2022-2023学年苏科版九年级数学上册第2章 对称图形—圆 解答专项练习题（word、含解析）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《第2章对称图形—圆》解答专项练习题（附答案）
1．如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．
2．如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E．求DE的长．
3．已知：AB为⊙O的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD与BE相交于点C，弦DE在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O的切线DF交BC于点F．
（1）如图1，若DE∥AB，求证：CF＝EF；
（2）如图2，当点E运动至与点B重合时，试判断CF与BF是否相等，并说明理由．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△BDF是等边三角形；
（2）连接AF、DC，若BC＝3，写出求四边形AFCD面积的思路．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
6．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（1）求证：PO平分∠APC；
（2）连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC．
7．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF＝EF，EF与AC交于点G．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．
9．已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；
（2）如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
10．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）求证：EF为半圆O的切线；
（2）若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）
11．已知：如图，AC是⊙O的直径，圆心为点O，过A，C两点分别作⊙的切线，过圆心O的直线分别交这两条切线于B，D．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB，CD分别过⊙O上的点E，F，判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．
（3）若⊙O的半径为3，BC＝2，求图中四边形ABCD被⊙O割后余下图形（阴影部分）的面积．
12．如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA＝3．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）若点E是优弧上一点，且∠AEB＝60°，求扇形OAB的面积．（计算结果保留π）
13．如图，⊙O的直径AB＝12cm，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点．
（Ⅰ）若∠ADC＝122°，求∠BCD的度数；
（Ⅱ）设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式．
14．如图，半径为的⊙O内接△ABC，∠B＝60°，∠C＝45°
（1）求△ABC的面积；
（2）D是的中点，过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF，求EF的长．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA＝∠ABC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．
16．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求BE、CF的长．
17．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC及点D到BC的距离；
（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
18．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝80°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝10，BC＝6，求DE的长．
19．如图1，△ABC中，CA＝CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．
（1）求证：⊙O与CB相切于点E；
（2）如图2，若⊙O过点H，且AC＝5，AB＝6，连接EH，求此时⊙O的半径和△BHE的面积．
20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．
参考答案
1．证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线．
2．解：连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，
由垂径定理得AH＝AC＝3，
在Rt△AOH中，OH＝＝4，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE，∠ODE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠E＝180°﹣90°＝90°，
又OH⊥AC，
∴∠OHE＝90°，
∴四边形ODEH为矩形，
∴DE＝OH＝4．
3．证明：如图1，连接OD、OE，
∵AB＝2，
∴OA＝OD＝OE＝OB＝1，
∵DE＝1，
∴OD＝OE＝DE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠ODE＝∠OED＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°，
∴△AOD和△BOE是等边三角形，
∴∠OAD＝∠OBE＝60°，
∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DFE＝90°，
∴DF⊥CE，
∴CF＝EF；
（2）相等；
如图2，点E运动至与点B重合时，BC是⊙O的切线，
∵⊙O的切线DF交BC于点F，
∴BF＝DF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝CF，
∴BF＝CF．
4．（1）证明：连接OE，如图，
∵AC切⊙O于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEA＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOE＝60°，∠B＝60°，
∵OD＝OE，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠ODE＝60°，
∴△BDF是等边三角形；
（2）解：如图，作DH⊥AC于点H，如图，
①由∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，可求AB，AC的长；
②由∠AEO＝90°，∠OAE＝30°，可知AO＝2OE，可求AD，DB，DH的长；
③由（1）可知BF＝BD，可求CF的长；
④由AC，DH，CF的长可求四边形AFCD的面积．
5．（1）证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE+∠BDO＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠A．
（2）连接CD．
∵∠ADE＝∠A，
∴AE＝DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴ED＝EC，
∴AE＝EC，
∵DE＝10，
∴AC＝2DE＝20，
在Rt△ADC中，DC＝＝12，
设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+122，在Rt△ABC中，BC2＝（x+16）2﹣202，
∴x2+122＝（x+16）2﹣202，
解得x＝9，
∴BC＝＝15．
6．解：（1）如图，连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵OA＝OB，
∴PO平分∠APC；
（2）∵OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠CAP＝∠OBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠APC＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°，
∵PO平分∠APC，
∴∠OPC＝∠APC＝＝30°，
∴∠POB＝90°﹣∠OPC＝90°﹣30°＝60°，
又OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠DBP＝∠OBP﹣∠OBD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DBP＝∠C，
∴DB∥AC．
7．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD＝BD＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝4，
∴△ABC外接圆的半径＝×4＝2．
8．解：（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠AEO+∠BEF＝90°，
∴∠OEG＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠EOD＝60°，
∴∠EGO＝30°，
∵AO＝2，
∴OE＝2，
∴EG＝2，
∴阴影部分的面积＝2×2﹣＝2﹣π．
9．解：（1）如图①，连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝50°，
∴∠T＝90°﹣∠ABT＝40°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝40°，
∴∠CDB＝∠CAB＝40°；
（2）如图②，连接AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，
∴∠BCE＝∠BEC＝65°，
∴∠BAD＝∠BCD＝65°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝65°，
∵∠ADC＝∠ABC＝50°，
∴∠CDO＝∠ODA﹣∠ADC＝65°﹣50°＝15°．
10．（1）证明：连接OD，
∵D为的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，
∴OD⊥EF，
∴EF为半圆O的切线；
（2）解：连接OC与CD，
∵DA＝DF，
∴∠BAD＝∠F，
∴∠BAD＝∠F＝∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°，
∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，
∵OC＝OA，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°，
∵OD⊥EF，∠F＝30°，
∴∠DOF＝60°，
在Rt△ODF中，DF＝6，
∴OD＝6，
在Rt△AED中，DA＝6，∠CAD＝30°，
∴DE＝3，EA＝9，
∵∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝60°，
由CO＝DO，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠DCO＝∠AOC＝60°，
∴CD∥AB，
故S△ACD＝S△COD，
∴S阴影＝S△AED﹣S扇形COD＝×9×3﹣π×62＝﹣6π．
11．解：（1）证明：
∵AC为⊙O的直径，
∴OA＝OC；
∵BC，AD分别是⊙O的切线，
∴∠OCB＝∠OAD＝90°；
∵∠AOD＝∠COB，
在△AOD与△COB中，
，
∴△AOD≌△COB；
∴OB＝OD；
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴CF∥AE；
∴∠ACF＝∠CAE；
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AFC＝∠CEA＝90°；
在△ACF与△CEA中，
，
∴△ACF≌△CEA；
∴AE＝CF；
∴四边形AECF是平行四边形；
∴四边形AECF是矩形．
（3）连接EO，
∵⊙O的半径为3，
∴AC＝6，
∵BC＝，
∴∠BAC＝30°；
∴∠COE＝60°；
所以扇形OEC的面积＝＝
所以S阴影＝2（S△ABC﹣﹣S△AOE）＝﹣3π．
12．（1）证明：连接OB，如图所示：
∵BC切⊙O于点B，
∴OB⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴AD∥OB，
∴∠DAB＝∠OBA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠DAB＝∠OAB，
∴AB平分∠OAD；
（2）解：∵点E是优弧上一点，且∠AEB＝60°，
∴∠AOB＝2∠AEB＝120°，
∴扇形OAB的面积＝＝3π．
13．解：（I）∵AD与BC都是⊙O的切线，
∴∠OAD＝∠OBC＝90°，
∴∠OAD+∠OBC＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠BCD+∠ADC＝180°，
∴∠BCD＝58°；
（II）过点D作DF⊥BC于点F，可知AB＝CD＝12，
∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE与⊙O相切于点E，
∴AD＝DE＝x，BC＝CE＝y，
∴CD＝DE+CE＝x+y，
∴CF＝BC﹣BF＝y﹣x，
在Rt△DFC中，
∴由勾股定理可知：DF2+FC2＝CD2，
122+（y﹣x）2＝（x+y）2
∴化简可得：y＝
14．解：（1）如图1中，连接OA、OB、OC，作OH⊥AC于H，AM⊥BC于M．
∵∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∴AB＝OA＝2，
∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，OA＝OC，OH⊥AC，
∴∠AOH＝60°，AH＝HC＝，
∴AC＝，
在Rt△ACM中，AM＝CM＝，
在Rt△ABM中，BM＝AB＝1，
∴BCBM+CM＝1+，
∴S△ABC＝ BC AM＝ （1+） ＝+．
（2）如图2中，延长BE交AC于K，连接BD，EF．
∵D是的中点，过点D作DF⊥BC于点F，
∴O、F、D共线，BF＝FC，
∵∠BED＝∠BFD＝90°，
∴B、E、F、D四点共圆，
∴∠EFB＝∠BDE＝∠ACB＝45°，
∴EF∥AC，∵BF＝FC，
∴BE＝EK，
∴EF＝CK，
∵∠BAE＝∠KAE，∠AEB＝∠AEK＝90°，
∴∠ABK＝∠AKB，
∴AK＝AB＝2，
∴KC＝AC﹣AK＝﹣2，
∴EF＝．
15．解：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠BCO＝∠ACP，
∴∠ACP+∠OCA＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵∠P＝60°，PC＝2，∠PCO＝90°，
∴OC＝2，OP＝2PC＝4，
∴PE＝OP﹣OE＝OP﹣OC＝4﹣2．
16．（1）证明：延长CE交⊙O于点P，
∵CE⊥AB，
∴＝，
∴∠BCP＝∠BDC，
∵C是的中点，
∴CD＝CB，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BCP，
∴CF＝BF；
（2）∵CD＝6，AC＝8，
∴AB＝10，
∴BE＝＝3.6，
∴CE＝＝4.8，设CF＝x，则FE＝4.8﹣x，BF＝x，
∴（4.8﹣x）2+3.62＝x2，
∴x＝．
17．解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝＝8．
∵AD平分∠CAB，
∴，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴BD＝CD＝5，
∴BC h＝CD BD，
∴h＝5，
即点D到BC的距离为5；
（2）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
18．解：（1）∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝80°，
∴∠OAD＝∠ODA＝50°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠CAB＝10°，
∴∠CAD＝50°﹣10°＝40°；
（2）∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
∵OD∥BC，OA＝OB，
∴AE＝EC，
∴OE＝BC＝3，
∴DE＝OD＝OE＝2．
19．（1）证明：∵CA＝CB，点O在高CH上，
∴CH平分∠ACB，即∠ACH＝∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE＝OD，
∵OE⊥BC，
∴⊙O与CB相切于E点；
（2）解：∵CA＝CB，CH是高，
∴AH＝BH＝AB＝×6＝3，
∴CH＝＝4，
∵点O在高CH上，⊙O过点H，
∴⊙O与AB相切于H点．
∵⊙O与CB相切于E点，
∴BE＝BH＝3，
∴CE＝2，
连接OE，过H作HF⊥BC于点F，如图2，设半径为R，
在Rt△OCE中，（4﹣R）2＝R2+22，解得R＝，
即⊙O半径是；
∵HF BC＝CH BH，
∴HF＝＝，
∴S△BHE＝×3×＝．
20．（1）证明：连接OA，
∵AE是⊙O切线，
∴∠OAE＝90°，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠OAD＝∠ADE，
∴OA∥DE，
∴∠E＝180°﹣∠OAE＝90°，
∴AE⊥DE；
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为F，
∴DF＝FC＝DC＝3，∠OFD＝90°，
∵∠OAE＝∠E＝90°，
∴四边形AEFO是矩形，
∴EF＝OA＝5，AE＝OF，
∴DE＝EF﹣DF＝5﹣3＝2，
在Rt△OFD中，，
∴AE＝OF＝4，
在Rt△AED中，，
∴AD的长是．