鲁教版（五四制）数学七年级下册 10.2 等腰三角形的性质和判定 教案

10.2 等腰三角形教学设计
一、课标分析
探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。
探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
二、教材分析
本节课是鲁教版七年级下册第十章第二节的第一课时。本节课“等腰三角形”主要研究的对象是等腰三角形和等边三角形，是三角形的证明中的重要内容，是在学生初步认识了等腰三角形、全等三角形的有关定理和结论，并掌握了“平行线的证明”中的一些基本事实，经历了有关问题证明的基础上进行学习的；等腰三角形的相关知识是学习几何领域内容的基础，在以后的学习中经常要用到．为今后三角形相似，圆等知识的学习奠定了理论基础，学好这部分内容至关重要。
三、学情分析
1.在七年级下册第八章《平行线的有关证明》 ，学生已经感受了证明的必要性， 并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级上，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题，这些都为证明本节有关命题做了很好的铺垫。
2．学生对几何知识的学习过程中，经历了一些探索、发现的数学活动，并积累了一些活动经验，具备了一定的借助图形分析、解决问题的能力，初步感受了推理说明的必要性．
四、教学任务分析
本节将进一步利用三角形的定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明，为此，确定本节课的教学目标如下：
1、知识目标：
理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中， 进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。
2、能力目标：
经历探索－发现－猜想－证明的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平。
3、情感与价值目标
启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯。
4、教学重、难点
重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法；
难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
五、教学过程分析
学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）； 教师课前准备：制作好的课件，挑战自我部分的几何画板课件，课前预习微课，展现自我的测评设计，提前发布到教与学平台上。
本节课设计了七个教学环节： 第一环节：折纸活动，探索新知；第二环节：明晰结论和证明过程；第三环节： 逆向思考； 第四环节： 小试牛刀，巩固新知； 第五环节：展现自我；第六环节：挑战自我；第七环节：颗粒归仓。
同学们，我们今天一起来学习鲁教版七年级下册第十章第二节《等腰三角形》第一课时，课前同学们已经在教与学平台上对课前预习微课进行了学习，对等腰三角形的定义与要素进行了回顾，为我们本节课的学习做了知识贮备。
第一环节：折纸活动 探索新知
活动内容：提问：“我们以前探索过等腰三角形有哪些性质？
学生答：等腰三角形的两个底角相等。我们今天来验证一下这个结论。首先写出已知和求证。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
同学们，请拿出手中剪好的等腰三角形纸片，和老师一起操作。把等腰三角形的两腰对折，使两腰重合，在对折的过程中你是不是发现产生了一条折痕？你能通过这条折痕联想出这个问题的辅助线做法吗？
让学生上黑板展示自己的辅助线做法，并说出推理过程，充分展示后老师总结证明方法。
经过同学们的展示，我们得出等腰三角形的两个底角相等这个命题是正确的。我们称它为等腰三角形的第一个性质定理。简称“等边对等角”。几何语言如何表示呢？
学生答：
∵AB=AC（已知）
∴ ∠B=∠C（等边对等角）
设计意图： 通过折纸活动过程，获得有关命题的证明思路，并通过进一步的整理，再次感受证明是探索的自然延伸和发展，熟悉证明的基本步骤和书写格式。
活动效果与注意事项：由于有了教师引导下学生的活动，以及具体的折纸操作，学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理。当然，可能部分学生得到的定理并不全面， 在学生展示交流中，通过同伴的互相补充，会得到多种证明方法。当然，在教学过程中，教师应注意提醒学生思考多种证明思路，思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一 ”。
第二环节：明晰结论和证明过程
活动内容： 同学们，在我们刚才这个问题的证明过程中，你有没有发现其他的结论？你做的辅助线是否有多重身份？引发学生思考，一名学生上讲台展示。从而说明等腰三角形的顶角的平分线也是底边的中线也是底边上的高。
老师：嗯，我们把这个定理称为等腰三角形的第二个性质定理。等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。简称“三线合一”。几何语言怎么表示呢？
学生答：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知）
∴BD=CD，AD⊥AB（等腰三角形的三线合一）
设计意图：和学生一起完成性质定理的证明，可以让学生自主经历命题的证明过程；明晰证明过程，意图给学生明晰一定的规范，起到一种引领作用。
活动效果： 学生一般都能得到这个定理的证明。
第三环节：逆向思考活动过程：
以前，我们改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以 “反过来 ”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径。例如 “等腰三角形的两个底角相等”，反过来成立吗？也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗
我们下面来证明一下。首先写出已知和求证。
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C．
求证：AB=AC．
给同学们两分钟时间自己独立分析思考，然后小组内汇总证明思路。老师把屏幕推送给学生，让学生用平板来分析和标记。
如图，在 △ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC ，只要构造两个全等的三角形，使 AB 与 AC 成为对应边就可以了。你是如何想到的
由一个小组上讲台给同学们展示他们的思路和证明过程。
由前面定理的证明获得启发， 比如作 BC的中线，或作∠A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC 分成两个全等的三角形。
我们组发现，如果作BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，但无法用公理和已证明的定理证明它们全等。因为我们得到的条件是两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，是不能够判断两个三角形全等的。后两种方法是可行的。
（证明略）
几何语言怎么表示？
学生答：∵∠B=∠C（已知）
∴ AB=AC（等角对等边）
设计意图：部分学生得到的证明方法并不全面， 在学生小组的交流中， 通过同伴的互相补充，一般都可以得到所有的证明方法。当然，在教学过程中，教师应注意小组的巡视，提醒学生思考多种辅助线做法。小组全员上讲台展示，让他们有一种集体荣誉感。我们用 “反过来 ”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理—— 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形。这一定理可以简单叙述为：等角对等边。我们不仅发现了几何图形的对称美， 也发现了数学语言的对称美。
第四环节：小试牛刀 巩固新知
活动内容：
如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，AD与BE相交于点H，且已知AE=BE．求证：AH=2BD．
证明：∵AD和BE分别是高，
∴∠1+∠C=90°，∠2+∠C=90°．
∴∠1=∠2．
又∵AE=BE，∠AEH=∠BEC，
∴△AEH≌△BEC（ASA）．
∴ AH=BC．
∵ AB=AC，AD是高，
∴BC=2BD（三线合一）．
∴ AH=2BD．
学生先独立思考，老师再引导一下学生。然后让学生上讲台展示，学生反馈后再任选一名学生上讲台展示。
设计意图：复习全等三角形判定公理的应用，巩固等腰三角形“三线合一”的用法。
第五环节：展示自我
请同学们打开平板电脑，完成教与学平台上的展示自我的三个题目。
通过后台统计的结果来看，哪个题出错率比较高，就以小组为单位进行讨论，找出出错的原因。
然后以随机点名的方式让学生展示一下重点题的证明过程。
设计意图：利用这个环节可以检测一下学生们的知识巩固情况，运用教与学平台上的测评可以实现及时反馈出学生学习的效果。比如第二题错误率比较高的话，就能说明这个题掌握的不够好，需要老师重视。运用小组讨论的方式，可以实现兵教兵的效果。最后利用平台的随机点名功能检验学生是否真正的掌握了。
第六环节：挑战自我
活动内容：
如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　）
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
老师把这个问题以教与学平台随堂测评的方式设置发给学生，学生在平板上把符合题意的点C标注出来，从而选择答案提交。学生提交后选择全部互评的方式，让学生之间进行两两互评，互相补充对方解答的不足和优点。
然后，老师利用几何画板进行点拨，对等腰三角形的寻找关键点在于谁为顶点和腰。当A为顶点时，AB和AC是腰，则以点A为圆心，AB为半径画圆。当B为顶点时，同理。当C为顶点时，CA和CB是腰，则联想到点C在AB的垂直平分线上。
设计意图：因为这个题目中点C的个数很多，学生需要标注和分析，所以用平板电脑标注比较方便和直观，学生能跟据自己的意图去分析，然后互评阶段学生能互补对方的方法，并能找出自己的不足，达到互相促进的目的。最后老师的点拨重在让学生意识到分类讨论的意识，和分析问题的方法。
第七环节：颗粒归仓
活动内容： 让学生畅谈收获，包括具体结论以及其中的思想方法等。
设计意图： 形成及时总结与反思的意识与习惯，提高学生能力。
注意事项： 教师注意对学生的感想进行适当的引导，并在学生交流的基础上，明晰部分收获供学生共享，如：
1.具体有关性质定理；
2.通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据。
3.体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性。
4.小组合作的重要性和优势。
六、课后反思
本节关注学生已有活动经验的回顾过程，关注了“探索－发现－猜想－证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，应该说取得了较好的教学效果。
我在第一个环节通过折纸活动引导学生联想辅助线的做法，还是收到了很好的效果，学生都能看出折痕既可以是顶角的平分线，也可以是底边上的中线，底边上的高。所以学生作出辅助线是比较容易的。实现了老师的初衷，课堂进展比较顺利。
在展示自我的环节，我充分利用我们学校一对一信息化学习手段，大大提升了课堂效率。利用测评方式学生完成三个问题后提交老师能及时的看到学生的掌握情况，每个题目的正确率已经学生个人分析和班级分析都及时并有效的反映出来，突破了传统教学方式，老师无法及时批阅的弊端。并且教学方式的改变大大提升了学生的学习兴趣。小组内合作时大大培养了小组长的讲解能力，学生的合作意识很强，都在认真的请教和互帮互助。因为有随机点名环节，所以学生在组内交流时，特别认真、高效，生怕自己被抽到而答不上来。所以既把老师解放了出来，学生的学习兴趣还更高涨了，真正突出了学生的主体地位。这是我比较满意的地方。
在挑战自我的环节，我利用了教与学平台上的随堂测评功能，学生不用看着黑板空想，思维受到限制，而是可以在平板上跟据自己的想法分析，学生标注点C的过程是学生思维能力提升的过程，这个地方收到了很好的效果。互评时学生用不同的颜色进行互相批改和添加，我们看起来更加直观，学生的学习兴趣很浓厚，很愿意给对方评阅和修改。老师的点拨使得学生分析能力上有很大的提升，使分类讨论的思想深入学生的内心，让学生意识到了好方法的重要性。
今后，我要继续努力，反复打磨自己的课堂，使得学生热爱学数学，学好数学。老师的教学水平也随着学生学习能力的提升而提升。
C
B
A
A
A
A
→
→
D
C
B
D
C
B (C)
D