2022—2023学年华东师大版数学九年级上册第21章 二次根式——比较二次根式大小的常用方法 （含答案）

比较二次根式大小的常用方法
二次根式是初中数学的基础知识，也是初中数学的重点内容,而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的考点。下面就举例介绍比较二次根式大小的常用方法。
一、根式变形法
依据：当时，①如果，则；②如果，则。
策略：将根号外的正因式移入根号内，转化比较被开方数的大小。
适用题型：与之间比较大小问题。
例1.设，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
解：，
∵，
∴，故选A
例2.设，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
解：∵，，
∵，∴，故选A
二、平方法
依据：当时，①如果，则；②如果，则。
策略：将两个根式同时平方，转化比较幂的大小．
例3.比较与的大小
解：，
又，且，
例4.比较与的大小
解：，
又，，且
三、分母有理化法
依据：分式的性质。
策略：通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
例5.已知，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
解：
，，，，故选B
例6.比较与的大小．
解：∵，，
∴.
四、分子有理化法
依据：分式的性质。
策略：通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
例7. 设，，则，的大小关系是（ ）.
A. B. C. D.无法确定
解：
又
，故选B
例8.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
解：
，
，故选A
五、作差比较法
依据：①；②.
策略：求出两个根式的差，然后判断差值与0的关系．
例9.比较与的大小．
解：∵，
∴.
例10.设,,，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
解：，
，
，故选D
六、作商比较法
依据：当，时，则：①； ②.
策略：求出两个根式的商，然后判断商值与1的关系．
例11.比较与的大小．
解：∵，∴.
例12.设，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
解：
又，
，，，故选B
七、中间值比较法
依据：，且，则.
策略：适当选择介于两个数之间的中间值，利用传递性进行比较.
例13.设，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
分析：估计,,所以可取中间值6
解：，
，故选B
例14.设，，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.无法确定
解：，
，
，故选B
八、特殊值法
策略：可以在许可的条件下设定特殊值进行比较
例15.用“<”连接，，，（）
解：令，则，，
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