2022-2023学年北师大版八年级数学上册1.1探索勾股定理 同步复习小测 （Word版含答案）

1.1探索勾股定理---七年级同步复习小测（同步训练+课后作业）
【北师大版】
【同步训练】
一、单选题
1．如图，在 中， ，则 的中线 的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为（　　）
A． B．5 C． D．
3．下图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（　　）

A．4cm B．5cm C． D．
4．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
5．满足 的三个正整数，称为勾股数，写出你比较熟悉的一组勾股数：　 　．
6．在直角三角形 中，斜边 =2，则 =　 　
7．若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，那么底边上的高为　 　.
8．在直角三角形ABC中，斜边AB=3，则AB2+AC2+BC2=　 　．
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，P是AB边上的动点（不与点B重合），点B关于直线CP的对称点是B′，连接B′A，则B′A长度的最小值是　 　 ．
三、解答题
10．求如图的Rt△ABC的面积.
11．如图，∠AOB=90°，OA=90cm，OB=30cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少
12．如图，一张直角三角形的纸片ABC，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且AC与AE重合，求CD的长．
13．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°，若AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，求CD的长．
14．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，AD＝16，求AB的长．
【课后作业】
一、单选题
1．直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
2．在Rt ABC中，∠ABC=90 ，BC=6，AC=8，则Rt ABC的斜边AB上的高CD的长是（　　）
A． B． C．9 D．6
3．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，将边长分别是4，8的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，则的长是（　　）
A．2 B．3 C． D．4
二、填空题
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=13，AC=12，则点D到AB的距离为　 　．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是　 　．
7．△ABC中，AC=15，AB=13，BC=14，则BC边上的高AD=　 　．
8．如图，E为矩形 的边 上一点，将矩形沿 折叠，使点B落在 上的点F处，若 ， ，则 的长为　 　.
三、解答题
9．已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．
10．如图，某海关缉私艇在点0处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里∕时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里∕时的速度准备在B处迎头拦截．问经过多少时间能赶上？
11．把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．
（1）求证：△BHE≌△DGF；
（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长．
12．已知在 中， ， ， 是 上一点，且 ，求 的长.
13．如图，在 中， ， ， ，将 折叠，使点 恰好落在斜边 上，与点 重合， 为折痕，求 和 的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10，
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD= AB=5，
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可由CD= AB得出答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB 10．
∵折叠，∴BE=AE，AD=BD=5，DE⊥AB．
在Rt△BEC中，BE2=BC2+CE2，∴BE2=36+（8﹣BE）2，∴BE ．
在Rt△BDE中，DE ．
故选A．
【分析】根据勾股定理可求AB=10，由折叠的性质可得BE=AE，AD=BD=5，DE⊥AB，根据勾股定理可求BE的长，DE的长．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AB=
由折叠可知：BD=AD，AE=AB=5
∴CD=8-AD
在Rt△ADC中，AC2+CD2=AD2，即62+（8-AD）2=AD2
解得 AD=
同理可得 DE=.
故答案为：C
【分析】设AD为x.先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB，然后由轴对称的性质可得BD=AD，AE=AB=5，进而得CD=8-AD；进而在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求出AD，最后在Rt△ADE中利用勾股定理即可求出DE。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共 8个．
故选C．
【分析】如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数．
5．【答案】 ， ， （答案不唯一）
【解析】【解答】∵ 符合 ．
∴我较熟悉的一组勾股数是： ， ， （答案不唯一）.
【分析】根据勾股定理和正整数，可以得出许多组勾股数，如：（1）当a为奇数时，其平方可拆成两个连续自然数的和（此两个数便是b、c），若a=3时，32=9=4+5，即：3 2 + 4 2 = 5 2，若a=5时，52=25=12+13，即：52+122=132......以此类推；（2）当a为偶数时，其一半的平方加1和减1便是b、c，若a=6时，a的一半为3，32-1=8，32+1=10，即：62+82=102，若a=8时，a的一半为4，42-1=15，42+1=17，即：82+152=172，.......以此类推。
6．【答案】8
【解析】【解答】由题意AB =4，AC +BC =AB ,所以AB +AC +BC =8
【分析】直接用勾股定理可求解。
7．【答案】6cm
【解析】【解答】作AD⊥BC于D,
∵AB=AC=16cm,
∴BD=BC=8cm,
∴AD= ,
故答案为：6cm.
【分析】作AD⊥BC于D，利用等腰三角形三线合一的性质，可求出BD的长，再利用勾股定理求出AD。
8．【答案】18
【解析】【解答】解：∵直角三角形ABC中，斜边AB=3，
∴AC2+BC2=AB2=32=9，
∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×9=18；
故答案为：18．
【分析】由勾股定理求出AC2+BC2=AB2，即可得出结果．
9．【答案】2
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：BC===6，
由轴对称的性质可知：BC=CB′=6，
∵CB′长度固定不变，
∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．
根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，
∴AB′=AC﹣B′C=8﹣6=2．
故答案为：2．
【分析】首先由勾股定理求得BC的长度，由轴对称的性质可知BC=CB′=6，当B′A有最小值时，即AB′+CB′有最小值，由两点之间线段最短可知当A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值．
10．【答案】解：由勾股定理得：（x+4）2=36+x2，
解得：x= ，
所以△ABC的面积= ×6× =7.5.
故答案为7.5.
【解析】【分析】首先利用勾股定理得到三边关系，进而建立关于x的方程，解方程求出x的值，再利用三角形的面积公式计算即可.
11．【答案】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等 ∴BC=AC
设BC=AC=xcm ∴OC=（90－x）cm 在Rt△BOC中，
∴ 解得：x=50
答：机器人行走的路程BC为50cm
【解析】【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等 知BC=AC，设BC=AC=xcm ∴OC=（90－x）cm 在Rt△BOC中利用勾股定理列出方程求解即可。
12．【答案】解：∵△ABC是直角三角形，AC=6cm，BC=8cm，∴AB= = =10cm，∵△AED是△ACD翻折而成，∴AE=AC=6cm，设DE=CD=xcm，∠AED=90°，∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4(cm)，在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，即（8﹣x）2=42+x2，解得x=3．故CD的长为3cm.
【解析】【分析】先由勾股定理求出AB的长，由题意知AE=AC=6cm，则BE=4，设DE=CD=xcm，在Rt△BDE中，由勾股定理求出x值即可答案.
13．【答案】解：∵∠BAD=∠DBC=90°，
∴△ADB、△BDC均是直角三角形，
由题意得，AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，
在Rt△ABD中，BD==5cm，
在Rt△BDC中，DC= =13cm．
【解析】【分析】先根据勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理求得CD的长即可．
14．【答案】解：∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵在直角△ACD中，AC=20，AD=16，
∴CD= =12；
∵在直角△BCD中，BC=15，CD=12，
∴BD= =9，
∴AB=AD+BD=25．
【解析】【分析】在直角△ACD中利用勾股定理得出CD的长，再利用在直角△BCD中利用勾股定理求得BD，再根据线段的和差关系求得AB的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】由勾股定理得：斜边长为： =5．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件直角三角形两条直角边的长分别为3和4，再利用勾股定理求斜边的长度即可作答。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理有： ，
在Rt△ABC中，由等面积法可知： ，
代入数据： ，
解得： ，
故答案为：B.
【分析】先由勾股定理算出AB=10，然后再由Rt△ABC中等面积法得到 即可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】由折叠的性质可得DE=BE，
设AE=xcm ，则BE=DE=（9-x）cm，
在Rt 中，由勾股定理得：32+ x2=（9-x）2
解得：x=4，
∴AE=4cm，
∴S△ABE= ×4×3=6（cm2），
故答案为：C．
【分析】由折叠的性质可得DE=BE，设AE=xcm ，则BE=DE=（9-x）cm，利用勾股定理得出AE的值，再利用三角形面积公式计算即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：AF＝CF．
设BF＝m，则AF＝CF＝8 m，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，AB＝4，BF＝m，AF＝8 m，
∴ ，即 ，
∴m＝3．
故答案为：B．
【分析】由折叠的性质可知AF＝CF，设BF＝m，则AF＝CF＝8 m，在Rt△ABF中，由勾股定理可建立关于m方程，并解之即可.
5．【答案】5
【解析】【解答】作DE⊥AB交AB于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
∵AD=13，AC=12，
∴CD= =5，
∴DE=5.
故答案为：5.
【分析】根据勾股定理可得CD长，由角平分线上的点到角两边的距离相等即可知点D到AB的距离与CD相等.
6．【答案】3
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，
即AD⊥BA，
∴DE=AD，
∵在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD= =3，
∴DE=AD=3，
∴点D到BC的距离是3．
故答案为：3．
【分析】过点D作DE⊥BC于E， 根据角平分线的性质定理得出DE=AD，在Rt△ABD中由勾股定理得出AD的长即可。
7．【答案】12
【解析】【解答】解：设BD=x，则CD=14﹣x，
在Rt△ABD中，AD2+x2=132，
在Rt△ADC中，AD2=152﹣（14﹣x）2，
则有132﹣x2=152﹣（14﹣x）2，
132﹣x2=152﹣196+28x﹣x2，
解得x=5，
在Rt△ABD中，AD= =12．
故答案为：12．
【分析】AD为高，那么题中有两个直角三角形．AD在这两个直角三角形中，设BD为未知数，可利用勾股定理都表示出AD长．求得BD长，再根据勾股定理求得AD长．
8．【答案】5
【解析】【解答】解:由题意可知AD=BC=CF, ∠AED=∠CDF, ∠A=∠CFD=90°,
所以△AED≌△FDC,
所以ED=CD，
设AE=x，则x ＋3 =(x+1) ,
解得x=4,
所以CD=5.
故答案是：5.
【分析】利用矩形的性质及折叠的性质，可证得AD=BC=CF, ∠AED=∠CDF, ∠A=∠CFD=90°及△AED≌△FDC，利用全等三角形的对应边相等，可得到ED=CD，设AE=x，利用勾股定理，建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到CD的长。
9．【答案】解：∵a，b是Rt△ABC的两条直角边，c是斜边，∴a2+b2=c2，即a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），∵a为质数，∴c+b=a2，c﹣b=1，∴a2=2b+1，∴2（a+b+1）=a2+2a+1=（a+1）2，∴2（a+b+1）是完全平方数．
【解析】【分析】由勾股定理变形得a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），根据a为质数可得c+b=a2，c﹣b=1，于是可得a2=2b+1，代入2（a+b+1）可得证。
10．【答案】解：设经过x小时能赶上，则OB=75x，则AB=60x．在直角△ABC中，∵OB2=OA2+AB2，∴（75x）2=302+（60x）2，解得：x= ，故经过时间为 小时． 答：经过 小时能赶上．
【解析】【分析】 设经过x小时能赶上，则OB=75x，则AB=60x．在直角△ABC中 ，利用勾股定理建立方程，求解即可得出答案。
11．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，
∵△BEH是△BAH翻折而成，
∴∠ABH=∠EBH，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，
∵△DGF是△DGC翻折而成，
∴∠FDG=∠CDG，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，
∴∠DBH=∠ABD，∠BDG=∠BDC，
∴∠DBH=∠BDG，
∴△BEH与△DFG中，
∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠DBH=∠BDG，
∴△BEH≌△DFG，
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，
∴BD===10，
∵由（1）知，FD=CD，CG=FG，
∴BF=10-6=4cm，
设FG=x，则BG=8-x，
在Rt△BGF中，
BG2=BF2+FG2，即（8-x）2=42+x2，
解得x=3，即FG=3cm．
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得出∠ABD=∠BDC，再由图形折叠的性质得出∠ABH=∠EBH，∠FDG=∠CDG，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，进而可得出△BEH≌△DFG；
（2）先根据勾股定理得出BD的长，进而得出BF的长，由图形翻折变换的性质得出CG=FG，设FG=x，则BG=8-x，再利用勾股定理即可求出x的值．
12．【答案】解：如图,过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB=AC=20，BC=32，
∴BE=CE=16，
在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：AE= ，
设BD=x，则DE=16﹣x，DC=32﹣x，
又DA⊥CA，
在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理得： ，
代入为： ，
整理得：
解得： .
即BD=7.
【解析】【分析】过点A作AE⊥BC于点E，首先根据等腰三角形的三线合一得出 BE=CE=16， 在Rt△ACE中，用勾股定理可求得AE的值，设BD=x，则DE=16﹣x，DC=32﹣x，在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理可将AD2用含x的代数式表示并列出关于x的方程，解方程即可求解.
13．【答案】解：设EB′=x，
∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴AC= ，
由折叠的性质可知，BE=EB′=x，AB′=AB=6，
则CB′=AC-AB′=4，EC=BC-BE=8-x，
由勾股定理得，x2+42=(8-x)2，
解得x=3，
∴EB′=3．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC=10，再求出 x2+42=(8-x)2， 最后计算求解即可。