一、概念规律题组
1．下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种变加速运动
D．做匀速圆周运动的物体所受合外力为零
2．下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法，正确的是( )
A．向心加速度越大，物体速率变化越快
B．向心加速度越大，物体速度变化越快
C．向心加速度越大，物体速度方向变化越快
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
3．一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么下列说法错误的是( )
A．小球运动的角速度ω＝
B．小球在时间t内通过的路程为s＝t
C．小球做匀速圆周运动的周期T＝
D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R
图1
4．如图1所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为( )
A. B.
C. D.
二、思想方法题组
5．如图2所示，小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动．则下列关于A的受力情况的说法中正确的是( )
图2
A．受重力、支持力
B．受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
C．受重力、支持力、摩擦力和向心力
D．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
6．狗拉着雪撬在水平冰面上沿着圆弧形的道路匀速行驶，下图为四个关于雪撬受到的牵引力F及摩擦力Ff的示意图(O为圆心)，其中正确的是( )
一、圆周运动的运动学分析
1．匀速圆周运动
(1)特点：线速度的大小不变，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．
(2)性质：是线速度大小不变而方向时刻变化的变速曲线运动，是加速度大小不变而方向时刻改变的变加速曲线运动．
(3)向心加速度和向心力：仅存在向心加速度．向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．
(4)质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．传动装置特点
(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同．
(2)皮带传动：不打滑的摩擦传动和皮带(或齿轮)传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．
(3)在讨论v、ω、r三者关系时，应采用控制变量法，即保持其中一个量不变来讨论另外两个量的关系．
【例1】 (宁夏理综高考.30)如图3所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
图3
A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动
C.从动轮的转速为n D.从动轮的转速为n
[规范思维]
图4
[针对训练1] 如图4所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：
(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；
(2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；
(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.
二、圆周运动中的动力学问题分析
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．分析下列各情景中的向心力来源
图形 向心力来源
卫星绕地球做匀速圆周运动 引力
绳拉球在光滑水平面上做匀速圆周运动 拉力(或弹力)
衣服在筒内壁上做匀速圆周运动 壁对衣服的弹力
物体做圆锥摆运动 拉力和重力的合力
汽车通过拱形桥时 重力和支持力的合力
3.圆周运动的分析思路
(1)圆周可看成是牛顿第二定律应用的进一步延伸．将牛顿第二定律F＝ma应用于圆周运动，F就是向心力，a就是向心加速度，即得：F＝man＝m＝mω2R＝mR
(2)基本思路
①明确研究对象．
②分析运动情况：即做什么性质的圆周运动(匀速圆周运动？变速圆周运动？)；确定轨道所在的平面和圆心位置，从而确定向心力的方向．
③分析受力情况(注意不要把向心力作为某一性质的力进行分析)，在向心方向求合外力(即选定向心方向为正方向)．
④由牛顿第二定律列方程，根据已知量和要求量选择合适的向心加速度公式．
⑤求解或进行必要的讨论．
图5
【例2】 (2010·山东省泰安市高三第二轮复习质量检测)如图5所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
[规范思维]
图6
【例3】 如图6所示，在光滑的水平面上有两个质量相同的球A和球B，A、B之间以及B球与固定点O之间分别用两段轻绳相连并以相同的角速度绕着O点做匀速圆周运动，如果OB＝2AB，则绳OB与绳BA的张力之比为( )
A．2∶1 B．3∶2 C．5∶3 D．5∶2
[规范思维]
[针对训练2] 2009年10月10日，美国空军“雷鸟”飞行表演队在泰国首都曼谷进行了精彩的飞行表演．飞行员驾机在竖直平面内做圆环特技飞行，若圆环半径为1 000 m，飞行速度为100 m/s，求飞行在最高点和最低点时飞行员对座椅的压力是自身重力的多少倍．(g＝10 m/s2)
【基础演练】
图7
1．如图7所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速转动，下列说法中正确的是( )
A．物块处于平衡状态
B．物块受三个力作用
C．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
D．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘
图8
2．如图8所示是一个玩具陀螺．a、b和c是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )
A．a、b和c三点的线速度大小相等
B．a、b和c三点的角速度相等
C．a、b的角速度比c的大
D．c的线速度比a、b的大
图9
3．如图9所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是( )
A．螺丝帽的重力与其受到的最大静摩擦力平衡
B．螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
C．此时手转动塑料管的角速度ω＝
D．若塑料管的转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管发生运动
图10
4．(2011·临汾联考)甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动，如图10所示．已知M甲＝80 kg，M乙＝40 kg，两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为96 N，下列判断中正确的是( )
A．两人的线速度相同，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，约为2 rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45 m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m
5．(2011·山东泰安模拟)如图11所示，两个啮合齿轮，小齿轮半径为10 cm，大齿轮半径为20 cm，大齿轮中C点离圆心O2的距离为10 cm，A、B分别为两个齿轮边缘上的点，则A、B、C三点的( )
图11
A．线速度之比为1∶1∶1
B．角速度之比为1∶1∶1
C．向心加速度之比为4∶2∶1
D．转动周期之比为2∶1∶1
6.如图12所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置，而后释放，摆球运动过程中，支架始终不动，以下说法正确的是( )
图12
A．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为(m＋M)g
B．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为Mg
C．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(m＋M)g
D．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(3m＋M)g
【能力提升】
7．(2011·汕头模考)如图13所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①放在A盘的边缘，钢球②放在B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1.a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，a轮、b轮半径之比为1∶2.当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球①、②受到的向心力之比为( )
图13
A．2∶1 B．4∶1 C．1∶4 D．8∶1
图14
8．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点，如图14所示，当轻杆木架绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b被烧断的同时木架停止转动，则下列说法中错误的是( )
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大
C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
图15
9．(2010·广东省汕头市模拟考试)如图15所示，细绳一端系着质量m＝0.1 kg的小物块A，置于光滑水平台面上；另一端通过光滑小孔O与质量M＝0.5 kg的物块B相连，B静止于水平地面上．当A以O为圆心做半径r＝0.2 m的匀速圆周运动时，地面对B的支持力FN＝3.0 N，求物块A的速度和角速度的大小．(g＝10 m/s2)
图16
10．(2011·山东青岛月考)如图16所示，一根长0.1 m的细线，一端系着一个质量为0.18 kg的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，使小球的转速很缓慢地增加，当小球的转速增加到开始时转速的3倍时，细线断开，线断开前的瞬间，线受到的拉力比开始时大40 N，求：
(1)线断开前的瞬间，线受到的拉力大小；
(2)线断开的瞬间，小球运动的线速度大小；
(3)如果小球离开桌面时，速度方向与桌边线的夹角为60°，桌面高出地面0.8 m，求：小球飞出后的落地点距桌边线的水平距离．
学案3 圆周运动
【课前双基回扣】
1．C
2．C [向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量．]
3．ABD [由a＝ω2R得ω＝
t时间内的路程s＝vt＝ωRt＝t
T＝＝2π，故知A、B、D正确．]
4．A [连接轮之间可能有两种类型，即皮带轮或齿轮相互传动和同轴轮传动(各个轮子的轴是焊接的)，本题属于齿轮，同轴轮的特点是角速度相同，皮带轮的特点是各个轮边缘的线速度大小相同，即v1＝ω1r1＝v2＝ω2r2＝v3＝ω3r3，显然A选项正确．]
5．D
6．C [摩擦力的方向沿切线，F和Ff的合力充当向心力．]
思维提升
1．注意区分匀速直线运动与匀速圆周运动的不同．匀速直线运动是平衡态，加速度为零，所受合力为零；匀速圆周运动是非平衡态，速度方向在变化，一定有加速度，也一定受力的作用．
2．向心力是效果力，是物体实际所受性质力的分力或合力，在分析物体所受力的个数时，不应分析向心力．
【核心考点突破】
例1 BC [因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动而转动，所以从动轮做逆时针转动；由于通过皮带传动且转动过程中皮带不打滑，皮带与轮边缘的线速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2得，从动轮的转速为n2＝.答案为B、C.]
[规范思维] 分析传动问题要抓住关键的两点：
(1)同一轮轴上的各点角速度相同；(2)皮带不打滑(或齿轮传动)时，轮边缘各点的线速度大小相同．这两点抓住了，然后再根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出正确的结论．
例2 BD [圆周运动，向心方向一定受力．匀速圆周运动，切向方向不受力；变速圆周运动，切向方向一定受力．加速沿a方向，减速沿a反方向．摩擦力即为向心方向和切向方向这两个方向上受到的力的合力．由此可判断B、D正确．]
[规范思维] (1)首先确定物体做什么性质的圆周运动：匀速圆周运动，合外力指向圆心；非匀速圆周运动，合外力有两个分力：沿半径指向圆心方向的合外力提供向心力，改变物体的速度方向；沿切线方向的分力产生切向加速度，改变速度的大小．(2)再根据合加速度的方向判断静摩擦力的方向．
例3 C [设AB段长为l，分别对A、B受力分析如图所示
由牛顿第二定律得
FOB－FAB＝m·2lω2①
FBA＝m·3lω2②
由牛顿第三定律知FAB与FBA大小相等
联立①②解得：FOB＝5mlω2，FAB＝3mlω2]
[规范思维] 通过此题进一步强化应用牛顿第二定律解题的思路：明确研究对象；隔离物体进行受力分析；明确圆心及半径；应用牛顿第二定律列方程．正确的进行受力分析仍是解题的关键．
[针对训练]
1．(1)2∶2∶1 (2)1∶2∶1 (3)2∶4∶1
解析 (1)令vA＝v，由于转动时不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vc＝v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1.
(2)令ωA＝ω，由于共轴转动，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω.所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.
(3)令A点向心加速度为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以aB＝2a.又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度跟半径成正比，故aC＝a.所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.
2．见解析
解析 如右图所示，飞至最低点时飞行员受向下的重力mg和向上的支持力FN1，合力提供向心力即Fn1＝FN1－mg；在最高点时，飞行员受向下的重力mg和向下的压力FN2，合力提供向心力即Fn2＝FN2＋mg.两个向心力大小相等且Fn＝Fn1＝Fn2＝
在最低点：FN1－mg＝，则FN1＝＋mg
解得：＝＋1＝2
在最高点：FN2＋mg＝，则FN2＝－mg
解得：＝－1＝0
即飞机飞至最低点时，飞行员对座椅的压力是自身重力的两倍，飞至最高点时，飞行员对座椅无压力．
【课时效果检测】
1．B [对物块进行受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，A错，B正确．根据向心力公式F＝mrω2可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，物块越容易脱离圆盘；根据向心力公式F＝mr()2可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，物块越容易脱离圆盘，C、D错误．]
2．B [由于a、b和c三点是陀螺上的三个点，所以当陀螺转动时，三个点的角速度相同，选项B正确，C错误；根据v＝ωr，由于a、b、c三点的半径不同，ra＝rb>rc，所以有va＝vb>vc，选项A、D均错误．]
3．A [由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑，则竖直方向上重力与最大静摩擦力平衡，塑料管对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，故选项A正确，B错误；mg＝Ff＝μFN，FN＝mrω2，ω＝ ，故C错误；无论塑料管的转动速度增大多少，竖直方向上仍然受力平衡，螺丝帽不会发生相对运动，故选项D错误．]
4．BD [两人旋转一周的时间相同，故两人的角速度相同，两人做圆周运动所需的向心力相同，由F＝mω2r可知，旋转半径满足：r甲∶r乙＝M乙∶M甲＝1∶2，
又r甲＋r乙＝0.9 m
则r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m
两人的角速度相同，则v甲∶v乙＝1∶2
由F＝M甲ω2r甲可得ω＝2 rad/s.故选项B、D正确．]
5．C [由题意知RB＝2RA＝2RC，而vA＝vB，即ωARA＝ωBRB，ωA∶ωB＝RB∶RA＝2∶1，又有ωB＝ωC，由v＝ω·R，知vB＝2vC，故A、B、C三点线速度之比为2∶2∶1，角速度之比为2∶1∶1，因T＝，故周期之比为1∶2∶2，由a＝ω2R，可知向心加速度之比为(22×1)∶(12×2)∶(12×1)＝4∶2∶1，故选C.]
6．BD [在释放前的瞬间绳拉力为零 对M：FN1＝Mg
当摆球运动到最低点时，由机械能守恒得mgR＝①
由牛顿第二定律得：FT－mg＝②
由①②得绳对小球的拉力FT＝3mg
摆动过程中，支架始终不动，对支架M由受力平衡，地面支持力FN＝Mg＋3mg
由牛顿第三定律知，支架对地面的压力FN2＝3mg＋Mg，故选项B、D正确．]
7．D [a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动，说明a、b两轮的线速度相等，即va＝vb，由v＝rω，ra∶rb＝1∶2，知ωa∶ωb＝2∶1，又因a轮与A盘同轴，b轮与B盘同轴，对应的角速度相等，即ωA∶ωB＝2∶1，又rA∶rB＝2∶1，再利用公式a＝rω2，得a1∶a2＝8∶1，D项正确．]
8．BCD [绳b被烧断前，竖直方向合力为零，即Fa＝mg，烧断绳b后，因惯性，球要在竖直面内做圆周运动，且Fa′－mg＝m，所以Fa′>Fa，A错误，B正确；当ω足够小时，小球不能摆过AB所在高度，而是在垂直于平面ABC的竖直平面内来回摆动，C正确；当ω足够大时，小球在竖直面内能通过AB上方最高点，从而做圆周运动，D正确．]
9．2 m/s 10 rad/s
解析 设细绳的拉力为F，对A：F＝m 对B：F＋FN＝Mg
解得A的速度大小 v＝2 m/s A的角速度大小为ω＝＝10 rad/s
10．(1)45 N (2)5 m/s (3)1.73 m
解析 (1)线的拉力等于向心力，设开始时角速度为ω0，转速为n0，向心力是F0，线断开前的瞬间，角速度为ω，转速为n，线的拉力是F.
F0＝mωR①
ω0＝2πn0②
F＝mω2R③
ω＝2πn④
由①②③④得＝＝2＝2＝⑤
又因为F＝F0＋40 N⑥
由⑤⑥得F＝45 N
(2)设线断开时，小球运动的线速度大小为v
由F＝得，v＝ ＝ m/s＝5 m/s
(3)设桌面高度为h，小球从离开桌面到落地经历的时间为t.
t＝ ＝0.4 s
则小球飞出后的落地点到桌边线的水平距离为
l＝v·sin 60°·t＝5××0.4 m＝ m＝1.73 m.
易错点评
1．在传动问题中要注意区分轴传动与带(或摩擦)传动两种情况．轴传动时，共轴各轮角速度相等；带(或摩擦)传动时，各轮边缘线速度相等．解题中应挖掘出这一隐含条件．
2．匀速圆周运动具有周期性，解题中要特别注意由周期性所引起的多解问题．
3．在变速圆周运动中，合力与合加速度都不指向圆心，向心力与向心加速度只是合力与合加速度的一个分量．
4．对于圆周运动中的临界问题，找到临界状态，列出临界条件下的平衡方程或牛顿第二定律方程是解题的关键．一、概念规律题组
1．对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法中正确的是( )
A．公式中的G是引力常量，它不是由实验得出的，而是人为规定的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1和m2所受引力大小总是相等的
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
2．已知万有引力常量为G，现在给出下列各组数据，不可以计算出地球质量的是( )
A．地球绕太阳运行的周期T和地球离太阳中心的距离R
B．月球绕地球运行的周期T和月球离地球中心的距离R
C．人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运动周期T
D．地球的自转周期T、地球的自转线速度和地球的平均密度ρ
图1
3．如图1所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等且小于c的质量，则下列说法错误的是( )
A．b所需向心力最小
B．b、c的周期相同且大于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度
二、思想方法题组
4．如图2所示，同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是( )
图2
A.＝ B.＝2
C. ＝ D. ＝
5．宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动，若飞船想与前面的空间站对接，飞船为了追上轨道空间站，可采取的方法是( )
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道再减速追上空间站完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
一、万有引力定律及其应用 重力与重力加速度
1．关于重力
(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零．各处位置均有
mg＝
(2)由于Fn＝mRω2非常小，所以对一般问题的研究认为Fn＝0，mg＝
2．重力加速度
(1)任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，G＝mg，g＝.
(R为星球半径，M为星球质量)
(2)星球上空某一高度h处的重力加速度：
G＝mg′，g′＝
随着高度的增加，重力加速度逐渐减小．
【例1】 (2009·江苏单科·3)英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )
A．108 m/s2 B．1010 m/s2
C．1012 m/s2 D．1014 m/s2
[规范思维]
二、天体质量和密度的估算
1．解决天体圆周运动问题的一般思路
利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤
(1)两条线索
①万有引力提供向心力F＝Fn.
②重力近似等于万有引力提供向心力．
(2)两组公式
①G＝m＝mω2r＝mr
②mgr＝m＝mω2r＝mr(gr为轨道所在处重力加速度)
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r进行计算．
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
【例2】 已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由G＝m()2h得M＝.
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
三、对人造卫星的认识及变轨问题
1．人造卫星的动力学特征
万有引力提供向心力，即
G＝m＝mrω2＝m()2r
2．人造卫星的运动学特征
(1)线速度v：由G＝m得v＝ ，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小．
(2)角速度ω：由G＝mω2r得ω＝，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小．
(3)周期：由G＝mr，得T＝2π ，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期增大．
3．卫星的稳定运行与变轨运行分析
(1)什么情况下卫星稳定运行？
卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动．
满足的公式：G＝.
(2)变轨运行分析：
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行．
①当v增大时，所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝ 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．
②当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝ 知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)．
图3
【例3】 (2010·江苏单科·6)2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道 Ⅰ 进入椭圆轨道 Ⅱ ，B为轨道 Ⅱ 上的一点，如图3所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有( )
A．在轨道 Ⅱ 上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道 Ⅱ 上经过A的动能小于在轨道 Ⅰ 上经过A的动能
C．在轨道 Ⅱ 上运动的周期小于在轨道 Ⅰ 上运动的周期
D．在轨道 Ⅱ 上经过A的加速度小于在轨道 Ⅰ 上经过A的加速度
[规范思维]
四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星
1．环绕速度与发射速度的比较
近地卫星的环绕速度v＝ ＝＝7.9 km/s，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度．
不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v＝ ，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大．
2．地球同步卫星特点
(1)地球同步卫星只能在赤道上空．
(2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期．
(3)地球同步卫星相对地面静止．
(4)同步卫星的高度是一定的．
【例4】 我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的运行轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s C．11 km/s D．36 km/s
五、双星问题
【例5】 (2010·重庆理综)月球与地球质量之比约为1∶80.有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为( )
A．1∶6 400 B．1∶80
C．80∶1 D．6 400∶1
[规范思维]
六、万有引力定律与抛体运动的结合
【例6】 (2011·象山北仓两城适应性考试)在太阳系中有一颗行星的半径为R，若在该星球表面以初速度v0竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计(万有引力常量G未知)．则根据这些条件，可以求出的物理量是( )
A.该行星的密度
B.该行星的自转周期
C.该星球的第一宇宙速度
D.该行星附近运行的卫星的最小周期
【基础演练】
1．(2009·山东·18改编)2008年9月25日至28日，我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是( )
A．飞船变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角速度小于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
2．(2011·山东济宁联考)某同学通过Internet查询到“神舟”六号飞船在圆形轨道上运行一周的时间约为90分钟，他将这一信息与地球同步卫星进行比较，由此可知( )
A．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的向心加速度比地球同步卫星小
B．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的速率比地球同步卫星小
C．“神舟”六号在圆形轨道上运行时离地面的高度比地球同步卫星低
D．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的角速度比地球同步卫星小
3．(2010·广元市第三次适应性考试)“嫦娥一号”探月飞船绕月球做“近月”匀速圆周运动，周期为T，则月球的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)( )
A．ρ＝ B．ρ＝kT C．ρ＝ D．ρ＝kT2
图4
4．(2011·辽宁铁岭模拟)如图4所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则( )
A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为
B．飞船在A点处点火时，动能增加
C．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A点的加速度
D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π
5．(2010·安徽合肥月考)随着“神七”飞船发射的圆满成功，中国航天事业下一步的进展备受关注．“神八”发射前，将首先发射试验性质的小型空间站“天宫一号”，然后才发射“神八”飞船，两个航天器将在太空实现空间交会对接．空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接．所谓交会是指两个或两个以上的航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个整体．关于“天宫一号”和“神八”交会时的情景，以下判断正确的是( )
A．“神八”加速可追上在同一轨道的“天宫一号”
B．“神八”减速方可与在同一轨道的“天宫一号”交会
C．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心加速度
D．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心力
6．(2010·山东理综·18)1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．如图5所示，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2 384 km，则( )
图5
A．卫星在M点的势能大于N点的势能
B．卫星在M点的角速度大于N点的角速度
C．卫星在M点的加速度小于N点的加速度
D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s
7．(2010·安徽理综·17)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T 2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出( )
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
【能力提升】
8．(2011·大同市一模)2009年6月19日凌晨5点32分(美国东部时间2009年6月18日下午5点32分)，美国航空航天局在佛罗里达州卡纳维拉尔角空军基地41号发射场用“宇宙神 5”运载火箭将月球勘测轨道飞行器(LRO)送入一条距离月表31英里(约合50 km)的圆形极地轨道，LRO每天在50 km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，则( )
A.LRO运行的向心加速度为
B.LRO运行的向心加速度为
C.月球表面的重力加速度为
D.月球表面的重力加速度为
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9.(2009·北京理综·22)已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T的表达式．
10．(2010·全国Ⅰ·25)
图6
如图6所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)
学案5 万有引力定律及其应用
【课前双基回扣】
1．AC 2.BC 3.ABD 4.AD 5.B
思维提升
1．如果对万有引力定律只适用于质点这一条件缺乏深刻理解(或根本不注意适用条件)，往往不能认识到当两物体间的距离r趋于零时，这两个物体不能看做质点，万有引力定律不适用于此种情况．
2．要弄清楚公式F＝G的各物理量的含义．当两物体可以看成质点时，r是指两质点间距离；对质量分布均匀的球体，r是指两球心间距离．
3．对于绕地球运行的卫星，应利用G＝ma＝m＝mrω2＝mr来分析卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期的大小比较及变化，其中r是卫星的轨道半径．
4．赤道上的物体的向心加速度a＝ω2R0≈0.034 m/s2，远小于地面上物体的重力加速度g＝9.8 m/s2，故近似计算中忽略自转影响，而认为地面上物体的重力和该物体受到的万有引力相等，卫星上的物体处于完全失重状态，故F引＝mg′＝ma.卫星的向心加速度a等于卫星所在处的重力加速度g′，对近地卫星来讲g′＝g＝9.8 m/s2.
5．赤道上的物体与地球同步卫星的相同之处是：二者具有与地球自转相同的运转周期和运转角速度，始终与地球保持相对静止状态，共同绕地轴做匀速圆周运动．
【核心考点突破】
例1 C [可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力，即mg＝，即g＝，将＝代入上式得g＝＝ m/s2＝1×1012 m/s2.]
[规范思维] 在星球表面，由mg＝G，得①GM＝gR2，若知星球表面重力加速度g和星球半径R，可替换GM，称为黄金代换；②g＝，由重力加速度g可将万有引力定律和其它规律相联系，如运动学公式，机械能守恒定律等，实现综合解题．
例2 见解析
解析 (1)上面的结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略．
正确的解法和结果：G＝m()2(R＋h) 得M＝.
(2)解法一 在地面上的物体所受的万有引力近似等于重力，由＝mg，解得M＝.
解法二 对月球绕地球做圆周运动，由G＝m()2r，得M＝.
[规范思维] 本题给出了两种常用的求星球质量的方法：(1)已知卫星的轨道半径r和周期T求质量(注意r为卫星到天体球心的距离)；(2)已知星球表面重力加速度g、星球半径R和引力常量G，由M＝，求星球质量．
例3 ABC [在椭圆轨道上运动，近地点的速度最大，远地点的速度最小，A选项正确．由万有引力定律可知飞机在A点受到的引力是个定值，由此结合牛顿第二定律可知飞机在A点的加速度是个定值，故D项错误．飞机从A点进入轨道 Ⅱ 相对于轨道 Ⅰ 可看成向心运动，则可知飞机在轨道 Ⅱ 上A点速度小于轨道 Ⅰ 上A点速度，再结合动能定义式可知B选项正确．根据低轨道卫星的周期小，高轨道卫星周期大可知C选项正确．综上知正确答案为A、B、C.]
[规范思维] 卫星的变轨问题注意区分这两种情况
(1)制动变轨：卫星的速率减小，卫星做向心运动，轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动；
(2)加速变轨：卫星的速率增大，卫星做离心运动，轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动．
例4 B [设地球的质量、半径分别为M、R，月球的质量、半径分别为M′、r，则M′＝，r＝R.在星体表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为m0，则：＝m0g，即GM＝gR2；在月球表面，满足GM′＝g′r2，由此可得：g′＝g＝g，地球表面的第一宇宙速度v1＝＝7.9 km/s，在月球表面，有v′＝＝ ＝＝×7.9 km/s≈1.8 km/s.]
[规范思维] (1)解决此类题的关键：要明确卫星的第一宇宙速度等于最大环绕速度．
(2)解决万有引力定律的应用问题，尽管题目很多，但基本方法是不变的，即把天体的运动看成圆周运动，万有引力提供向心力．
例5 C [设地球和月球的质量分别为M、m，地月球心间距为r，地球和月球的转动半径分别为r1、r2，由题意知ω1＝ω2＝ω，则G＝Mω2r1，G＝mω2r2，所以＝＝.二者转动角速度相同，可知地球和月球绕O点运动的线速度大小之比为＝＝＝，即月球与地球绕O点运动的线速度大小之比为80∶1，本题只有选项C正确．]
[规范思维] 本题就是经典的双星模型．所谓双星模型，就是有一些天体的运动并非是一颗星以另一颗星为中心做圆周运动，而是两颗星都不是运动的中心，它们绕二者连线上的某一点做圆周运动，好像“被穿在一根杆上的两个小球”，以两个小球之间杆上的某一点为中心做圆周运动．解决这类问题的关键是挖掘出双星问题的根本特点——角速度相同，并以此列向心力方程．
例6 CD [由竖直上抛运动规律得g＝
G＝mg M＝ ρ＝＝，G未知，故A错；
根据已知条件不能分析行星的自转情况，B错；
根据G＝mg＝m得v＝＝ ＝v0，C正确；
由G＝m()2R＝mg得T＝2π ＝2π ＝，D正确．]
[规范思维] 天体表面的抛体运动经常与万有引力定律结合来求解围绕天体做匀速圆周运动的物体的有关物理量，解决问题的办法是通过抛体运动求天体表面的重力加速度，再根据万有引力定律求T、ω、天体质量或密度．也可以先根据万有引力定律求重力加速度，再分析抛体运动．
【课时效果检测】
1．BC 2.C 3.C 4.AD 5.C 6.BC 7.A 8.BD
9．(1)v1＝ (2)T＝
解析 (1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，地球表面处的某物体质量为m′
不考虑地球自转的影响，在地球表面附近满足G＝m′g 则GM＝R2g①
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力则m＝G②
将①式代入②式，得到v1＝
(2)由①式可知，卫星受到的万有引力为F＝G＝③
由牛顿第二定律得F＝m(R＋h)④
③④式联立解得T＝
10．(1)2π (2)1.012
解析 (1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的万有引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有：F＝G①
由匀速圆周运动的规律得
F＝m()2r②
F＝M()2R③
由题意有L＝R＋r④
联立①②③④式得T＝2π ⑤
(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，由题意知，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出T1＝2π ⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G＝m′()2L′⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得T2＝2π ⑧
由⑥⑧式得()2＝1＋
代入题给数据得()2＝1.012
易错点评
1．由于地球的自转，地面上物体的重力不是地球对物体的引力，它只是万有引力的一个分力．但在粗略计算中，可认为近似相等．
2．在很多计算中，一般不知道星体的质量，但星体表面的重力加速度易知，这种情况下，常用“黄金代换”，即GM＝gR2，其中R为星体的半径．
3．地球表面随地球自转物体与绕地球运行卫星在分析其向心加速度、线速度时方法不同，其根本原因是地表物体所受万有引力没有全部提供向心力，而卫星所受万有引力全部提供了向心力．
4．注意区分卫星的发射速度与绕行速度．轨道半径大的卫星，绕行速度小，但由于高度大，重力势能大，发射时需克服重力做功多，因而发射速度更大．
5．“双星问题”的隐含条件是二者的向心力相同、周期相同、角速度相同，解决此类问题，要善于挖掘这些条件．
6．当正常的“无动力”运行的卫星突然受到阻力的作用时，由运动学原理可知，此时卫星的速度就会瞬时减小．
决定人造地球卫星运行状态的主要因素是万有引力而不是所受的阻力．
由于阻力的作用，卫星的速度v必然减小，假定此时卫星的轨道半径r还未来得及变化，即万有引力F引＝也未变化；而向心力F向＝会变小．因此，卫星正常运行时“F向＝F引”的关系将会变为F引>F向，故在万有引力作用下卫星必做近地向心运动，从而使其轨道半径r变小；又由公式v＝可知，卫星的运行速度必然增大．究其实质，此处卫星速度的增大是以轨道高度的减小(或者说成是引力做正功，重力势能减少)为条件的．一、概念规律题组
1．关于曲线运动，下列说法中正确的是( )
A．曲线运动一定是变速运动
B．变速运动一定是曲线运动
C．曲线运动不可能是匀变速运动
D．变加速运动一定是曲线运动
2．下列说法中正确的是( )
A．做曲线运动的物体一定具有加速度
B．做曲线运动的物体的加速度一定是变化的
C．物体在恒力的作用下，不可能做曲线运动
D．物体在变力的作用下，只能做曲线运动
3．在曲线运动中下列现象可能出现的有( )
A.平均速度不等于零，平均速率不等于零
B.平均速度不等于零，平均速率等于零
C.平均速度等于零，平均速率不等于零
D.平均速度等于零，平均速率等于零
4．关于运动的合成与分解，以下说法中不正确的是( )
A．由两个分运动求合运动，合运动是唯一确定的
B．由合运动分解为两个分运动，可以有不同的分解方法
C．物体做曲线运动时，才能将这个运动分解为两个分运动
D．任何形式的运动，都可以用几个分运动代替
二、思想方法题组
5．如图1所示，物体在恒力F的作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力反向，大小不变，即由F变为－F.在此力作用下，关于物体以后的运动情况，下列说法中正确的是( )
图1
A．物体可能沿曲线Ba运动
B．物体可能沿直线Bb运动
C．物体可能沿曲线Bc运动
D．物体可能沿原曲线由B返回到A
6．雨滴由高层建筑的屋檐边自由下落，遇到水平方向吹来的风．关于雨滴的运动，下列判断正确的是( )
A．风速越大，雨滴下落的时间越长
B．无论风速多大，雨滴下落的时间不变
C．风速越大，雨滴落地时的速度越小
D．无论风速多大，雨滴落地时的速度不变
一、对曲线运动规律的进一步理解
1．运动类型的判断
(1)判断物体是否做匀变速运动，要分析合外力是否为恒力．
(2)判断物体是否做曲线运动，要分析合外力方向是否与速度方向在同一条直线上．
2．运动类型的分类
(1)直线运动
①匀速直线运动，条件：F合＝0.
②匀变速直线运动，条件：F合为恒力、不等于零且与速度同线．
③非匀变速直线运动，条件：F合为变力且与速度同线．
(2)曲线运动
①匀变速曲线运动，条件：F合≠0，为恒力且与速度不同线．
②非匀变速曲线运动，条件：F合≠0，为变力且与速度不同线．
3．两个直线运动的合运动性质的判断
根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动．
两个互成θ角度(0°<θ<180°)的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如v合与a合共线，为匀变速直线运动
如v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
【例1】 一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后( )
A．一定做匀变速直线运动
B．在相等时间内速度的变化一定相等
C．可能做匀速直线运动
D．可能做变加速曲线运动
[规范思维]
[针对训练1] 下图中，能正确描述质点运动到P点时的速度v和加速度a的方向关系的是( )
二、运动的合成和分解
1．原则：当定量研究一个较复杂的曲线运动时，往往按实际效果把它分解为两个方向上的直线运动．
2．运动的合成与分解的运算法则
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减．
(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图2所示．
图2
(3)两分运动垂直或正交分解后的合成a合＝，v合＝，x合＝.
图3
【例2】 (2010·江苏单科·1)如图3所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度( )
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
[规范思维]
[针对训练2] (2010·上海单科·12)降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞( )
A．下落的时间越短 B．下落的时间越长
C．落地时速度越小 D．落地时速度越大
三、两种典型模型
1．小船过河问题模型
(1)涉及的三个速度： v1：船在静水中的速度
v2：水流的速度
v：船的实际速度
(2)小船的实际运动是合运动，两个分运动分别是水流的运动和船相对静水的运动．
(3)两种情景
①怎样渡河，过河时间最短？
船头正对河岸，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．
②怎样渡河，路径最短(v2合速度垂直于河岸时，航程最短，x短＝d，船头指向上游，与河岸的夹角为α，cos α＝.
2．绳连物体问题模型
物体的实际运动为合运动，解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳和平行于绳方向的两个分量，根据绳连物体沿绳方向的分速度大小相同求解．
【例3】 一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100 m远的一浮标处，已知快艇在静水中的速度vx图象和水流的速度vy图象如图4甲、乙所示，则下列说法中错误的是( )
图4
A．快艇的运动轨迹为直线
B．快艇的运动轨迹为曲线
C．快艇最快到达浮标处的时间为20 s
D．快艇最快到达浮标处经过的位移大于100 m
[规范思维]
图5
[针对训练3] 一物体在光滑的水平桌面上运动，在相互垂直的x方向和y方向上的分运动的速度随时间变化的规律如图5所示．关于物体的运动，下列说法中正确的是( )
A．物体做匀变速直线运动
B．物体做变加速直线运动
C．物体运动的初速度大小是5 m/s
D．物体运动的加速度大小是5 m/s2
【例4】 如图6所示，
图6
物体A和B质量均为m，且分别与轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，B放在水平面上，A 与悬绳竖直．用力F拉B沿水平面向左“匀速”运动过程中，绳对A的拉力的大小( )
A．大于mg B．总等于mg
C．一定小于mg D．以上三项都不正确
[规范思维]
图7
[针对训练4] 如图7所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O与小球B连接，另一端与套在光滑竖直杆上的小物块A连接，杆两端固定且足够长，物块A由静止从图示位置释放后，先沿杆向上运动．设某时刻物块A运动的速度大小为vA，小球B运动的速度大小为vB，轻绳与杆的夹角为θ.则( )
A．vA＝vBcos θ
B．vB＝vAsin θ
C．小球B减小的势能等于物块A增加的动能
D．当物块A上升到与滑轮等高时，它的机械能最大
【基础演练】
1．(2011·衢州模拟)下面说法中正确的是( )
A．做曲线运动的物体速度方向必定变化
B．速度变化的运动必定是曲线运动
C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D．加速度变化的运动必定是曲线运动
2.
图8
如图8所示，红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的( )
A．直线P
B．曲线Q
C．曲线R
D．无法确定
3．(2009·广东理科基础·6)船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为( )
图9
4．如图9所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知在B点的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是( )
A．D点的速率比C点的速率大
B．A点的加速度与速度的夹角小于90°
C．A点的加速度比D点的加速度大
D．从A到D加速度与速度的夹角先增大后减小
图10
5．如图10所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为Ff，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时( )
A．人拉绳行走的速度为vsin θ
B．人拉绳行走的速度为v/cos θ
C．船的加速度为
D．船的加速度为
6.
图11
(2011·广州模拟)如图11所示，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37 角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出的最小速度为( )
A．2 m/s B．2.4 m/s
C．3 m/s D．3.5 m/s
7．(2009·江苏单科·4)在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，下列描绘下落速度的水平分量大小vx、竖直分量大小vy与时间t的关系图象，可能正确的是( )
【能力提升】
图12
8．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为1 kg的物体原来静止在坐标原点O(0,0)，从t＝0时刻起受到如图12所示随时间变化的外力作用，Fy表示沿y轴方向的外力，Fx表示沿x轴方向的外力，下列说法中正确的是( )
A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
C．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)
D．4 s末物体坐标为(4 m,12 m)
9．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽150 m，流速为4 m/s的河流中渡河，则下列说法错误的是( )
A．小船不可能到达正对岸
B．小船渡河时间不少于50 s
C．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200 m
D．小船以最短位移渡河时，位移大小为150 m
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案
10.如图13甲所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放置一个蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动，假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每1 s通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm.图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管运动的水平位移，t＝0时蜡块位于坐标原点．
图13
(1)请在图乙中画出蜡块4 s内的运动轨迹．
(2)求出玻璃管向右平移的加速度．
(3)求t＝2 s时蜡块的速度v.
学案1 曲线运动 运动的合成和分解
【课前双基回扣】
1．AC [从曲线运动的概念和性质入手加以判定．曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，一定是变化的，所以曲线运动一定是变速运动．当变速运动的速度方向不变而大小变化时，是直线运动．当物体受到的合力是大小、方向不变的恒力时，物体做匀变速运动，但力的方向可能与速度方向不在一条直线上，这时物体做匀变速曲线运动．做变加速运动的物体受到的合力可能大小不变，但方向始终与速度方向在一条直线上，这时物体做变速直线运动．]
2．AD [物体做直线运动还是曲线运动，不取决于物体受到的是恒力还是变力，而取决于物体所受到的合外力方向与速度方向在不在一条直线上，故D正确而C错误．做曲线运动物体的速度方向时刻改变，则一定具有加速度，但加速度的变化取决于合外力怎样变化，故A正确，B错误．]
3．AC [物体在曲线运动中位移可能为0，但路程一定不为0.]
4．ABD [根据平行四边形定则，两个分运动的合运动就是以两个分运动为邻边的平行四边形的对角线，A正确．而将合运动分解为两个分运动时，可以在不同方向上分解，从而得到不同的解，B正确．任何形式的运动都可以分解，如竖直上抛运动可以分解成自由落体运动和匀速直线运动的合运动，故C不对，D正确．]
5．C
[如图所示，已知物体过B点的速度方向vB沿Bb方向，要判断此后的运动方向，必须找出－F的方向范围，因此先要判断F的方向范围．由物体在恒力F的作用下运动轨迹为沿A到B的曲线知道，F的方向范围在θ角以内，不包括Ab′的方向，若如此则B点要在无穷远处才能使vB沿Bb方向；也不包括Aa′的方向，若如此则物体将沿vA的方向做匀减速直线运动，不可能沿AB做曲线运动．在B点F反向为－F的方向必在θ′角以内．因此，只有沿Bc的方向是可能的．]
6．BC [由运动的独立性知，雨滴在竖直方向做自由落体运动，下落时间由高度决定，故选项B正确；当水平方向有风且风速越大时，雨滴在水平方向上做加速运动，速度越大，雨滴落地的速度v＝，可知v也越大，选项C正确．]
思维提升
1．判断物体是否做曲线运动要紧紧抓住力的方向是否与速度方向在一条直线上；而物体是否做匀变速运动，则要看物体是否受大小、方向不变的恒力作用，两者不要混淆．
2．速度分解的一般原则是按实际效果来进行分解，常用的思维方法有两种：一种是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的方向；另一种是先确定合运动的速度方向(物体实际的运动方向就是合速度的方向)，然后确定由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．
3．第5题采用了极端分析法确定出θ角的两个边界Ab′和Aa′，进而推理得到θ′角，然后根据曲线运动的轨迹和受力的关系——运动轨迹弯向合外力一侧，确定出物体运动的轨迹．
4．对于较复杂的运动，要善于将其分解为两个不同的运动，从而按运动的合成与分解的一般方法求解有关问题．
【核心考点突破】
例1 AB [恒力F1和F2的合力仍为恒力，物体由静止开始做匀加速直线运动，若运动过程中F1突然增大到F1＋ΔF，虽仍为恒力，但合力的方向与速度方向不再共线，故物体将做匀变速曲线运动，选项A正确而C、D错误；由Δv＝a·Δt可知，选项B正确．]
[规范思维] 先判断是曲线运动还是直线运动，方法是看合外力的方向与速度的方向是否在一条直线上；再判断加速度是否变化，方法是看F合是否变化．
例2 A [笔匀速向右移动时，x随时间均匀增大，y随时间均匀减小，说明橡皮水平方向匀速直线运动，竖直方向也是匀速直线运动，所以橡皮实际运动是匀速直线运动，A正确．]
[规范思维] 首先按运动的效果将橡皮的运动分解为：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的运动，再由题给条件判断竖直分运动为匀速直线运动．
例3 BC [快艇实际运动的两个分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，且不在同一直线上，故快艇的运动轨迹为曲线，A错，B对．最快到达浮标处的方式是使vx垂直于河岸和浮标且保持图甲所示的加速度a＝0.5 m/s2做匀加速直线运动，则at2＝x，代入x＝100 m有t＝20 s，C项正确．但实际位移为x′>100 m，D项错．]
[规范思维] (1)首先根据运动的等时性确定船头垂直岸(即vx垂直岸)时最快．
(2)再将艇的运动分解为沿河岸的匀速直线运动和垂直于河岸的匀加速直线运动，并由此确定轨迹．
例4 A
[物体B向左的速度vB是合速度，根据其效果，分解为如右图所示的两个速度v1和v2，其中v2＝vA，又因v2＝vBcos θ，当物体B向左匀速运动时，vB大小不变，θ变小，cos θ增大，所以v2增大，即物体A向上做加速运动，由牛顿第二定律得FT－mg＝ma，可知：FT＝mg＋ma>mg，故A正确．]
[规范思维] (1)在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度．合速度就是物体实际运动的速度，由物体的实际运动情况确定，分速度由合速度所产生的实际效果利用平行四边形定则确定．
(2)对绳连物体的问题进行分析时，物体的速度一般分解为沿绳方向和垂直于绳方向两个分速度．
[针对训练]
1．AC [物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向，所受合外力(或加速度)的方向指向曲线的凹侧．]
2．D [风沿水平方向吹，不影响竖直速度，故下落时间不变，A、B两项均错．风速越大，落地时合速度越大，故C项错误，D项正确．]
3．AC [根据运动的合成与分解v合＝＝5 m/s，C正确．从图象得物体的加速度a＝2 m/s2，由于物体在x方向上做匀速直线运动，在y方向上做匀加速直线运动，且合初速度的方向与合加速度的方向不共线，所以物体做匀变速曲线运动，A正确．]
4．BD
[vA可分解为沿绳方向和垂直绳方向的两个分速度，如右图所示．而小球B的速度等于沿绳方向的分速度，即vB＝vAcos θ，故B正确；根据能量守恒可知，小球B减小的势能等于物块A增加的机械能和小球B增加的动能之和，C错；当物块A上升到与滑轮等高时，vA沿绳方向分速度为0，即vB＝0，小球B运动到最低点，减少的重力势能全部转化为A的机械能，故此时A的机械能最大，D正确．]
【课时效果检测】
1．A 2.B 3.C
4．A [质点做匀变速曲线运动，合力的大小方向均不变，加速度不变，C错误．由B点速度与加速度相互垂直可知，合力方向与B点切线垂直且向下，故质点由C到D过程，合力做正功，速率增大，A正确．A点的加速度方向与沿曲线在A点的切线也即速度方向夹角大于90°，B错误．从A到D加速度与速度的夹角一直变小，D错误．]
5．AC
[船的运动产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮逆时针转动，因此将船的速度分解如右图所示，人拉绳行走的速度v人＝vcos θ，A对，B错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos θ－Ff＝ma，得a＝，C对，D错．]
6．B
[由右图知船合速度沿AB方向，当v船与AB垂直时，v船最小．所以，v船＝v水·sin 37 ＝4× m/s＝2.4 m/s， B项正确．]
7．B [跳伞运动员在空中受到重力，其大小不变且方向竖直向下，还受到空气阻力，其始终与速度反向，大小随速度的增大而增大，反之则减小．在水平方向上，运动员受
到的合力是空气阻力在水平方向上的分力，故可知运动员在水平方向上做加速度逐渐减小的减速运动．在竖直方向上运动员在重力与空气阻力在竖直方向上的分力的共同作用下先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动．由以上分析结合v－t图象的性质可知只有B选项正确．]
8．AD [前2 s内物体只受x轴方向的作用力，故沿x轴做匀加速直线运动，A正确；其加速度为ax＝2 m/s2，位移为x1＝axt2＝4 m．后2 s内物体沿x轴方向做匀速直线运动，位移为x2＝8 m，沿y轴方向做匀加速直线运动，加速度为ay＝2 m/s2，位移为y＝ayt2＝4 m，故4 s末物体坐标为(12 m,4 m)，C错误，D正确；后2 s内物体的加速度方向和初速度方向垂直，故做曲线运动，B错误．]
9．ABC [当船头正对河岸时，t最短，t最短＝＝ s＝50 s，此时小船沿水流方向的位移为x＝v水t＝200 m，因此B、C正确．由于v水>v船，所以船不可能到达正对岸，位移一定大于河宽150 m．A项正确，D项错误．]
10．(1)见解析图 (2)5×10－2 m/s2 (3) m/s
解析 (1)蜡块在竖直方向做匀速直线运动，在水平方向向右做匀加速直线运动，根据题中的数据画出蜡块4 s内的运动轨迹如下图所示．
(2)由于玻璃管向右为匀加速平移，根据Δx＝aΔt2可求得加速度，由题中数据可得：Δx＝5.0 cm，相邻时间间隔为Δt＝1 s，则a＝＝5×10－2 m/s2
(3)由运动的独立性可知，竖直方向的速度为
vy＝＝0.1 m/s
水平方向做匀加速直线运动，2 s时蜡块的水平速度为
vx＝at＝0.1 m/s
则2 s时蜡块的速度
v＝＝ m/s一、概念规律题组
1．关于平抛运动的说法正确的是( )
A．平抛运动是匀变速曲线运动
B．平抛物体在t时刻速度的方向与t时间内位移的方向相同
C．平抛物体在空中运动的时间随初速度增大而增大
D．若平抛物体运动的时间足够长，则速度方向将会竖直向下
2．关于物体的平抛运动，下列说法正确的是( )
A．由于物体受力的大小和方向不变，因此平抛运动是匀变速运动
B．由于物体速度的方向不断变化，因此平抛运动不是匀变速运动
C．物体的运动时间只由抛出时的初速度决定，与高度无关
D．平抛运动的水平距离由抛出时的初速度决定，与高度无关
3．一个物体以初速度v0水平抛出，经过时间t其竖直方向速度大小与v0大小相等，那么t为( )
A. B. C. D.
4．初速度为v0的平抛物体，某时刻物体的水平分位移与竖直分位移大小相等，下列说法错误的是( )
A．该时刻物体的水平分速度与竖直分速度相等
B．该时刻物体的速率等于v0
C．物体运动的时间为
D．该时刻物体位移大小等于
二、思想方法题组
5．以下对平抛运动的认识，说法不正确的是( )
A．在同一位置水平抛出的物体，初速度越大者着地前在空中运动的时间越长
B．以同一初速度抛出的物体，抛出点越高者落地速度越大
C．在任意两个连续相等时间内，竖直方向位移之差恒相等
D．在任意两个相等的时间内，速度的变化量恒相等
6．从倾角为α的斜面上同一点，以大小不等的初速度v1和v2(v1>v2)沿水平方向抛出两个小球，两个小球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面的夹角分别为β1和β2，则( )
A．β1>β2 B．β1<β2 C．β1＝β2 D．无法确定
一、平抛运动物体的运动
1．求以下三种情况下平抛运动的时间(如图1所示)
图1
ta＝ tb＝ tc＝
总结：(1)平抛运动的时间取决于
(a)：物体下落的高度
(b)：初速度v0及斜面倾角
(c)：抛点到竖直墙的距离及v0
(2)(a)中的水平位移x＝v0·，取决于v0和下落高度h.
2．速度的变化规律
(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0.
(2)任意相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt.
3．位移变化规律
(1)任意相等时间间隔Δt内的水平位移不变，即Δx＝v0Δt.
(2)连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2.
4．平抛运动的两个重要推论
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
图2
证明：如图2所示，由平抛运动规律得：tan α＝＝
tan θ＝＝＝
所以tan α＝2tan θ
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
证明：如图2所示，设平抛物体的初速度为v0，从原点O运动到A点的时间为t，A点坐标为(x，y)，B点坐标为(x′，0)．则
x＝v0t，y＝gt2，vy＝gt，
又tan α＝＝，解得x′＝.
即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点必为此时水平位移的中点．
图3
【例1】 (全国高考Ⅰ)如图3所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
[规范思维]
图4
[针对训练1] (2010·北京理综·22)如图4，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g取10 m/s2)求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
图5
【例2】 (2010·全国Ⅰ·18)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图5中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
A．tan θ B．2tan θ C. D.
[规范思维]
图6
[针对训练2] (2010·天津河西期末)如图6所示，以v0＝10 m/s的速度水平抛出的小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上，按g＝10 m/s2考虑，以下结论中不正确的是( )
A．物体飞行时间是 s
B．物体撞击斜面时的速度大小为20 m/s
C．物体飞行的时间是2 s
D．物体下降的距离是10m
图7
【例3】 (2008.江苏单科.13)抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的P1点(如图7中实线所示)，求P1点距O点的距离x1.
(2)若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2点(如图中虚线所示)，求v2的大小．
(3)若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3处，求发球点距O点的高度h3.
[规范思维]
二、类平抛运动物体的运动
1．类平抛运动的受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝.
3．类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解．
图8
【例4】 在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿竖直向上(沿y轴正向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37 ，如图8所示曲线为质点的轨迹图 (g取10 m/s2，sin 37 ＝0.6，cos 37 ＝0.8)．求：
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2)质点经过P点的速度大小．
[规范思维]
【基础演练】
1．如图9所示，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑水平板吻接，则将观察到的现象是A、B两个小球在水平面上相遇，改变释放点的高度和上面滑道对地的高度，重复实验，A、B两球仍会在水平面上相遇，这说明( )
图9
A．平抛运动在水平方向的运动是匀速直线运动
B．平抛运动在竖直方向的运动是自由落体运动
C．A球在下落过程中机械能守恒
D．A、B球的速度任意时刻都相同
2．在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地．若不计空气阻力，则( )
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
3．(广东高考题.11)某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s的速度沿水平方向反弹．落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间．忽略空气阻力，取g＝10 m/s2.球在墙面上反弹点的高度范围是( )
A．0.8 m至1.8 m B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m D．1.0 m至1.8 m
4．(2011·广东广州月考)飞机在水平地面上空的某一高度水平匀速飞行，每隔相等时间投放一个物体．如果以第一个物体a的落地点为坐标原点、飞机飞行方向为横坐标的正方向，在竖直平面内建立直角坐标系．如下图所示是第5个物体e离开飞机时，抛出的5个物体(a、b、c、d、e)在空间位置的示意图，其中不可能的是( )
图10
5．甲、乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高h，如图10所示，将甲、乙两球分别以v1、v2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中可以使乙球击中甲球的是( )
A．同时抛出，且v1B．甲比乙后抛出，且v1>v2
C．甲比乙早抛出，且v1>v2
D．甲比乙早抛出，且v1图11
6．如图11所示，高为h＝1.25 m的平台上，覆盖一层薄冰，现有一质量为60 kg的滑雪爱好者，以一定的初速度v向平台边缘滑去，着地时的速度方向与水平地面间的夹角为45 (取重力加速度g＝10 m/s2)．由此可知不正确的是( )
A．滑雪者离开平台边缘时的速度大小是5.0 m/s
B．滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是2.5 m
C．滑雪者在空中运动的时间为0.5 s
D．滑雪者着地时的速度大小为5m/s
图12
7．如图12所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是( )
A．va＝vb B．va＝vb
C．ta＝tb D．ta＝2tb
【能力提升】
8．(2011·北京西城区抽样)随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐．如图13所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个质量为m的高尔夫球．由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为L的A穴．则下列判断中错误的是( )
图13
A．球被击出后做平抛运动
B．该球从被击出到落入A穴所用的时间为
C．球被击出时的初速度大小为L
D．球被击出后受到的水平风力的大小为mgL/h
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
图14
9．如图14所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则：
(1)小球水平抛出的初速度v0是多大？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x是多少？
(3)若斜面顶端高H＝20.8 m，则小球离开平台后经多长时间t到达斜面底端？
10．如图15所示，
图15
在距地面80 m高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔1 s依次放下a、b、c三物体，抛出点a、b与b、c间距分别为45 m和55 m，分别落在水平地面上的A、B、C处．求：
(1)飞机飞行的加速度；
(2)刚放下b物体时飞机的速度大小；
(3)b、c两物体落地点BC间的距离．
学案2 平抛运动
【课前双基回扣】
1．A
2．AD [平抛运动是a＝g的匀变速曲线运动，t＝与h、g有关．]
3．A [v0＝vy＝gt，t＝]
4．A [x＝v0t y＝gt2 由x＝y得t＝ vy＝gt＝2v0
vt＝＝v0，s＝x＝ 故B、C、D结果正确．]
5．BCD
6．C
[如右图所示，设落点分别为A、B，则位移分别为OA、OB，这两个位移同方向，因此位移角均为φ，vA与vB的速度角分别为图中的θ1和θ2，由tan θ1＝2tan φ和tan θ2＝2tan φ可得θ1＝θ2，因此vA与vB这两个速度方向平行，所以β1＝β2.]
思维提升
1．平抛运动的条件是①只受重力作用；②初速度不为0，且方向水平．
2．平抛运动的性质是匀变速曲线运动．
3．平抛运动的研究方法是运动的分解，即平抛运动是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动．
4．平抛运动中速度偏角θ与位移偏角α之间的关系是tan θ＝2tan α，要记住这一重要推论．
【核心考点突破】
例1 D [本题考查平抛运动的有关知识，本题为中等难度题目．由平抛运动知识可得：对速度分解有tan φ＝＝，对位移分解有tan θ＝＝＝，所以有：tan φ＝2tan θ.]
[规范思维] 本题考查平抛运动的基本处理方法，也考查了斜面的制约关系．平抛物体落在斜面上，就确定了水平位移和竖直位移的几何关系，即tan θ＝(此式可称为斜面的制约方程)．此外利用推论解题很便捷．本题的结果实际上是平抛运动的一个重要推论tan φ＝2tan θ.
例2 D [设小球的初速度为v0，飞行时间为t.由速度三角形可得＝tan θ.故有＝＝，答案为D.]
[规范思维] 本题中，斜面制约的是速度方向．物体垂直落在斜面上，就确定了速度方向．
例3 (1)v1 (2) (3)h
解析 (1)设发球时飞行时间为t1，根据平抛运动规律
h1＝gt①
x1＝v1t1②
联立以上两式，解得x1＝v1·③
(2)设发球高度为h2，飞行时间为t2，根据平抛运动规律
h2＝gt④
x2＝v2t2⑤
乒乓球反弹前后水平分速度不变，最大高度不变
故h2＝h⑥
2x2＝L⑦
联立④⑤⑥⑦式，得v2＝ ⑧
(3)如下图所示，发球高度为h3，飞行时间为t3，根据平抛运动得h3＝gt⑨
x3＝v3t3⑩
且3x3＝2L
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为x，有
h3－h＝gt2
x＝v3t
由几何关系知x3＋x＝L
联立⑨～ 式，解得h3＝h
[规范思维] 本题以乒乓球发球为背景，考查学生读题、审题及挖掘信息的能力、建模能力．问题设置有台阶、有铺垫，难度逐渐增加：第(1)问已知平抛的竖直高度和初速度求水平位移，难度较小；第(2)问认识到发球的对称性才可解答；第(3)问不仅能从对称性分析，还要恰当列式，熟练推导．
例4 (1)3 s (30 m,22.5 m) (2)5 m/s
解析 (1)质点在水平方向上不受外力作用做匀速直线运动，竖直方向上受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动．由牛顿第二定律得a＝＝ m/s2＝5 m/s2
设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，则xP＝v0t，yP＝at2
又tan α＝ 联立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m
(2)质点经过P点时沿y方向的速度 vy＝at＝15 m/s
故P点的速度大小vP＝＝5 m/s
[规范思维] 类平抛运动是指物体受恒力作用且恒力方向与初速度方向垂直的运动，其运动规律与平抛运动的规律相同，处理方法与平抛运动问题的处理方法亦相同，但需注意的是不一定按竖直方向和水平方向进行分解，而是按初速度方向和合外力方向来分解．
[针对训练]
1．(1)75 m (2)20 m/s
解析 (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin 37°＝gt2
A点与O点的距离L＝＝75 m
(2)设运动员离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，
即Lcos 37°＝v0t 解得v0＝＝20 m/s
2．AB [考查平抛运动．竖直方向的速度vy＝＝10 m/s，运动时间t＝＝ s＝ s，A正确，C错误；合速度大小v＝＝20 m/s，B正确；物体下落的竖直距离y＝gt2＝15 m，D错误．]
【课时效果检测】
1．A 2.D 3.A
4．ACD [本题考查平抛运动的特点．物体被抛出时的水平速度相同，如果第一个物体a刚好落地，那么其它几个物体在竖直方向应该排成一排，所以A对；如果先投出的物体已经落地，相邻物体的水平距离应该相等，没有落地的在竖直方向仍排成一排，所以B错误，C、D正确．]
5．ABC [要使乙球击中甲球，则由竖直方向分运动的空间关系h1>h2及竖直方向分运动规律h＝gt2可确定时间关系t1>t2，即甲球要早抛出；由水平方向分运动的空间关系x1＝x2及时间关系，根据x＝vt可确定速度关系v16．ABCD [滑雪者做平抛运动的时间t＝ ＝0.5 s，落地时的竖直速度vy＝gt＝5.0 m/s，因着地速度与水平方向的夹角为45 ，由vcos 45 ＝v0，vsin 45 ＝vy，可得滑雪者离开平台的水平速度v0＝5.0 m/s，着地的速度大小为v＝5 m/s，平抛过程的水平距离为x＝v0t＝2.5 m，故A、B、C、D均正确．]
7．BD [做平抛运动的物体运动时间由竖直方向的高度决定t＝ ，a物体下落的高度是b的2倍，有ta＝tb，C错误， D正确；水平方向的距离由高度和初速度决定x＝v0，由题意得a的水平位移是b的2倍，可知va＝vb，A错误，B正确．]
8．BC [由于受到恒定的水平风力的作用，球被击出后在水平方向做匀减速运动，A错误；由h＝gt2得球从被击出到落入A穴所用的时间t＝ ，B正确；由题述高尔夫球竖直地落入A穴可知球水平末速度为零，小球在水平方向做匀减速运动，由L＝v0t/2得球被击出时的初速度大小为v0＝L ，C正确；由v0＝at得球的水平方向加速度大小a＝gL/h，球被击出后受到的水平风力的大小为F＝ma＝mgL/h，D错误．]
9．(1)3 m/s (2)1.2 m (3)2.4 s
解析 (1)由题意可知，小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，
所以vy＝v0tan 53°，v＝2gh，
则vy＝4 m/s，v0＝3 m/s.
(2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s，x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a＝gsin 53°，初速度v＝5 m/s.则
＝vt2＋at，解得t2＝2 s(或t2＝－ s不合题意舍去)，所以t＝t1＋t2＝2.4 s.
10．(1)10 m/s2 (2)50 m/s (3)95 m
解析 (1)飞机在水平方向上由a经b到c做匀加速直线运动且tab＝tbc＝T＝1 s，由Δx＝aT2得，a＝＝＝10 m/s2.
(2)因位置b对应a到c过程的中间时刻，故有vb＝＝50 m/s.
(3)设物体从被抛出到落地所用时间为t，由h＝gt2得：t＝ ＝4 s，BC间距离为：xBC＝xbc＋vct－vbt，
又vc－vb＝aT，得：xBC＝xbc＋aTt＝95 m.
易错点评
1．平抛运动中，在任意相等时间内的速度变化量都相等，且方向竖直向下，即Δv＝gΔt.
2．平抛运动的物体在空中的飞行时间仅决定于下落的高度，与初速度的大小无关，即t＝.
3．平抛运动与斜面结合的问题，常常用斜面倾角的正切与平抛物体水平位移、竖直位移之间的关系来处理．
4．类平抛运动的处理方法与平抛运动完全一样，只是加速度不再是g，而应先根据牛顿第二定律求出加速度a，然后用平抛运动的处理方法来解决．一、概念规律题组
1．铁路转弯处的圆弧半径为R，内侧和外侧的高度差为h，L为两轨间的距离，且L>h.如果列车转弯速率大于，则( )
A．外侧铁轨与轮缘间产生挤压
B．铁轨与轮缘间无挤压
C．内侧铁轨与轮缘间产生挤压
D．内、外铁轨与轮缘间均有挤压
图1
2．一辆卡车在丘陵地区匀速行驶，地形如图1所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是( )
A．a处
B．b处
C．c处
D．d处
3．下列说法中正确的是( )
A．当物体受到离心力的作用时，物体将做离心运动
B．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将背离圆心，沿着半径方向“背心”而去
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿这一位置的切线方向飞出，做匀速直线运动
图2
4．如图2所示，已知mA＝2mB＝3mC，它们之间距离的关系是rA＝rC＝rB，三物体与转盘表面的动摩擦因数相同，当转盘的转速逐渐增大时( )
A．物体A先滑动 B．物体B先滑动
C．物体C先滑动 D．B与C同时开始滑动
二、思想方法题组
5．一轻杆的一端固定质量为m的小球，以另一端为圆心在竖直平面内做圆周运动，轻杆长为l，以下说法中正确的是( )
A．小球过最高点时，杆的弹力不可以等于零
B．小球过最高点时的最小速度为
C．小球到最高点时速度v>0，小球一定能通过最高点做圆周运动
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反
图3
6．如图3所示，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直面内做圆周运动，圆周半径为R，则下列说法正确的是( )
A．小球过最高点时，绳子张力不可以为零
B．小球过最高点时的最小速度为零
C．小球刚好过最高点时的速度是
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
圆周运动规律在实际中的应用
1．圆锥摆类问题分析
图4
圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图4所示，拉力(或弹力)和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．
F合＝Fn＝mgtan θ＝m
其运动情况也相似，都在水平面内做圆周运动，圆心在水平面内，常见的圆锥摆类模型还有：火车转弯(如图5所示)；杂技节目“飞车走壁”(如图6所示)；飞机在水平面内的盘旋(如图7所示)
图5 图6
图7
图8
【例1】 (广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图8所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
[规范思维]
[针对训练1] (2009·广东单科)(1)为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破．飞机在河道上空高H处以速度v0水平匀速飞行，投掷下炸弹并击中目标．求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小．(不计空气阻力)
图9
(2)如图9所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块．求：
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
[针对训练2] 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h.
弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110
内、外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300
(1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值．
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L＝1 435 mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数．当θ很小时，tan θ≈sin θ)．
(3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．
2．竖直面内的圆周运动问题分析
图10
(1)绳(单轨，无支撑，水流星模型)：绳只能给物体施加拉力，而不能有支持力(如图10所示)．
这种情况下有F＋mg＝≥mg，所以小球通过最高点的条件是v≥，通过最高点的最小速度vmin＝.
①当v> 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．
②当v< 时，球不能通过最高点 (实际上球没有到最高点就脱离了轨道．)
图11
(2)外轨(单轨，有支撑，汽车过拱桥模型)，只能给物体支持力，而不能有拉力(如图11所示)．
有支撑的汽车，弹力只可能向上，在这种情况下有：
mg－F＝≤mg，
所以v≤，
物体经过最高点的最大速度vmax＝，
此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．
(3)杆(双轨，有支撑)：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图12所示．
图12
①过最高点的临界条件：v＝0.
②在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力，即mg＝，v＝，杆或轨道内壁对小球没有力的作用．
当0当v>时，小球受到重力和杆向下的拉力(或外轨道对球向下的压力)．
图13
【例2】 如图13所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．
[规范思维]
图14
[针对训练3] 在2008年北京奥运会上，我国体操小将邹凯夺得单杠、自由体操、男子团体三枚金牌，以一届奥运会收获三金的佳绩与84年的体操王子李宁比肩．如图14所示为邹凯做单杠动作单臂大回旋的瞬间．他用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．假设他的质量为60 kg，要完成动作，则他运动到最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，取g＝10 m/s2)( )
A．600 N B．2 400 N C．3 000 N D．3 600 N
图15
[针对训练4] 如图15所示，小物块位于半径为R的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v0＝，则物块( )
A．立即做平抛运动
B．落地时水平位移为R
C．落地速度大小为2
D．落地时速度方向与地面成60°角
【基础演练】
1．(2011·陕西省西安市统测)如图16所示，
图16
质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时，下列说法错误的是( )
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于重力mg
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
图17
2．如图17所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )
A．受到向心力为mg＋m
B．受到的摩擦力为μm
C．受到的摩擦力为μ(mg＋m)
D．受到的合力方向斜向右上方
图18
3．(2011·北京西城抽样测试)如图18所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法正确的是( )
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速度越小
D．θ越大，小球运动的周期越大
4．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零．θ应等于( )
A．arcsin B．arctan
C.arcsin D．arccot
图19
5．质量为m的飞机以恒定速率v在空中水平盘旋(如图19所示)，做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对飞机的作用力大小为( )
A．m B．mg
C．m D．m
6．一根轻绳长0.5 m，它最多能承受140 N的拉力．在此绳一端系一质量为1 kg的小球，另一端固定，使小球在竖直面内做圆周运动，为维持此运动，小球在最高点处的速度大小取值范围是( )
A．0≤v≤5 m/s
B. m/s≤v≤3 m/s
C．0≤v≤3 m/s
D．3 m/s≤v≤5 m/s
7．(2010·北京东城1月检测)
图20
水平光滑直轨道ab与半径为R的竖直半圆形光滑轨道bc相切，一小球以初速度v0沿直轨道向右运动，如图20所示，小球进入半圆形轨道后刚好能通过c点，然后小球做平抛运动落在直轨道上的d点，则下列说法错误的是( )
A．小球到达c点的速度为
B．小球到达b点时对轨道的压力为5mg
C．小球在直轨道上的落点d与b点距离为2R
D．小球从c点落到d点所需时间为2
图21
8．(2011·衡水模拟)如图21所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40 cm，细线ac长50 cm，bc长30 cm，在c点系一质量为m的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法不正确的是( )
A．转速小时，ac受拉力，bc松弛
B．bc刚好拉直时ac中拉力为1.25mg
C．bc拉直后转速增大，ac拉力不变
D．bc拉直后转速增大，ac拉力增大
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
【能力提升】
9．(2011·北京崇文1月统练)如图22所示，在水平匀速运动的传送带的左端(P点)，轻放一质量为m＝1 kg的物块，物块随传送带运动到A点后水平抛出，物块恰好无碰撞地沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑．B、D为圆弧的两端点，其连线水平．已知圆弧半径R＝1.0 m，圆弧对应的圆心角θ＝106°，轨道最低点为C点，A点距水平面的高度h＝0.8 m．(g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)物块离开A点时水平初速度的大小；
(2)物块经过C点时对轨道压力的大小；
(3)设物块与传送带间的动摩擦因数为0.3，传送带的速度为5 m/s，求PA间的距离．
图22
图23
10．(2010·重庆理综·24)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图23所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径、绳重和空气阻力．
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.
(2)问绳能承受的最大拉力多大？
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
学案4 圆周运动规律的应用
【课前双基回扣】
1．A
2．D [车胎在凹部受到的支持力FN＝mg＋m大于在凸部受到的支持力FN＝mg－m.所以汽车在凹部b、d两处爆胎可能性大，但d处的曲率半径小于b处的曲率半径，汽车以同样的速率经过b、d两处时，根据FN＝mg＋m可知，在d处爆胎的可能性最大，D正确．]
3．D [物体实际上并不受向心力的作用，离心运动也不是由于物体受到“离心力”的作用而出现的，而是惯性的表现，做圆周运动的物体，在向心力突然消失或合力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力时，物体将做远离圆心的运动，因此选项A、B均是错误的；物体做匀速圆周运动时，当它所受的一切力都突然消失，即物体所受的合外力突然变为零时，根据牛顿第一定律，物体将从这一时刻起沿这一位置的切线方向飞出，做匀速直线运动，而不是背离圆心，沿着半径方向“背心”而去，故选项C错误．]
4．B [A、B、C三个物体做圆周运动的ω相同，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可得μmg＝mω2r，当角速度ω增大时，半径r越大，越易滑动．]
5．AC [对轻杆一端的小球过最高点时的速度可能为0，当小球到最高点的速度v＝时杆的弹力等0，故A正确；当v<时，杆对球的作用力为支持力；当v>时，杆对球的作用力为拉力，拉力的方向与重力的方向相同，故D错]
6．AC [小球过最高点时的临界速度v＝，此时绳中张力为零．小球过最高点时绳子中的张力可能为零，也可能向下，故答案为A、C.]
思维提升
1．虽然铁路外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的．因而火车在行驶的过程中，重心的高度不变，即火车重心的轨迹在同一水平面内．故火车运动轨迹的圆周平面是水平面，而不是斜面．
2．汽车通过凹部时处于超重状态；通过凸部时处于失重状态．
3．离心运动是因为所受的向心力小于所需向心力所致，根本不存在“离心力”这种力．
离心运动轨迹可以是直线，也可以是曲线．
4．杆连小球与绳连小球在完成竖直面内的圆周运动时，所需临界条件不同．其根本原因是杆可提供拉力，也可提供支持力，而绳只能提供拉力．
【核心考点突破】
例1
解析 设转盘转动角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ
座椅到中心轴的距离：R＝r＋Lsin θ①
对座椅受力分析有：Fn＝mgtan θ＝mRω2②
联立①②两式得：ω＝
例2 R≤h≤5R
解析 设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒得mgh＝2mgR＋mv2①
物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力FN.重力与压力的合力提供向心力，有mg＋FN＝m②
物块能通过最高点的条件是FN≥0，即当FN＝0，只有重力提供向心力时为通过最高点的临界条件，有mg≤m③
由②③式可得v≥④
由①④式得h≥R⑤
按题的要求，FN≤5mg，代入②式得v≤⑥
由①⑥式得h≤5R⑦
[规范思维] 解此题要注意两个临界条件的分析，特别要理解“物块能通过最高点”的临界条件的意义．
[针对训练]
1．(1)v0
(2)① ②
2．(1)hr＝33 m2 75 mm (2)54 km/h (3)见解析
3．C
4．AC [物体恰好不受轨道的支持力的情况下(物体在最高点做圆周运动)的临界条件是最高点速度为，因为v0＝>，所以物体将从最高点开始做平抛运动，A正确；由平抛运动的规律R＝gt2，x＝v0t，可得：x＝2R，B答案错误；落地时竖直分速度vy＝，合速度v＝＝2，其方向与地面成45°角，C正确，D错误．]
【课时效果检测】
1．BCD [小球经过最高点时刚好不脱离圆环，重力正好全部用来提供向心力，小球对圆环无压力，即Fn＝mg＝m＝ma，所以v＝，a＝g，故B、C、D正确．]
2．CD [物体在最低点受到竖直方向的合力Fy，方向向上，提供向心力，Fy＝m，A错误；由Fy＝FN－mg，得FN＝mg＋m，物体受到的滑动摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋m)，B错误，C正确；Ff水平向左，故物体受到Ff与Fy的合力，斜向左上方，D正确．]
3.BC
[小球只受重力和绳的拉力作用，向心力是由两个力的合力提供的，故A错，B对；如右图所示，向心力Fn＝mgtan θ＝m＝mLsin θ，解得v＝，故θ越大，小球运动的速度越大，C对；T＝2π ，故θ越大，T越小，D错．]
4．B
[汽车拐弯时，受到支持力和重力作用而做匀速圆周运动，两个力的合力方向指向水平圆周的圆心，根据牛顿第二定律：mgtan θ＝m，得θ＝arctan ，B正确．]
5．C
[飞机在盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力和空气的作用力两个力的作用，合力提供向心力Fn＝m.飞机运动情况和受力情况示意图如右图所示，根据平形四边形定则得：F＝＝m ，C正确．]
6．B [设小球在最高点的最小速度为v1，最大速度为v2.则在最高点：mg＝①
在最低点：Fm－mg＝②由机械能守恒定律得mv＋mg·2l＝mv③由①②③得：v1＝ m/s，v2＝3 m/s.所以答案B正确．]
7．ACD [小球在c点时由牛顿第二定律得：mg＝，vc＝，A项正确；
小球由b点运动到c点的过程中，由机械能守恒定律得：mv＝2mgR＋mv
小球在b点，由牛顿第二定律得：FN－mg＝，联立解得FN＝6mg，B项错误；
小球由c点平抛，在平抛运动过程中由运动学公式得：
x＝vct,2R＝gt2.解得t＝2 ，x＝2R，C、D项均正确．]
8．D
9．(1)3 m/s (2)43 N (3)1.5 m
解析 (1)物块由A到B在竖直方向上有
v＝2gh代入数据，得vy＝4 m/s
在B点tan ＝ 解得：vA＝3 m/s
(2)物块由B到C由动能定理知mgR(1－cos )＝mv－mv
又vB＝＝5 m/s
解得：v＝33(m/s)2
在C点由牛顿第二定律，得FN－mg＝m ，代入数据解得：FN＝43 N
由牛顿第三定律知，物块对轨道压力的大小为FN′＝FN＝43 N
(3)因物块到达A点时的速度为3 m/s，小于传送带速度，故物块在传送带上一直做匀加速直线运动．μmg＝ma a＝3 m/s2 PA间的距离xPA＝＝1.5 m.
10．(1)v1＝ v2＝ (2)mg (3) d
解析 (1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律有竖直方向：d－d＝gt2，水平方向：d＝v1t联立解得v1＝.由机械能守恒定律有mv＝mv＋mg(d－d) 解得v2＝ .
(2)设绳能承受的最大拉力大小为F，这也是球受到绳的最大拉力大小．
球做圆周运动的半径为R＝d
由圆周运动向心力公式有F－mg＝ 联立解得F＝mg.
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有F－mg＝m，得v3＝ .
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，
时间为t1，有d－l＝gt，x＝v3t1
解得x＝4 .
当l＝时，x有极大值xm＝d.
易错点评
1．汽车过凸形拱桥面顶点，当汽车的速度v＝时，汽车对桥的压力减小为零．这时，汽车以速度v＝开始做平抛运动，而不再沿桥面做圆周运动，如图所示
2．处理离心运动问题时，要注意区分外界所提供的力与物体做圆周运动所需的向心力．
3．处理竖直面内的圆周运动时，要注意临界条件的使用，且在最高点或最低点时应用向心力关系，而在两点之间应用动能定理或功能关系处理．
