一、概念规律题组
1．关于作用力与反作用力做功的关系，下列说法正确的是( )
A．当作用力做正功时，反作用力一定做负功
B．当作用力不做功时，反作用力也不做功
C．作用力与反作用力所做的功一定是大小相等、方向相反
D．作用力做正功时，反作用力也可能做正功
2．关于摩擦力对物体做功，以下说法中正确的是( )
A．滑动摩擦力总是做负功
B．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功
C．静摩擦力对物体一定做负功
D．静摩擦力对物体总是做正功
3．水平恒力F作用在一个物体上，使该物体沿光滑水平面在力的方向上移动距离l，恒力F做的功为W1，功率为P1；再用同样的水平力F作用在该物体上，使该物体在粗糙的水平面上在力的方向上移动距离l，恒力F做的功为W2，功率为P2，下面选项正确的是( )
A．W1
P2 B．W1>W2，P1C．W1＝W2，P1>P2 D．W1＝W2，P14．质量为m的木块放在光滑水平面上，在水平力F作用下从静止开始运动，则运动时间t时F的功率是( )
A. B. C. D.
二、思想方法题组
5．汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P.快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶．下面四个图象中正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系的是( )
6．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( )
A．(－1)d B．(－1)d
C. D.d
一、正负功的判断
1．从做功的两个必要因素判断力对物体是否做功，即物体是否受到力的作用；物体在力的方向上有无位移．
2．根据功和能的关系判断力对物体是否做功．即物体的能量是否发生变化：若能量增加，则力对物体做正功；若能量减少，则力对物体做负功．
3．判断正负功的方法
(1)从力和位移的夹角大小判断：0≤α<90°，做正功；90°<α≤180°，做负功；α＝90°，不做功．
(2)从力和速度的夹角大小判断：0≤θ<90°，做正功；90°<θ≤180°，做负功；θ＝90°，不做功．
(3)根据功能关系判断：物体的能量增加，外力做正功；物体的能量减少，外力做负功．
【例1】 (广东高考)一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功情况是( )
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D．始终做正功
[规范思维]
【例2】 如图
图1
1所示，两个质量相同的小球A、B固定在一轻杆的两端，绕一固定转轴O从水平位置由静止释放，当杆到达竖直位置时，设杆对A做功为W1，杆对B做功为W2，则( )
A．W1＝0，W2＝0 B．W1>0，W2>0
C．W1>0，W2<0 D．W1<0，W2>0
[规范思维]
二、功的计算方法
1．恒力做功的计算公式W＝Flcos α.
2．变力做功的计算
(1)用动能定理W＝ΔEk或功能关系W＝ΔE计算
(2)变力做功的功率一定时，用功率和时间计算：W＝Pt.
(3)将变力做功转化为恒力做功．
3．总功的计算：
(1)先求物体所受的合外力，再求合外力的功；
(2)先求每个力做的功，再求各功的代数和．
【例3】 (宁夏理综高考.18)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s.从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图2(a)和图(b)所示．设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系式正确的是( )
图2
A．W1＝W2＝W3 B．W1C．W1[规范思维]
【例4】 人
图3
在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图3所示，开始绳与水平方向夹角为60°，人匀速提起重物由A点沿水平方向运动2 m到达B点，此时绳与水平方向成30°角，求人对绳的拉力做了多少功？(g取10 m/s2)
[规范思维]
三、平均功率和瞬时功率的计算
1．在计算中，P＝只能计算平均值，而P＝Fv能计算平均值和瞬时值．
(1)若v是瞬时值，则计算出的功率是瞬时值．
(2)若v是平均值，则计算出的功率是平均值．
2．应用公式P＝Fv时需注意
(1)F与v方向在同一直线上时：P＝Fv.
(2)F与v方向有一夹角α时：P＝Fvcos α.
【例5】 (江苏高考.9)
图4
如图4所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放，当a球对地面压力刚好为零时，b球摆过的角度为θ.下列结论正确的是( )
A．θ＝60°
B．θ＝45°
C．b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小
D．b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大
[规范思维]
【例6】 (2009·宁夏·17改编)
图5
质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力的大小F 与时间t的关系如图5所示，力的方向保持不变，则( )
A.3t0时刻的瞬时功率为
B.3t0时刻的瞬时功率为
C.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
D.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
[规范思维]
四、机车的两种启动方式
1．机车的功率表达式P＝Fv中，P是发动机的实际功率，F是牵引力．若功率P不变，则F与v成反比，即v增大，F减小；v减小，F增大．
2．分析机车启动问题的基本公式是：
F－F阻＝ma
P＝Fv
其中F阻为机车在运动过程中所受的阻力．在不同的运动情景中虽然F阻来源不同，但分析方法和思路是相同的．
3．两种启动方式的比较
方式过程 恒定功率启动 恒定加速度启动
过程分析 阶段一：v↑ F＝↓ a＝↓阶段二：F＝F阻 a＝0 P＝F阻·vm 阶段一：a＝不变 F不变 v↑ P＝F·v↑，直到P＝P额＝F·vm′阶段二：vm′↑ F＝↓ a＝↓阶段三：F＝F阻时 a＝0 v达最大值vm＝
运动规律 加速度逐渐减小的变加速直线运动(对应下图中的OA段) 最后以vm做匀速直线运动 以加速度a做匀加速直线运动(对应下图中的OA段) 额定功率下的变加速直线运动(对应AB段) 最后以vm做匀速直线运动
v—t图象
【例7】 一列火车总质量m＝500 t，机车发动机的额定功率P＝6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力Ff是车重的0.01倍，求：
(1)火车在水平轨道上行驶的最大速度；
(2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1＝1 m/s和v2＝10 m/s时，列车的瞬时加速度a1、a2各是多少；
(3)在水平轨道上以36 km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；
(4)若火车从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间．
【基础演练】
图6
1．如图6所示，用恒力F拉着质量为m的物体沿水平面从A移到B的过程中，下列说法正确的是( )
A．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功多
B．有摩擦力时比无摩擦力时F做的功少
C．物体加速运动时F做的功比减速运动时F做的功多
D．物体无论是加速、减速还是匀速，力F做的功一样多
图7
2．(2009·广东高考)物体在合外力作用下做直线运动的v－t图象如图7所示．下列表述中正确的是( )
A．在0～1 s内，合外力做正功
B．在0～2 s内，合外力总是做负功
C．在1 s～2 s内，合外力不做功
D．在0～3 s内，合外力总是做正功
3．(2011·南京模拟)如图8所示是
图8
一汽车在平直路面上启动的速度—时间图象，从t1时刻起汽车的功率保持不变，由图象可知( )
A．0～t1时间内，汽车的牵引力增大，加速度增大，功率不变
B．0～t1时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变，功率增大
C．t1～t2时间内，汽车的牵引力减小，加速度不变
D．t1～t2时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变
4．(2011·山东潍坊质检)一质量为m的物体，同时受几个力的作用而处于静止状态．某时刻其中一个力F突然变为，则经过t时刻，合力的功率的大小是( )
A. B.
C. D.
图9
5．(2010·广州二测)如图9所示，质量为m的木块放在倾角为α的斜面上与斜面一起水平向左匀速运动，木块( )
A．对斜面的压力大小为mgsin α
B．所受的支持力对木块不做功
C．所受的摩擦力对木块做负功
D．所受的摩擦力方向可能沿斜面向下
6．(2011·龙岩调研)如图10所示，
图10
在雄壮的《中国人民解放军进行曲》中，胡锦涛主席乘国产红旗牌检阅车，穿过天安门城楼，经过金水桥，驶上长安街，检阅了44个精神抖擞、装备精良的地面方队．若胡锦涛主席乘坐的国产红旗牌检阅车的额定功率为P，检阅车匀速行进时所受阻力为Ff，在时间t内匀速通过总长为L的地面方队，由此可知( )
A．在时间t内检阅车的发动机实际做功为Pt
B．检阅车匀速行进的速度为
C．检阅车匀速行进时地面对车轮的摩擦力为滑动摩擦力
D．检阅车的实际功率为
7.
图11
用水平力拉一物体在水平地面上从静止开始做匀加速运动，到t1秒末撤去拉力F，物体做匀减速运动，到t2秒末静止．其速度图象如图11所示，且α<β.若拉力F做的功为W，平均功率为P；物体在加速和减速过程中克服摩擦阻力做的功分别为W1和W2，它们的平均功率分别为P1和P2，则下列选项中正确的是( )
A．W＝W1＋W2 B．W1＝W2
C．P＝P1＋P2 D．P1>P2
8.
图12
(2011·昆明一中月考)如图12所示，两个完全相同的小球A、B，在同一高度处以相同大小的初速度v0分别水平抛出和竖直向上抛出，忽略空气阻力，下列说法正确的是( )
A．两小球落地时的速度相同
B．两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从开始运动至落地，重力对两小球做功相同
D．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
【能力提升】
图13
9．(上海高考)物体沿直线运动的v－t关系如图13所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则( )
A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W
B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W
C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W
D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75W
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案
10.
图14
汽车发动机的功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为α(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图14所示，所受摩擦阻力为车重的0.1倍(g取10 m/s2)，求：
(1)汽车所能达到的最大速度vm；
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？
(3)当汽车以0.6 m/s2的加速度匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少．
11．(2011·广东省广州市高三联考)在一次抗洪抢险活动中，解放军某部利用直升机抢救一重要落水物体，静止在空中的直升机上的电动机通过悬绳将物体从离飞机90 m处的洪水中吊到机舱里．已知物体的质量为80 kg，吊绳的拉力不能超过1 200 N，电动机的最大输出功率为12 kW.为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是：先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，达到最大功率后电动机就以最大功率工作，当物体到达机舱时恰好达到最大速度．(g取10 m/s2)求：
(1)落水物体刚到达机舱时的速度；
(2)这一过程所用的时间．
学案1 功 功率
【课前双基回扣】
1．D 2.B
3．C [由W＝Fl和P＝分析．]
4．C [a＝，v＝at＝，则P＝Fv＝.]
5．C [开始匀速，说明牵引力和阻力大小相等；当功率减小时，速度和牵引力都要减小，故汽车做加速度减小的变减速运动，由初始和最终时的功率关系得最终速度为初始时的一半．]
6．B [钉子钉入木板过程中随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理．据题意可得：
W＝d＝d①
W＝d′＝d′②
联立①②式解得d′＝(－1)d.]
思维提升
1．作用力和反作用力做功没有一定的关系，因为根据做功的两个因素，虽然作用力和反作用力大小相等，但这两个力分别作用在发生相互作用的两个物体上，这两个物体在相同时间内运动的情况是由这两个物体所受的合力、物体的质量以及物体的初始条件这三个因素共同决定的，所以两个物体在相互作用力方向上的位移并没有必然联系，因此作用力和反作用力所做功的数值也没有一定的联系．
2．静摩擦力和滑动摩擦力可以做正功、负功或不做功．一对相互作用的静摩擦力做功之和恒为零，而一对相互作用的滑动摩擦力做功之和恒为负值．
3．注意区分瞬时功率与平均功率．利用P＝只能求平均功率；而利用P＝Fvcos θ既可求平均功率，也可求瞬时功率，需注意的是，只有F与v方向相同时，才有P＝Fv.
4．公式W＝Flcos θ只能用来求恒力的功，不能直接用来求变力的功．变力做功的求法有：
①微元法；②平均力法；③图象法；④动能定理法；⑤功率法．
【核心考点突破】
例1 D [力对物体做功的表达式为W＝Flcos α，0°≤α<90°时，F做正功；α＝90°时，F不做功；90°<α≤180°时，F做负功．电梯支持力始终竖直向上，与位移同向，α＝0°，故支持力始终做正功，D正确．]
[规范思维] 在本题的三种运动情形中，支持力的方向均与速度方向同向，故都做正功．功的正负与运动状态无关．
例2 C [A球向上运动的过程中，动能和重力势能都增大，即机械能增大，则杆必对A做正功，W1>0.对于B球，由于动能增大，重力势能减小，机械能的变化不好判断，但从A的能量变化容易判断知A的机械能增大，而A、B组成的系统机械能不变，则B的机械能减小，故杆对B球做负功，W2<0.]
[规范思维] 本题判断功的正负的方法：物体的能量增加，外力做正功；物体的能量减小，外力做负功．
例3 B [由v－t图象可知第1秒内、第2秒内、第3秒内的力和位移均为正方向，设滑块的初速度为v0，则x1＝t＝ m，x2＝t＝ m，x3＝v0t＝1 m，F1＝1 N，F2＝3 N，F3＝2 N，有W1＝F1x1＝ J，W2＝F2x2＝ J，W3＝F3x3＝2 J，所以得W1[规范思维] 本题全过程力是变力，但各个子过程中力是恒力，可在各个过程中分别计算功，然后求总功．
例4 732 J
解析 经分析，人对绳的拉力做的功与绳对物体的拉力做的功是相同的，又因为人匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F＝mg
且重物上升的高度h等于右侧绳子的伸长量Δl
由几何关系易求Δl＝2(－1) m
所以，人对绳子的拉力做的功
W＝FΔl＝mgh＝500×2(－1) J＝732 J
[规范思维] (1)应用功的计算公式W＝Flcos α求功时，F必须是恒力，即大小、方向均不变，l是对地位移(力的作用点的对地位移)，而力的作用点的位移跟物体的位移在很多问题中往往不同．
(2)灵活的选择研究对象可以使问题的矛盾转化，大大简化解题过程．
例5 AC [b球下摆过程中，竖直方向的速度v⊥先增大后减小，重力对小球做功的功率P＝mgv⊥先增大后减小．a对地面的压力刚好为零，说明绳的拉力FT＝3mg.对b球，设绕行半径为r，在最低点时，mgr＝mv2 FT′－mg＝ 得FT′＝FT＝3mg
所以b在最低点时，a球恰好对地面压力为零．]
[规范思维] 在利用功率公式P＝Fvcos α解题时，注意不要丢了“cos α”，“vcos α”可理解为力F方向的速度．
例6 BD [0～2t0时间内物体做匀加速直线运动，可求得2t0时刻物体的速度为2t0.2t0～3t0时间内物体也做匀加速直线运动，可求得3t0时刻物体的速度为2t0＋t0＝F0t0.所以3t0时刻的瞬时功率为3F0＝，故B正确；0～2t0时间内水平力做功为F02t0＝，2t0～3t0时间内水平力做功为3F0t0＝，所以总功为，总功率为，所以D正确．]
[规范思维] 在进行功率的计算时，一定注意要求的是平均功率还是瞬时功率．如果是平均功率一般用P＝计算；如果是瞬时功率则要用P＝Fvcos α计算．
例7 (1)12 m/s (2)1.1 m/s2 0.02 m/s2 (3)5×105 W (4)4 s
解析 (1)列车以额定功率工作时，当牵引力等于阻力，即F＝Ff＝kmg时，列车的加速度为零，速度达最大值vm，则：vm＝＝＝＝12 m/s.
(2)当v据牛顿第二定律得a1＝＝1.1 m/s2
当v＝v2＝10 m/s时，F2＝＝6×104 N
据牛顿第二定律得a2＝＝0.02 m/s2.
(3)当v＝36 km/h＝10 m/s时，列车匀速运动，则发动机的实际功率P′＝Ffv＝5×105 W.
(4)据牛顿第二定律得牵引力F′＝Ff＋ma＝3×105 N在此过程中，速度增大，发动机功率增大．当功率为额定功率时速度大小为vm′，即vm′＝＝2 m/s据vm′＝at，得t＝＝4 s.
【课时效果检测】
1．BD 2.A 3.BC 4.B 5.AC 6.D 7.A 8.C
9．CD
10．(1)12.5 m/s (2)13.9 s (3)4.16×105 J
解析 由P＝Fv可知，汽车在额定功率下行驶，牵引力与速度成反比．当汽车的牵引力与阻力(包括爬坡时克服的下滑力)相等时，速度达最大．只有当汽车牵引力不变时，汽车才能匀加速行驶，当Fv＝P额时，匀加速运动结束，可由W＝Fx 求出这一阶段汽车做的功．
(1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即
F阻＝kmg＋mgsin α＝4 000 N＋800 N＝4 800 N
又因为F＝F阻时，P＝F阻vm，所以vm＝＝ m/s＝12.5 m/s
(2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2匀加速行驶，由牛顿第二定律有F′－F阻＝ma
所以F′＝ma＋kmg＋mgsin α＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N
保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度vm′，有vm′＝＝ m/s≈8.33 m/s
由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移
t＝＝ s＝13.9 s
x＝＝ m≈57.82 m.
(3)由W＝Fx可求出汽车在匀加速阶段行驶时做功为
W＝Fx＝7.2×103×57.82 J≈4.16×105 J
11．(1)15 m/s (2)7.75 s
解析 (1)第一阶段绳以最大拉力拉着物体匀加速上升，当电动机达到最大功率时，功率保持不变，物体变加速上升，速度增大，拉力减小，当拉力与重力相等时，速度达到最大．由Pm＝Fvm，得vm＝＝ m/s＝15 m/s
此即物体刚到机舱时的速度．
(2)匀加速上升的加速度为a1＝＝ m/s2＝5 m/s2
匀加速阶段的末速度v1＝＝ m/s＝10 m/s
匀加速上升时间t1＝＝ s＝2 s
匀加速上升的高度h1＝t1＝×2 m＝10 m
以最大功率上升过程由动能定理得Pmt2－mg(h－h1)＝mv－mv
解得t2＝5.75 s
所以吊起落水物体所用总时间为t＝t1＋t2＝(2＋5.75) s＝7.75 s
易错点评
1．在应用公式W＝Flcos θ求恒力F的功时，与物体是否受其它力以及物体的运动状态无关．功的大小只由力的大小、位移大小及二者方向的夹角决定．
2．在应用公式P＝Fv分析机车启动时，F为机车的牵引力，只有机车匀速运动时，牵引力F等于阻力f，才有P＝fv.
3．在机车以恒定加速度启动中，要注意区分匀加速过程终止时的速度与最后的最大速度．实验目的
利用自由落体运动验证在只有重力作用情况下的物体机械能守恒．
实验原理
1．在只有重力做功的自由落体运动中，物体的重力势能和动能互相转化，但总的________保持不变．若物体某时刻的瞬时速度为v，下落高度为h，则重力势能的减少量为______，动能的增加量为____________，看它们在实验误差允许的范围内是否相等，若相等则验证了机械能守恒定律．
2．计算打第n个点时速度的方法：测出第n个点与相邻前后点间的距离xn和xn＋1，由公式vn＝________________或vn＝算出，如图1所示．
图1
实验器材
铁架台(含铁夹)，打点计时器，__________，纸带，复写纸，导线，____________，重物(带纸带夹)．
实验步骤
图2
1．安装、准备：按如图2装置把打点计时器安装在铁架台上，用导线把打点计时器与学生电源连接好．把纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过计时器限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在________________．
2．打纸带：先__________，后__________，让重物带着纸带自由下落，这样计时器就在纸带上打下了一系列点，更换纸带重复上述步骤做3～5次实验．
3．选纸带：分两种情况来说明
(1)用mv2＝mgh来验证时，应选点迹清晰，且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带．若1、2两点间的距离大于2 mm，这是由于先释放纸带，后接通电源造成的．这样，第1个点就不是运动的起始点了，这样的纸带不能选．
(2)用mv－mv＝mgΔh验证时，由于重力势能的相对性，处理纸带时，应选择适当的点作为基准点，这样纸带上打出的第1、2两点间的距离是否为2 mm就无关紧要了，所以只要后面的点迹清晰就可选用．
数据处理
在起始点标上0，在以后各点依次标上1、2、3、……用刻度尺测出对应下落高度h1、h2、h3、……
利用公式vn＝计算出点1、点2、点3、……的瞬时速度v1、v2、v3、……
用以下三种方法进行验证：
方法一：利用起始点和第n点计算．代入ghn和v，如果在实验误差允许的条件下ghn＝v，则机械能守恒定律是正确的．
方法二：任取两点计算．
(1)任取两点A、B测出hAB，算出ghAB.
(2)算出v－v的值．
(3)若在实验误差允许的条件下ghAB＝v－v，则机械能守恒定律是正确的．
方法三：图象法．从纸带上选取多个点，测量从第一个点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据画出v2－h图线．若在实验误差允许的条件下，图象是一条过原点且斜率为g的直线，则验证了机械能守恒．
注意事项
1．安装打点计时器时要竖直架稳，使两限位孔在同一竖直平面内以减少摩擦阻力．
2．重物应选用质量大、体积小、密度大的材料．
3．应先接通电源，让打点计时器正常工作后，再松开纸带让重物下落．
4．纸带长度应选用60 cm左右为宜，应选用点迹清晰的纸带进行测量．
5．速度不能用vn＝gtn或vn＝计算，因为只要认为加速度为g，机械能当然守恒， 即相当于用机械能守恒定律验证机械能守恒定律，况且用vn＝gtn计算出的速度比实际值大，会得出机械能增加的结论，而实际上因为受摩擦阻力的影响，机械能应减小，所以速度应从纸带上直接测量计算．同样的道理，重物下落的高度h，也只能用刻度尺直接测量，而不能用hn＝gt或hn＝计算得到.
题型一 实验原理与步骤
【例1】 用如图3所示
图3
的实验装置验证机械能守恒定律．实验所用的电源为学生电源，输出电压为6 V的交流电和直流电两种．重物从高处由静止开始下落，重物拖着纸带打出一系列的点，对纸带上的点痕进行测量，即可验证机械能守恒定律．
(1)下面列举了该实验的几个操作步骤：
A．按照图示的装置安装器件；
B．将打点计时器接到电源的“直流输出”上；
C．用天平测量出重物的质量；
D．释放悬挂纸带的夹子，同时接通电源开关打出一条纸带；
E．测量打出的纸带上某些点间的距离；
F．根据测量的结果计算重物下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能．
其中没有必要进行的或者操作不恰当的步骤是______．(将其选项对应的字母填在横线处)
(2)利用这个装置也可以测量重物下落的加速度a的数值．如图4所示，根据打出的纸带，选取纸带上连续的五个点A、B、C、D、E，测出A点距起始点O的距离为x0，点A、C间的距离为x1，点C、E间的距离为x2，使用交流电的频率为f，根据这些条件计算重物下落的加速度a＝__________________.
图4
(3)在上述验证机械能守恒定律的实验中发现，重物减小的重力势能总是大于重物增加的动能，其原因主要是重物下落的过程中存在阻力作用，可以通过该实验装置测定该阻力的大小．若已知当地重力加速度公认的较准确的值是g，还需要测量的物理量是：______________.试用这些物理量和上图纸带上的数据符号表示出重物在下落的过程中受到的平均阻力为F＝______________________________________________.
[规范思维]
题型二 实验数据的处理
【例2】 (2011·如皋统考)在用打点计时器验证机械能守恒定律的实验中，质量m＝1.00 kg的重物自由下落，打点计时器在纸带上打出一系列点．如图5所示为选取的一条符合实验要求的纸带，O为第一个点(速度恰好为零)，每两个计数点之间还有四个点未画出，选连续的3个计数点A、B、C作为测量的点，经测量知道A、B、C各点到O点的距离分别为50.50 cm、86.00 cm、130.50 cm.已知打点计时器每隔0.02 s打一次点，当地的重力加速度g＝9.80 m/s2.
图5
根据以上数据，可计算出打B点时的速度vB＝______ m/s；重物由O点运动到B点，重力势能减少了________ J，动能增加了________ J．根据所测量的数据，还可以求出物体实际下落的加速度为________ m/s2，物体在从A到B下落的过程中所受到的平均阻力为________ N(计算结果都要保留3位有效数字)，该阻力的来源主要有：
(1)________________________________________________________________________
________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
1．在做验证机械能守恒定律实验时，发现重物减少的势能总是大于重物增加的动能，造成这种现象的原因是( )
A．选用的重物质量过大
B．重物质量测量不准
C．空气对重物的阻力和打点计时器对纸带的阻力
D．实验时操作不太仔细，实验数据测量不准确
图6
2．(2010·湖南理综)图6为验证机械能守恒定律的实验装置示意图．现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平．回答下列问题
(1)为完成此实验，除了所给的器材，还需要的器材有________．(填入正确选项前的字母)
A．米尺 B．秒表
C．0～12 V的直流电源 D．0～12 V的交流电源
(2)实验中误差产生的原因有______________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.(写出两个原因)
图7
3．(2010·安徽理综)利用图7所示装置进行验证机械能守恒定律的实验时，需要测量物体由静止开始自由下落到某点时的瞬时速度v和下落高度h.某班同学利用实验得到的纸带，设计了以下四种测量方案．
a．用刻度尺测出物体下落的高度h，并测出下落时间t，通过v＝gt计算出瞬时速度v.
b．用刻度尺测出物体下落的高度h，并通过v＝计算出瞬时速度．
c．根据做匀变速直线运动时纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度，并通过计算得出高度h.
d．用刻度尺测出物体下落的高度h，根据做匀变速直线运动时纸带上某点的瞬时速度等于这点前后相邻两点间的平均速度，测算出瞬时速度v.
以上方案中只有一种正确，正确的是________．(填入相应的字母)
图8
4．(2011·陕西西安地区联考)在“验证机械能守恒定律”的实验中：
(1)某同学用图8所示装置进行实验，得到图9所示的纸带，测出点A、C间的距离为14.77 cm，点C、E间的距离为16.33 cm，已知当地重力加速度为9.8 m/s2，打点计时器所用交流电源的频率为50 Hz，重锤的质量为m＝1.0 kg，则重锤在下落过程中受到的平均阻力大小Ff＝______________________________________________________________.
图9
(2)某同学上交的实验报告显示重锤增加的动能略大于重锤减少的重力势能，则出现这一问题的原因可能是________(填序号)．
A．重锤的质量测量错误
B．该同学自编了实验数据
C．交流电源的频率不等于50 Hz
D．重锤下落时受到的阻力过大
5．(全国Ⅰ高考·22)如图10所示，两个质量各为m1和m2的小物块A和B，分别系在一条跨过定滑轮的软绳两端，已知m1>m2，现要利用此装置验证机械能守恒定律．
(1)若选定物块A从静止开始下落的过程进行测量，则需要测量的物理量有________．
图10
①物块的质量m1、m2；
②物块A下落的距离及下落这段距离所用的时间；
③物块B上升的距离及上升这段距离所用的时间；
④绳子的长度．
(2)为提高实验结果的准确程度，某小组同学对此实验提出以下建议：
①绳的质量要轻；
②在“轻质绳”的前提下，绳子越长越好；
③尽量保证物块只沿竖直方向运动，不要摇晃；
④两个物块的质量之差要尽可能小．
以上建议中确实对提高准确程度有作用的是_______________________________
________________________________________________________________________.
(3)写出一条上面没有提到的对提高实验结果准确程度有益的建议：______________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
图11
6．某同学利用如图11所示的实验装置验证机械能守恒定律，弧形轨道末端水平，离地面的高度为H，将钢球从轨道的不同高度h处静止释放，钢球的落点距轨道末端的水平距离为x.
(1)若轨道完全光滑，x2与h的理论关系应满足x2＝________(用H、h表示)．
(2)该同学经实验测量得到一组数据，如下表所示：
h(10－1m) 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
x2(10－1m2) 2.62 3.89 5.20 6.53 7.78
请在图12给出的坐标纸上作出x2－h关系图．
图12
(3)对比实验结果与理论计算得到的x2－h关系图线(图中已画出)，自同一高度静止释放的钢球，水平抛出的速率________(填“小于”或“大于”)理论值．
7．(2011·珠海模拟)在用打点计时器验证机械能守恒定律的实验中，使质量为m＝1.00 kg的重物自由下落，打点计时器在纸带上打出一系列的点，选取一条符合实验要求的纸带如图13所示．O为第一个点，A、B、C为从合适位置开始选取连续点中的三个点．已知打点计时器每隔0.02 s打一个点，当地的重力加速度为g＝9.80 m/s2，那么：
图13
(1)根据图上所得的数据，应取图中O点到________点来验证机械能守恒定律；
(2)从O点到(1)问中所取的点，重物重力势能的减少量ΔEp＝________ J，动能增加量ΔEk＝________ J(结果取三位有效数字)；
(3)若测出纸带上所有各点到O点之间的距离，根据纸带算出各点的速度v及物体下落的高度h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图象是下图中的________．
实验学案5 验证机械能守恒定律
【基础自主落实】
实验原理
1．机械能 mgh mv2 2.
实验器材
学生电源 毫米刻度尺
实验步骤
1．打点计时器附近 2.接通电源 松开纸带
【热点题型精析】
例1 (1)BCD (2) (3)重物的质量m m[g－]或m[g－]
解析 (1)因本实验中是通过比较重物的重力势能减小量mghn和动能mv增加量的大小来达到验证的目的，对于同一个研究对象(重物)来说，质量是一定的，故只需比较ghn和v就能达到目的，选项C是没必要的．选项B、D是错误的，应将打点计时器接到电源的“交流输出”上；释放悬挂纸带的夹子，先接通电源开关再释放一条纸带．
(2)因Δx＝aT2，所以a＝＝.
(3)由牛顿第二定律得平均阻力F＝mg－ma，所以应测量重物的质量m，代入加速度得F＝m[g－] 或由动能定理得：mg(x0＋x1)－F(x0＋x1)＝mv 又因为vC＝
由以上两式得F＝m[g－]
[规范思维] 解答实验题时，首先应弄清实验原理和误差来源，然后针对具体题目进行全面分析．只有从原理上着手，问题的解答才有依据，绝不能死记实验步骤和注意事项．
例2 4.00 8.43 8.00 9.00 0.800 (1)重物受到的空气阻力 (2)纸带与限位孔之间的摩擦力
解析 由于每两个相邻计数点之间还有4个点没有画出，所以每两个相邻计数点之间的时间间隔为0.1 s，同时可求得＝86.00 cm－50.50 cm＝35.50 cm＝0.355 0 m，＝130.50 cm－86.00 cm＝44.50 cm＝0.445 0 m
根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度可得
vB＝＝＝＝ m/s＝4.00 m/s
由O点运动到B点下落的距离为h＝86.00 cm＝0.86 m，重力势能减少了EpB＝mgh＝1.00×9.80×0.86 J≈8.43 J，根据求得的B点速度可得，重物由O点运动到B点动能增加了ΔEkOB＝mv＝×1.00×(4.00)2 J＝8.00 J
由Δx＝aT2可求得纸带下落的加速度
a＝＝＝ m/s2＝9.00 m/s2
根据牛顿第二定律得mg－Ff＝ma
从A到B下落的过程中所受到的平均阻力为
Ff＝mg－ma＝1.00×9.80 N－1.00×9.00 N＝0.800 N
分析纸带受到的力有：重力、重物受到的空气阻力、纸带与限位孔之间的摩擦力等力的作用，所以阻力的来源是以上除重力之外的力．
【课时效果检测】
1．C
2．(1)AD (2)纸带与打点计时器之间有摩擦；用米尺测量纸带上点的位置时读数有误差；计算势能变化时，选取初末两点距离过近；交流电频率不稳定等．
3．d
4．(1)0.05 N (2)BC
5．(1)①②或①③ (2)①③ (3)例如：“对同一高度进行多次测量取平均值”；“选取受力后相对伸长量尽量小的绳”；“绳和滑轮尽量光滑”等等．
解析 (1)通过连结在一起的A、B两物体验证机械能守恒定律，即验证系统的势能变化与动能变化是否相等，A、B连接在一起，A下降的距离一定等于B上升的距离；A、B的速度大小总是相等的，故②、③只测其中的一个即可，不需要测量绳子的长度．
(2)如果绳子质量不能忽略，则A、B组成的系统势能将有一部分转化为绳子的动能，从而为验证机械能守恒定律带来误差；若物块摇摆，则两物块的速度有差别，为计算系统的动能带来误差；两个物块质量差较大时，摩擦阻力对实验测量所带来的误差影响就会越小，故无需减小两物块的质量差．
6．(1)4Hh (2)见解析图 (3)小于
解析 (1)由机械能守恒mgh＝mv2①
由平抛运动规律x＝vt②
H＝gt2③
由①②③得x2＝4Hh.
(2)根据表中数据描点作图可得出x2－h关系如下图所示．
(3)由图中看出在相同h下，水平位移x值比理论值要小，由x＝vt＝v ，说明水平抛出的速率比理论值小．
7．(1)B (2)1.88 1.84 (3)A一、概念规律题组
1．质量均为m的甲、乙、丙三个小球，在离地面高为h处以相同的动能在竖直平面内分别做平抛、竖直下抛、沿光滑斜面下滑的运动，则下列说法错误的是( )
A．三者到达地面时的速率相同
B．三者到达地面时的动能相同
C．三者到达地面时的机械能相同
D．三者同时落地
图1
2．如图1所示，一个小孩从粗糙的滑梯上加速滑下，对于其机械能的变化情况，下列判断正确的是( )
A．重力势能减小，动能不变，机械能减小
B．重力势能减小，动能增加，机械能减小
C．重力势能减小，动能增加，机械能增加
D．重力势能减小，动能增加，机械能不变
3．质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h，不计空气阻力，则下列说法中错误的是( )
A．物体的机械能保持不变
B．物体的重力势能减小mgh
C．物体的动能增加2mgh
D．物体的机械能增加mgh
图2
4．如图2所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的叙述中正确的是( )
A．重力势能和动能之和总保持不变
B．重力势能和弹性势能之和总保持不变
C．动能和弹性势能之和总保持不变
D．重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
二、思想方法题组
5．如图3所示，小球以初速度v0从光滑斜面底部向上滑，恰能到达最大高度为h的斜面顶部．图中A是内轨半径大于h的光滑轨道、B是内轨半径小于h的光滑轨道、C是内轨直径等于h的光滑轨道、D是长为h的轻棒，其下端固定一个可随棒绕O点向上转动的小球．小球在底端时的初速度都为v0，则小球在以上四种情况中能到达高度h的有( )
图3
6．从地面竖直向上抛出一个物体，当它的速度减为初速度v0的一半时，上升的高度为(空气阻力不计)( )
A. B. C. D.
一、几种常见的功能关系
1．合力做功与物体动能改变之间的关系：合力做功等于物体动能的增量，即W合＝Ek2－Ek1(动能定理)．
2．重力做功与物体重力势能改变之间的关系：重力做功等于物体重力势能增量的负值，即WG＝－ΔEp.
3．弹力做功与物体弹性势能改变之间的关系：弹力做功等于物体弹性势能增量的负值，即W＝－ΔEp.
4．除了重力和系统内弹力之外的其他力做功与机械能改变之间的关系：其他力做的总功等于系统机械能的增量，即W其他＝ΔE.
图4
【例1】 (2010·山东理综·22改编)如图4所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( )
A．物块的机械能逐渐增加
B．软绳重力势能共减少mgl
C．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功
D．软绳重力势能的减少等于其动能的增加与克服摩擦力所做功之和
[规范思维]
[针对训练1] 如图5所示，卷扬机的绳索通过定滑轮用力F拉位于粗糙斜面上的木箱，使之沿斜面加速向上移动，在移动过程中，下列说法正确的是( )
图5
A．F对木箱做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和
B．F对木箱做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和
C．木箱克服重力做的功等于木箱增加的重力势能
D．F对木箱做的功大于木箱增加的机械能与木箱克服摩擦力做的功之和
二、能量转化与守恒定律的应用
1．摩擦力做功的特点：
(1)一对静摩擦力对两物体做功时，能量的转化情况：静摩擦力对相互作用的一个物体做正功，则另一摩擦力必对相互作用的另一物体做负功，且做功的大小相等，在做功的过程中，机械能从一个物体转移到另一物体，没有机械能转化为其他形式的能．
(2)一对滑动摩擦力对两物体做功时，能量的转化情况：由于两物体发生了相对滑动，位移不相等，因而相互作用的一对滑动摩擦力对两物体做功不相等，代数和不为零，其数值为－Fx，即滑动摩擦力对系统做负功，系统克服摩擦力做功，将机械能转化为内能，即Q＝Fx.
2．能量守恒定律：当物体系内有多种形式的能量参与转化时，可考虑用能量守恒定律解题，能量守恒定律的两种常见表达形式：(1)转化式：ΔE减＝ΔE增，即系统内减少的能量等于增加的能量；(2)转移式：ΔEA＝－ΔEB，即一个物体能量的减少等于另一个物体能量的增加．
【例2】 (2011·衡水模拟)质量为m的木块(可视为质点)左端与轻弹簧相连，弹簧的另一端与固定在足够大的光滑水平桌面上的挡板相连，木块的右端与一轻细线连接，细线绕过光滑的质量不计的轻滑轮，木块处于静止状态，在下列情况中弹簧均处于弹性限度内，(不计空气阻力及线的形变，重力加速度为g)．
(1)在图6甲中，在线的另一端施加一竖直向下的大小为F的恒力，木块离开初始位置O由静止开始向右运动，弹簧开始发生伸长形变，已知木块通过P点时，速度大小为v，O、P两点间的距离为l.求木块拉至P点时弹簧的弹性势能；
图6
(2)如果在线的另一端不是施加恒力，而是悬挂一个质量为M的钩码，如图乙所示，木块也从初始位置O由静止开始向右运动，求当木块通过P点时的速度大小．
[规范思维]
[针对训练2] 如图7所示，
图7
A、B、C质量分别为mA＝0.7 kg，mB＝0.2 kg，mC＝0.1 kg，B为套在细绳上的圆环， A与水平桌面的动摩擦因数μ＝0.2，另一圆环D固定在桌边，离地面高h2＝0.3 m，当B、C从静止下降h1＝0.3 m，C穿环而过，B被D挡住，不计绳子质量和滑轮的摩擦，取g＝10 m/s2，若开始时A离桌边足够远．试求：
(1)物体C穿环瞬间的速度．
(2)物体C能否到达地面？如果能到达地面，其速度多大？
三、用功能关系分析传送带问题
传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有两个：(1)动力学角度，如求物体在传送带上运动的时间、物体在传送带上能达到的速度、物体相对传送带滑过的位移等，方法是牛顿第二定律结合运动学规律．(2)能量的角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等．
【例3】 飞机场上运送行李的装置为一水平放置的环形传送带，
图8
传送带的总质量为M，其俯视图如图8所示．现开启电动机，传送带达到稳定运行的速度v后，将行李依次轻轻放到传送带上．若有n件质量均为m的行李需通过传送带运送给旅客．假设在转弯处行李与传送带无相对滑动，忽略皮带轮、电动机损失的能量．求从电动机开启，到运送完行李需要消耗的电能为多少？
[规范思维]
[针对训练3] 一质量为M＝2.0 kg的小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞来的子弹击中并从物块中穿过，子弹和小物块的作用时间极短，如图9甲所示．地面观察者记录了小物块被击中后的速度随时间变化关系如图乙所示(图中取向右运动的方向为正方向)．已知传送带的速度保持不变，g取10 m/s2.
图9
(1)指出传送带速度v的方向及大小，说明理由．
(2)计算物块与传送带间的动摩擦因数μ.
(3)计算传送带对外做了多少功？子弹射穿物块后系统有多少能量转化为内能？
【基础演练】
1．物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下物体机械能的变化情况是( )
A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小
C．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定物体机械能的变化情况
D．三种情况中，物体的机械能均增加
2．从地面竖直上抛一个质量为m的小球，小球上升的最大高度为H.设上升过程中空气阻力F阻恒定．则对于小球的整个上升过程，下列说法中错误的是( )
A．小球动能减少了mgH
B．小球机械能减少了F阻H
C．小球重力势能增加了mgH
D．小球的加速度大于重力加速度g
3．如图10所示，
图10
一轻弹簧的左端固定，右端与一小球相连，小球处于光滑水平面上．现对小球施加一个方向水平向右的恒力F，使小球从静止开始运动，则小球在向右运动的整个过程中( )
A．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球和弹簧组成的系统机械能逐渐减小
C．小球的动能逐渐增大
D．小球的动能先增大后减小
4．一颗子弹以某一水平速度击中了静止在光滑水平面上的木块，并从中穿出．对于这一过程，下列说法正确的是( )
A．子弹减少的机械能等于木块增加的机械能
B．子弹减少的动能等于木块增加的动能
C．子弹减少的机械能等于木块增加的动能与木块增加的内能之和
D．子弹减少的动能等于木块增加的动能与子弹和木块增加的内能之和
5．如图11所示，
图11
一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点间的竖直高度差为h，速度为v，则( )
A．由A到B重力做的功小于mgh
B．由A到B重力势能减少mv2
C．由A到B小球克服弹力做功为mgh
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－
图12
6．(2011·盐城模拟)如图12所示，长为L的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F的水平力将小车向右拉动一段距离l，物块刚好滑到小车的左端．物块与小车间的摩擦力为Ff，在此过程中( )
A．系统产生的内能为FfL
B．系统增加的机械能为Fl
C．物块增加的动能为FfL
D．小车增加的动能为Fl－FfL
7．如图13所示，
图13
质量为m的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，下落H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C，在由A运动到C的过程中，空气阻力恒定，则( )
A．物块机械能守恒
B．物块和弹簧组成的系统机械能守恒
C．物块机械能减少mg(H＋h)
D．物块和弹簧组成的系统机械能减少mg(H＋h)
【能力提升】
8．(2009·山东·22)如图14所示为
图14
某探究活动小组设计的节能运输系统．斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为.木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程．下列选项正确的是( )
A．m＝M
B．m＝3M
C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度
D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9.如图15所示，倾角为30°的光滑斜面的下端有一水平传送带，传送带正以6 m/s的速度运动，运动方向如图所示．一个质量为2 kg的物体(物体可以视为质点)，从h＝3.2 m高处由静止沿斜面下滑，物体经过A点时，不管是从斜面到传送带还是从传送带到斜面，都不计其动能损失．物体与传送带间的动摩擦因数为0.5，物体向左最多能滑到传送带左右两端AB的中点处，重力加速度g＝10 m/s2，求：
图15
(1)物体由静止沿斜面下滑到斜面末端需要多长时间；
(2)传送带左右两端AB间的距离l至少为多少；
(3)上述过程中物体与传送带组成的系统产生的摩擦热为多少．
图16
10．(2011·辽宁大连双基测试)如图16所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点．用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m，B的质量为m，初始时物体A到C点的距离为L.现给A、B一初速度v0使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点．已知重力加速度为g，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：
(1)物体A向下运动刚到C点时的速度；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧中的最大弹性势能．
学案4 功能关系 能量守恒定律
【课前双基回扣】
1．ABC [只有重力做功，机械能守恒，mgh＋Ek1＝Ek2＝mv2，A、B、C对．]
2．B [下滑时高度降低，则重力势能减小，加速运动，动能增加，摩擦力做负功，机械能减小，B对，A、C、D错．]
3．BCD [物体所受合外力F＝ma＝2mg>mg，说明物体除重力外还受到其他力作用，机械能不守恒，A选项错误；重力做的功等于物体重力势能的改变量(减小量)，B选项正确；合外力做的功等于物体动能的增量，C正确；除重力外其他外力(等于mg)对物体做的功等于物体机械能的增量，D正确．]
4．D [小球下落过程中受到的重力做正功，弹力做负功，重力势能、弹性势能及动能都要发生变化．任意两种能量之和都不会保持不变，但三种能量有相互转化，总和不变，D正确．]
5．AD [在不违背能量守恒定律的情景中的过程并不是都能够发生的，B、C中的物体沿曲线轨道运动到与轨道间的压力为零时就会脱离轨道做斜上抛运动，动能不能全部转化为重力势能，故A、D正确．]
6．D [设上抛物体的速度减为初速度v0的一半时，上升的高度为h，选地面为参考平面，由机械能守恒定律得：
mv＝m()2＋mgh，
解得h＝，D正确．]
思维提升
1．功和能本质不同，功是过程量，能是状态量，二者不能相互转化，而只能是通过做功实现不同能量形式之间的转化，并且功是能量转化的量度，做功的过程就是能量转化的过程．
2．各种功与对应能量变化的关系
功 能量的变化
合外力做正功 动能增加
重力做正功 重力势能减少
弹簧弹力做正功 弹性势能减少
电场力做正功 电势能减少
分力力做正功 分子势能减少
其他力(除重力、弹力)做正功 机械能增加
【核心考点突破】
例1 BD [绳的拉力对物块做负功，所以物块的机械能减少，故选项A错误；软绳减少的重力势能ΔEp＝mg(－sin 30°)＝mgl，故选项B正确；软绳被拉动，表明细线对软绳拉力大于摩擦力，而物块重力势能的减少等于克服细线拉力做功与物块动能之和，选项C错误；对软绳应用动能定理，有WT＋WG－Wf＝ΔEk，所以软绳重力势能的减少ΔEp＝WG＝ΔEk＋(Wf－WT)，所以ΔEp<ΔEk＋Wf，选项D正确．]
[规范思维] 运用功能关系解题，应弄清楚各种力做功情况及与相应能的变化的关系，如重力做什么功，合外力做什么功，除重力和弹力之外的力做什么功，从而判断重力势能(或弹性势能)、动能、机械能的变化．
例2 (1)Fl－mv2 (2)
解析 (1)用力F拉木块至P点时，设此时弹簧的弹性势能为E，根据功能关系得
Fl＝E＋mv2
所以弹簧的弹性势能为E＝Fl－mv2.
(2)悬挂钩码M时，当木块运动到P点时，弹簧的弹性势能仍为E，设木块的速度为v′，由机械能守恒定律得 Mgl＝E＋(m＋M)v′2
联立解得v′＝
[规范思维] 运用能的转化与守恒定律解题时，应首先弄清楚各种能量间的转化关系，这种转化是靠做功实现的，因此，物体在运动过程中各个力做的功是解题的关键．抓住能量间的转化关系和各个力做的功是解决这种问题的基础．
例3 Mv2＋nmv2
解析 设行李与传送带间的动摩擦因数为μ，则传送带与行李间由于摩擦产生的总热量
Q＝nμmgΔl
由运动学公式得Δl＝l传－l行＝vt－＝
又v＝μgt
联立解得Q＝nmv2
由能量守恒得E＝Q＋Mv2＋n×mv2
所以E＝Mv2＋nmv2
[规范思维] 摩擦力做功与产生内能的关系：
(1)静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移(静摩擦力起着传递机械能的作用)，而没有内能的产生．
(2)滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方向，一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能，转化为内能的量值等于机械能的减少量，表达式为Q＝F滑·l相对．
[针对训练]
1．CD 2.(1) m/s (2)物体C能到达地面，速度为 m/s
3．见解析
解析 (1)从速度图象中可以看出，物块被击穿后，先向左做减速运动，速度为零后，又向右做加速运动，当速度等于2.0 m/s，则随传送带一起做匀速运动，所以，传送带的速度方向向右，传送带的速度v的大小为2.0 m/s.
(2)由速度图象可得，物块在滑动摩擦力的作用下做匀变速运动的加速度为a，有
a＝＝ m/s2＝2.0 m/s2
由牛顿第二定律得滑动摩擦力Ff＝μMg，则物块与传送带间的动摩擦因数
μ＝＝＝＝0.2.
(3)由速度图象可知，传送带与物块存在摩擦力的时间只有3秒，传送带在这段时间内移动的位移为x，则x＝vt＝2.0×3 m＝6.0 m
所以，传送带所做的功W＝Ffx＝0.2×2.0×10×6.0 J＝24 J.
设物块被击中后的初速度为v1，向左运动的时间为t1，向右运动直至和传送带达到共同速度的时间为t2，则有：
物块向左运动时产生的内能Q1＝μMg(vt1＋t1)＝32 J
物块向右运动时产生的内能Q2＝μMg(vt2－t2)＝4 J.
所以整个过程产生的内能Q＝Q1＋Q2＝36 J.
【课时效果检测】
1．D 2.A 3.BD 4.D
5．AD [由A到B，高度减小h，重力做功mgh，重力势能减少mgh，但因弹簧伸长，弹性势能增加，由能量守恒得mgh＝mv2＋Ep，可得Ep＝mgh－mv2，小球克服弹力做功应小于mgh，故B、C错误，A、D正确．]
6．A
7．D [因为下落加速度是g，所以有阻力做功且阻力大小Ff＝mg，机械能不守恒，A、B错；下落(H＋h)过程中，阻力做功Wf＝－Ff(H＋h)，所以物块和弹簧组成的系统机械能减少mg(H＋h)，C错，D正确．]
8．BC [从开始下滑到弹簧压缩至最短过程中，设下滑的距离为L，根据功能关系，有
(M＋m)gLsin 30°＝μ(M＋m)gLcos 30°＋Epmax①
卸下货物后，木箱被弹回的过程中，由功能关系，有
Epmax＝MgLsin 30°＋μMgLcos 30°②
由①②联立并代入μ＝得m＝2M
故选项A错，选项B对；
根据牛顿第二定律，不与弹簧接触时，下滑过程中，有
(M＋m)gsin 30°－μ(M＋m)gcos 30°＝(M＋m)a1
上滑时，有Mgsin 30°＋μMgcos 30°＝Ma2
解得a1＝－μg＝ a2＝＋μg＝g
即a2>a1，故选项C正确；
从顶端下滑过程中，克服摩擦力和弹簧弹力做功，因此减少的重力势能一部分转化为内能，一部分转化为弹性势能，故选项D错误．]
9．(1)1.6 s (2)12.8 m (3)160 J
解析 (1)物体在斜面上，由牛顿第二定律得mgsin θ＝ma，＝at2，可得t＝1.6 s.
(2)由能的转化和守恒得mgh＝μmg，l＝12.8 m.
(3)此过程中，物体与传送带间的相对位移x相＝＋v带·t1，又＝μgt，
而摩擦热Q＝μmg·x相，以上三式可联立得Q＝160 J.
10．(1) (2)－
(3)mv－μmgL
解析 (1)A和斜面间的滑动摩擦力Ff＝2μmgcos θ，物体A向下运动到C点的过程中，根据能量关系有：2mgLsin θ＋·3mv＝·3mv2＋mgL＋FfL，v＝
(2)从物体A接触弹簧，将弹簧压缩到最短后又恰回到C点，对系统应用动能定理得
－Ff·2x＝0－×3mv2，x＝－
(3)弹簧从压缩最短到恰好能弹到C点的过程中，对系统根据能量关系有
Ep＋mgx＝2mgxsin θ＋Ffx 因为mgx＝2mgxsin θ
所以Ep＝Ffx＝mv－μmgL.
易错点评
1．一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量Q＝Ffl相对，其中l相对是物体间相对路径长度．如果两物体同向运动，l相对为两物体对地位移大小之差；如果两物体反向运动，l相对为两物体对地位移大小之和；如果一个物体相对另一物体做往复运动，则l相对为两物体相对滑行路径的总长度．
2．在弹性限度内，同一弹簧伸长量等于压缩量时，弹性势能相等．
3．在涉及绳子突然绷紧、药品爆炸、非弹性碰撞等问题时，机械能一定是不守恒的，但能量一定是守恒的．一、概念规律题组
1．在下列几个实例中，机械能守恒的是( )
A．在平衡力作用下运动的物体
B．物体沿光滑圆弧曲面自由下滑
C．在粗糙斜面上下滑的物体，下滑过程中受到沿斜面向下的拉力，拉力大小大于滑动摩擦力
D．如图1所示，在光滑水平面上压缩弹簧过程中的小球
图1
2．当重力对物体做正功时，物体的( )
A．重力势能一定增加，动能一定减小
B．重力势能一定减小，动能一定增加
C．重力势能不一定减小，动能一定增加
D．重力势能一定减小，动能不一定减小
图2
3．从高为h处以速度v0竖直向上抛出一个质量为m的小球，如图2所示．若取抛出点物体的重力势能为0，不计空气阻力，则物体着地时的机械能为( )
A．mgh
B．mgh＋mv
C.mv
D.mv－mgh
4．从高处自由下落的物体，它的重力势能Ep和机械能E随下落的高度h的变化图线(下图)正确的是( )
二、思想方法题组
图3
5．木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度，如图3所示，从子弹开始入射到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的是( )
A．子弹的机械能守恒
B．木块的机械能守恒
C．子弹和木块的总机械能守恒
D．以上说法都不对
图4
6．如图4所示，两个质量相同的小球A和B，分别用线悬在等高的O1、O2两点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线拉到水平后将小球无初速度的释放，则经过最低点时(以悬点为零势能点)，下列说法不正确的是( )
A．A球的速度大于B球的速度
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
一、机械能守恒的判断方法
1．机械能守恒的条件：只有重力或系统内的弹力做功．
2．机械能守恒的判断方法
(1)从机械能的定义直接判断：若物体动能、势能均不变，机械能不变．若一个物体动能不变，重力势能变化，或重力势能不变，动能变化或动能和重力势能同时增加(或减小)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他外力，但其他外力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统的机械能守恒．
【例1】 下列运动中能满足机械能守恒的是( )
A．手榴弹从手中抛出后的运动
B．子弹射穿木块
C．细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动
D．吊车将货物匀速吊起
[规范思维]
二、机械能守恒定律及应用
1．用守恒的观点表示，即系统在初状态的机械能等于末状态的机械能，表达式为Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
2．用转化的观点表示，即：系统减少(增加)的势能等于增加(减少)的动能，表达式为ΔEp＝－ΔEk.
3．用转移的观点表示，即系统若由A、B两部分组成，A部分机械能的减少量等于B部分机械能的增加量，表达式为：ΔEA减＝ΔEB增．
【例2】 (2011·皖南八校高三联考)素
图5
有“陆地冲浪”之称的滑板运动已深受广大青少年喜爱．如图5所示是由足够长的斜直轨道，半径R1＝2 m的凹形圆弧轨道和半径R2＝3.6 m的凸形圆弧轨道三部分组成的模拟滑板组合轨道．这三部分轨道依次平滑连接，且处于同一竖直平面内．其中M点为凹形圆弧轨道的最低点，N点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O与M点在同一水平面上．一可视为质点，质量为m＝1 kg的滑板从斜直轨道上的P点无初速度滑下，经M点滑向N点，P点距水平面的高度h＝3.2 m，不计一切阻力，g取10 m/s2.求：
(1)滑板滑至M点时的速度；
(2)滑板滑至M点时，轨道对滑板的支持力；
(3)若滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，则滑板的下滑点P距水平面的高度．
[规范思维]
【例3】 (全国Ⅱ高考.18)如图6所示，
图6
一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为( )
A．h B．1.5h
C．2h D．2.5h
[规范思维]
图7
【例4】 如图7所示，内壁光滑的空心细管弯成的轨道ABCD固定在竖直平面内，其中BCD段是半径R＝0.25 m的圆弧，C为轨道的最低点，CD为圆弧，AC的竖直高度差h＝0.45 m．在紧靠管道出口D处有一水平放置且绕其水平中心轴OO′匀速旋转的圆筒，圆筒直径d＝0.15 m，筒上开有小孔E.现有质量为m＝0.1 kg且可视为质点的小球由静止开始从管口A滑下，小球滑到管道出口D处时，恰好能从小孔E竖直进入圆筒，随后，小球由小孔E处竖直向上穿出圆筒．不计空气阻力，取g＝10 m/s2.求：
(1)小球到达C点时对管壁压力的大小和方向；
(2)圆筒转动的周期T的可能值．
[规范思维]
【基础演练】
图8
1．(2009·广东高考)游乐场中的一种滑梯如图8所示．小朋友从轨道顶端由静止开始下滑，沿水平轨道滑动了一段距离后停下来，则( )
A．下滑过程中支持力对小朋友做功
B．下滑过程中小朋友的重力势能增加
C．整个运动过程中小朋友的机械能守恒
D．在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功
图9
2．(2010·安徽理综)伽利略曾设计如图9所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点．如果在E或F处钉钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点．这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( )
A．只与斜面的倾角有关 B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关 D．只与物体的质量有关
3．(2010·福建·17)如图10甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，则( )
图10
A．t1时刻小球动能最大
B．t2时刻小球动能最大
C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少
D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
图11
4．(2011·湖北黄冈中学、襄樊四中联考)如图11所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端安装在固定转动轴O上，杆可在竖直平面内绕轴O无摩擦地转动．若在最低点P处给小球一沿切线方向的初速度v0＝2.不计空气阻力，则( )
A．小球不可能到达圆轨道的最高点Q
B．小球能到达圆周轨道的最高点Q，且在Q点受到轻杆向上的弹力
C．小球能到达圆周轨道的最高点Q，且在Q点受到轻杆向下的弹力
D．小球能到达圆周轨道的最高点Q，但在Q点不受轻杆的弹力
5．(上海高考.8)物体做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表势能，h代表下落的距离，以水平地面为零势能面，下列所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是( )
图12
6．(2011·泰州市联考)如图12所示，半径为R的竖直固定光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度v0，若v0大小不同，则小球能够上升到的最大高度(距离底部)也不同．下列说法中正确的是( )
A．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为
B．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为
C．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为
D．如果v0＝，则小球能够上升的最大高度为2R
7．
图13
如图13所示，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球A和物块B，跨过固定于斜面体顶端的小滑轮O，倾角为θ＝30°的斜面体置于水平地面上．A的质量为m，B的质量为4m.开始时，用手托住A，使OA段绳恰处于水平伸直状态(绳中无拉力)，OB绳平行于斜面，此时B静止不动．将A由静止释放，在其下摆过程中，斜面体始终保持静止，下列判断中错误的是( )
A．物块B受到的摩擦力先减小后增大
B．地面对斜面体的摩擦力方向一直向右
C．小球A的机械能守恒
D．小球A的机械能不守恒，A、B系统的机械能守恒
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案
8.一质量为50 kg的男孩在距离河流40 m高的桥上做 “蹦极跳”，原长长度为14 m的弹性绳AB一端系着他的双脚，另一端则固定在桥上的A点，如图14(a)所示，然后男孩从桥面下坠直至贴近水面的最低点D.男孩的速率v跟下坠的距离h的变化关系如图(b)所示，假定绳在整个运动过程中遵守胡克定律(不考虑空气阻力、男孩的大小和绳的质量，g取10 m/s2)．求：
图14
(1)当男孩在D点时，绳所储存的弹性势能；
(2)绳的劲度系数；
(3)讨论男孩在AB、BC和CD期间运动时作用于男孩的力的情况．
【能力提升】
9．(2009·山东·24)如图15所示，某货场需将质量为m1＝100 kg的货物(可视为质点)从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨道半径R＝1.8 m．地面上紧靠轨道依次排放两块完全相同的木板A、B，长度均为l＝2 m，质量均为m2＝100 kg，木板上表面与轨道末端相切．货物与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2.(最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g＝10 m/s2)
图15
(1)求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力．
(2)若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ1应满足的条件．
(3)若μ1＝0.5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间．
图16
10．(2011·四川省钟祥中学期中)如图16所示，一小球从A点以某一水平向右的初速度出发，沿水平直线轨道运动到B点后，进入半径R＝10 cm的光滑竖直圆形轨道，圆形轨道间不相互重叠，即小球离开圆形轨道后可继续向C点运动， C点右侧有一壕沟，C、D两点的竖直高度h＝0.8 m，水平距离x＝1.2 m，水平轨道AB长为L1＝1 m，BC长为L2＝3 m．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2.则：
(1)若小球恰能通过圆形轨道的最高点，求小球在A点的初速度？
(2)若小球既能通过圆形轨道的最高点，又不掉进壕沟，求小球在A点的初速度的范围是多少？
学案3 机械能守恒定律及其应用
【课前双基回扣】
1．BC
2．D [重力对物体做正功，重力势能减小，但物体可能受其他力．]
3．C [物体刚抛出时的机械能为mv，机械能守恒．]
4．C [机械能守恒E不随h变化，而Ep＝mg(H－h)．]
5．D [子弹打入木块的过程中，子弹克服摩擦力做功产生热能，故系统机械能不守恒．]
6．ABD [取悬点为零势能0，二球的机械能相等均为0，
又mgL＝mv2，v＝，故vA>vB，EkA>EkB.]
思维提升
1．判断机械能是否守恒时，对单个物体就看是否只有重力做功，或者虽受其他力，但其他力不做功；对两个或几个物体组成的系统，就看是否只有重力或系统内弹力做功，若有其他外力或内力做功(如内部有摩擦等)，则系统机械能不守恒．
2．(1)机械能守恒定律的表达式有多种，具体选用哪一种要视情况而定；(2)对单个物体而言，如果机械能守恒，则除了应用机械能守恒定律以外，也可以选用动能定理解题．
3．对于多个物体组成的系统，研究对象的选取是解题的关键环节，若选单个物体为研究对象时，机械能可能不守恒，但选此物体与其他几个物体组成的系统为研究对象时，机械能却是守恒的．
【核心考点突破】
例1 AC [手榴弹从手中抛出后，在不计空气阻力的情况下，只有重力做功，没有其他力做功，机械能守恒，A正确；
子弹穿过木块的过程中，子弹受到木块施加的摩擦力的作用，摩擦力对子弹做负功，子弹的动能一部分转化为内能，机械能不守恒，B不正确；
小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动，受到重力、水平面对小球的支持力、细绳对小球的拉力作用，这些力皆与小球的运动方向垂直，不做功，所以小球在运动过程中无能量转化，保持原有的动能不变，即机械能守恒，C正确；
吊车将货物匀速吊起的过程中，货物受到与其重力大小相等、方向相反的拉力作用，上升过程中除重力做功外还有拉力对物体做正功，货物的机械能增加，故机械能不守恒，D不正确．]
[规范思维] 机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力为零；判断机械能是否守恒，要根据不同情景恰当地选取判断方法．
例2 (1)8 m/s (2)42 N (3)5.4 m
解析 (1)对滑板由P点滑至M点，由机械能守恒得mgh＝mv 所以vM＝8 m/s.
(2)对滑板滑至M点时受力分析，由牛顿第二定律得FN－mg＝m 所以FN＝42 N.
(3)滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，则有mg＝m得vN＝6 m/s
滑板从P点到N点机械能守恒，则有 mgh′＝mgR2＋mv 解得h′＝5.4 m.
[规范思维] 应用机械能守恒定律解题的基本步骤：
(1)根据题意，选取研究对象(物体或系统)；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件；
(3)如果符合，则根据机械能守恒定律列方程求解．注意：所列方程有多种形式，如：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp，ΔEA＝－ΔEB等，视具体情况，灵活运用．
例3 B [在b球落地前，a、b球组成的系统机械能守恒，且a、b两球速度大小相等，根据机械能守恒定律可知：3mgh－mgh＝(m＋3m)v2，v＝，b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，mv2＝mgΔh，Δh＝＝，所以a球可能达到的最大高度为1.5h，B正确．]
[规范思维] 本题中单个物体机械能并不守恒，但系统机械能守恒，可以对系统应用机械能守恒定律．对系统应用机械能守恒定律要注意：
(1)合理选取系统，判断是哪个系统的机械能守恒；
(2)清楚系统内各部分机械能(动能、势能)的变化情况．
例4 (1)4.6 N 方向竖直向下 (2) s(n＝0,1,2,3，…)
解析 (1)小球从A→C，由机械能守恒定律得mgh＝mv
小球在C点处，根据牛顿第二定律有FNC－mg＝
解得FNC＝m(g＋)＝4.6 N
根据牛顿第三定律知小球到达C点时对管壁压力的大小为4.6 N，方向竖直向下．
(2)小球从A→D，由机械能守恒定律得mgh＝mgR＋mv
代入数据解得vD＝2 m/s
小球由D点竖直上抛至刚穿过圆筒时，由位移公式得d＝vDt－gt2，
解得t1＝0.1 s和t2＝0.3 s(舍去)
小球能向上穿出圆筒所用时间满足t＝(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)
联立解得T＝＝ s(n＝0,1,2,3，…)
规范思维 应用机械能守恒定律，无需关注中间过程的细节，只需考虑初、末状态的机械能或动能、势能的变化，因此机械能守恒定律对解决曲线运动问题应用广泛，经常与圆周运动、平抛运动规律相结合解题．
【课时效果检测】
1．D 2.C 3.C 4.B 5.B
6．AD [根据机械能守恒定律，当速度v0＝时，由mgh＝mv解得h＝，A项正确，B项错误；当v0＝，小球能够运动到圆轨道内侧最高点，D项正确；当v0＝时小球运动到圆轨道内侧最高点以下，若C项成立，说明小球运动的末速度为0，这是不可能的，因为小球沿轨道未到高处就已经脱离轨道做斜抛运动了．]
7．ABC [首先需要判断B物体在整个过程中是否发生了运动．当A球未释放时B物体静止，则此时B受向上的静摩擦力Ff＝4mg·sin θ＝2mg.假设在A球运动的过程中B未动，则A球下落的过程中机械能守恒，mgR＝mv2，v＝，在最低点时，对A球进行受力分析可得，FT－mg＝m，FT＝3mg，A球运动至最低点时绳子拉力最大，此时FT＝3mg8．(1)2×104 J (2)62.5 N/m (3)见解析
解析 (1)男孩在D点时速度为零，绳所储存的弹性势能等于男孩减少的重力势能，则
Ep＝mgh＝50×10×40 J＝2×104 J
(2)男孩到C点时的速度最大，此时男孩的加速度为零，绳的拉力和男孩的重力大小相等，即mg＝kx
此时绳的伸长量为x＝22 m－14 m＝8 m
解得绳的劲度系数为
k＝＝ N/m＝62.5 N/m
(3)由题图(b)可知，AB段是一条倾斜的直线，男孩仅受重力作用；BC段男孩受重力和绳的拉力作用，且重力大于拉力；CD段男孩受重力和绳的拉力作用，且重力小于拉力．
9．(1)3 000 N，方向竖直向下
(2)0.4<μ1≤0.6 (3)4 m/s 0.4 s
解析 (1)设货物滑到圆轨道末端时的速度为v0，对货物的下滑过程中根据机械能守恒得
m1gR＝m1v①
设货物在轨道末端所受支持力的大小为FN，根据牛顿第二定律得FN－m1g＝m1②
联立①②式，代入数据得
FN＝3 000 N③
根据牛顿第三定律，货物对轨道的压力大小为3 000 N，方向竖直向下．
(2)若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得
μ1m1g≤μ2(m1＋2m2)g④
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得
μ1m1g>μ2(m1＋m2)g⑤
联立④⑤式，代入数据得
0．4<μ1≤0.6⑥
(3)μ1＝0.5，由⑥式可知，货物在木板A上滑动时，木板不动．设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为a1，由牛顿第二定律得μ1m1g＝m1a1⑦
设货物滑到木板A末端时的速度为v1，由运动学公式得v－v＝－2a1l⑧
联立①⑦⑧式，代入数据得v1＝4 m/s⑨
设货物在木板A上运动的时间为t，由运动学公式v1＝v0－a1t⑩
联立①⑦⑧⑨式，代入数据得t＝0.4 s
10．(1)3 m/s (2)3 m/s≤vA≤4 m/s或vA≥5 m/s
解析 (1)小球恰能通过最高点mg＝m
由B到最高点mv＝mv2＋mg(2R)
由A→B：－μmgL1＝mv－mv
解得在A点的初速度vA＝3 m/s
(2)若vA＝3 m/s时，设小球将停在距B点l处－μmg(L1＋l)＝0－mv
解得l＝1.25 m
若小球刚好停在C处，则有－μmg(L1＋L2)＝0－mvA′2
则vA′＝4 m/s
若小球停在BC段，则有3 m/s≤vA≤4 m/s
若小球能通过C点，并恰好越过壕沟时，则有h＝gt2
x＝vCt －μmg(L1＋L2)＝mv－mv 则有vA＝5 m/s
欲满足题意3 m/s≤vA≤4 m/s或vA≥5 m/s
易错点评
1．机械能守恒条件是只有重力和系统内的弹簧弹力做功，不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零．
2．机械能是否守恒与物体的运动状态无关，判断时不要受此干扰．
3．零势能面的选取虽对利用机械能守恒的解题结果没有影响，但解题的难易往往不同，所以要尽量选合适的零势能面．
4．对于绳索、链条之类的物体，由于发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的，能否确定重心的位置，常是解决该类问题的关键．可以采用分段法求出每段的重力势能，然后求和即为整体的重力势能；也可采用等效法求出重力势能的改变量．利用ΔEk＝－ΔEp列方程时，不需要选取参考平面，且便于分析计算．一、概念规律题组
1．在光滑的水平面上，用水平拉力分别使两物体由静止获得相同的动能，那么，可以肯定的是( )
A．两次水平拉力一定相等
B．两物体质量肯定相等
C．两物体速度变化一定相等
D．水平拉力对两物体做的功一定相等
2．质量不同而具有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平面上滑行到停止，则下列说法错误的是( )
A．质量大的滑行的距离大
B．质量大的滑行的时间短
C．它们克服阻力做的功一样大
D．它们运动的加速度一样大
3．质量为m的物体静止在粗糙的水平地面上，若物体受水平力F的作用从静止起通过位移l时的动能为Ek1，当物体受水平力2F作用，从静止开始通过相同位移l，它的动能为Ek2，则( )
A．Ek2＝Ek1 B．Ek2＝2Ek1
C．Ek2>2Ek1 D．Ek14．在水平恒力作用下，物体沿粗糙水平地面运动，在物体的速度由0增为v的过程中，恒力做功W1，在物体的速度由v增为2v的过程中，恒力做功W2，则W1∶W2为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．因为有摩擦力做功而无法确定
二、思想方法题组
图1
5．如图1所示，小球以初速度v0由A点沿不光滑的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，则经过A点时的速度大小为( )
A.
B.
C.
D.
图2
6．如图2所示，在水平板上，一个小球由穿过圆心的细线系住，以半径R做匀速圆周运动，且竖直向下的拉力为F.若将拉力逐渐增大到8F时，小球的半径变为R，不计一切摩擦力，则在此过程中拉力所做的功为( )
A．W＝0 B．W＝2.25FR
C．W＝3.5FR D．W＝1.5FR
一、动能定理的理解及应用
1．公式中的W是指物体所受合力的功或物体所受各力做功的代数和．
2．公式中ΔEk的正负表示的意义：(1)ΔEk>0表示动能增加；(2)ΔEk<0表示动能减少；(3)ΔEk＝0表示动能不变．
3．公式中等号的意义
(1)数量关系：即合力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系．可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功．
(2)单位相同：国际单位都是焦耳．
(3)因果关系：合力的功是物体动能变化的原因．
4．应用动能定理解题的基本思路
(1)选取研究对象，明确它的运动过程；
(2)分析研究对象的受力情况和各个力做功情况，然后求各个力做功的代数和；
(3)明确物体在始、末状态的动能Ek1、Ek2；
(4)列出动能定理方程进行计算或讨论．
【例1】 如图3所示，
图3
质量m＝1 kg的木块静止在高h＝1.2 m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2，用水平推力F＝20 N，使木块产生位移l1＝3 m时撤去，木块又滑行l2＝1 m时飞出平台，求木块落地时速度的大小？
[规范思维]
[针对训练1] (2010·上海单科改编)如图4所示
图4
倾角θ＝37°，质量M＝5 kg的粗糙斜面位于水平地面上，质量m＝2 kg的木块置于斜面顶端，从静止开始匀加速下滑，经t＝2 s到达底端，运动路程L＝4 m，在此过程中斜面保持静止(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)，通过计算证明木块在此过程中满足动能定理．
二、利用动能定理求变力的功
应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需探究物体运动过程中状态变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程初、末状态的动能，所以动能定理既适用于恒力作用下的匀变速直线运动，也适用于变力作用下的变加速直线运动或曲线运动，特别是求解曲线运动和变力做功问题更显示出动能定理的优越性．
【例2】 如图5所示，质量为m的小球用长为L
图5
的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP＝L/2，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B.则：
(1)小球到达B点时的速率？
(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多少？
(3)若初速度v0＝3 ，则在小球从A到B的过程克服空气阻力做了多少功？
[规范思维]
[针对训练2] 如图6所示，
图6
质量为m的小物体静止于长l的木板边缘．现使板由水平放置绕其另一端O沿逆时针方向缓缓转过α角，转动过程中，小物体相对板始终静止，求板对物体的支持力对物体做的功．
三、用动能定理求解多过程问题
1．由于动能定理不关注中间过程的细节，因此动能定理既可以求解单过程问题，也可以求解多过程问题，特别是求解多过程问题，更显示出它的优越性．
2．若过程包含几个不同的子过程，既可分段考虑，也可全过程考虑，但分段不方便计算时必须全过程考虑．
【例3】 如图7所示是某公司设计的“2009”玩具轨道，是用透明的薄壁圆管弯成的竖直轨道，其中引入管道AB及“200”管道是粗糙的，AB是与“2009”管道平滑连接的竖直放置的半径为R＝0.4 m的圆管轨道，已知AB圆管轨道半径与“0”字型圆形轨道半径相同．“9”管道是由半径为2R的光滑圆弧和半径为R的光滑圆弧以及两段光滑的水平管道、一段光滑的竖直管道组成，“200”管道和“9”管道两者间有一小缝隙P.现让质量m＝0.5 kg的闪光小球(可视为质点)从距A点高H＝2.4 m处自由下落，并由A点进入轨道AB，已知小球到达缝隙P时的速率为v＝8 m/s，g取10 m/s2.求：
图7
(1)小球通过粗糙管道过程中克服摩擦阻力做的功；
(2)小球通过“9”管道的最高点N时对轨道的作用力；
(3)小球从C点离开“9”管道之后做平抛运动的水平位移．
[规范思维]
图8
【例4】 如图8所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R.一个质量为m的物体(可以看做质点)从直轨道上的P点由静止释放．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ.求：
(1)物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；
(2)最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；
(3)为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′应满足什么条件？
[规范思维]
【基础演练】
1．质量不等，但有相同动能的两物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑行直到停止，则下列说法中正确的有( )
A．质量大的物体滑行距离大
B．质量小的物体滑行距离大
C．质量大的物体滑行时间长
D．两物体滑行时间相同
2．(2011·东莞模拟)如图9所示，
图9
质量为m的物块，在恒力F的作用下，沿光滑水平面运动，物块通过A点和B点的速度分别是vA和vB，物块由A点运动到B点的过程中，力F对物块做的功W为( )
A．W>mv－mv
B．W＝mv－mv
C．W＝mv－mv
D．由于F的方向未知，W无法求出
3．(2011·江门模拟)起重机将物体由静止举高h时，物体的速度为v，下列各种说法中正确的是(不计空气阻力)( )
A．拉力对物体所做的功，等于物体动能和势能的增量
B．拉力对物体所做的功，等于物体动能的增量
C．拉力对物体所做的功，等于物体势能的增量
D．物体克服重力所做的功，大于物体势能的增量
图10
4．如图10所示，质量为M、长度为L的木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小物体(可视为质点)放在木板上最左端，现用一水平恒力F作用在小物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运动．已知物体和木板之间的滑动摩擦力为Ff.当物体滑到木板的最右端时，木板运动的距离为x，则在此过程中( )
A．物体到达木板最右端时具有的动能为(F－Ff)（L+x）
B．物体到达木板最右端时，木板具有的动能为Ffx
C．物体克服摩擦力所做的功为FfL
D．物体和木板增加的机械能为Fx
5．(2010.天星调研)如图11所示，
图11
质量为m的物块在水平恒力F的推动下，从山坡(粗糙)底部的A处由静止起运动至高为h的坡顶B处，获得的速度为v，AB之间的水平距离为x，重力加速度为g.下列说法不正确的是( )
A．物块克服重力所做的功是mgh
B．合外力对物块做的功是mv2
C．推力对物块做的功是mv2＋mgh
D．阻力对物块做的功是mv2＋mgh－Fx
6.(2011·东北三校联合模拟)如图12所示，
图12
长为L的长木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的小物块．现缓慢地抬高A端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v，则在整个过程中( )
A.支持力对物块做功为0
B.持力对小物块做功为mgLsin α
C.摩擦力对小物块做功为mgLsin α
D.滑动摩擦力对小物块做功为mv2－mgLsin α
【能力提升】
图13
7．(2011·南京模拟)如图13所示，小木块可以分别从固定斜面的顶端沿左边或右边由静止开始滑下，且滑到水平面上的A点或B点停下．假定小木块和斜面及水平面间的动摩擦因数相同，斜面与水平面平缓连接，图中水平面上的O点位于斜面顶点正下方，则( )
A．距离OA小于OB B．距离OA大于OB
C．距离OA等于OB D．无法作出明确判断
图14
8．(2011·南昌高三月考)如图14所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个向右的初速度v0，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F的作用，已知力F的大小F＝kv(k为常数，v为环的运动速度)，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功(假设杆足够长)不可能为( )
A.mv B．0
C.mv＋ D.mv－
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9.(2010·广东潮州期末)如图15所示，某人乘雪橇从雪坡经A点滑至B点，接着沿水平路面滑至C点停止，人与雪橇的总质量为70 kg.表中记录了沿坡滑下过程中的有关数据，请根据图表中的数据解决下列问题．
图15
位置 A B C
速度(m/s) 2.0 12.0 0
时刻(s) 0 4 10
(1)人与雪橇从A到B的过程中，损失的机械能为多少？
(2)设人与雪橇在BC段所受阻力恒定，求阻力大小．(g取10 m/s2)
(3)人与雪橇从B到C的过程中运动的距离．
图16
10．(2011·北京西城抽样测试)如图16所示，轨道ABC被竖直地固定在水平桌面上，A距离水平地面高H＝0.75 m，C距离水平地面高h＝0.45 m．一质量m＝0.10 kg的小物块自A点从静止开始下滑，从C点以水平速度飞出后落在水平地面上的D点．现测得C、D两点的水平距离为l＝0.60 m．不计空气阻力，取g＝10 m/s2.求：
(1)小物块从C点运动到D点经历的时间；
(2)小物块从C点飞出时速度的大小；
(3)小物块从A点运动到C点的过程中克服摩擦力做的功．
学案2 动能和动能定理
【课前双基回扣】
1．D [由Fl＝mv2知两次拉力做的功相等．]
2．BCD [因a＝μg，Ek＝mv2，质量大的物体，初速度小，t＝，故B对，又μmgx＝Ek，质量大，位移小．]
3．C [Fl－fl＝Ek1,2Fl－fl＝Ek2 即2Fl－2fl＋fl＝Ek2 2Ek1＋fl＝Ek2，故Ek2>2Ek1]
4．C [W1－Wf1＝mv2－0. W2－Wf2＝m(2v)2－mv2 又v2＝2ax1，Wf1＝Fμx1
(2v)2－v2＝2ax2，Wf2＝Fμ·x2 由以上各式得W1∶W2＝1∶3.]
5．B [由A→B：－Wf－mgh＝0－mv 由B→A：mgh－Wf＝mv 解得vA＝.]
6．D [在轨道半径减小的过程中，根据向心力公式和动能定理得 F＝m，8F＝m，W＝mv－mv， 则拉力做功：W＝1.5FR，故应选D.]
思维提升
1．动能是标量，只有大小，没有方向．Ek＝mv2对应物体的瞬时速度，动能是状态量，只与运动物体的质量及速率有关，而与其运动方向无关，物体运动速度的方向发生变化时，动能不变．动能的变化ΔEk＝Ek′－Ek，没有方向，是一个标量的代数运算．
2．动能定理的理解及应用要点：
(1)动能定理既适用于恒力作用过程，也适用于变力作用过程．
(2)动能定理既适用于物体做直线运动的情况，也适用于物体做曲线运动的情况．
(3)动能定理的研究对象既可以是单个物体，也可以是几个物体所组成的一个系统．
(4)动能定理的研究过程既可以是针对运动过程中的某个具体过程，也可以是针对运动的全过程．对全程列式时，关键是分清整个过程哪些力做功，且各个力做功应与位移对应，并确定初、末状态的动能．
(5)动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度．
(6)在W＝Ek2－Ek1中，W为物体所受所有外力对物体所做功的代数和，正功取正值计算，负功取负值计算；Ek2－Ek1为动能的增量，即为末状态的动能与初状态的动能之差，而与物体运动过程无关．
【核心考点突破】
例1 8 m/s
解析 解法一 取木块为研究对象．其运动分三个过程，先匀加速运动l1，后匀减速运动l2，再做平抛运动，对每一个过程，分别列动能定理得Fl1－μmgl1＝mv
－μmgl2＝mv－mv
mgh＝mv－mv
解得v3＝8 m/s
解法二 对全过程由动能定理得Fl1－μmg(l1＋l2)＋mgh＝mv2－0
代入数据得v＝8 m/s
[规范思维] 利用动能定理解题的思路可概括为八个字：“一个过程两个状态”．“一个过程”即要分析过程中力及力做功的正负；“两个状态”是对应这个过程的初、末状态的动能，而这个过程则可以是单个过程，也可以是多个过程．
例2 (1) (2) (3)mgL
解析 (1)小球恰能到达最高点B，有mg＝m，得vB＝ .
(2)从A→B由动能定理得－mg(L＋)＝mv－mv 可求出v0＝
(3)在小球从A到B的过程中由动能定理得－mg(L＋)－Wf＝mv－mv
可求出Wf＝mgL.
[规范思维] 用动能定理求解变力做功的注意要点：
(1)分析物体受力情况，确定哪些力是恒力，哪些力是变力．如果是恒力，写出恒力功的表达式，如果是变力，用相应功的符号表示出变力的功．
(2)分析物体运动的初末状态，求出动能的变化量．
(3)运用动能定理列式求解．
例3 (1)2 J (2)35 N (3)2.77 m
解析 (1)小球从初始位置到达缝隙P的过程中，由动能定理有mg(H＋3R)－WF＝mv2－0代入数据得WF＝2 J.
(2)设小球到达最高点N时的速度为vN，对由P→N过程由动能定理得
－mg·4R＝mv－mv2
在最高点N时，根据牛顿第二定律有FN＋mg＝m 联立解得FN＝m－mg＝35 N
所以小球在最高点N时对轨道的作用力为35 N.
(3)小球从初始位置到达C点的过程中，由动能定理有mg(H＋R)－WF＝mv－0
解得vC＝4 m/s
小球从C点离开“9”管道之后做平抛运动，竖直方向2R＝gt2，解得t＝0.4 s水平方向DE＝vCt≈2.77 m
所以平抛运动的水平位移为2.77 m.
[规范思维] 当物体的运动是由几个物理过程所组成，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个物理过程看做一个整体进行研究．
例4 (1) (2)(3－2cos θ)mg (3)·R
解析 (1)摩擦力对物体始终做负功，故物体最终在圆心角为2θ的圆弧上做往复运动．
设物体在AB轨道上通过的总路程为x，则全程应用动能定理得：mgRcos θ－μmgcos θ·x＝0 解得：x＝
(2)最终当物体通过圆弧最低点E时，设速度为vE，
在E点：FN－mg＝①
从B→E由动能定理得：mgR(1－cos θ)＝mv②
①②两式联立，得：FN＝(3－2cos θ)mg
由牛顿第三定律得物体对轨道的压力为(3－2cos θ)mg
(3)若物体刚好到D点，设速度为vD，则mg＝③
对全过程由动能定理得mgL′sin θ－μmgcos θ·L′－mgR(1＋cos θ)＝mv④
③④联立，得L′＝R
[规范思维] 解答此题应注意重力做功只与高度差有关系，而滑动摩擦力做功与路程有关；应用动能定理解题时，要灵活选取运动过程．
[针对训练]
1．证明见解析
解析 在运动过程中木块受重力、摩擦力做功．
重力做功：WG＝mgh＝mgLsin θ＝48 J
设木块匀加速运动时加速度为a，则有L＝at2
对木块受力分析由牛顿第二定律得F合＝mgsin θ－Ff＝ma
联立以上两式得Ff＝8 N
摩擦力做功：Wf＝－FfL＝－32 J
合力做功或外力对木块做的总功W＝WG＋Wf＝16 J
动能的变化ΔEk＝mv2＝m·(at)2＝16 J
所以，合力做功或外力对木块做的总功等于动能的变化(增加)．
2．mglsin α
【课时效果检测】
1．BD 2.B 3.A 4.AB 5.ABD 6.BD 7.C
8．C [当F＝mg时，环匀速运动，摩擦力为零，克服摩擦力所做的功W＝0
当F>mg时，竖直方向F＝mg＋FN，水平方向Ff＝μFN
环做减速运动，速度减小，由F＝kv知，F减小，当F＝mg后环匀速，此时F＝mg＝kv
所以v＝ W＝mv－mv2＝mv－
当F所以，由动能定理知，环克服摩擦力做功W＝mv
选项A、B、D可能，C不可能．]
9．(1)9 100 J (2)140 N (3)36 m
解析 (1)从A到B的过程中，人与雪橇损失的机械能为ΔE＝mgh＋mv－mv
＝(70×10×20＋×70×2.02－×70×12.02) J
＝9 100 J
(2)人与雪橇在BC段做匀减速运动的加速度a＝＝ m/s2＝－2 m/s2
根据牛顿第二定律Ff＝ma＝70×(－2) N＝－140 N，负号表示阻力的方向与运动方向相反．
(3)设B、C间的距离为x，对人与雪橇，由动能定理得－Ffx＝0－mv
代入数据解得x＝36 m
10．(1)0.3 s (2)2.0 m/s (3)0.1 J
解析 (1)小物块从C水平飞出后做平抛运动，由h＝gt2得小物块从C到D运动的时间t＝ ＝0.3 s
(2)从C点飞出时速度的大小v＝＝2.0 m/s
(3)小物块从A运动到C的过程中，根据动能定理得
mg(H－h)＋Wf＝mv2－0
摩擦力做功Wf＝mv2－mg(H－h)＝－0.1 J
此过程中克服摩擦力做的功Wf′＝－Wf＝0.1 J.
易错点评
1．动能定理中的功是合外力的总功；不是某一个力或几个力的功．
2．应用动能定理时，不必考虑势能的变化．特别是有重力做功、弹力做功、电场力做功时，将这此力的功计入总功内，而不必考虑重力势能、弹性势能和电势能．
3．动能定理的表达式为标量式，不能在某一方向上列动能定理方程．