2022-2023学年北师大版 九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明同步训练 （Word版含答案）

4.5相似三角形判定定理的证明 九年级数学同步训练（基础演练+巩固提升）
【北师大版】
基础演练：
一、单选题
1．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像 的长（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O，连接DE，下列结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，DE与的边AB,AC分别相交于D,E两点，且DE//BC．若AD：BD=3：1, DE=6，则BC等于（　　）．
A．8 B． C． D．2
4．如图，在△ABC中，D，E分别是线段AB，AC的中点，则△ABC与△ADE的面积之比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．4：1 D．2：1
5．如图，△ABC中，AD是中线，BE是角平分线，AD、BE交于点F.若 ，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，AB＝3，DE＝2，则BC＝　 　．
7．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E，F分别是边AD，BC上的点，将正方形纸片沿EF折叠，使得点A落在CD边上的点 处，此时点 落在点 处.已知折痕EF＝13，则AE的长等于　 　.
8．学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如上图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”，那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2　 　，（相似或不相似）；理由是　 　．
9．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，则线段AC的长=　 　
三、解答题
10．如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝9，点E是AD上的一点，AE＝2DE，延长BE交CD的延长线于F，求FD的长．
11．如图， 是 的角平分线，延长 至点 使得 .求证： .
12．如图，D、E分别是 ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若 ＝1：3，求 的值．
13．将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板 的直角顶点是点 ， ，直角板 的直角顶点 在 上，且 ， ．三角板 固定不动，将三角板 绕点 逆时针旋转，旋转角为 （ ）．
（1）当 =　 　时， ；
（2）当 = 时，三角板EDF绕点 逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积。
（3）如图3，设 ，四边形 的面积为 ，求 关于 的表达式（不用写 的取值范围）。
巩固提升：
一、单选题
1．在平行四边形 中，点 是边 上一点，且 交对角线 于点 ，则 与 的周长比为（　　）
A． B． C． D．
2．正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则=（　　）
A． B． C． D．
3．如图，正方形ABCD的边与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH、FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①GH⊥BE②HOBG；③GH2=GM GE；④△GBE∽△GMF，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，G是正方形形ABCD的边BC上一点，DE、BF分别垂直AG于点E、F，则图中与△ABF相似的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图， 在平面直角坐标系中， 的顶点 与原点重合，点 在 轴的正半轴上， 按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长度为半径作 弧，分别交边 ， 于点 ， ；②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧， 两弧在 内交于点 ；③作射线 ，交边 于点 ．若 ， ，则点 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为　 　，线段O1O2的长为　 　．
7．如图，DE∥BC，DF=2，FC=4，那么 =　 　．
8．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　 　．
9．在△ABC中，AB＝10， AC＝5，点M在边AB上，且AM＝2，点N在AC边上．当AN＝　 　时，△AMN与原三角形相似．
10．如图所示，在 中， ，E，F分别是 ， 的中点．（1）线段 的长为　 　；（2）若动点P在直线 上， 的平分线交 于点Q，当点Q把线段 分成的两线段之比是 ∶ 时，线段 、 之间的数量关系满足 ＝　 　．
三、解答题
11．如图， 是 的中线， 是线段 上一点（不与点 重合）． 交 于点 ， ，连结 ．
（1）如图1，当点 与 重合时，求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，当点 不与 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3）如图3，延长 交 于点 ，若 ，且 ．
①求 的度数；
②当 ， 时，求 的长．
12．如图，在等边三角形ABC中，点E为CB边上一点（与点C不重合），点F是AC边上一点，若AB＝5，BE＝2，∠AEF＝60°，求AF的长度．
13．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC1≌△BOD1．
②请直接写出AC1 与BD1的位置关系．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．
答案解析
1．【答案】D
【解析】【解答】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，OE=12，OF=2，
∴△OAB∽△OCD，
∵OE、OF分别是△OAB和△OCD的高，
∴ ，即 ，
解得：CD=1.
故答案为：D.
【分析】过O作直线OE⊥AB，交CD于F，由CD//AB可得△OAB∽△OCD，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD的值即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE= BC，即 ，①符合题意；
∵DE∥BC∴△DOE∽△COB，
∴ ，②不符合题意；
∵DE∥BC,△DOE∽△COB，
∴ ,③符合题意；
∵△DOE∽△COB，
∴
∴
又∵BE是△ABC的中线
∴
∴ ，④符合题意
故①符合题意，②不符合题意，③④符合题意；
故答案为：C．
【分析】BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，即DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，△ODE∽△OCB，根据相似三角形的性质和三角形中线的性质即可判断．
3．【答案】A
【解析】【分析】∵AD：BD=3：1 ∴AD：AD=3：4；DE与的边AB,AC分别相交于D,E两点，且DE//BC，AD：AD=DE：BC，DE=6，所以BC=8
故选A
【点评】本题考查相似比，在三角形中两直线平行，所截的线段成比例
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴BC=2DE，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ABC与△ADE的面积之比=（ ）2=4：1．
故选C．
【分析】根据三角形的中位线得出DE= BC，DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出即可．
5．【答案】C
【解析】【解答】如图，过点A作BC的平行线，延长BE交平行线于点G，
BE平分 ABC，
ABE= EBC，
AG BC，
EBC= G，
ABE= G，
AB=AG，
，
在 AGE与 CBE中，
，
AGE∽ CBE，
，
设GE=6a，则BE=4a，BG=10a，
在 AFG与 DFB中，
，
AFG∽ DFB，
，
AD是中线，
BD=CD，
，
，
，
=3，
GF=7.5a，BF=2.5a，
EF=1.5a，
.
故答案为：C.
【分析】如图，过点A作BC的平行线，延长BE交平行线于点G，由角平分线的性质以及平行线的性质可以得出AB=AG，即可得出 的值，由两直线平行内错角相等以及对顶角相等分别证明 AGE∽ CBE， AFG∽ DFB，得出对应边的比值相等，设GE=6a，将BE、EF分别用a表示，求出比值即可.
6．【答案】6
【解析】【解答】∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴.
∵AD＝1，AB＝3，DE＝2，∴,∴BC=6.
【分析】相似三角形的判定和性质．
7．【答案】
【解析】【解答】作FG⊥AD，垂足为G，连结 ，
∵将正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的点 处，折痕为EF，
∴∠D=∠AHE=90°， ，
∴△AHE∽ ，
∴∠AEH=∠D，
又∵AD=GF，∠D=∠EGF=90°，
∴ ≌△FGE，
∴ = EF=13，
∴AH= = ，
∵△AHE∽ ，
∴ ，
即 ，解得AE= .
故答案为 .
【分析】根据折叠的性质和正方形的性质可以证明△ADA′和△FGE全等，则有AA′=EF=13，再证明△AHE和△ADA′相似，根据相似三角形的性质列出比例式求出AE的长度即可。
8．【答案】相似；
【解析】【解答】由题意得：A1C1=4，A2C2=2，
由勾股定理得：A1B1= ，B1C1= ，
A2B2= ，B2C2= ，
∴ ， ， ，
∴ =2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2．
【分析】先利用勾股定理分别求出两个三角形的各边长，再求出各对应边之比，然后判断各对应边的比值是否相等，根据相似三角形的判定定理得出结论；观察图形可知∠B2A2C2=∠B1A1C1=135°，因此也可根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似。
9．【答案】9
【解析】【解答】解：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∵AB=6，AD=4，
∴AC=9，
故答案为：9．
【分析】根据相似三角形的判定得出△ABD∽△ACB，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
10．【答案】∵AD=9，AE=2DE，
∴AE=6，DE=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴ ，
∴ ，
解得：DF=2．
【解析】【分析】求出AE和DE，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据相似三角形的判定得出△ABE∽△DFE，根据相似得出比例式，代入求出DF即可．
11．【答案】证明： 是 的角平分线
又
.
【解析】【分析】先根据角平分线的定义可得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，然后根据相似三角形的判定即可得证.
12．【答案】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴ ，
∴S△DOE：S△AOC= ．
【解析】【分析】由S△BDE：S△CDE＝1：3，得出BE：EC＝1：3；得出BE：BC＝1：4；根据DE∥AC，推出△DOE∽△AOC，根据相似三角形的性质即可得出结论。
13．【答案】（1）30
（2）当 =45度，即
同理 又 ∴四边形ANDM为矩形．
∴ ,∴ ~
∵ ,∴
∵ ，∴
同理得
∴
（3）过D 作 于点 ,作 于点
由（2）知四边形 为矩形， ,
∴ , ,
∵ ,
∴ ,又∵
∴ ~ ∴
∴ =
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据题意可知，EF∥BC，根据平行线的性质即可得到∠MDC=∠F，即可得到度数。
（2）根据题意即可得到∠C的度数为45°，即可得到∠DNA的度数，通过证明三角形DMC三角形BAC，根据相似三角形的性质得到DN的长度，即可求出面积。
（3）根据同角的余角相等的性质，得到∠NDH2=∠MDH1，即为继而根据三角形相似列举出四边形的面积整理式子即可。
巩固提升：
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
又∵
∴
∴ 与 的周长比为
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出 的值，根据相似三角形的轴承比等于相似比得到答案．
2．【答案】D
【解析】【解答】根据题意，AE=BF，AD=AB，∠EAD=∠B=90°，
∴△ADE≌△BAF．
∴∠ADE=∠BAF，∠AED=∠BFA．
∵∠DAO+∠FAB=90°，∠FAB+∠BFA=90°，
∴∠DAO=∠BFA，
∴∠DAO=∠AED．
∴△AOD∽△EAD．
所以==．
故选D．
【分析】由已知条件易证△ADE≌△BAF，从而进一步得△AOD∽△EAD．运用相似三角形的性质求解．本题考查的是全等三角形的判定，正方形的性质以及相似三角形的性质的有关知识的综合运用．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中， ，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
②∵GH是∠EGC的平分线，
∴∠BGH=∠EGH，
在△BGH和△EGH中， ，
∴△BGH≌△EGH（ASA），
∴BH=EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO是△EBG的中位线
∴HO∥BG，HO=BG，
故②正确；
③当∠FME=90°时，根据射影定理可得GH2=GM GE，
但由题意得：∠FOE=90°，
因此③错误；
④连接CF，如图所示：由（1）得△EHG是直角三角形，
∵O为EG的中点，
∴OH=OG=OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∴∠HFC=∠CGH，
∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，
∴∠FMG=∠GBE，
又∵∠EGB=∠FGM=45°，
∴△GBE∽△GMF．
故④正确，
故选：C．
【分析】①由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；
②由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得出②正确；
③当∠FME=90°时，根据射影定理可得GH2=GM GE，但∠FOE=90°，得出③错误
④连接CF，证明点H在正方形CGFE的外接圆上，得到∠HFC=∠CGH，由∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，得出∠FMG=∠GBE，得出△GBE∽△GMF，④正确．
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵BF⊥AG，
∴∠AFB=∠BFG=∠ABG=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠FBG=90°，
∴∠BAF=∠GBF，
∴△ABF∽△BGF；
同理可得，△ABF∽△AGB，△ABF∽△DAE．
故答案为：C．
【分析】抓住题中已知条件正方形ABCD及DE、BF分别垂直AG于点E、F，可得出∠DAB=∠ABG=∠AED=∠AFB=∠BFG=90°，利用直角三角形两锐角互余和余角的性质，可以得出∠DAE=∠FGB=∠ABF由,两组角分别对应相等的两三角形相似，得出△ABF∽△BGF∽△AGB∽△DAE．C答案正确。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，分别过C、D、B点作CJ⊥AO于J，DK⊥AO于K，BL⊥AO于L，
∵在 中，则 ；
∵射线OP为∠AOC的平分线， ，DK⊥AO， ， ，
∴
∴ ；
∵CJ⊥AO，DK⊥AO ，
∴CK∥DK，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即B点的纵坐标为 ；
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即B点的横坐标为 ；
综上所述，点B 的坐标为 ．
故答案为：D．
【分析】由已知条件证明，得到OC=OQ，DC=DQ=3，AD=5，在直角三角形ADQ中，由勾股定理求出AQ，从而求出OQ，根据四边形OABC是平行四边形，得到AB//OC，从而得到，再利用相似三角形的性质求出OC，最后利用勾股定理求解即可。
6．【答案】；
【解析】【解答】解：做O1H∥AE，使O2H⊥O1H，交BG于P，K点，
（ 1 ）BP＝ ，
又∵O2H⊥HO1，
∴KP∥HO2，
∴△PKO1∽△HO2O1，
∴ ，
KP＝ ，
阴影部分的面积＝ ×BK×（ ）＝ ×[ ＋ ]×
＝ ＝ ；
（ 2 ）HO1＝ ，HO2＝ ，
根据勾股定理O1O2＝
＝
＝ ．
故答案为： ； ．
【分析】根据已知条件可得△PKO1∽△HO2O1，得出比例式，阴影部分的面积可求；’根据勾股定理可求O1O2的长。
7．【答案】1
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠BCD，∠DEB=∠EBC，
∴△DEF∽△CBF，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
设AD=k，则AB=2k，BD=2k-k=k，
∴ =1．
故答案为：1．
【分析】根据平行线的性质，得∠CDE=∠BCD，∠DEB=∠EBC。判定△DEF∽△CBF，对应边成比例，得=。由已知条件，判定△ADE∽△ABC，对应边成比例，即可求得。
8．【答案】
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴ BC AH=6，
∴AH= =3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴ ，即 ，解得x= ，
即正方形DEFG的边长为 ，
故答案为： ．
【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，根据△ABC的面积是6，求得AH。设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，先判定△AGF∽△ABC，再根据相似三角形的性质得=，代入求得GF。
9．【答案】1或4
【解析】【解答】由题意可知，AB＝10，AC＝5，AM＝2，
①若△AMN∽△ABC，
则 ，即 ，
解得：AN＝1；
②若△AMN∽△ACB，
则 ，即 ，
解得：AN＝4；
故AN＝1或4．
故答案为：1或4．
【分析】分两种情况讨论：①若△AMN∽△ABC，②若△AMN∽△ACB，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
10．【答案】2；2或8
【解析】【解答】解：（1）∵E，F分别是 ， 的中点
∴
∵BC=4
∴EF=2；
（2）如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵点Q把线段EC分成的两线段之比是1：2，
∴CQ= CE，
∴EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴ ，
∴EM=2BC=2×4=8，
即EP+BP=8，
当CQ=2EQ时，同法可得，EM=2，EP+PB=EM=2．
故答案为：EP+BP=8或EP+PB=2．
故答案为：2；8或2．
【分析】(1) 利用三角形的中位线定理解答即可；
(2)延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线定理EF//BC，根据平行线的性质，结合角平分线的定义推出∠M=∠PBM，则得BP=PM，把EP+BP转化为EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后证明△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形的性质，列比例式求解即可，
11．【答案】（1）证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，
∵CE//AM，
∴∠ECD=∠ADB，
又∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，
∴△ABD △EDC，
∴AB=ED，又∵AB//ED,
∴四边形ABDE为平行四边形。
（2）解：结论成立，理由如下：
过点M作MG//DE交EC于点G，
∵CE//AM，
∴四边形DMGE为平行四边形，
∴ED=GM且ED//GM，
由（1）可得AB=GM且AB//GM，
∴AB=ED且AB//ED.
∴四边形ABDE为平行四边形.
（3）解：①取线段HC的中点I，连结MI，
∴MI是△BHC的中位线，
∴MI//BH,MI=BH，
又∵BH⊥AC，且BH=AM，
∴MI=AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°
②设DH=x,则AH=x，AD=2x,
∴AM=4+2x，∴BH=4+2x,
由（2）已证四边形ABDE为平行四边形，
∴FD//AB，
∴△HDF~△HBA，
∴，即
解得x=1±（负根不合题意，舍去）
∴DH=1+.

【解析】【分析】（1）由DE//AB，可得同位角相等：∠EDC=∠ABM，由CE//AM，可得同位角相等∠ECD=∠ADB，又由BD=DC，则△ABD △EDC，得到AB=ED，根据有一组对边平行且相等，可得四边形ABDE为平行四边形.
（2）过点M作MG//DE交EC于点G，则可得四边形DMGE为平行四边形，且ED=GM且ED//GM，由（1）可得AB=GM且AB//GM，即可证得；
（3）①在已知条件中没有已知角的度数时，则在求角度时往特殊角30°，60°，45°的方向考虑，则要求这样的特殊角，就去找边的关系，构造直角三角形，取线段HC的中点I，连结MI，则MI是△BHC的中位线，可得MI//BH,MI=BH，且MI⊥AC，则去找Rt△AMI中边的关系，求出∠CAM；
②根据①所得的∠CAM，则可设DH=x,即可用x分别表示出AH=x，AD=2x,AM=4+2x，BH=4+2x,由△HDF~△HBA，得到对应边成比例，求出x的值即可；
12．【答案】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝5，
∵BE＝2，
∴CE＝3，
∵∠AEC＝∠BAE＋∠B，
即∠AEF＋∠CEF＝∠BAE＋∠B，
而∠AEF＝60°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CF＝ ，
∴AF＝AC﹣CF＝5﹣ ＝
【解析】【分析】利用等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝5，利用三角形外角的性质可得∠BAE＝∠CEF，证明△ABE∽△ECF，可得 ＝ ，据此求出CF，利用AF＝AC﹣CF即得结论.
13．【答案】解：（1）①证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，∴∠AOB=∠COD=90°，∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，∴OC1=OD1，∠AOC1=∠BOD1=90°+∠AOD1，在△AOC1和△BOD1中，∴△AOC1≌△BOD1（SAS）；②AC1⊥BD1；（2）AC1⊥BD1．理由如下：如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴OC=OA=AC，OD=OB=BD，AC⊥BD，∴∠AOB=∠COD=90°，∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，∴OC1=OA，OD1=OB，∠AOC1=∠BOD1，∴=，∴△AOC1∽△BOD1，∴∠OAC1=∠OBD1，又∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，∴∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，∴∠APB=90°∴AC1⊥BD1；∵△AOC1∽△BOD1，∴====，∴k=；（3）如图3，与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，∴===，∴k=；∵△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，∴OD1=OD，而OD=OB，∴OD1=OB=OD，∴△BDD1为直角三角形，在Rt△BDD1中，BD12+DD12=BD2=100，∴（2AC1）2+DD12=100，∴AC12+（kDD1）2=25．
【解析】【分析】（1）①如图1，根据正方形的性质得OC=OA=OD=OB，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，则OC1=OD1，利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1，然后根据“SAS”可证明△AOC1≌△BOD1；
②由∠AOB=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，所以∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，则∠APB=90°所以AC1⊥BD1；
（2）如图2，根据菱形的性质得OC=OA=AC，OD=OB=BD，AC⊥BD，则∠AOB=∠COD=90°，再根据旋转的性质得OC1=OC，OD1=OD，∠COC1=∠DOD1，则OC1=OA，OD1=OB，利用等角的补角相等得∠AOC1=∠BOD1，加上=，根据相似三角形的判定方法得到△AOC1∽△BOD1，得到∠OAC1=∠OBD1，由∠AOB=90°得∠OAB+∠ABP+∠OBD1=90°，则∠OAB+∠ABP+∠OAC1=90°，则∠APB=90°，所以AC1⊥BD1；然后根据相似比得到===，所以k=；
（3）与（2）一样可证明△AOC1∽△BOD1，则===，所以k= ；根据旋转的性质得OD1=OD，根据平行四边形的性质得OD=OB，则OD1=OB=OD，于是可判断△BDD1为直角三角形，根据勾股定理得BD12+DD12=BD2=100，所以（2AC1）2+DD12=100，于是有AC12+（kDD1）2=25．