
(3)若x>0,y>0,且x+y=2,则2xy的最大值为1.( )
√
×
×
2.若x>0,则函数y=x+ ( )
A.有最大值-4 B.有最小值4
C.有最大值-2 D.有最小值2
答案 B
3.已知a,b∈R+,且满足a2+b2=6,则b 的最大值为 .
答案 5
重难探究 能力素养全提升
探究点一
对基本不等式的理解
【例1】 下列说法正确的是( )
答案 B
规律方法 应用基本不等式时要注意以下三点
(1)各项或各因式均为正;
(2)和或积为定值;
(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
变式训练1
下列结论不成立的是( )
A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5
D.若a∈R,则有a2+9≥6a
答案 C
探究点二
利用基本不等式求最值
【例2】 已知a>3,求 +a的最小值.
规律方法 在利用基本不等式求函数或代数式的最值时,有时不一定恰好能用上基本不等式,因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理,通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解.
如:求形如f(x)= +x+d的最值时,若满足x+b>0,则可考虑将f(x)变形为f(x)= +x+b+(d-b),借助于基本不等式求最值.
变式训练2
已知x,y均为正数,且 =1,求x+y的最小值.
探究点三
利用基本不等式证明不等式
规律方法 利用基本不等式证明不等式的注意事项
(1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的目的.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
(3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.
(4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1”的代换,即把常数1替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.
变式训练3
(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知a>0,b>0,且a+b=2,求证: ≥2.
证明(1)因为a,b,c,d都是正数,
当且仅当ab=cd,且ac=bd时,等号成立.
故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
本节要点归纳
1.知识清单:
(2)“和定积最大,积定和最小”.
2.方法归纳:配凑法,常值代换法.
3.常见误区:注意等号成立的条件.
学以致用 随堂检测全达标
答案 D
2.已知正数x,y满足 =1,则xy有( )
A.最小值12 B.最大值12
C.最小值144 D.最大值144
答案 C
3.当且仅当x= 时,4x+ (x>0)取得最小值.
4.(2020江苏高考,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 . (共37张PPT)
4.1 一元二次函数
第一章
课标要求
1.熟练掌握一元二次函数一般形式和顶点形式.
2.能利用配方法化一元二次函数一般式为顶点式.
3.掌握一元二次函数y=ax2到y=a(x-h)2+k的图象变换方法,并由一元二次函数图象得到其相关性质.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 一元二次函数的图象及其变换
1.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.
2.一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.
“左加右减”
“上加下减”
名师点睛
一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0),a决定了一元二次函数图象的开口大小及方向;h决定了一元二次函数图象的左右平移;k决定了一元二次函数图象的上下平移.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=-(x-1)2+3的图象可由函数y=-x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度而得到.( )
(2)一元二次函数的图象是抛物线,开口可以向左或向右.( )
√
×
2.将一元二次函数y=-2x2的顶点移到(-3,2),开口大小与方向不变,得到的新函数的解析式为 .
答案 y=-2(x+3)2+2
解析 可设新函数的解析式为y=a(x-h)2+k,由平移规律知h=-3,k=2,因为开口大小与方向不变,故a=-2.所以新函数的解析式为y=-2(x+3)2+2.
知识点2 一元二次函数的性质
一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质如下:
类别 a>0 a<0
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (h,k) (h,k)
对称轴 x=h x=h
类别 a>0 a<0
函数值的变化 趋势 在区间(-∞,h]上,函数值y随自变量x的增大而减小;在区间[h,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而增大 在区间(-∞,h]上,函数值y随自变量x的增大而增大; 在区间[h,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而减小
最值 函数在x=h处有最小值,记作ymin=k 函数在x=h处有最大值,记作ymax=k
名师点睛
二次函数的一般式与顶点式的互化依据:
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根.( )
(2)一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在区间 上,函数值y随自变量x的增大而减小.( )
×
×
2.函数y=-2(x+1)2+8的最值情况是( )
A.最小值是8,无最大值
B.最大值是-2,无最小值
C.最大值是8,无最小值
D.最小值是-2,无最大值
答案 C
解析 y=-2(x+1)2+8的图象开口向下,所以当x=-1时取最大值8,无最小值.
重难探究 能力素养全提升
探究点一
一元二次函数图象的平移变换
【例1】 抛物线y=2(x-1)2+3可以看作是由抛物线y=2x2经过以下哪种变换得到的( )
A.向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
B.向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
C.向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
D.向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
答案 B
解析 ∵抛物线y=2(x-1)2+3顶点坐标为(1,3),抛物线y=2x2顶点坐标为(0,0),
∴抛物线y=2(x-1)2+3可以看作由抛物线y=2x2向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的.
规律方法 一元二次函数图象平移问题的解题策略
变式训练1
答案 B
探究点二
待定系数法求一元二次函数解析式
【例2】 用待定系数法求下列一元二次函数的解析式:
(1)已知一元二次函数的图象过点(-2,20),(1,2),(3,0);
(2)已知一元二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2),且图象过点(2,25).
解(1)设所求一元二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
将(-2,20),(1,2),(3,0)分别代入解析式,
∴所求一元二次函数的解析式为y=x2-5x+6.
(2)∵一元二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2),
∴设一元二次函数的解析式为y=a(x+1)2-2(a≠0).
∵图象过点(2,25),
∴a(2+1)2-2=25,解得a=3,
∴所求一元二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,
即y=3x2+6x+1.
规律方法 一元二次函数常见解析式的形式有三种:一般式、顶点式、两根式.解题时合理地选择解析式能起到事半功倍的效果.一般地,若已知函数图象经过三点,常设一般式;若题目中给出顶点坐标、最值、对称轴等信息,常考虑顶点式;若题目中给出函数图象与x轴的交点坐标,可设两根式.
变式训练2
已知一元二次函数的图象过点(1,4),且与x轴的交点为(-1,0)和(3,0),求一元二次函数的解析式.
解(方法一)设一元二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
将(1,4),(-1,0),(3,0)分别代入上式,得
∴y=-x2+2x+3.
(方法二)设一元二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0).
将(1,4)代入上式,得a=-1,
∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
探究点三
一元二次函数的性质及应用
【例3】 (1)求函数y=x2-3x-7(x∈N)的最小值.
(2)在区间[2,3]上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值.
系数为1>0,所以在[2,3]上该函数的函数值随x的增大而增大,所以当x=2时,函数值最小,最小值为-9,当x=3时函数值最大,最大值为-7.
规律方法 求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出一元二次函数相关部分的简图,利用数形结合法就可以得到问题的解.
变式探究
在区间[-1,3]上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值.
探究点四
一元二次方程根的分布
【例4】 已知一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的两个不相等的实数根都小于3,求实数m的取值范围.
解(方法一)设方程的两个根分别为x1,x2,
则x1+x2=-(m+2),x1x2=3+m,
要使方程的两个根都小于3,则需
(方法二)设一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0所对应的一元二次函数为y=x2+(m+2)x+3+m,二次项系数为1,函数图象开口向上.要使得方程x2+(m+2)x+3+m=0的2个根都小于3,也就是一元二次函数y=x2+(m+2)x+3+m与x轴的两个交点都在3的左侧,则需
规律方法 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1,x2(x1≠x2)的分布和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的关系如下:
变式训练3
若一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0有两个根,且一根比3小,另一根比4大,求参数m的取值范围.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)一元二次函数解析式的三种形式;
(2)一元二次函数的图象及变换;
(3)一元二次函数的性质.
2.方法归纳:配方法、数形结合、图象变换.
3.常见误区:易忽视一元二次函数的开口方向.
学以致用 随堂检测全达标
1.已知一元二次函数y= x2+2x+5,它的图象可以由函数y= x2的图象经过怎样的变换得到( )
A.向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
D.向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
答案 C
解析 y= x2+2x+5= (x+2)2+3,显然C正确.
2.一元二次函数y=-x2+2x-5有( )
A.最大值-5 B.最小值-5
C.最大值-4 D.最小值-4
答案 C
解析 配方,得y=-(x-1)2-4,
所以当x=1时,ymax=-4.
3.函数y=3+2x-x2(0≤x≤3)的最小值为( )
A.-1 B.0 C.3 D.4
答案 B
解析 ∵y=3+2x-x2=-(x-1)2+4,
∴函数在[0,1]上y随着x的增大而增大,在[1,3]上y随着x的增大而减小,
∴当x=3时,y=3+2x-x2(0≤x≤3)取得最小值为3+2×3-32=0.
4.已知某一元二次函数的图象与x轴交于点A(2,0),B(4,0),且过点(1,3).
(1)求此一元二次函数的解析式;
(2)求当1≤x≤b(b>1)时该一元二次函数的最大值和最小值.
解 (1)设该一元二次函数的解析式y=a(x-2)(x-4),
将点(1,3)代入得3=(1-2)×(1-4)a,
解得a=1,
∴y=(x-2)(x-4)=x2-6x+8.
(2)∵y=(x-3)2-1的对称轴为直线x=3,
与点(1,3)关于对称轴对称的点为(5,3),
若1则当x=1时,y取得最大值,为y=1-6+8=3,
当x=b时,y取得最小值,为y=b2-6b+8;
若3当x=3时,y取得最小值,为y=9-18+8=-1;
若b>5时,当x=b时,y取得最大值,为y=b2-6b+8,
当x=3时,y取得最小值,为y=9-18+8=-1.
综上,当1当3当b>5时,y的最大值为b2-6b+8,最小值为-1.(共49张PPT)
4.2 一元二次不等式及其解法
4.3 一元二次不等式的应用
第一章
课标要求
1.了解一元二次不等式的现实意义.
2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
内容索引
01
02
基础落实 必备知识全过关
重难探究 能力素养全提升
03
学以致用 随堂检测全达标
基础落实 必备知识全过关
知识点1 一元二次不等式的概念
1.定义:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
2.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
名师点睛
1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不是说不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数.
2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)mx2-5x>0是一元二次不等式.( )
(2)若m为不为0的实数,则mx2+5>0是一元二次不等式.( )
×
√
2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗
提示不能,必须保证a≠0.
知识点2 一元二次不等式的解法
一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表:
y=ax2+bx+c(a>0) 方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程ax2+bx+c=0的实数根 有两相异实数根x1,2= (x1y=ax2+bx+c(a>0) 函数y=ax2+bx+c的图象
方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
不等式ax2+bx+c>0的解集 (-∞,x1)∪(x2,+∞) x x≠- R
不等式ax2+bx+c<0的解集 (x1,x2)
名师点睛
一元二次不等式ax2+bx-c>0(a>0)的求解方法,如图.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解.( )
(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x1×
×
2.不等式4x2-9<0的解集是 .
重难探究 能力素养全提升
探究点一
一元二次不等式的求解
【例1】 解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-2x+2>0.
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ=4-4×1×2=-4<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R.
规律方法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正.
(2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根.
(4)画图象.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的图象.
(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.
变式训练1
解下列不等式:
(1)4x2-20x<-25;
(2)(x-3)(x-7)<0;
(3)-3x2+5x-4<0;
(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.
解(1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是 .
(2)不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3(3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.
(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+1≤0.因为方程3x2-4x+1=0的两
探究点二
分式不等式的求解
【例2】 解下列不等式:
∴x+2<0,∴x<-2.
故原不等式的解集为{x|x<-2}.
规律方法 1.分式的分子、分母同号时,分式为正;异号时为负.转化为整式后分子、分母作为两因式之积,同样是同号时为正,异号时为负.
2.分式不等式的解法:先通过移项、通分整理成标准型 >0(<0)或
≥0(≤0),再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母也可.
变式训练2
解下列不等式:
探究点三
不等式中的含参类问题
角度1已知不等式的解集求参数值
【例3】 求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为:
(1)[-1,2];
(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);
(3)[-1,+∞).
规律方法 1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题.
2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x10时,其解集是{x|xx2},当a<0时,其解集是{x|x1变式训练3
已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.
解∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),
∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两个根.
角度2含参数的一元二次不等式的解法
【例4】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.
规律方法 解含参数的一元二次不等式与解不含参数的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要特别注意分类讨论思想的运用.尤其要注意以下三种类型:
类型一 若二次项系数含有参数,需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论,对于不等于0的情况再按大于0或小于0进行讨论
类型二 若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定,需对其判别式Δ进行讨论
类型三 若求出的根中含有参数,则应对两根的大小关系进行讨论
变式训练4
解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).
解由于x2+3ax-4a2<0可化为(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a.
当a=-4a,即a=0时,不等式的解集为 ;
当a>-4a,即a>0时,解不等式为-4a当a<-4a,即a<0时,解不等式为a综上所述,当a=0时,不等式的解集为 ;
当a>0时,不等式的解集为{x|-4a当a<0时,不等式的解集为{x|a角度3不等式的恒成立问题
【例5】 (1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围.
(2)当x∈[1,2]时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.
解(1)当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意.
当k≠0时,令y=kx2+2kx-(k+2),由y<0恒成立,
∴其图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点.
综上,实数k的取值范围是(-1,0].
(2)令y=x2+mx+4.
∵y<0在[1,2]上恒成立,
∴y=0的根一个在(-∞,1)上,另一个在(2,+∞)上.
规律方法 1.如图①,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R 一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴上方 ymin>0
图①
图②
2.如图②,一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R 一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴下方 ymax<0
3.含参数的一元二次不等式在某一区间上恒成立问题,求解时主要有两种方法:一种是将参数分离,转化为恒成立问题;另一种是利用一元二次不等式根的分布及数形结合思想求解.
变式训练5
若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
解∵-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,
-x2+2x+3≤a2-3a对任意x恒成立,
∴a2-3a≥4,即a2-3a-4≥0.
解得a≤-1或a≥4.
∴实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[4,+∞).
探究点四
一元二次不等式的实际应用
【例6】 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫作刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系:
(1)求n的值;
(2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少
规律方法 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
(1)理解题意,搞清量与量之间的关系.
(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.
(3)解一元二次不等式,得到实际问题的解.
变式探究
本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65 m,试问该车是否超速行驶
解由题意知s>25.65,即 >25.65,即v2+24v-10 260>0,解得v>90或v<-114.由于v≥0,所以该车当时的速度v>90>80,因此该车超速行驶.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)解一元二次不等式的常见方法;
(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题;
(3)利用不等式解决实际问题.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论、转化、恒等变形.
3.常见误区:忽略二次项系数的符号;利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义.
学以致用 随堂检测全达标
1.不等式x2-9<0的解集为( )
A.{x|x<-3}
B.{x|x<3}
C.{x|x<-3,或x>3}
D.{x|-3答案 D
解析 由x2-9<0,可得x2<9,解得-32.若不等式4x2+ax+4>0的解集为R,则实数a的取值范围是( )
A.(-16,0) B.(-16,0]
C.(-∞,0) D.(-8,8)
答案 D
解析 ∵不等式4x2+ax+4>0的解集为R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8∴实数a的取值范围是(-8,8),故选D.
3.(2022云南丽江第一高级中学期末)已知a,b为实数,若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为(-1,2),则a-b= .
解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集是(-1,2),
∴方程ax2+bx+2=0的两根为x1=-1,x2=2,
解得a=-1,b=1,∴a-b=-2.
4.某地年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样木材的年销售量减少 t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是 .
答案 [3,5]
解析 设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.
故t的取值范围是[3,5].
5.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.
解方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.
函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,所以
当a<-1时,原不等式的解集为{x|a当a=-1时,原不等式的解集为 ;
当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1