13.3.2含30°角的直角三角形的性质 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
13.3.2 含30°角的直角三角形的性质
人教版八年级上册
知识回顾
1.等边三角形的性质有哪些？
2.等边三角形的判断有哪些？
①三边相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
①等边三角形的三条边都相等；
②等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60°；
③等边三角形每条边上的高、中线和每个角的平分线都重合，有3条对称轴
教学目标
1.探索含30°角的直角三角形的性质．
2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
新知导入
含30°角的直角三角形的性质
知识点 1
如图，等边△ABC中，AD为高，那么△ABD和△ACD全等吗？
A
问题1：
B
C
D
答：△ABD ≌△ACD
问题2：
∠BAD多少度？BD与AB有什么样的数量关系？
问题3：
△ACD中，∠CAD呢？DC与AC是否有同样的数量关系？
是不是所有的直角三角形都有这种性质？ △ABD和△ACD有什么特点？
问题4：
答：不是都有，这两个直角三角形含有30°角
答：∠CAD=30°，DC= AC
答：∠BAD=30°，BD= AB
新知探究
A
B
D
问题5：是不是所有含30°角的直角三角形都有上述数量关系呢？
过程：①将一个与三角板ABD一样大小的三角板ADC，
如图摆放。
②得到的△ABC （“是”或“不是”）等边三角形
③AB= ，BD= ，所以BD=
是
C
BC
问题6：能否用几何证明的形式怎么上述结论呢？
结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它 直角边 斜边的一半.
所对的
等于
BC
AB
验证：现有含30°角的直角三角板ABD，如何证明BD= AB？
新知探究
证明：延长BC 到D，使BD =AB，连接AD.
在△ABC 中，
∵　∠C =90°，∠A =30°,
∴　∠B =60°．
∴△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．
A
B
C
D
∴BC = AB．　　
∴BC = BD．　　
分析：参考刚才三角板的方法，可以先延长 ，使 ，连接 ，这样情况就和三角板时候一模一样了。
BC 到D
BD =AB
AD
新知探究
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°.
求证：BC= AB.
证明：在斜边AB上截取BD=BC，连接CD.
A
C
B
D
证法2
∵在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴∠B=60°.
∵BD=BC,∠B=60° ,
∴△BCD为等边三角形,
∴∠DCB=60°,CD=BC=BD.∴∠ACD=∠A=30°,
∴AD=CD. ∴BC=CD=BD=AD.
∴BC= AB.
新知小结
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴BC= AB.
A
C
B
含30°角的直角三角形的性质
新知典例
例1 如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CD垂直于AB，垂足为点D，∠A＝30°，BD＝3，则AB＝　 　．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝2BD＝6，
∴AB＝2BC＝12，
12
课堂练习
1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
解：∵∠A＝30°，AD＝12，DE垂直平分AB，
∴DE＝6，DA＝DB，
∴∠DBE＝∠A＝30°，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∴∠DBE＝∠DBC＝30°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，
C
课堂小结
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
新知探究
问题7： 这个性质的逆命题还成立吗？请试着证明你的猜想.
含30°角的直角三角形的性质：
.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
逆命题：
.
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
已知：如图
A
C
B
求证：
∠A=30°.
Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AB.
含30°角的直角三角形的判定
知识点 2
新知探究
已知：如图
A
C
B
求证：
∠A=30°.
Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AB.
D
证明：延长BC 到D，使CD =BC，连接AD.
∵　∠C =90°，
∴　AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴AD=AB,
∴BD=AB=AD，
∴∠B =60°，
∴∠CAB =30°.
∵BC=CD= AB，
逆命题成立
课堂小结
直角三角形中的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
含30°角的直角三角形的判定
几何语言：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°
A
C
B
∵BC= AB，
∴∠A=30°.
新知典例
例2 已知：在等腰△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝ ，则∠C的度数有几种可能（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
BC
解：（1）当∠C为底角时，
①如图1，当AB＝AC时，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AD＝
∴AD＝BD＝CD，
∴∠C＝45°；
BC，
②如图2，当AB＝BC时，
∵AD＝
∴AD＝
∴∠ABD＝30°，
∴∠C＝75°；
BC，
AB，
B
新知典例
例2．已知：在等腰△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝ ，则∠C的度数有几种可能（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
BC
③如图3，当AB＝BC时，
∵AD＝ ，AB＝BC，
∴AD＝ ，
∴∠DBA＝30°，
∴∠C＝15°；
BC
AB，
（2）当∠C为顶角时，
①如图4，AC＝BC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝ ，
∴AD＝ ，
∴∠C＝30°；
BC
AC
B
②如图5，AC＝BC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝ ,
∴AD＝ ,
∴∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝150°．
BC
AC
综上所述，∠ACB的度数为45°或75°或15°或30°或150°．
课堂练习
2．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（　　）
A．75°或30° B．75° C．15° D．75°和15°
解：当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示，
∵AD⊥AC，AD＝
∴∠B＝30°，
∴∠C＝∠BAC＝75°；
AB
当等腰三角形是钝角三角形时，如图2所示，
∵CD⊥AB，即在直角三角形ACD中，CD＝
∴∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
AC
D
课堂小结
方法总结：利用含30°角的直角三角形的判定解决问题时，注意确定边所对的角，不要看错位置；在处理一些问题时候要考虑多种不同的情况，按照边、角的位置进行分类。
新知探究
利用直角三角形的性质解决实际问题
知识点 3
　　例3　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长.
A
B
C
D
E
解：∵　DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴　BC = AB，DE = AD．　
又　AD = AB，
∴　DE = AD =1.85（m） ．　　
∴　BC =3.7（m）．　
课堂练习
3．如图所示，为了躲避海盗，一轮船由西向东航行，早上8点，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，以每小时20海里的速度继续向东航行，10点到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上，已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险？
解：作PC⊥AB于点C．
∵∠PAB＝90°﹣75°＝15°，∠PBC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠PBC＝∠PAB+∠APB，
∴∠PAB＝∠APB＝15°，
∴BP＝AB＝20×2＝40（海里），
在直角△PBC中，PC＝
PB＝40× ＝20＜22．
则若轮船仍向前航行有触礁的危险．
课堂小结
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
课堂小测
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　）
A．8 B．1 C．2 D．4
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝3cm，则BC的长为 　 　cm．
9
A
课堂小测
3．如图，是柳州市鱼马公园一段索道的示意图，已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝30°，则缆车从A点到达B点过程中，上升的高度（BC的长）为
　 　 米．
15
课堂小测
4.如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
解：（1）由题意得：
AB＝15×2＝30（海里）．
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．
∴∠ACB＝∠NAC．
∴AB＝BC＝30 （海里）．
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．
（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．
∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．
又∵∠NBC＝60°，
∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．
在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，
∴ （海里），
∴AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里）．
∴航行的时间为45÷15＝3（时）．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
课堂小测
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E，CE＝6，求AC的长．
解：连接BE，
∵DE为AB边的垂直平分线，
∴BE＝AE，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°
∴∠EBA＝∠A＝30°，
在Rt△BCE中，∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝30°，
∴BE＝2EC＝12，
∴AC＝AE+EC＝BE+EC＝12+6＝18．
课堂总结
含30°角的直角三角形
性质
判定（拓展）
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.
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