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陕西省西安市蓝田县2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·蓝田期末）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以，
则在复平面内所对应的点位于第四象限。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再利用复数的几何意义，进而得出共轭复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。
2．（2022高二下·蓝田期末）对两个变量与进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
①模型Ⅰ的相关系数为-0.90； ②模型Ⅱ的相关系数为0.80；
③模型Ⅲ的相关系数为-0.50； ④模型Ⅳ的相关系数为0.25．
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【答案】A
【知识点】相关系数
【解析】【解答】因为越趋近于1，相关性越强，模型拟合效果越好，所以拟合效果最好的模型是Ⅰ。
故答案为：A．
【分析】利用越趋近于1，相关性越强，模型拟合效果越好，所以找出拟合效果最好的模型。
3．（2022高二下·蓝田期末）口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.75
【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则，
，于是得，
所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为0.6。
故答案为：C
【分析】利用 已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率。
4．（2022高二下·蓝田期末）若，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．
【答案】D
【知识点】组合数公式的推导
【解析】【解答】因为，所以或，
解得（舍去）或。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合组合数的性质，进而得出实数x的值。
5．（2020·肇庆模拟）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 则 ．
故选C．
【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
6．（2021高二下·启东期中）设随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B，则V(Y)＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：因为X～B（2， ），
则V（X）＝2× × ＝ ，
又Y＝3X﹣1，
所以V（Y）＝V（3X﹣1）＝ ，所以A符合题意，BCD不符合题意
故答案为：A.
【分析】 先利用二项分布的数学期望公式求出V (X)，再利用方差的性质求解即可.
7．（2022·云南模拟）的二项展开式中第4项的系数为（ ）
A．-80 B．-40 C．40 D．80
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的二项展开式中第4项为，
所以所求系数为-40.
故答案为：B
【分析】由二项展开式的通项公式，直接求出答案.
8．（2022高二下·蓝田期末）当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻 复杂.某地区安排A，B，C，D四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，且A，B两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．24种 B．30种 C．36种 D．72种
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】若和各去一个地区，同去一个地区，则共有种方案；若和中的1人同去一个地区，和另一人各去一个地区，则共有种方案；
若和中的1人同去一个地区，和另一人各去一个地区，则共有种方案；由分类加法原理可得共有种方案.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再利用分类加法计数原理，进而得出不同的分配方法总数。
9．（2022高二下·蓝田期末）下列求导错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】、、运算正确.
，B选项错误.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，进而找出求导错误的选项。
10．（2022高二下·蓝田期末）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（ ）
A．（34，34） B．（43，34）
C．（34，43） D．（A43，A43）
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意知本题是一个分步乘法问题，
首先每名学生报名有3种选择，
有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，
每项冠军有4种可能结果，
3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理，进而得出 （a，b） 。
11．（2022高二下·蓝田期末）某种产品的价格x（单位：元/）与日需求量y（单位：）之间的对应数据如表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论错误的是（ ）
A．变量y与x呈负相关
B．回归直线经过点
C．
D．该产品价格为35元/时，日需求量大约为
【答案】D
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】，
故即，ABC都正确，不符合题意.
此时，令，则，
D错误，符合题意.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法，进而得出线性回归方程，再利用线性回归直线恒过样本中心点的性质，与变量y与x的线性相关的判断方法、再结合代入法和线性回归方程得出该产品价格为35元/时的日需求量 ，进而找出结论错误的选项。
12．（2022高二下·蓝田期末）已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，
当，，故在上单调递减，
且易知为奇函数，故在上单调递减，由，
所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合偶函数的图象的对称性，进而判断出函数为偶函数，再利用构造法令，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出在上单调递减，再利用奇函数的定义判断函数为奇函数，故在上单调递减，再利用再利用函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
二、填空题
13．（2022高二下·蓝田期末）已知复数（，），，则
【答案】-1+2i
【知识点】虚数单位i及其性质；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，
所以，
则，
所以，
所以。
故答案为：-1+2i。
【分析】利用已知条件结合虚数单位i的周期性和运算法则，再结合复数的混合运算法则和复数相等的判断方法，进而得出a，b的值，从而得出复数z。
14．（2022高二下·蓝田期末）函数在上的最大值为 ．
【答案】-1
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由函数可知，，
则.
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
所以当时，函数有最大值，。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数在上的最大值。
15．（2022高二下·蓝田期末）如图，已知直线l是曲线在点处的切线，则的值为 .
【答案】
【知识点】函数的值；导数的几何意义
【解析】【解答】依题意得，根据导数的几何意义可知，切线的斜率由，连线确定，
故，又，故。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合曲线的图象，再结合导数的几何意义和代入法，进而得出的值。
16．（2022高二下·蓝田期末）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸服从正态分布，若x落在内的零件个数为2718，则可估计所抽取的这批零件中直径x高于22的个数大约为 .（附：若随机变量服从正态分布，则，，.）
【答案】455
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；概率的应用
【解析】【解答】由正态分布可知：，，，，
，，
直径高于的个数大约为。
故答案为：455。
【分析】利用已知条件结合随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的图象的对称性，再结合对立事件求概率公式和频率等于频数除以样本容量的公式，进而得出直径高于的个数。
三、解答题
17．（2022高二下·蓝田期末）已知是实数，1和-1是函数的两个极值点．
（1）求和的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点．
【答案】（1）解：，
∵1和-1是函数的两个极值点，∴1和-1是的两根，
，解得：，；
当，时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
和是的两个极值点，满足题意；
，
（2）解：由（1）知：，
令，解得：，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值点为，无极大值点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出函数的极值点，再利用韦达定理得出a，b的值，再结合求导的的方法判断函数的单调性，进而求出满足要求的a，b的值。
（2）由（1）结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点。
18．（2022高二下·蓝田期末）第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达2.64亿，预计“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进入中度老龄化阶段.为了调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人（其中男性20人，女性20人），进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福.调查所得数据的茎叶图如图：
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
（1）根据茎叶图完成下列列联表；
一般幸福 非常幸福 合计
男性 20
女性 20
合计 40
（2）通过计算判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关？
【答案】（1）解：列联表如下：
一般幸福 非常幸福 合计
男性 16 4 20
女性 11 9 20
合计 27 13 40
（2）解：依题意得，，有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关.
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合茎叶图中的数据，进而填写完列联表。
（2）利用列联表中的数据结合独立性检验的方法，进而判断出有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关。
19．（2022高二下·蓝田期末）如图，小明家住H小区，他每天早上骑自行车去学校C上学，从家到学校有，两条路线，路线上有，，三个路口，每个路口遇到红灯的概率均为；路线上有，两个路口，且，路口遇到红灯的概率分别为，.
（1）若走路线，求遇到3次红灯的概率；
（2）若走路线，变量X表示遇到红灯次数，求X的分布列及数学期望.
【答案】（1）解：设“走路线遇到3次红灯”为事件A，则.
（2）解：依题意，X的可能取值为. 则，；.随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式，进而得出遇到3次红灯的概率。
（2） 依题意得出X的可能取值，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
20．（2022高二下·蓝田期末）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：在上，.
【答案】（1）解：函数的定义域为，.若，当时，，此时函数为增函数，当时，，此时函数为减函数；若，当时，，此时函数为减函数，当时，，此时函数为增函数.
（2）证明：当时，令，则，当时，，此时函数在递增，当时，恒成立.故在上，
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2）利用a的值求出函数的解析式， 令， 再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而证出在上，不等式成立。
21．（2022高二下·蓝田期末）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：
乘坐站数
票价（元） 2 4 6
现有甲 乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
（1）若甲 乙两人共付费6元，则甲 乙下地铁的方案共有多少种？
（2）若甲 乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？
【答案】（1）解：由已知可得：甲 乙两人共付费6元，则甲 乙一人付费2元一人付费4元，又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选，所以甲 乙下地铁的方案共有（3×4）×2=24（种）
（2）解：甲 乙两人共付费8元，则甲 乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元；当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时，共有35=15（种）方案；当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案；若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案；若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案；综上，甲比乙先下地铁的方案共有（种）.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分步乘法计数原理，进而得出甲 乙下地铁的方案共有的种数。
（2）利用已知条件结合分类加法计数原理，进而得出甲比乙先下地铁的方案共有的种数。
22．（2022高二下·蓝田期末）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在上无零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：由题得，
则，
，，
曲线在处的切线方程为，即
（2）解：，
①当时，，在上单调递减，
在上无零点且，
则，
；
②当时，
令得，
若即时，，在上单调递增，
由可知，符合条件；
若，即时，，在上单调递减，
在上无零点且，则，；
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，，，
，
综上，a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用导数的几何意义求出曲线在切点出的切线的斜率，再利用切点的横坐标和代入法求出切点的纵坐标，进而得出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，再利用零点存在性定理，进而得出实数a的取值范围。
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陕西省西安市蓝田县2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·蓝田期末）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022高二下·蓝田期末）对两个变量与进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
①模型Ⅰ的相关系数为-0.90； ②模型Ⅱ的相关系数为0.80；
③模型Ⅲ的相关系数为-0.50； ④模型Ⅳ的相关系数为0.25．
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
3．（2022高二下·蓝田期末）口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.75
4．（2022高二下·蓝田期末）若，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．
5．（2020·肇庆模拟）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B．
C． D．
6．（2021高二下·启东期中）设随机变量X，Y满足：Y＝3X﹣1，X～B，则V(Y)＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2022·云南模拟）的二项展开式中第4项的系数为（ ）
A．-80 B．-40 C．40 D．80
8．（2022高二下·蓝田期末）当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻 复杂.某地区安排A，B，C，D四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，且A，B两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．24种 B．30种 C．36种 D．72种
9．（2022高二下·蓝田期末）下列求导错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二下·蓝田期末）设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（ ）
A．（34，34） B．（43，34）
C．（34，43） D．（A43，A43）
11．（2022高二下·蓝田期末）某种产品的价格x（单位：元/）与日需求量y（单位：）之间的对应数据如表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论错误的是（ ）
A．变量y与x呈负相关
B．回归直线经过点
C．
D．该产品价格为35元/时，日需求量大约为
12．（2022高二下·蓝田期末）已知函数的图像关于直线对称，且当时，成立，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022高二下·蓝田期末）已知复数（，），，则
14．（2022高二下·蓝田期末）函数在上的最大值为 ．
15．（2022高二下·蓝田期末）如图，已知直线l是曲线在点处的切线，则的值为 .
16．（2022高二下·蓝田期末）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸服从正态分布，若x落在内的零件个数为2718，则可估计所抽取的这批零件中直径x高于22的个数大约为 .（附：若随机变量服从正态分布，则，，.）
三、解答题
17．（2022高二下·蓝田期末）已知是实数，1和-1是函数的两个极值点．
（1）求和的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点．
18．（2022高二下·蓝田期末）第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达2.64亿，预计“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进入中度老龄化阶段.为了调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人（其中男性20人，女性20人），进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福.调查所得数据的茎叶图如图：
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
（1）根据茎叶图完成下列列联表；
一般幸福 非常幸福 合计
男性 20
女性 20
合计 40
（2）通过计算判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关？
19．（2022高二下·蓝田期末）如图，小明家住H小区，他每天早上骑自行车去学校C上学，从家到学校有，两条路线，路线上有，，三个路口，每个路口遇到红灯的概率均为；路线上有，两个路口，且，路口遇到红灯的概率分别为，.
（1）若走路线，求遇到3次红灯的概率；
（2）若走路线，变量X表示遇到红灯次数，求X的分布列及数学期望.
20．（2022高二下·蓝田期末）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：在上，.
21．（2022高二下·蓝田期末）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：
乘坐站数
票价（元） 2 4 6
现有甲 乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
（1）若甲 乙两人共付费6元，则甲 乙下地铁的方案共有多少种？
（2）若甲 乙两人共付费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？
22．（2022高二下·蓝田期末）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在上无零点，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为 ，所以，
则在复平面内所对应的点位于第四象限。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数，再利用复数的几何意义，进而得出共轭复数对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限。
2．【答案】A
【知识点】相关系数
【解析】【解答】因为越趋近于1，相关性越强，模型拟合效果越好，所以拟合效果最好的模型是Ⅰ。
故答案为：A．
【分析】利用越趋近于1，相关性越强，模型拟合效果越好，所以找出拟合效果最好的模型。
3．【答案】C
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】记“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则，
，于是得，
所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为0.6。
故答案为：C
【分析】利用 已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率。
4．【答案】D
【知识点】组合数公式的推导
【解析】【解答】因为，所以或，
解得（舍去）或。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合组合数的性质，进而得出实数x的值。
5．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】 则 ．
故选C．
【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
6．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】解：因为X～B（2， ），
则V（X）＝2× × ＝ ，
又Y＝3X﹣1，
所以V（Y）＝V（3X﹣1）＝ ，所以A符合题意，BCD不符合题意
故答案为：A.
【分析】 先利用二项分布的数学期望公式求出V (X)，再利用方差的性质求解即可.
7．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】的二项展开式中第4项为，
所以所求系数为-40.
故答案为：B
【分析】由二项展开式的通项公式，直接求出答案.
8．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】若和各去一个地区，同去一个地区，则共有种方案；若和中的1人同去一个地区，和另一人各去一个地区，则共有种方案；
若和中的1人同去一个地区，和另一人各去一个地区，则共有种方案；由分类加法原理可得共有种方案.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再利用分类加法计数原理，进而得出不同的分配方法总数。
9．【答案】B
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】、、运算正确.
，B选项错误.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，进而找出求导错误的选项。
10．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题意知本题是一个分步乘法问题，
首先每名学生报名有3种选择，
有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，
每项冠军有4种可能结果，
3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合分步乘法计数原理，进而得出 （a，b） 。
11．【答案】D
【知识点】两个变量的线性相关；线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】，
故即，ABC都正确，不符合题意.
此时，令，则，
D错误，符合题意.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法，进而得出线性回归方程，再利用线性回归直线恒过样本中心点的性质，与变量y与x的线性相关的判断方法、再结合代入法和线性回归方程得出该产品价格为35元/时的日需求量 ，进而找出结论错误的选项。
12．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，
当，，故在上单调递减，
且易知为奇函数，故在上单调递减，由，
所以。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合偶函数的图象的对称性，进而判断出函数为偶函数，再利用构造法令，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出在上单调递减，再利用奇函数的定义判断函数为奇函数，故在上单调递减，再利用再利用函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
13．【答案】-1+2i
【知识点】虚数单位i及其性质；复数相等的充要条件；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为，
所以，
则，
所以，
所以。
故答案为：-1+2i。
【分析】利用已知条件结合虚数单位i的周期性和运算法则，再结合复数的混合运算法则和复数相等的判断方法，进而得出a，b的值，从而得出复数z。
14．【答案】-1
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由函数可知，，
则.
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
所以当时，函数有最大值，。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数在上的最大值。
15．【答案】
【知识点】函数的值；导数的几何意义
【解析】【解答】依题意得，根据导数的几何意义可知，切线的斜率由，连线确定，
故，又，故。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合曲线的图象，再结合导数的几何意义和代入法，进而得出的值。
16．【答案】455
【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；概率的应用
【解析】【解答】由正态分布可知：，，，，
，，
直径高于的个数大约为。
故答案为：455。
【分析】利用已知条件结合随机变量服从正态分布，再结合正态分布对应的函数的图象的对称性，再结合对立事件求概率公式和频率等于频数除以样本容量的公式，进而得出直径高于的个数。
17．【答案】（1）解：，
∵1和-1是函数的两个极值点，∴1和-1是的两根，
，解得：，；
当，时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
和是的两个极值点，满足题意；
，
（2）解：由（1）知：，
令，解得：，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值点为，无极大值点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法求出函数的极值点，再利用韦达定理得出a，b的值，再结合求导的的方法判断函数的单调性，进而求出满足要求的a，b的值。
（2）由（1）结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的极值点。
18．【答案】（1）解：列联表如下：
一般幸福 非常幸福 合计
男性 16 4 20
女性 11 9 20
合计 27 13 40
（2）解：依题意得，，有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关.
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合茎叶图中的数据，进而填写完列联表。
（2）利用列联表中的数据结合独立性检验的方法，进而判断出有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关。
19．【答案】（1）解：设“走路线遇到3次红灯”为事件A，则.
（2）解：依题意，X的可能取值为. 则，；.随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式，进而得出遇到3次红灯的概率。
（2） 依题意得出X的可能取值，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
20．【答案】（1）解：函数的定义域为，.若，当时，，此时函数为增函数，当时，，此时函数为减函数；若，当时，，此时函数为减函数，当时，，此时函数为增函数.
（2）证明：当时，令，则，当时，，此时函数在递增，当时，恒成立.故在上，
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2）利用a的值求出函数的解析式， 令， 再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而证出在上，不等式成立。
21．【答案】（1）解：由已知可得：甲 乙两人共付费6元，则甲 乙一人付费2元一人付费4元，又付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费4元的乘坐站数有4，5，6，7四种选，所以甲 乙下地铁的方案共有（3×4）×2=24（种）
（2）解：甲 乙两人共付费8元，则甲 乙一人付费2元一人付费6元或两人都付费4元；当甲付费2元，乙付费6元时，甲乘坐站数有1，2，3三种选择，乙乘坐站数有8，9，10，11，12五种选择，此时，共有35=15（种）方案；当两人都付费4元时，若甲在第4站下地铁，则乙可在第5，6，7站下地铁，有3种方案；若甲在第5站下地铁，则乙可在第6，7站下地铁，有2种方案；若甲在第6站下地铁，则乙可在第7站下地铁，有1种方案；综上，甲比乙先下地铁的方案共有（种）.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分步乘法计数原理，进而得出甲 乙下地铁的方案共有的种数。
（2）利用已知条件结合分类加法计数原理，进而得出甲比乙先下地铁的方案共有的种数。
22．【答案】（1）解：由题得，
则，
，，
曲线在处的切线方程为，即
（2）解：，
①当时，，在上单调递减，
在上无零点且，
则，
；
②当时，
令得，
若即时，，在上单调递增，
由可知，符合条件；
若，即时，，在上单调递减，
在上无零点且，则，；
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，，，
，
综上，a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用导数的几何意义求出曲线在切点出的切线的斜率，再利用切点的横坐标和代入法求出切点的纵坐标，进而得出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，再利用零点存在性定理，进而得出实数a的取值范围。
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