人教版数学八年级上册 11.3.2 多边形的内角和 教案
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 11.3.2 多边形的内角和 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 267.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-19 22:04:56 | ||
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文档简介
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
一、教学目标
【知识与技能】
了解多边形的内角、外角等概念,能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.
【过程与方法】
经历合作、交流等过程,初步形成推理思维.
【情感、态度与价值观】
经历猜想、探索、归纳等过程,学会多角度、全方位研究问题的方法,体会转化、类比等数学思想.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.多边形的内角和公式.
2.多边形的外角和公式.
【教学难点】
如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和公式.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、多边形结构图等。
学生：三角尺、直尺、多边形纸片。
六、教学过程
（一）导入新课
如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是多少米 你能计算吗
（二）探索新知
1.探究多边形的内角和定理
教师问1：你知道三角形的内角和是多少度吗？
学生回答：三角形的内角和等于180°.
教师问2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度？
学生回答：都是360°.（出示课件4）
教师问3：你能猜想四边形的内角和是多少度吗？
学生回答：四边形的内角和等于360°.
教师问4：你是如何得到这个结论的？你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
学生讨论回答并得出结论.（出示课件5）
证明：如图，连接AC，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为：180°×2=360°.
教师问5：同学们想一想，还有其他的证明方法吗？
学生讨论回答并得出结论.（出示课件6-8）
解法二：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)
=180°×3–180°
=360°.
解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形：
△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4–360°=360°.
解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180°×3 –180°= 360°.
结论： 四边形的内角和为360°.
总结点拨：这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
教师问6：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和吗
学生回答：五边形的内角何为：内角和为180°×3 = 540°.
教师问7：如图，请你利用分割的方法探索六边形的内角和.
学生讨论回答并得出结论.六边形的内角和等于720°.（180°×4 = 720°.）（出示课件11）
教师问8：选择两种不同的将多边形分割成三角形的方法填入下表：
多边形的边数 图形 分割出的三角形个数 多边形的内角和
4
5
6
… … … …
n
学生讨论回答，并给出不同答案.
多边形的边数 图形 分割出的三角形个数 多边形的内角和
4 2 2×180 =360
5 3 3×180 =540
6 4 4×180 =720
… … … …
n n –2 （ n-2 ）·180
教师问9：通过填表，你知道多边形的内角和公式是什么了吗？
学生回答：多边形的内角和等于(n－2)×180
教师问10：还有其他的分割多边形为三角形的方法吗？
学生讨论并回答，教师引导总结.
总结点拨：（出示课件13）
多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n–2)×180 °.
注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.
教师问11：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
学生讨论交流回答，并得出结论：正多边形的每个内角的度数是，每个外角的度数是.
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.（出示课件9）
师生共同解答如下：
解：如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2) ×180 °= 360 °，
所以∠B＋∠D= 360°–（∠A＋∠C）
= 360°– 180° =180°.
总结点拨：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例2：一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？（出示课件14）
师生共同解答如下：
解：设这个多边形边数为n，则
（n–2） 180=360+720，
解得n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
（8–2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
例3：已知n边形的内角和θ=（n–2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；（出示课件16）
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．（出示课件17）
师生共同解答如下：
（1）解：∵ 360°÷180°=2，
630°÷180°=3......90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2=4．
故甲同学说的边数n是4；
（2）解：依题意有
（n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°，
解得x=2．
故x的值是2．
2. 合作探索多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．
教师问12：看图想一想，五边形任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
学生回答：互补
教师问13：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
学生回答：5×180°=900°（出示课件21）
教师问14：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？五边形的外角和是多少呢？（出示课件22）
学生回答：五边形的内角和+外角和=五个平角和
五边形外角和=5个平角–五边形内角和=5×180°–(5–2) × 180°
=360 °
结论：五边形的外角和等于360°.
教师问15：小组合作完成下表.
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 十边形
内角和
外角和
学生讨论给出答案.
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 十边形
内角和 180° 360° 540° 720° 900° 1080°
外角和 360° 360° 360° 360° 360° 360°
教师问16：通过表格，你发现了什么规律？
学生讨论回答：①多边形每增加一条边，内角和就增加180°；②多边形的外角和都是360°.
教师问17：试证明你的结论.
学生交流合作作出证明，教师查看给予引导.
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形的外角和又是多少呢？（出书课件23）
证明：n边形外角和=n个平角–n边形内角和= n×180 °–(n–2) × 180°=360 °
所以n边形的外角和等于360°（注意与边数无关）
例4：已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
（出示课件25）
师生共同解答如下：
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n–2) 180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n–2) 180°=2× 360 .
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
例5：已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.（出示课件26）
解法一：设这个多边形的内角为7x °，外角为2x°，
根据题意得7x+2x=180，解得x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
教师问：还有其他解法吗？
解法二：设这个多边形的边数为n ，根据题意得（出示课件27）
解得 n=9.
答：这个多边形是九边形.
（三）课堂练习（出示课件31-35）
1.判断．
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（ ）
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（ ）
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等. （ ）
2.一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是________.
3. 如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．
4. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A. 360° B. 540 °
C. 720 ° D. 900 °
5. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
6. 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
参考答案：
1.（1）√ （2）×（3）√
2.10
3.150
4.B
5.
解：设多边形的边数为n，则有180 × （n–2）=1800°，
解得 n=12.
∴原多边形边数为12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，
∴新多边形的边数可能是11，12，13，
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
6. 解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7
＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7
＝五边形的内角和
＝540°.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
本节主要学习多边形的内角和与外角和公式.
（五）课前预习
预习下节课（12.1）的相关内容。
1.知道全等形、全等三角形、对应顶点、对应边、对应角等概念
2.了解全等三角形的性质
七、课后作业
1、教材24页练习1,2,3
2、如图,小东在足球场的中间位置,从A点出发,每走6 m向左转60°,已知AB=BC=6 m.
(1)小东是否能走回A点,若能回到A点,则需走多少米 走过的路径是一个什么图形 为什么 (路径A到B到C到…)
(2)求出这个图形的内角和.
八、板书设计：
九、教学反思：
本节主要介绍多边形的内角和与外角和公式，是一节自主探究课，所以在教学过程中，教师可以放手让学生探索，利用多种方法进行研究.同时关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.
在教学设计上，让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握将复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法，让学生在获得数学活动经验的同时，提高探究、发现和创新的能力.
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
一、教学目标
【知识与技能】
了解多边形的内角、外角等概念,能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.
【过程与方法】
经历合作、交流等过程,初步形成推理思维.
【情感、态度与价值观】
经历猜想、探索、归纳等过程,学会多角度、全方位研究问题的方法,体会转化、类比等数学思想.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.多边形的内角和公式.
2.多边形的外角和公式.
【教学难点】
如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和公式.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、多边形结构图等。
学生：三角尺、直尺、多边形纸片。
六、教学过程
（一）导入新课
如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是多少米 你能计算吗
（二）探索新知
1.探究多边形的内角和定理
教师问1：你知道三角形的内角和是多少度吗？
学生回答：三角形的内角和等于180°.
教师问2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度？
学生回答：都是360°.（出示课件4）
教师问3：你能猜想四边形的内角和是多少度吗？
学生回答：四边形的内角和等于360°.
教师问4：你是如何得到这个结论的？你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
学生讨论回答并得出结论.（出示课件5）
证明：如图，连接AC，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为：180°×2=360°.
教师问5：同学们想一想，还有其他的证明方法吗？
学生讨论回答并得出结论.（出示课件6-8）
解法二：如图，在BC边上任取一点E，连接AE，DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED)
=180°×3–180°
=360°.
解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE，BE，CE，DE，
把四边形分成四个三角形：
△ABE，△ADE，△CDE，△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4–360°=360°.
解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180°×3 –180°= 360°.
结论： 四边形的内角和为360°.
总结点拨：这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
教师问6：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和吗
学生回答：五边形的内角何为：内角和为180°×3 = 540°.
教师问7：如图，请你利用分割的方法探索六边形的内角和.
学生讨论回答并得出结论.六边形的内角和等于720°.（180°×4 = 720°.）（出示课件11）
教师问8：选择两种不同的将多边形分割成三角形的方法填入下表：
多边形的边数 图形 分割出的三角形个数 多边形的内角和
4
5
6
… … … …
n
学生讨论回答，并给出不同答案.
多边形的边数 图形 分割出的三角形个数 多边形的内角和
4 2 2×180 =360
5 3 3×180 =540
6 4 4×180 =720
… … … …
n n –2 （ n-2 ）·180
教师问9：通过填表，你知道多边形的内角和公式是什么了吗？
学生回答：多边形的内角和等于(n－2)×180
教师问10：还有其他的分割多边形为三角形的方法吗？
学生讨论并回答，教师引导总结.
总结点拨：（出示课件13）
多边形的内角和公式：n边形内角和等于(n–2)×180 °.
注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数.
教师问11：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
学生讨论交流回答，并得出结论：正多边形的每个内角的度数是，每个外角的度数是.
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.（出示课件9）
师生共同解答如下：
解：如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2) ×180 °= 360 °，
所以∠B＋∠D= 360°–（∠A＋∠C）
= 360°– 180° =180°.
总结点拨：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例2：一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？（出示课件14）
师生共同解答如下：
解：设这个多边形边数为n，则
（n–2） 180=360+720，
解得n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
（8–2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
例3：已知n边形的内角和θ=（n–2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；（出示课件16）
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．（出示课件17）
师生共同解答如下：
（1）解：∵ 360°÷180°=2，
630°÷180°=3......90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2=4．
故甲同学说的边数n是4；
（2）解：依题意有
（n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°，
解得x=2．
故x的值是2．
2. 合作探索多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．
教师问12：看图想一想，五边形任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
学生回答：互补
教师问13：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
学生回答：5×180°=900°（出示课件21）
教师问14：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？五边形的外角和是多少呢？（出示课件22）
学生回答：五边形的内角和+外角和=五个平角和
五边形外角和=5个平角–五边形内角和=5×180°–(5–2) × 180°
=360 °
结论：五边形的外角和等于360°.
教师问15：小组合作完成下表.
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 十边形
内角和
外角和
学生讨论给出答案.
三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 十边形
内角和 180° 360° 540° 720° 900° 1080°
外角和 360° 360° 360° 360° 360° 360°
教师问16：通过表格，你发现了什么规律？
学生讨论回答：①多边形每增加一条边，内角和就增加180°；②多边形的外角和都是360°.
教师问17：试证明你的结论.
学生交流合作作出证明，教师查看给予引导.
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形的外角和又是多少呢？（出书课件23）
证明：n边形外角和=n个平角–n边形内角和= n×180 °–(n–2) × 180°=360 °
所以n边形的外角和等于360°（注意与边数无关）
例4：已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
（出示课件25）
师生共同解答如下：
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n–2) 180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n–2) 180°=2× 360 .
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
例5：已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.（出示课件26）
解法一：设这个多边形的内角为7x °，外角为2x°，
根据题意得7x+2x=180，解得x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
教师问：还有其他解法吗？
解法二：设这个多边形的边数为n ，根据题意得（出示课件27）
解得 n=9.
答：这个多边形是九边形.
（三）课堂练习（出示课件31-35）
1.判断．
(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（ ）
(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（ ）
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等. （ ）
2.一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是________.
3. 如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是________米．
4. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A. 360° B. 540 °
C. 720 ° D. 900 °
5. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
6. 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
参考答案：
1.（1）√ （2）×（3）√
2.10
3.150
4.B
5.
解：设多边形的边数为n，则有180 × （n–2）=1800°，
解得 n=12.
∴原多边形边数为12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，
∴新多边形的边数可能是11，12，13，
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
6. 解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7
＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7
＝五边形的内角和
＝540°.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
本节主要学习多边形的内角和与外角和公式.
（五）课前预习
预习下节课（12.1）的相关内容。
1.知道全等形、全等三角形、对应顶点、对应边、对应角等概念
2.了解全等三角形的性质
七、课后作业
1、教材24页练习1,2,3
2、如图,小东在足球场的中间位置,从A点出发,每走6 m向左转60°,已知AB=BC=6 m.
(1)小东是否能走回A点,若能回到A点,则需走多少米 走过的路径是一个什么图形 为什么 (路径A到B到C到…)
(2)求出这个图形的内角和.
八、板书设计：
九、教学反思：
本节主要介绍多边形的内角和与外角和公式，是一节自主探究课，所以在教学过程中，教师可以放手让学生探索，利用多种方法进行研究.同时关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.
在教学设计上，让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握将复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法，让学生在获得数学活动经验的同时，提高探究、发现和创新的能力.