2021-2022学年河北省石家庄市高邑县七年级（下）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年河北省石家庄市高邑县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有( )
A. 条 B. 条 C. 条或条 D. 无数条
下列运算中，计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
数据用科学记数法表示成，则表示的原数为( )
A. B. C. D.
下列命题是真命题的是( )
A. 如果，那么
B. 如果两个角是同位角，那么这两个角相等
C. 相等的两个角是对顶角
D. 平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
若不为，则( )
A. B. C. D.
若是整数，则一定能被下列哪个数整除( )
A. B. C. D.
将变形正确的是( )
A. B.
C. D.
若，则( )
A. B. C. D.
如图，在下列给出的条件中，可以判定的有( )
；
；
；
；
．
A. B. C. D.
如图，的角平分线，中线交于点，则结论：是的角平分线；是的中线其中( )
A. 、都正确
B. 、都不正确
C. 正确不正确
D. 不正确，正确
如图，有，，三个地点，且，从地测得地的方位角是北偏东，那么从地测地的方位角是( )
A. 南偏东
B. 南偏西
C. 北偏东
D. 北偏西
已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
小明网购了一本好玩的数学，同学们想知道价格，小明让他们猜，甲说：至少元．乙说：至多元．小明说：你们两个都说错了．则这本书的价格可能是( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
已知甲、乙、丙均为含的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相乘的积为( )
A. B. C. D.
已知，，是的三边长，满足，则最长边的范围( )
A. B. C. D.
将两块完全相同的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
计算：______．
若不等式组无解，则的取值范围是______．
如图，，直线分别交，于点，，平分，若，则的大小是______．
在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示试求图中阴影部分的总面积为______ 平方厘米．
三、解答题（本大题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
利用公式计算：．
因式分解：．
定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：，，．
如果，那么的取值范围是______．
如果，求满足条件的所有正整数．
两个边长分别为和的正方形按图放置，其未叠合部分阴影面积记作，若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形，如图所示，两个小正方形叠合部分阴影面积记作．
用含，的代数式分别表示，；
若，，求的值．
如图，和的度数满足方程组，且，．
用解方程的方法求和的度数；
求的度数．
如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、．
若，则______，____________
若，则______
请你猜想一下与所满足的数量关系______．
抗击新型冠状肺炎疫情期间，消毒液和酒精都是重要的防护物资．某药房根据实际需要采购了一批消毒液和酒精，共花费元，消毒液和酒精的进价和售价如下：
消毒液 酒精
进价元瓶
售价元瓶
该药房销售完这批消毒液和酒精后共获利元，则消毒液和酒精各销售了多少瓶？
随着疫情的发展，该药房打算再次采购一批消毒液和酒精，第二次采购仍以原价购进消毒液和酒精，购进消毒液的数量不变，而购进酒精的数量是第一次采购数量的倍，消毒液按原价出售，而酒精打折让利出售．若该药房将消毒液和酒精全部销售完，要使第二次的销售获利不少于元，则每瓶酒精最多打几折？
如图，已知直线，，，在上，且满足，平分．
直线与有何位置关系？请说明理由；
求的度数；
若平行移动，在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当点在直线上时，这样的直线为条；
当点在直线外时，这样的直线有一条．
故选：．
分情况讨论，分为点在直线上和直线外．
本题主要考查过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，解题关键是熟记过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
2.【答案】
【解析】解：原式，故A错误．
原式，故B正确．
原式，故C错误．
原式，故D错误．
故选：．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解：数据用科学记数法表示为，
，
．
故选：．
根据绝对值小于的正数利用科学记数法表示，一般形式为，是第个非零数前的个数，所以可知，而将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数．
本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：、如果，那么，故错误，是假命题；
B、两直线平行，同位角才相等，故错误，是假命题；
C、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D、平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，
故选：．
利用平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方的定义、平行线的性质、对顶角的性质及平面内两直线的位置关系等知识，难度不大．
5.【答案】
【解析】解：若不为，则．
故选：．
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．据此解答即可．
本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，是整数，
一定是两个连续的整数相乘，
一定能被整除，
选项B、、不符合要求，所以答案选A，
故选：．
根据题目中的式子，进行因式分解，根据是整数，从而可以解答本题．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题目意图．
7.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据完全平方公式将变形即可．
本题考查有理数的乘方，完全平方公式的运用．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了平方差公式和解分式方程，熟练掌握平方差公式和解分式方程的方法是解本题的关键．
根据平方差公式和分式方程的解法，即可得到的值．
【解答】
解：方程两边都乘以，得
，
，
，
．
经检验是原方程的解．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：不能判定，不符合题意；
，，符合题意；
，，符合题意；
；不能判定，不符合题意；
，，符合题意．
故选：．
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：是三角形的角平分线，
则是的角平分线，
所以是的角平分线，故正确；
是三角形的中线，
则是是中点，而不一定是的中点，故错误．
故选：．
根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知．
考查了三角形的角平分线和中线的概念．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
从地测地的方位角是南偏东．
故选：．
根据方向角的概念和平行线的性质求解，即可得出从地测地的方位角．
本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，
原式．
故选：．
所求式子根据积的乘方与幂的乘方的逆运算进行化简，再整体代入计算即可．
此题考查的是幂的乘方与积的乘方，掌握其运算法则是解决此题关键．
13.【答案】
【解析】解：设这本书的价格为元．
由题意得，．
故选：．
根据不等式的性质解决此题．
本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，
甲为，乙为，丙为，
则甲与丙相乘的积为，
故选：．
把图中的积分解因式后，确定出各自的整式，相乘即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，；
，
是最长边，
．
由，得，的值，然后利用三角形的三边关系求得的取值范围即可．
本题考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大．
16.【答案】
【解析】解：设图中长方体木块的长边减短边的长为，
依题意得：，
解得：，
故选：．
设图中长方体木块的长边减短边的长为，根据两图形给定的数据，得出关于、的二元一次方程组，解之即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
18.【答案】
【解析】解：原不等式组无解，
，
解这个关于的不等式得：，
的取值范围是．
故答案为：．
根据不等式组无解得出不等式，再求出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
19.【答案】
【解析】解：，
，，
，
，
平分，
，
．
故答案为：．
由平行线的性质可求得，再由角平分线的定义得，再次得利用平行线的性质即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
20.【答案】
【解析】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米，
根据题意得：，
解得：，
即小长方形的长为厘米，宽为厘米，
则长方形的宽厘米，
长方形的面积为：平方厘米，
阴影部分的总面积为：平方厘米，
即图中阴影部分的总面积为平方厘米，
故答案为：．
设小长方形的长为厘米，宽为厘米，根据题意和图示，列出的二元一次方程组，解出和的值，再求出大长方形的的长度，从而求出长方形的面积，然后根据阴影部分的面积长方形的面积六个小长方形的面积，即可求得答案．
本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
21.【答案】解：
．
．
【解析】运用多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
先提公因式，再逆用完全平方公式进行因式分解．
本题主要考查多项式乘多项式、因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、提公因式法和公式法进行因式分解是解决本题的关键．
22.【答案】
根据题意得：
，
解得：，
则满足条件的所有正整数为，．
【解析】
解：，
的取值范围是；
故答案为：．
见答案；
【分析】
根据，得出，求出的解即可；
根据题意得出，求出的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解．
此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解．
23.【答案】解：图阴影部分的面积即为边长为正方形与边长为的正方形的面积差，
所以；
图阴影部分的面积为两个边长为的面积和减去长为，宽为的长方形的面积，
所以；
，，
，
答：的值为．
【解析】边长为正方形与边长为的正方形的面积差，就是，两个边长为的面积和减去长为，宽为的长方形的面积即为；
将转化为，即求出的值即可，再变形为，整体代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，适当的等式变形是解决问题的关键．
24.【答案】解：，
将可得：，
解得，
代入得：，
解得，
；
由知，
，
，
．
【解析】利用加减消元法进行求解．
根据两直线平行，同旁内角互补求解．
本题主要考查二元一次方程组的解法和平行线的性质定理，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法加减消元法和代入消元法以及平行线的性质定理．
25.【答案】
【解析】解：在中，，
，
在中，，
，
；
故答案为：；；．
在中，，
，
在中，，
，
，
故答案为：；
与之间的数量关系为：证明如下：
在中，．
在中，．
．
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理可得，，进而可求出的度数；
根据三角形内角和定理可得，，进而可求出的度数；
根据三角形内角和定义有，则．
本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．
26.【答案】解：设消毒液销售了瓶，酒精销售了瓶，
根据题意得：，
解得：，
答：消毒液销售了瓶，酒精销售了瓶；
设每瓶酒精打折，
根据题意得：，
解得：，
答：每瓶酒精最多打折．
【解析】设消毒液销售了瓶，酒精销售了瓶，由题意：某药房根据实际需要采购了一批消毒液和酒精，共花费元，该药房销售完这批消毒液和酒精后共获利元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
设每瓶酒精打折，由题意：第二次采购仍以原价购进消毒液和酒精，购进消毒液的数量不变，而购进酒精的数量是第一次采购数量的倍，消毒液按原价出售，而酒精打折让利出售．若该药房将消毒液和酒精全部销售完，要使第二次的销售获利不少于元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了列二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出二元一次方程组；找出数量关系，列出一元一次不等式．
27.【答案】解：直线与互相平行，理由：
，
，
又
，
；
，
，
，平分，
；
存在．
设．
，
；
，
，
．
若，
则，
得．
存在．
【解析】根据平行线的性质，以及等量代换证明，即可证得；
由直线，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由，即可求得的度数．
首先设，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得与的度数，又由，即可得方程：，解此方程即可求得答案．
此题主要考查了平行线的性质与平行四边形的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．
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