数学人教A版2019选修第一册1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课件（共44张ppt）

(共44张PPT)
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
第 1 章空间向量与立体几何
人教A版2019选修第一册
1．会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)
2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)
学习目标
一、空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝_______________________
减法 a－b a－b＝_______________________
数乘 λa λa＝______________，λ∈R
数量积 a·b a·b＝________________
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
思考　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？
答案　空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；
如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标
减去起点坐标.
二、空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
三、空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
思考　已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
判断正误
×
×
√
√
1.已知空间向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),则有m+n=　　　　　 ,
3m-n=　　　　　 ,(2m)·(-3n)=　　　　　.
(-1,-1,1)
(5,-11,19)
168
解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),
(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.
4
2.已知空间向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,则λ=　　　　,若a⊥b,则 λ=　　　　.
　　　　　.
小试牛刀
1.空间向量的
坐标运算
例1 (1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________ ；
(2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cos〈a，b〉＝________．
(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，
b＝(0，2，－1)，
a·b＝0－2－1＝－3，
练一练
因此，a＝(0,1，－2).
用坐标表示空间向量的步骤如下:
归纳总结
空间向量的坐标运算注意以下几点:
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.
(3)运用公式可以简化运算:(a ± b)2=a2±2a·b+b2; (a+b)·(a-b)=a2-b2.
归纳总结
2.解决空间中的
平行、垂直问题
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
(2)把ka+b与ka-2b用坐标表示出来,再根据数量积为0求解.
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,
判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行．
(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．
(2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的数量积是否为0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)
2　如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ ，AF＝1，M是线段EF的中点.
求证：(1)AM∥平面BDE；
练一练
证明　如图，建立空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE，
又NE与AM不共线，∴NE∥AM.
又∵NE 平面BDE，AM 平面BDE，∴AM∥平面BDE.
(2)AM⊥平面BDF.
又DF∩BF＝F，且DF 平面BDF，BF 平面BDF，
∴AM⊥平面BDF.
3.向量夹角与长度的计算
例3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是AA1,CB1的中点.
(1)求BM,BN的长.
(2)求△BMN的面积.
思路分析建立空间直角坐标系,写出B,M,N等点的坐标,从而得出 的坐标.然后利用模的公式求得BM,BN的长度.对于(2),可利用夹角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN的值,然后套用面积公式计算.
解:以C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).
3　如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点.
(1)求BN的长；
解　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.
依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
练一练
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.
解　依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
又异面直线所成角为锐角或直角，
1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．　　　　
4.利用空间向量解决探索性问题
例4　正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，
点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.
利用空间向量解决探索性问题
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0) ，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，
即当H为线段AB的中点时，GH∥BD1.
(1)解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，
把几何问题转化为代数运算问题.
(2)通过计算解决几何中的探索性问题，培养学生的逻辑
思维能力和数学运算能力.
课堂练习
A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)
答案:D　
当堂达标
2.下列向量中与向量a=(0,1,0)平行的向量是(　　)
A.b=(1,0,0) B.c=(0,-1,0) C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)
答案:B　
解析:比较选项中各向量,观察哪个向量符合λa=(0,λ,0)的形式,经过观察,只有c=-a.
3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k的值等于(　　)
答案:D　
4.已知点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点的距离的最小值为(　　)
答案:C　
解析:因为点A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),
所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,
5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).
(1)计算2a-3b和|2a-3b|.
(2)求.
解　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
1.知识清单：
(1)向量的坐标的运算.
(2)向量的坐标表示的应用.
2.方法归纳：类比、转化.
3.常见误区：
(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.
(2)求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况.
课堂小结