2022—2023学年华东师大版数学九年级上册第21章 二次根式——二次根式化简求值的常用策略（含答案）

二次根式化简求值的常用策略
二次根式化简求值是二次根式这章的重点内容，也是中考的重要考点。这类问题往往要综合运用因式分解、多项式的乘除、分母有理化等知识。解决这类问题要细心观察，尽量发现解题技巧，找到简便方法，才能收到事半功倍的效果。下面举例加以说明。
一、利用二次根式的性质化简求值
例1.已知，求代数式的值
解：根据题意，得，解得，则，
则1.
例2.若,是实数，且,则的值﹙ ﹚
A. 3或－3 B. 3或－1 C. － 3或－1 D. 3或1
解：根据题意，得，解得，则，
当，时，
当，时，
故选B
例3．已知，则的值是 2022 ．
解：根据题意，得，则
又，
，即
，
例4.若，则_________.
解：根据题意，得
则有，解得
例5.已知为实数，且满足=0，那么 = -2 ．
解：由题意，得：又由=0得
=0
,
例6.已知，化简：
解：移项，得，，解得：
例7.已知，则 ．
解：由题意，得：又
即，
又
，
例8．已知，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．3
解：∵，∴，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件：，可得到，，再利用二次根式的性质及绝对值的性质进行化简.
例9．如果一个三角形的三边长分别为1，，3，则化简的结果是（　　）
A． B．1 C．13 D．
解：∵一个三角形的三边长分别为1，，3，
∴，∴，
∴
故答案为：B．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可得出，故，，然后根据完全平方公式将被开方数分解因式，根据一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值及绝对值的意义分别化简，再合并同类项即可。
二、利用乘法公式化简求值
例1.计算
【解析】原式
例2.计算
解:原式
例3. 化简的结果为（　　）
A． B. C． D．
解:原式
,故选B
【分析】先利用积的乘方得到原式，然后根据平方差公式计算．
三、利用因式分解化简求值
例1.计算：
解:原式
四、利用配方法化简求值
例1．已知，则的值是_____________．
解:
即
解得
五、利用裂项相消化简求值
例1.化简+++…+
解：+++…+
六、逆用通分法则化简求值
例1.计算
【解析】原式
七、利用整体代入化简求值
例1.已知，，求的值。
解：，，，
例2.已知，则代数式的值为___________
解：，，
例3.已知, ，求的值。
略解：设① ②
由①+②得，将, ，整体代入得
例4.已知，求的值.
简析：
又，
例5．已知，则的值为（　C　）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
解析：设，则，再由可得，
八、利用先乘方再开方化简求值
例1.已知，，求的值.
解：，
，，且
例2．已知，则的值是_____．
解：，
而
例3．求的值．
解：设，两边平方得：，
即，x2=10
∴x=．
∵＞0，∴=．
九、利用定比比值化简求值
例1.已知，求的值。
【解析】设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k，
∴原式＝＝＝－2.
十、利用先化简再求值
例1.已知，求的值。
解：，
又
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