一、概念规律题组
1．关于元电荷的理解，下列说法正确的是( )
A．元电荷就是电子
B．元电荷是表示跟电子所带电荷量相等的电荷量
C．元电荷就是质子
D．物体所带的电荷量只能是元电荷的整数倍
2．下面关于点电荷的说法正确的是( )
A．只有体积很小的带电体才可看做点电荷
B．只有做平动的带电体才可看做点电荷
C．只有带电荷量很少的带电体才可看做点电荷
D．点电荷所带电荷量可多可少
3．关于库仑定律，下列说法正确的是( )
A．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积很小的球体
B．根据F＝k，当两电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向无穷大
C．若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力
D．库仑定律和万有引力定律的表达式相似，都是平方反比定律
二、思想方法题组
4．有三个完全一样的金属小球A、B、C，A带电荷量＋7Q、B带电荷量－Q、C不带电，将A、B分别固定起来，然后让C球反复很多次与A、B球接触，最后移去C球，则A、B球间的库仑力变为原来的( )
A．35/8倍 B．7/4倍
C．4/7倍 D．无法确定
图1
5．如图1所示，带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，OA＝OB，都用长L的丝线悬挂在O点．静止时A、B相距为d.为使平衡时AB间距离减为，可采用以下哪些方法( )
A．将小球A、B的质量都增加到原来的2倍
B．将小球B的质量增加到原来的8倍
C．将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半
D．将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半，同时将小球B的质量增加到原来的2倍
一、点电荷和库仑定律
1．如何理解电荷量、元电荷、点电荷和试探电荷？
(1)电荷量是物体带电的多少，电荷量只能是元电荷的整数倍．
(2)元电荷不是电子，也不是质子，而是最小的电荷量，电子和质子带有最小的电荷量，即e＝1.6×10－19 C.
(3)点电荷要求“线度远小于研究范围的空间尺度”，是一种理想化的模型，对其带电荷量无限制．
(4)试探电荷要求放入电场后对原来的电场不产生影响，且要求在其占据的空间内场强“相同”，故其应为带电荷量“足够小”的点电荷．
2．库仑定律的理解和应用
(1)适用条件
①在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式．
②当两个带电体的间距远大于本身的大小时，可以把带电体看成点电荷．
(2)库仑力的方向
由相互作用的两个带电体决定，且同种电荷相互排斥，为斥力；异种电荷相互吸引，为引力．
【例1】 (2011·海南·3)三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径．球1的带电量为q，球2的带电量为nq，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时1、2之间作用力的大小仍为F，方向不变．由此可知( )
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝5 D．n＝6
[规范思维]
图2
【例2】 (2010·启东模拟)如图2所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a与b，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支座上，两球心间的距离L为球半径的3倍．若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q，那么a、b两球之间的万有引力F引、库仑力F库分别为( )
A．F引＝G，F库＝k B．F引≠G，F库≠k
C．F引≠G，F库＝k D．F引＝G，F库≠k
[规范思维]
二、库仑力作用下的平衡问题
1．分析库仑力作用下的平衡问题的思路
分析带电体平衡问题的方法与力学中分析物体平衡的方法是一样的，学会把电学问题力学化．分析方法是：
(1)确定研究对象．如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”，一般是先整体后隔离．
(2)对研究对象进行受力分析．
有些点电荷如电子、质子等可不考虑重力，而尘埃、液滴等一般需考虑重力．
(3)列平衡方程(F合＝0或Fx＝0，Fy＝0)或用平衡条件推论分析．
2．三个自由点电荷的平衡问题
(1)条件：两个点电荷在第三个点电荷处的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反．
(2)规律：“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上；
“两同夹异”——正负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
图3
【例3】 (2010·金陵中学模拟)如图3所示，电荷量为Q1、Q2的两个正电荷分别置于A点和B点，两点相距L，在以L为直径的光滑绝缘上半圆环上，穿着一个带电小球q(可视为点电荷)在P点平衡，若不计小球的重力，那么PA与AB的夹角α与Q1、Q2的关系满足( )
A．tan2 α＝ B．tan2 α＝
C．tan3 α＝ D．tan3 α＝
[规范思维]
[针对训练1] (2009·浙江理综·16)如图4所示，在光滑绝缘水平面上放置3个电荷量均为q(q＞0)的相同小球，小球之间用劲度系数均为k0的轻质弹簧绝缘连接．当3个小球处在静止状态时，每根弹簧长度为l.已知静电力常量为k，若不考虑弹簧的静电感应，则每根弹簧的原长为( )
图4
A．l＋ B．l－
C．l－ D．l－
图5
【例4】 如图5所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A带电＋Q，B带电－9Q.现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在电场力的作用下处于平衡状态，问：C应带什么性质的电？应放于何处？所带电荷量为多少？
[规范思维]
图6
[针对训练2] 如图6所示，水平天花板下用长度相同的绝缘细线悬挂起来的两个相同的带电小球a、b，左边放一个带正电的固定球＋Q时，两悬球都保持竖直方向．下面说法中正确的是( )
A．a球带正电，b球带正电，并且a球带电荷量较大
B．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较小
C．a球带负电，b球带正电，并且a球带电荷量较大
D．a球带正电，b球带负电，并且a球带电荷量较小
三、库仑力与牛顿定律相结合的问题
图7
【例5】 一根放在水平面内的光滑玻璃管绝缘性能很好，管内部有两个完全一样的弹性金属小球A和B(如图7)，分别带电荷量＋9Q和－Q.两球从图中位置由静止释放，问两球再次经过图中位置时，A球的瞬时加速度为释放时的几倍？
[规范思维]
[针对训练3]
图8
光滑绝缘的水平面上固定着三个带电小球A、B、C，它们的质量均为m，间距均为r，A、B带等量正电荷q，现对C球施一水平力F的同时，将三个小球都放开，如图8所示，欲使得三个小球在运动过程中保持间距r不变，求：
(1)C球的电性和电荷量；
(2)力F及小球的加速度a.
【基础演练】
1．关于点电荷的概念，下列说法正确的是( )
A．当两个带电体的形状对它们之间相互作用力的影响可以忽略时，这两个带电体就可以看做点电荷
B．只有体积很小的带电体才能看做点电荷
C．体积很大的带电体一定不能看做点电荷
D．对于任何带电球体，总可以把它看做电荷全部集中在球心的点电荷
2．M和N是两个不带电的物体，它们互相摩擦后M带正电1.6×10－10 C，下列判断正确的有( )
A．在摩擦前M和N的内部没有任何电荷
B．摩擦的过程中电子从M转移到N
C．N在摩擦后一定带负电1.6×10－10 C
D．M在摩擦过程中失去1.6×10－10个电子
3．下面各图A球系在绝缘细线的下端，B球固定在绝缘平面上，它们带电的种类以及位置已在图中标出．A球能保持静止的是( )
4.
图9
如图9所示，把一带正电的小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使球a能静止在斜面上，需在M、N间放一带电小球b，则b应(a、b两小球均可看成点电荷)( )
A．带负电，放在A点
B．带正电，放在B点
C．带负电，放在C点
D．带正电，放在C点
5．(2010·辽宁沈阳二测)如图10所示，点电荷＋3Q与＋Q分别固定在A、B两点，C、D两点将AB连线三等分．现使一个带负电的试探电荷，从C点开始以某一初速度向右运动，不计试探电荷的重力．则关于该电荷在CD之间的运动，下列说法中可能正确的是( )
图10
A．一直做减速运动，且加速度逐渐变小
B．做先减速后加速的运动
C．一直做加速运动，且加速度逐渐变小
D．做先加速后减速的运动
图11
6．(2010·广东模拟)如图11所示，三个小球a、b、c分别用三根绝缘细线悬挂在同一点O，细线的长度关系为Oa＝Ob
A．a、b、c三球质量一定相等
B．a、b、c三球所带电荷量一定相等
C．细线Oa、Ob所受拉力大小相等
D．a、b、c三球所受静电力大小一定相等
7．在光滑绝缘的水平面上，相距一定的距离放有两个质量分别为m和2m的带电小球(可视为质点)A和B.在t1＝0时，同时将两球无初速释放，此时A球的加速度大小为a；经一段时间后，在t2＝t时，B球的加速度大小也变为a.若释放后两球在运动过程中并未接触，且所带电荷量都保持不变，则下列判断正确的是( )
A．两个小球带的是同种电荷
B．两个小球带的是异种电荷
C．t2时刻两小球间的距离是t1时刻的倍
D．t2时刻两小球间的距离是t1时刻的倍
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案
【能力提升】
图12
8．如图12所示，A、B是系在绝缘细线两端，带有等量同种电荷的小球，其中mA＝0.1 kg，细线总长为20 cm.现将绝缘细线绕过固定于O点的光滑定滑轮，将两球悬挂起来，两球平衡时，OA的线长等于OB的线长，A球依靠在光滑绝缘竖直墙上，B球悬线OB偏离竖直方向60°，求B球的质量和墙所受A球的压力．(g取10 m/s2)
9.
图13
如图13所示，绝缘水平面上静止着两个质量均为m，电荷量均为＋Q的物体A和B(A、B均可视为质点)，它们之间的距离为r，与水平面间的动摩擦因数均为μ.求：
(1)A受到的静摩擦力；
(2)如果将A的电荷量增至＋4Q，则两物体将开始运动．当它们的加速度第一次为零时，A、B同时运动了多远的距离？
10.
图14
如图14所示，一光滑绝缘导轨，与水平方向成45°角，两个质量均为m、电荷量均为Q的带同种电荷的小球从等高处由静止沿导轨下滑(导轨足够长)．求：
(1)两个小球间距离为何值时，两球速度达到最大值？
(2)以后小球做何种形式的运动？
11.
图15
如图15所示，在光滑绝缘的水平面上沿一直线等距离排列三个小球A、B、C，三球质量均为m，相距均为L.若小球均带电，且qA＝＋10q，qB＝＋q，为保证三球间距不发生变化，将一水平向右的恒力F作用于C球，使三者一起向右匀加速运动．求：
(1)F的大小；
(2)C球的电性和电荷量．
学案1 电荷及其守恒定律 库仑定律
【课前双基回扣】
1．BD
2．D [能否将一个带电体看成点电荷，关键在于我们分析时是否无需考虑它的体积大小和形状，即它的体积大小和形状可不予考虑时就可以将其看成点电荷，至于它的电荷量就可多可少．]
3．D
4．C [C与A、B反复接触后，最终结果是A、B原先所带的总和，最后在三个小球间均分，最后A、B两球的电荷量为＝2Q.A、B原先有引力：F＝k＝k＝7k；A、B最后的斥力F′＝k＝4k，所以F′＝F，A、B间的库仑力减小到原来的.]
5．BD [对B球，根据共点力平衡可知，＝，而F＝k，可知d＝，故选B、D.]
思维提升
1．元电荷是自然界中最小的电荷量；而点电荷是一种理想化的物理模型，二者的物理意义完全不同．并且点电荷所带电荷量一定为元电荷的整数倍．
2．三种起电方式的本质是相同的，都是电子的转移．移出电子的物体带正电；移入电子的物体带负电．在电子移动中，电荷总量不会改变，即电荷是守恒的．
3．实际带电体在距离较近时，不能被看做点电荷，即库仑定律不再适用．
4．电荷平分的条件是相互接触的导体球必须完全相同，因为电荷的分布与导体的大小、形状等有关系．
【核心考点突破】
例1 D [根据库仑定律，球3未与球1、球2接触前，球1、2间的库仑力F＝k，三个金属小球相同，接触后电量均分，球3与球2接触后，球2和球3的带电量q2＝q3＝，球3再与球1接触后，球1的带电量q1＝＝，此时1、2间的作用力F′＝k＝k，由题意知F′＝F，即n＝，解得n＝6.故D正确．]
[规范思维] 本题解题关键是明确两完全相同的金属球接触后将平分电荷．
例2 D [因为a、b两球所带异种电荷相互吸引，使它们各自的电荷分布不均匀，即相互靠近的一侧电荷分布较密集，又L＝3r，不满足L?r的要求，故不能将带电球壳看成点电荷，所以不能应用库仑定律，故F库≠k.此时两个电荷间的实际距离L′＜L，所以F库＞k.万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，虽然不满足L?r，但因为其壳层的厚度和质量分布均匀，两球壳可看作质量集中于球心的质点，可以应用万有引力定律，故F引＝G.故D项正确．]
[规范思维] (1)万有引力定律适用于质点间的相互作用，而均匀球体可看做质点．(2)库仑定律适用于点电荷间的相互作用，两相距较近的球体不能被看做电荷量集中于球心的点电荷，因为两球体相距较近时，电荷将重新分布．
例3 D
[小球的受力情况如图所示，FAP、FBP为库仑力，FN为环对球的弹力，根据矢量三角形：tan α＝
由库仑定律得：FAP＝，FBP＝
由几何关系得：tan α＝
联立解得：tan3 α＝，D正确．]
[规范思维] 本题实质上是三力平衡问题
画出物体受力的矢量三角形，再借助几何知识，问题即迎刃而解．
例4 负电 A的左边0.2 m处且与AB在一条直线上
－Q
解析 根据平衡条件判断，C应带负电，放在A的左边且和AB在一条直线上．设C带电荷量为q，与A点相距为x，则以A为研究对象，由平衡条件：
k＝k①
以C为研究对象，则
k＝k②
解①②得x＝r＝0.2 m，q＝－Q
故C应带负电，放在A的左边0.2 m处，且与AB在一条直线上，带电荷量为－Q.
[规范思维] 三个点电荷都平衡的规律：三个点电荷一定满足：(1)在同一直线上；(2)两同夹一异；(3)两大夹一小．
例5
解析 释放后A、B吸引、相碰，相碰后电荷中和一部分后重新分配，对于本题中两个小球完全相同，电荷应均匀分配，即A、B两球相碰后均带电4Q.对于A球，释放时受库仑力F1＝k.
再次经过图示位置时受库仑力F2＝.
根据牛顿第二定律有：F1＝ma1 F2＝ma2
故＝＝.
即A球瞬时加速度为释放时的倍．
[规范思维] 通过此题进一步体会力学规律和方法在电场中的应用：①明确研究对象；②分析受力情况；③列牛顿第二定律方程(或平衡方程或动能定理等)．
[针对训练]
1．C 2.B
3．(1)负 2q (2)3kq2/r2
解析 设取A、B、C系统为研究对象，
由牛顿第二定律有：F＝3ma.以A为研究对象，画出其受力图如右图所示，A球受到B球的库仑斥力F1和C球的库仑力F2后，要产生水平向右的加速度，故F2必为引力，所以C球带负电荷，又由库仑定律得：
F1＝k，F2＝k，
分解F2得：
解得：qC＝2q，ma＝，a＝
所以F＝.
【课时效果检测】
1．A 2.BC 3.AD 4.C 5.AB
6．C [以小球c为研究对象，受到4个力的作用，重力，方向竖直向下，Oc绳的拉力，方向竖直向上，a球对c球的静电力Fac和b球对c球的静电力Fbc，由于小球c处于平衡状态，所以Fac和Fbc的合力必沿竖直方向，因为a、b、c构成一等边三角形，所以Fac＝Fbc.分别对a、b两球进行受力分析，根据力的正交分解、物体的平衡条件和牛顿第三定律易得，细线Oa、Ob所受拉力大小相等，C正确；a、b、c三球的质量、带电荷量没有要求，可能相等，也可能不相等，A、B错误；若三球的带电荷量不相等，三球所受的静电力也不相等，D错误．]
7．BD
8．0.2 kg 1.732 N，方向水平向左
解析 对A进行受力分析，如图所示，由平衡条件得
FT－mAg－Fsin 30°＝0①
Fcos 30°－FN＝0②
对B受力分析如图所示，由平衡条件得
FT＝F③
F＝mBg④
由①②③④式得mB＝0.2 kg
FN＝1.732 N，由牛顿第三定律，墙所受A球压力大小
FN′＝FN＝1.732 N，方向水平向左．
9．(1)k 方向水平向右(或指向B) (2) －
解析 (1)物体A静止时，受力如右图所示，根据库仑定律：
F＝k
由物体的平衡条件：F－Ff＝0
A受到的静摩擦力：Ff＝k，方向水平向右(或指向B)．
(2)设物体A、B的加速度第一次为零时，A、B间的距离为r′，如下图所示，Ff＝μmg
由牛顿第二定律得：k－Ff＝0
解得r′＝
由题意可知A、B运动的距离为x＝＝ －
10．(1)Q (2)振动
解析 如右图所示，小球A受力与B受力对称，对B受力分析，开始时Fcos 45°＜mgsin 45°，小球A、B分别沿斜面加速下滑，当Fcos 45°＝mgsin 45°时，A、B两球速度达到最大．这以后由于F增大，两球做减速运动，当速度减为零后又沿斜面向上加速运动．
故：(1)由Fcos 45°＝mgsin 45°，
所以F＝mg，而F＝k.所以r＝Q .
(2)以两小球相距r＝Q 的两点为平衡位置各自沿导轨往返运动，即振动．
11．(1) (2)带负电 q
解析 因A、B为同种电荷，A球受到B球的库仑力向左，要使A向右匀加速运动，则A球必须受到C球施加的向右的库仑力，即C球带负电．设加速度为a，由牛顿第二定律有：
对A、B、C三球整体，有F＝3ma
对A球，有k－k＝ma
对B球，有k＋k＝ma
解得：qC＝q(负电)，F＝.
易错点评
1．在电荷平分问题中，要注意两带电体的电性．同种电荷接触，直接将总电荷量平分；导种电荷接触，先中和，再将剩余电荷量平分．
2．库仑力是与距离相关的力，当两带电体间距离改变时，库仑力也随之改变，解题中应特别注意这一点．
3．库仑力与其它力一样，其合成与分解遵循平行四边形定则．
4．利用库仑定律处理非对称带电体间作用时，往往用割补的思想等效为对称后再解答．一、概念规律题组
1．对公式E＝的理解，下列说法正确的是( )
A．此公式适用于计算任何电场中a、b两点间的电势差
B．a点和b点距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中d是指a点和b点之间的距离
D．公式中的d是a、b所在匀强电场的两个等势面间的垂直距离
图1
2．如图1所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线中点b的电势φb为( )
A．等于35 V
B．大于35 V
C．小于35 V
D．等于15 V
3．由电容器电容的定义式C＝可知( )
A．若电容器不带电，则电容C为零
B．电容C与电容器所带电荷量Q成反比，与电压U成反比
C．电容C与所带电荷量Q多少无关
D．电容在数值上等于使两板间的电压增加1 V时所需增加的电荷量
4．对于水平放置的平行板电容器，下列说法中正确的是( )
A．将两极板的间距加大，电容将增大
B．将两极板平行等距错开，使正对面积减小，电容将减小
C．在下极板的内表面上放置一面积和极板相等、厚度小于极板间距的陶瓷板，电容将增大
D．在下极板的内表面上放置一面积和极板相等、厚度小于极板间距的铝板，电容将增大
二、思想方法题组
图2
5．a、b、c、d是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点．电场线与矩形所在平面平行．已知a点的电势为20 V，b点的电势为24 V，d点的电势为4 V，如图2所示，由此可知c点的电势为( )
A．4 V B．8 V C．12 V D．24 V
图3
6．如图3所示，电容器两极板与电源正负极相连，当电容器两极板间的距离由d迅速增大为2d的过程中，下列说法正确的是( )
A．电容器两板间电压始终不变
B．电容器两板间电压瞬时升高后又恢复原值
C．根据Q＝CU可知，电容器带电荷量先增大后减小
D．电路中电流由A板经电源流向B板
一、静电现象
1．处于静电平衡状态的导体具有以下特点
(1)导体内部的场强(E0与E′的合场强)处处为零，E内＝0；(2)整个导体是等势体，导体的表面是等势面；(3)导体外部电场线与导体表面垂直；(4)静电荷只分布在导体外表面上，且与导体表面的曲率有关．
2．静电屏蔽：如果用金属网罩(或金属壳)将一部分空间包围起来，这一包围空间以外的区域里，无论电场强弱如何，方向如何，空间内部电场强度均为零．因此金属网罩(或金属壳)对外电场有屏蔽作用．
图4
【例1】 如图4所示为空腔球形导体(不带电)，现将一个带正电的小金属球A放入腔内，静电平衡时，图中a、b、c三点的场强E和电势φ的关系是( )
A．Ea＞Eb＞Ec，φa＞φb＞φc
B．Ea＝Eb＞Ec，φa＝φb＞φc
C．Ea＝Eb＝Ec，φa＝φb＞φc
D．Ea＞Ec＞Eb，φa＞φb＞φc
[规范思维]
[针对训练1] (2010·浙江理综·15)请用学过的电学知识判断下列说法正确的是( )
A．电工穿绝缘衣比穿金属衣安全
B．制作汽油桶的材料用金属比用塑料好
C．小鸟停在单根高压输电线上会被电死
D．打雷时，呆在汽车里比呆在木屋里要危险
二、匀强电场中电场强度与电势差的关系
1．公式E＝反映了电场强度与电势差之间的关系，由公式可知，电场强度的方向就是电场中电势降低最快的方向．
图5
2．公式中d可理解为电场中两点所在等势面之间的距离，由此可得出一个结论：在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的端点间的电势差相等．如图5所示，AB、CD平行且相等，则UAB＝UCD
3．利用等分电势法画等势线及电场线的方法
例如：φA＝6 V，φB＝－2 V，φC＝4 V，试画出图6中的等势线及电场线
图6
方法：(1)求出电势差最大的两点间电势差
Umax＝UAB＝φA－φB＝8 V
(2)求出电势差最小的两点间的电势差
Umin＝UAC＝2 V
(3)计算＝4
(4)连接AB，并将AB四等分，在AB上找到C点的等势点D，即φD＝φC
(5)连接CD即为等势线；过CD作垂线为电场线．
图7
【例2】 为使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线匀速地由A运动到B，必须对该电荷施加一个恒力F，如图7所示，若AB＝0.4 m，α＝37°，q＝－3×10－7 C，F＝1.5×10－4 N，A点的电势φA＝100 V．(不计负电荷受到的重力)
(1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势．
(2)求q在由A到B的过程中电势能的变化量是多少？
[规范思维]
[针对训练2]
图8
(2009·辽宁、宁夏理综)空间有一匀强电场，在电场中建立如图8所示的直角坐标系O－xyz，M、N、P为电场中的三个点，M点的坐标(0，a,0)，N点的坐标为(a,0,0)，P点的坐标为(a，a/2，a/2)．已知电场方向平行于直线MN，M点电势为0，N点电势为1 V，则P点的电势为( )
A. V B. V C. V D. V
三、平行板电容器的动态分析
运用电容的定义式和决定式分析电容器相关量变化的思路
(1)确定不变量，分析是电压不变还是所带电荷量不变．电容器的两极板与电源连接时，电容器两极板间的电压保持不变；电容器先充电后与电源断开，电容器的电荷量保持不变．
(2)用决定式C＝分析平行板电容器电容的变化．
(3)用定义式C＝分析电容器所带电荷量或两极板间电压的变化．
(4)用E＝分析电容器极板间场强的变化．
图9
【例3】 如图9所示，用电池对电容器充电，电路a、b之间接有一灵敏电流表，两极板间有一个电荷q处于静止状态．现将两极板的间距变大，则( )
A．电荷将向上加速运动
B．电荷将向下加速运动
C．电流表中将有从a到b的电流
D．电流表中将有从b到a的电流
[规范思维]
图10
[针对训练3] 平行板电容器的两极板A、B接于电池两极，一带正电小球悬挂在电容器内部．闭合开关S，电容器充电，这时悬线偏离竖直方向的夹角为θ，如图10所示，则( )
A．保持开关S闭合，带正电的A板向B板靠近，则θ增大
B．保持开关S闭合，带正电的A板向B板靠近，则θ不变
C．开关S断开，带正电的A板向B板靠近，则θ增大
D．开关S断开，带正电的A板向B板靠近，则θ不变
【基础演练】
图11
1．(2010·北京理综·18)用控制变量法，可以研究影响平行板电容器电容的因素(如图11)．设两极板正对面积为S，极板间的距离为d，静电计指针偏角为θ.实验中，极板所带电荷量不变，若( )
A．保持S不变，增大d，则θ变大
B．保持S不变，增大d，则θ变小
C．保持d不变，减小S，则θ变小
D．保持d不变，减小S，则θ不变
2.
图12
(2010·安徽理综·18)如图12所示，M、N是平行板电容器的两个极板，R0为定值电阻，R1、R2为可调电阻，用绝缘细线将质量为m、带正电的小球悬于电容器内部．闭合电键S，小球静止时受到悬线的拉力为F.调节R1、R2，关于F的大小判断正确的是( )
A．保持R1不变，缓慢增大R2时，F将变大
B．保持R1不变，缓慢增大R2时，F将变小
C．保持R2不变，缓慢增大R1时，F将变大
D．保持R2不变，缓慢增大R1时，F将变小
3.
图13
如图13所示，平行直线AA′、BB′、CC′、DD′、EE′，分别表示电势－4 V、－2 V、0 V、2 V、4 V的等势线，若AB＝BC＝CD＝DE＝2 cm，且与直线MN成30°角，则( )
A．该电场是匀强电场，场强方向垂直于AA′，且右斜下
B．该电场是匀强电场，场强大小E＝2 V/m
C．该电场是匀强电场，距C点距离为2 cm的所有点中，最高电势为4 V，最低电势为－4 V
D．若一个正电荷从A点开始运动到E点，通过AB段损失动能E，则通过CD段损失动能也为E
4．(2011·武汉模拟)有一静电场，其电场强度方向平行于x轴．其电势φ随坐标x的改变而变化，变化的图线如图14所示，则图中正确表示该静电场的场强E随x变化的图线是(设场强沿x轴正方向时取正值)( )
图14
图15
5．(2011·北京西城抽样测试)如图15所示，足够长的两平行金属板正对着竖直放置，它们通过导线与电源E、定值电阻R、开关S相连．闭合开关后，一个带电的液滴从两板上端的中点处无初速释放，最终液滴落在某一金属板上．下列说法中正确的是( )
A．液滴在两板间运动的轨迹是一条抛物线
B．电源电动势越大，液滴在板间运动的加速度越大
C．电源电动势越大，液滴在板间运动的时间越短
D．定值电阻的阻值越大，液滴在板间运动的时间越长
图16
6．(2010·湖北宜昌月考)一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地，在两极板间有一正电荷(电荷量很小)固定在P点，如图16所示．以E表示两极板间的场强，U表示电容器的电压，Ep表示正电荷在P点的电势能，若保持负极板不动，将正极板移到图中虚线所示的位置，则( )
A．U变小，E不变 B．E变大，Ep变大
C．U变小，Ep不变 D．U不变，Ep不变
7．(2011·天津·5)板间距为d的平行板电容器所带电荷量为Q时，两极板间电势差为U1，板间场强为E1.现将电容器所带电荷量变为2Q，板间距变为d，其他条件不变，这时两极板间电势差为U2，板间场强为E2，下列说法正确的是( )
A．U2＝U1，E2＝E1 B．U2＝2U1，E2＝4E1
C．U2＝U1，E2＝2E1 D．U2＝2U1，E2＝2E1
【能力提升】
图17
8．图17中A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，把一个电荷量q＝10－5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－1.73×10－3 J，则该匀强电场的场强大小和方向是( )
A．865 V/m，垂直AC向左
B．865 V/m，垂直AC向右
C．1 000 V/m，垂直AB斜向上
D．1 000 V/m，垂直AB斜向下
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
图18
9．(2010·沈阳二中月考)如图18所示，水平放置的两平行金属板A、B接在U＝4 000 V的直流电源上，两极板间距离为2 cm，A极板接地，电场中a点距B极板1 cm，b点和c点均距A极板0.5 cm，求：
(1)a点的电场强度；
(2)a、c之间的电势差；
(3)电子在b点的电势能；
(4)电子从a点运动到c点，电场力做的功．
10.
图19
如图19所示的电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各面电势已在图中标出，现有一质量为m的带电小球以速度v0，方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动．问：(1)小球应带何种电荷？电荷量是多少？(2)在入射方向上小球最大位移量是多少？(电场足够大)
11.
图20
(2010·唐山测试)如图20所示，两个带等量异种电荷、竖直放置、电容为C、间距为d的平行金属板，两板之间的电场可视为匀强电场．此外两板之间还存在一种物质，使小球受到一个大小为F＝kv(k为常数，v为小球速率)、方向总是背离圆心的力. 一个质量为m，带电荷量为－q的小球，用长为L(L＜d)的不可伸长的细线悬挂于O点，将小球拉至水平位置M，由静止释放，当小球向下摆过60°到达N点时，速度恰为零(细线始终处于伸直状态)．则：
(1)左极板带电量Q是多少？
(2)小球到达N点时的加速度大小是多少？
(3)小球的最大速度是多少？此时细线上的拉力是多少？
学案4 场强与电势差的关系 电容器及其电容
【课前双基回扣】
1．D
2．C [从电场线疏密可以看出Ea>Eb>Ec，由公式U＝Ed可以判断Uab>Ubc，所以φb<＝35 V．]
3．CD [电容器电容的大小由电容器自身决定，与带电与否、所带电荷量Q的多少均无关；根据C＝可知，当电容器电压发生变化时，所带电荷量也发生变化，但两者比值保持不变，即C＝，所以有ΔQ＝C·ΔU.综上所述，本题正确选项为C、D.]
4．BCD [平行板电容器的电容C＝，因此加大极板间距d，导致C减小，A项错误；正对面积S减小，C减小，B项正确；插入陶瓷板，相当于增大介电常数εr，C增大，C项正确；插入铝板，相当于减小极板间距d，C增大，D项正确．]
5．B [由公式U＝Ed可知，在匀强电场中相互平行的两线段端点所对应电势差之比恰好等于两线段长度之比．则由图知ab∥dc，必有Uab/Udc＝ab/dc＝1/1，故(20－24) V＝(4－φc) V，则φc＝8 V．]
6．B [当将电容器两极板间距离迅速增大的过程中，电容器极板上的电荷量未来得及变化，即Q不变，则C＝＝，又C＝，所以＝，所以E＝也不变，而U＝Ed，故U增大，但最终电压U要与电源电压相等，故选项B正确．因为C＝，所以d增大时，C减小．由Q＝CU，所以Q减小，电路中有瞬时电流，方向由B板经电源流向A板，故D不对．]
思维提升
1．公式U＝dE只适用于匀强电场的计算，且d为沿场强方向的距离．但对于非匀强电场，可应用该公式定性分析问题．
2．电容是电容器本身的属性，由电容器本身因素决定，与电容器是否带电以及带电多少无关．
3．对于不含源的电容器，两极板间距离发生改变时，板间匀强电场的场强不变，这一结论应熟记．
【核心考点突破】
例1 D
[空腔球形导体在正电荷A的电场中感应的结果如图所示，从电场线的疏密可确定a点场强大于c点场强，而b点场强为零，故Ea＞Ec＞Eb，而沿着电场线电势降低，故φa＞φb＞φc，D正确．]
[规范思维] 先画出电场线，再分析各点场强大小及电势高低．本题中很多同学易认为：Eb＝0，则φb＝0，其实空腔球形导体处于静电平衡后导体是等势体，内外表面是等势面，再考虑沿场强方向电势降低可以得到φa＞φb＞φc.
例2 见解析
解析 (1)负电荷在匀强电场中做匀速运动说明受的电场力与外力F等大反向
因此该电场方向与F的方向同向，如图所示
等势线与场强垂直，过A、B两点的等势线如图所示
A、B两点间的电势差
UAB＝E·dAB·cos α
匀强电场的场强
E＝＝
所以UAB＝dAB·cos α
＝×0.4×0.8 V＝160 V
则B点的电势φB＝φA－UAB＝－60 V.
(2)由A到B克服电场力做功
W＝q·UAB＝160×3×10－7 J＝4.8×10－5 J
即：电势能变化量为4.8×10－5 J.
[规范思维] 由带电点电荷做匀速直线运动，所受合外力为零，确定电场力方向和电场方向；由E＝计算电场强度，然后再由两点沿电场线方向的距离计算电势差大小．
例3 B
[如图所示，取ab的中点O为圆心，作△abc的外接圆，O即为外接圆的圆心，且φO＝2 V，O、c在同一个等势面上．连接圆心O和c，并通过b、a两点分别作Oc的平行线，因为Oa＝Ob＝Oc＝R，所以三条平行线是等势差的．再过O点作三条平行线的垂线，交三角形abc的外接圆于d、e两点，则d点电势最高，e点电势最低．由ERcos 30°＝φb－φc，ER＝φd－φc，ER＝φc－φe且φb＝(2＋)V，φc＝2 V得φd＝4 V，φe＝0 V，所以B正确，A、C、D均错误．]
[规范思维] 本题中先由几个点的电势，找出等势点，再由等势线画出电场线，而寻找等势点是解题的关键．
例4 BD [充电后电容器的上极板A带正电．不断开电源，增大两板间距，U不变、d增大．由E＝知两极板间场强减小．场强减小会使电荷q受到的电场力减小，电场力小于重力，合力向下，电荷q向下加速运动．由C＝知电容C减小．由Q＝CU知极板所带电荷量减少．会有一部分电荷返回电源，形成逆时针方向的电流．电流表中将会有由b到a的电流，选项B、D正确．]
[规范思维] 求与平行板电容器有关的问题时，应从平行板电容器的电容决定式入手，首先确定不变量，然后根据电容决定式C＝，进行推导讨论，找出各物理量之间的关系，从而得出正确结论．
[针对训练]
1．B 2.D 3.AD
【课时效果检测】
1．A 2.B 3.CD 4.A
5．BC [在水平方向液滴受电场力作用，做初速度为零的匀加速运动；在竖直方向为自由落体运动，故液滴在两板间运动的轨迹不是抛物线，A错；电源电动势越大，液滴受电场力越大，液滴在板间运动的加速度就越大；由于水平运动距离一定，为中心线到板的水平距离，故加速度越大，时间越短，所以选项B、C对；定值电阻的大小不会改变板间电压，故D错．]
6．AC [当平行板电容器充电后与电源断开时，E＝＝＝.，带电荷量Q不变，两极板间场强E保持不变，由于板间距离d减小，由U＝Ed可知，电容器的电压U变小．由于场强E保持不变，因此P点与接地的负极板间的电势差保持不变，即P点的电势保持不变，因此电荷在P点的电势能Ep保持不变．A、C正确．]
7．C [由C＝和C＝及E＝得，E＝，由电荷量由Q增为2Q，板间距由d减为，得E2＝2E1；又U＝Ed可得U1＝U2，故A、B、D错，C对．]
8．D [把电荷q从A移到B，电场力不做功，说明A、B两点在同一等势面上，因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故图中直线AB即为等势线，场强方向应垂直于等势面，可见，选项A、B不正确．
UBC＝＝ V＝－173 V．B点电势比C点低173 V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下．场强大小E＝＝＝ V·m－1＝1 000 V·m－1，因此选项D正确，C错误．]
9．(1)2×105 V/m (2)－1 000 V (3)1.6×10－16 J
(4)1.6×10－16 J
解析 (1)a点的电场强度为：E＝＝ V/m＝2×105 V/m.
(2)a、c两点间的电势差为：Uac＝－Uca＝－Edba＝－2×105×(2－1－0.5)×10－2 V＝－1 000 V.
(3)b点的电势为：φb＝－UAb＝－EdAb＝－2×105×0.5×10－2 V＝－1 000 V，电子在b点的电势能为：
EPb＝eφb＝－1.6×10－19×(－1 000) J＝1.6×10－16 J.
(4)电子从a点运动到c点，电场力做的功为：W＝eUac＝－1.6×10－19×(－1 000) J＝1.6×10－16 J.
10．(1)正电 q＝ (2)
解析 (1)作电场线如图(a)所示，由题意得，只有小球受到向左的电场力，电场力和重力的合力与初速度才可能在一条直线上，如图(b)所示，只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动．所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动．由图(b)知qE＝mg.相邻等势面间的电势差用U表示，所以E＝，所以q＝＝.
(2)由图(b)知
F合＝＝mg(因为qE＝mg)．
由动能定理－F合·lmax＝0－mv，所以lmax＝＝.
11．(1) (2)g (3)(－1)
(6－2)mg＋k(－1)
解析 (1)设两板间电势差为U，场强为E
由C＝和E＝得E＝①
对球，从M到N由动能定理有
mgLsin 60°－qEL(1－cos 60°)＝0
所以qE＝mg②
由①②得：Q＝
(2)球在N点的加速度方向垂直ON沿切线向上，在N点受力分析，将电场力和重力正交分解，在切线方向有
qEsin 60°－mgsin 30°＝ma
得a＝＝g
(或由单摆的对称性得M、N两处加速度大小相等均为g)
(3)小球速度最大位置在MN弧的中点P处，对球从M到P由动能定理有：
mgLsin 30°－qEL(1－cos 30°)＝mv2－0
解得v＝＝(－1)
在P点对球受力分析，设线上的拉力为F′，合力充当向心力，有
F′－kv－＝m
解得：F′＝(6－2)mg＋k(－1)
易错点评
1．电容器两板间的电压不能用电压表测量，因为电容器可通过电压表内的线圈放电．一般用静电计测量电容器两板间的电压．
2．电容器充放电时，在电路中有短暂的充电电流或放电电流，要特别注意放电电流的方向．另外要理解充放电时，并不是电荷通过了电容器．
3．在电容器两板间插入金属板时，相当于电容器两板间距离减小，即电容要变大．一、概念规律题组
图1
1．如图1所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定( )
A．Ea＝Eb＝Ec B．Ea>Eb>Ec
C．φa>φb>φc D．φa＝φb＝φc
2．一负电荷仅受电场力的作用，从电场中的A点运动到B点，在此过程中该电荷做初速度为零的匀加速直线运动，则A、B两点电场强度EA、EB及该电荷在A、B两点的电势能εA、εB之间的关系为( )
A．EA＝EB B．EAεB
图2
3．如图2所示，a、b是某电场中电场线上的两点，将一点电荷q从a移到b，电场力做功为W，且a、b间的距离为d，以下说法中正确的是( )
A．a、b间的电势差为W/q
B．a处的电场强度为E＝W/qd
C．b处的电场强度为E＝W/qd
D．a点的电势为W/q
4．图3中
图3
虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0.一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV.当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8 eV，它的动能应为( )
A．8 eV B．13 eV C．20 eV D．34 eV
二、思想方法题组
5．如图4所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度飞出a、b两个带电粒子．运动轨迹如图中虚线所示．则( )
图4
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a的速度将减小，b的速度将增加
C．a的加速度将减小，b的加速度将增加
D．两个粒子的电势能一个增加一个减小
6．两带电小球，电荷量分别为＋q和－q，固定在一长度为L的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E的匀强电场中，杆与场强的方向平行，其位置如图5所示，若此杆绕过O点且垂直于杆的轴线转过180°，则在此转动的过程中电场力做的功为( )
图5
A．0 B． 2qEL
C．πqEL D．qEL
一、电势高低及电势能大小的比较方法
1．比较电势高低的几种方法
(1)沿电场线方向，电势越来越低，电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面．
(2)判断出UAB的正负，再由UAB＝φA－φB，比较φA、φB的大小，若UAB＞0，则φA＞φB，若UAB＜0，则φA＜φB.
(3)取无穷远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷近处电势高；负电荷周围电势为负值，且离负电荷近处电势低．
2．电势能大小的比较方法
(1)场源电荷判断法
①离场源正电荷越近，试探正电荷的电势能越大，试探负电荷的电势能越小．
②离场源负电荷越近，试探正电荷的电势能越小，试探负电荷的电势能越大．
(2)电场线判断法
①正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大．
②负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小．
(3)做功判断法
电场力做正功，电荷(无论是正电荷还是负电荷)从电势能较大的地方移向电势能较小的地方．反之，如果电荷克服电场力做功，那么电荷将从电势能较小的地方移向电势能较大的地方．
【例1】
图6
(2011·山东·21)如图6所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN为两电荷连线的中垂线，a、b、c三点所在直线平行于两电荷的连线，且a和c关于MN对称、b点位于MN上，d点位于两电荷的连线上．以下判断正确的是( )
A．b点场强大于d点场强
B．b点场强小于d点场强
C．a、b两点间的电势差等于b、c两点间的电势差
D．试探电荷＋q在a点的电势能小于在c点的电势能
[规范思维]
二、电场力做功的特点及电场力做功的计算
1．电场力做功的特点
电场力做的功和路径无关，只和初、末位置的电势差有关．
2．电场力做功的计算方法
(1)由公式W＝Flcos θ计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝qElE，式中lE为电荷初末位置在电场方向上的距离．
(2)由电势差的定义式计算，WAB＝qUAB，对任何电场都适用．当UAB＞0，q＞0或UAB＜0，q＜0时，W＞0；否则W＜0.
(3)由电场力做功与电势能变化的关系计算，WAB＝EPA－EPB.
(4)由动能定理计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk.
3．电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化．
图7
【例2】 如图7所示的匀强电场E的区域内，由A、B、C、D、A′、B′、C′、D′作为顶点构成一正方体空间，电场方向与面ABCD垂直，下列说法正确的是( )
A．A、D两点间电势差UAD与A、A′两点间电势差UAA′相等
B．带正电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电场力做正功
C．带负电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电势能减小
D．同一带电粒子从A点沿对角线移到C′点与从A点沿路径A→B→B′移动到B′电场力做功相同
图8
【例3】 如图8所示，在O点放置一个正电荷，在过O点的竖直平面内的A点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m、电荷量为q.小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O为圆心、R为半径的圆(图中实线表示)相交于B、C两点，O、C在同一水平线上，∠BOC＝30°，A距离OC的竖直高度为h.若小球通过B点的速度为v，则下列说法正确的是( )
A．小球通过C点的速度大小是
B．小球通过C点的速度大小是
C．小球由A到C电场力做功是mv2－mgh
D．小球由A到C机械能的损失是mg(h－)－mv2
[规范思维]
三、电场线、等势线与运动轨迹的综合分析
1．带电粒子在电场中的运动轨迹是由带电粒子受到的合外力的情况以及初速度的情况共同决定的．运动轨迹上各点的切线方向表示粒子在该点的速度方向．电场线只能够描述电场的方向和定性地描述电场的强弱，它决定了带电粒子在电场中各点所受电场力的方向和加速度的方向．
2．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线．已知等势线也可以画出电场线．
3．在利用电场线、等势面和带电粒子的运动轨迹解决带电粒子的运动问题时，基本方法是：
(1)根据带电粒子的运动轨迹确定带电粒子受到的电场力的方向，带电粒子所受的合力(往往只受电场力)指向运动轨迹曲线的凹侧，再结合电场线确定带电粒子的带电种类或电场线的方向；
(2)根据带电粒子在不同的等势面之间移动，结合题意确定电场力做正功还是做负功，电势能的变化情况或是等势面的电势高低．
图9
【例4】 (2010·浙江绍兴月考)如图9所示，xOy平面内有一匀强电场，场强为E，方向未知，电场线跟x轴的负方向夹角为θ，电子在坐标平面xOy内，从原点O以大小为v0、方向沿x正方向的初速度射入电场，最后打在y轴上的M点．电子的质量为m，电荷量为e，重力不计．则( )
A．O点电势高于M点电势
B．运动过程中电子在M点电势能最多
C．运动过程中，电子的电势能先减少后增加
D．电场对电子先做负功，后做正功
[规范思维]
图10
[针对训练] (2011·江苏·8)一粒子从A点射入电场，从B点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图10所示，图中左侧前三个等势面平行，不计粒子的重力．下列说法正确的有( )
A．粒子带负电荷
B．粒子的加速度先不变，后变小
C．粒子的速度不断增大
D．粒子的电势能先减小，后增大
【基础演练】
1.
图11
(2010·上海单科·9)三个点电荷电场的电场线分布如图11所示，图中a、b两点处的场强大小分别为Ea、Eb，电势分别为φa、φb，则( )
A．Ea＞Eb，φa＞φb
B．Ea＜Eb，φa＜φb
C．Ea＞Eb，φa＜φb
D．Ea＜Eb，φa＞φb
2．(2010·全国Ⅰ·16)关于静电场，下列结论普遍成立的是( )
A．电场强度大的地方电势高，电场强度小的地方电势低
B．电场中任意两点之间的电势差只与这两点的场强有关
C．在正电荷或负电荷产生的静电场中，场强方向都指向电势降低最快的方向
D．将正点电荷从场强为零的一点移动到场强为零的另一点，电场力做功为零
3．将一正电荷从无限远处移入电场中M点，静电力做功W＝6×10－9 J，若将一个等量的负电荷从电场中N点移向无限远处，静电力做功W2＝7×10－9 J，则M、N两点的电势φM、φN，有如下关系( )
A．φM＜φN＜0 B．φN＞φM＞0
C．φN＜φM＜0 D．φM＞φN＞0
图12
4．如图12中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点．若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是( )
A．带电粒子所带电荷的符号
B．带电粒子在a、b两点的受力方向
C．带电粒子在a、b两点的速度何处较大
D．带电粒子在a、b两点的电势能何处较大
图13
5．如图13所示，在真空中A、B两点分别放置等量的异种点电荷，在A、B两点间取一矩形路径abcd，该矩形路径关于A、B两点连线及连线的中垂线均为轴对称．现将一电子沿该矩形路径移动一周，下列判断正确的是( )
A．a点和b点的电场强度相同
B．b点和c点的电势相等
C．电子从c点到d点，电势能先减小后增大
D．电子从d点到a点，电场力先做正功后做负功
图14
6．(2010·江苏单科·5)空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图14所示．下列说法中正确的是( )
A．O点的电势最低
B．x2点的电势最高
C．x1和－x1两点的电势相等
D．x1和x3两点的电势相等
图15
7．(2010·广州二测)a、b、c、d四个带电液滴在如图15所示的匀强电场中，分别水平向左、水平向右、竖直向上、竖直向下做匀速直线运动(不考虑带电液滴间的相互作用)，可知( )
A．a、b为同种电荷，c、d为异种电荷
B．a、b的电势能、机械能均不变
C．c的电势能减少，机械能增加
D．d的电势能减少，机械能减少
8．(2011·海南·1)关于静电场，下列说法正确的是( )
A．电势等于零的物体一定不带电
B．电场强度为零的点，电势一定为零
C．同一电场线上的各点，电势一定相等
D．负电荷沿电场线方向移动时，电势能一定增加
【能力提升】
图16
9．如图16所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个正六边形的六个顶点，A、B、C三点的电势分别为1 V、2 V、5 V，则下列说法中正确的是( )
A．D、E、F三点的电势分别为7 V、6 V、3 V
B．电荷量为1.6×10－19 C的正点电荷在D点的电势能为1.12×10－18 J
C．将电荷量为1.6×10－19 C的正点电荷从E点移到F点，电场力做的功为3.2×10－19 J
D．将电荷量为1.6×10－19 C的负点电荷从F点移到A点，电荷的电势能减少了3.2×10－19 J
图17
10．(2009·山东理综·20)如图17所示，在x轴上关于原点O对称的两点固定放置等量异种点电荷＋Q和－Q，x轴上的P点位于－Q的右侧．下列判断正确的是( )
A．在x轴上还有一点与P点电场强度相同
B．在x轴上还有两点与P点电场强度相同
C．若将一试探电荷＋q从P点移至O点，电势能增大
D．若将一试探电荷＋q从P点移到O点，电势能减小
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
图18
11．如图18所示，BAC是光滑绝缘的“L”字形平面，倒置于水平匀强电场中BA⊥AC，D为AC的中点，BC与水平面平行，且∠B＝60°，AB＝l，有一带电荷量＋q的滑块，质量为m，先由A端沿AB面无初速下滑，到达B端的速率为v0，再由A端沿AC面无初速下滑到C端．试求：
(1)滑块到达D点的速度大小vD；
(2)假设滑块对C端没有压力，滑块的加速度多大．
图19
12．如图19所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量均为Q，其中A带正电荷，B带负电荷，D、C是它们连线的垂直平分线，A、B、C三点构成一边长为d的等边三角形，另有一个带电小球E，质量为m、电荷量为＋q(可视为点电荷)，被长为L的绝缘轻质细线悬挂于O点，O点在C点的正上方．现在把小球E拉起到M点，使细线水平绷直且与A、B、C处于同一竖直面内，并由静止开始释放，小球E向下运动到最低点C时，速度为v.已知静电力常量为k.若取D点的电势为零．试求：
(1)在A、B所形成的电场中，M点的电势φM；
(2)绝缘细线在C点所受到的拉力FT.
学案3 电势能与电势差
【课前双基回扣】
1．C [试题只给出了一条电场线，因此无法判断电场的强度分布情况，考虑问题的多种可能性，如点电荷电场中，则选项A错误；若为匀强电场，则选项B错误．由于顺着电场线，电势逐渐降低，故选项C正确，D错误．]
2．AD [负电荷在电场中只受电场力作用而做匀加速直线运动，可知电场是匀强电场，故A对．
由于电场力对负电荷做正功，动能增加，则电势能减少，故D对．]
3．A [由W＝qU，得U＝W/q，两点间的电势差等于把试探电荷在两点间移动时电场力做功与试探电荷电荷量的比值，因此a、b间的电势差为U＝W/q，故A正确；由于没有明确是否是匀强电场，因此W＝qEd不能使用，也就是说E＝W/qd在这里不能使用，故B、C均不对；在题中未给出零电势点，因此不能确定其中某点的电势的值，这里如果取b点的电势为零，a点的电势才是W/q.]
4．C [等势面3的电势为零，则该电荷在此位置的电势能也为零．由于两相邻等势面的电势差相等，又知Eka>Ekb，则a点的电势能可表示为－2qU(U为相邻两等势面的电势差)，b点的电势能可表示为qU.
由于总的能量守恒，则有：Eka＋(－2qU)＝Ekb＋qU
即26－2qU＝5＋qU，解得qU＝7 eV
则总能量为7 eV＋5 eV＝12 eV
当电势能为－8 eV时，动能Ek＝12 eV－(－8) eV＝20 eV.]
5．C [两粒子均仅在电场力作用下运动，电场力做正功，电势能减少，速度增加．根据电场线疏密表示场强的强弱可知a受的电场力将减小，加速度也将减小，类似b的电场力增大，加速度将增加．C选项正确．]
6．B [转动过程中电场力对两电荷均做正功，所以
W＝EqL＋EqL＝2EqL.]
思维提升
1．电场力做正功，电荷的电势能减少；电场力做负功，电荷的电势能增加．电场力做的功只能决定电势能的变化量，而不能决定电荷电势能的数值．
2．电势、电势能的大小与零电势点的选取有关；而电势差、电势能的变化与零电势点的选取无关．
3．电势差的正负反映了两点电势的高低；电势的正负反映了该点与零电势点相比电势的高低．
4．注意区分等差等势面与等距等势面．在非匀强电场中，场强大处等差等势面也密．
【核心考点突破】
例1 BC [在图中画出等量异种点电荷产生的电场的电场线分布情况，由电场线的疏密表示场强大小可知Ed>Eb.故选项A错误，选项B正确．a、c两点关于MN对称，故Uab＝Ubc，选项C正确．沿电场线方向电势降低，所以φa>φc，由Ep＝qφ可知Epa>Epc，故选项D错误．]
[规范思维] 电势高低由电场线方向判断；电场强弱由电场线疏密判断；电势能的大小关系由电场力做功的正、负判断．
例2 BD [由图可知ABCD为等势面，φA＝φD，而φA>φA′，故A项错误；由φA＝φD>φD′知，带正电的粒子从A移至D′电场力做正功，B项正确；而带负电的粒子从A点沿路径A→D→D′移到D′点，电场力做负功，电势能增加，选项C错误；电场力做功与路径无关，D项正确．]
例3 BD [小球从A到B运动的过程中，设电场力做功为WF，则由动能定理可得
从A到B：mg(h－R·sin 30°)＋WF＝mv2－0
从A到C：mgh＋WF＝mv
联立以上两式可得：vC＝，A错，B对；小球由A到C电场力做功mv－mgh，C错；小球由A到C机械能的损失等于除重力以外其他的力(电场力)所做的功，由B到C电场力做功为0，则ΔE＝－WF＝mg(h－)－mv2，D正确．]
[规范思维] 在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系．
(1)应用动能定理解决问题需研究合外力的功(或总功)．
(2)应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能间的转化．
(3)应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系．
例4 D [由电子的运动轨迹知，电子受到的电场力方向斜向上，故电场方向斜向下，M点电势高于O点，A错误，电子在M点电势能最少，B错误，运动过程中，电子先克服电场力做功，后电场力对电子做正功，故C错误，D正确．]
[规范思维] 解此题的基本思路是：
[针对训练]
AB
[电场线如图所示，由于受力总指向运动轨迹的凹侧，故粒子带负电荷，A对；由电场线分布知电场力先不变，后越来越小，B对；电场力一直做负功，粒子速度一直减小，电势能一直增加，C、D错．]
【课时效果检测】
1．C 2.C
3．C [对正电荷φ∞－φM＝；对负电荷φN－φ∞＝.即φ∞－φN＝.而W2＞W1，φ∞＝0，且和均大于0，则φN＜φM＜0，C正确．]
4．BCD
5．BD [A、B两等量异种点电荷的电场线、等势面的分布如图所示．
①由图可知，a、b两点场强大小相同，方向不同，A错．②画出等势面可知b、c为等势面上两点．B正确．③利用W＝qU或W＝Fl可知电子从d到a电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，故D正确．]
6．C [由题图象知，O点两侧电场强度方向相反、因电场强度的方向沿x轴，故O点可能电势最低，也可能电势最高，A选项不正确；x1、x2、x3三点在同一电场线上，由沿电场线方向电势逐渐降低可知，无论O点右侧电场强度沿x轴向右还是向左，x2点电势都不是最高，x1、x3两点的电势也不相等，故B、D不正确；由题图象，电场强度在O点两侧对称，故x1、－x1两点电势相等，C正确．]
7．BC [电场力对a、b不做功，故a、b的电势能和机械能均不变，B对；四个带电液滴所受电场力方向均向上，故均带正电荷，A错；电场力对c做正功，对d做负功，故c的电势能减小，机械能增加，d的电势能增加，机械能减小，C对，D错．]
8．D [零电势点是人为选择的参考点，所以电势等于零的物体可以带电，也可以不带电，故A错；电场强度和电势是两个不同的物理量，电场强度为零的点，电势不一定为零，B错；沿着电场线方向电势不断降低，故C错；负电荷在电场中受到的电场力的方向与电场线方向相反，故负电荷沿电场线方向移动时，电场力做负功，电势能增加，故D对．]
9．AB [由公式U＝Ed知，在匀强电场中，平行等距离的两点间的电势差相等，所以UBA＝UDE，UCB＝UEF，UDC＝UFA，经验证得A选项正确．由ED＝qφD得，ED＝1.6×10－19×7 J＝1.12×10－18 J，故B正确．由WEF＝qUEF得WEF＝1.6×10－19×3 J＝4.8×10－19 J，故C错误．又WFA＝qUFA＝－1.6×10－19×2 J＝－3.2×10－19 J，即电荷的电势能增加3.2×10－19 J，D错误．]
10．AC [如下图所示：
EP＝－ 方向向左
EP′＝－ 方向向左，A对，P到－Q的平均电场强度小于－Q到O的平均电场强度，电场力做的正功小于做的负功，O点与P点比较电势能增加．C对，D错．]
11．(1) (2)2g
解析 (1)设AB间的电压大小为U，从A→B由动能定理得：
mgl－qU＝mv－0①
从A→D，由动能定理得mghAD＋qUAD＝mv－0②
又hAD＝l，UAD＝UBA＝U.③
解①②③各式得：
vD＝ .
(2)滑块在C端受力分析如图，由FN＝0得：mgcos 30°＝qEsin 30°④
又由牛顿第二定律得：
qEcos 30°＋mgsin 30°＝ma⑤
解④⑤得a＝2g.
12．(1) (2)k＋mg＋m
解析 (1)电荷E从M点运动到C点的过程中，电场力做功为qUMC，重力做功为mgL.根据动能定理qUMC＋mgL＝
得M、C两点的电势差为UMC＝
又因为C点与D点为等势点，所以M点电势为
φM＝UMC＋φC＝UMC＋φD＝.
(2)在C点时A对E的电场力F1与B对E的电场力F2相等，为F1＝F2＝
又因为A、B、C为一等边三角形，所以F1、F2的夹角为120°，故F1、F2的合力为F12＝，且方向竖直向下．
由牛顿第二定律得FT－k－mg＝
由牛顿第三定律绝缘细线在C点所受的张力为FT′＝FT＝k＋mg＋m.
易错点评
1．电势和电场强度都是电场本身所固有的属性，但二者没有必然联系．电势高处场强不一定大；电势为0处场强也不一定为0.
2．电势能的变化只决定于电场力的功，与其它力是否存在以及是否做功无关．另凡有电场力做功的情境，机械能一定不守恒．
3．应特别注意等量同种电荷和等量异种电荷电场的分布情况．特别是电荷的连线上和连线的中垂线上电场强度和电势的变化规律应熟记．一、概念规律题组
图1
1．在两个半圆柱面构成的区域内，有一均匀的径向电场，径向宽度很小，电场线如图1中的径向实线所示．欲使电荷量相同的正离子从左端进入，沿半圆路径运动后从右端射出，这些离子应具备相同的( )
A．比荷 B．质量 C．速度 D．动能
图2
2．如图2所示，带正电q、质量为m的滑块，沿固定绝缘斜面匀速下滑，现加一竖直向上的匀强电场，电场强度为E，且qEA．物体将沿斜面减速下滑
B．物体将沿斜面加速下滑
C．物体仍保持匀速下滑
D．仅当qE＝mg时，物体加速下滑
图3
3．A、B为两个固定的等量同种正点电荷，O为AB连线的中点，另一个也带正电的重力不计的小电荷静止于O点，如图3所示，则( )
A．使小电荷向右偏离一点，释放后将向左先加速后减速直至停到某一位置
B．使小电荷向左偏离一点，释放后将做以O点为中心的往复运动
C．使小电荷向上方偏离一点，释放后将做以O点为中心的往复运动
D．使小电荷向下方偏离一点，释放后将向下做加速度先变大后变小的变加速运动
二、思想方法题组
图4
4．如图4所示，一个带负电的油滴以初速度v0从P点倾斜向上进入水平方向的匀强电场中，若油滴达到最高点时速度大小仍为v0，则油滴的最高点位置是( )
A．在P点左上方
B．在P点右上方
C．在P点正上方
D．上述情况都可能
图5
5．如图5所示，在绝缘的水平面上方存在着匀强电场，电场方向如图所示，水平面上的带电金属块在水平拉力F的作用下沿水平面移动．已知金属块在移动的过程中，外力F做功32 J，金属块克服电场力做功8.0 J，金属块克服摩擦力做功16 J，则在此过程中金属块的( )
A．动能增加8.0 J B．电势能增加24 J
C．机械能减少24 J D．机械能增加48 J
一、用运动分解法处理带电粒子的复杂运动
用运动分解法处理带电粒子的复杂运动，可以将复杂运动分解为两个相互正交的比较简单的直线运动，而这两个直线运动的规律我们是可以掌握的，并且这种研究物理问题的思想我们也是熟知的，然后再按运动合成的观点去求出有关的物理量．
【例1】 如图6甲所示，场强大小为E、方向竖直向上的匀强电场内存在一竖直平面内半径为R的圆形区域，O点为该圆形区域的圆心，A点是圆形区域的最低点，B点是最右侧的点．在A点有放射源释放出初速度大小不同、方向均垂直于场强向右的正电荷，电荷的质量为m，电荷量为q，不计重力．试求：
图6
(1)电荷在电场中运动的加速度；
(2)运动轨迹经过B点的电荷在A点时的速度；
(3)某电荷的运动轨迹和圆形区域的边缘交于P点，∠POA＝θ，请写出该电荷经过P点时动能的表达式；
(4)若在圆形区域的边缘有一接收屏CBD，C、D分别为接收屏上最边缘的两点，如图乙所示，∠COB＝∠BOD＝30°.求该屏上接收到的电荷的末动能大小的范围．
[规范思维]
二、用能量的观点处理带电体在电场及复合场中的运动
对于受变力作用的带电体的运动，必须借助于能量的观点去处理，用能量观点处理也更简捷，具体的方法通常有两种：
(1)用动能定理处理．思维顺序一般为：
①明确研究对象的物理过程；
②分析物体在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是做负功；
③弄清所研究过程的初、末两个状态的动能；
④根据动能定理列出方程求解．
(2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理．列式的方法主要有两种：
①从初、末状态的能量相等列方程；
②从某些能量的减少量等于另一些能量的增加量列方程．
图7
【例2】 (2009·福建理综·21)如图7所示，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中．一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态．一质量为m、带电荷量为q(q>0)的滑块从距离弹簧上端为x处静止释放，滑块在运动过程中电荷量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g.
(1)求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t1；
(2)若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为vm，求滑块从静止释放到速度大小为vm的过程中弹簧的弹力所做的功W.
[规范思维]
三、带电粒子在交变电场中的运动
带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化(如方波)且不计粒子重力的情形．在两个相互平行的金属板间加交变电压时，在两板中间便可获得交变电场．此类电场在同一时刻可看成是匀强的，即电场中各个位置处电场强度的大小、方向都相同，从时间上看是变化的，即电场强度的大小、方向都可随时间而变化．
(1)当粒子与电场平行射入时：粒子做直线运动，其初速度和受力决定了粒子的运动，粒子可以做周期性的运动．
(2)粒子垂直电场方向射入时：沿初速度方向为匀速直线运动，在电场力方向上的分运动具有周期性．
【例3】 如图8甲所示，A、B是两水平放置的足够长的平行金属板，组成偏转匀强电场，B板接地．A板电势φA随时间变化情况如图乙所示，C、D两平行金属板竖直放置，中间有正对两孔O1′和O2，两板间电压为U2，组成减速电场．现有一带负电粒子在t＝0时刻以一定初速度沿AB两板间的中轴线O1O1′进入，并能从O1′沿O1′O2进入C、D间，刚好到达O2孔，已知带电粒子带电荷量为－q，质量为m，不计其重力．求：
图8
(1)该粒子进入A、B的初速度v0的大小．
(2)A、B两板间距的最小值和A、B两板长度的最小值．
[规范思维]
姓名：________ 班级：________ 学号：________
【基础演练】
1．在地面附近，存在着一有界电场，边界MN将某空间分成上下两个区域Ⅰ、Ⅱ，在区域Ⅱ中有竖直向上的匀强电场，在区域Ⅰ中离边界某一高度由静止释放一质量为m的带电小球A，如图9甲所示，小球运动的v－t图象如图乙所示，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则( )
图9
A．在t＝2.5 s时，小球经过边界MN
B．小球受到的重力与电场力之比为3∶5
C．在小球向下运动的整个过程中，重力做的功与电场力做的功大小相等
D．在小球运动的整个过程中，小球的机械能与电势能总和先变大再变小
2．(2011·安徽·20)如图10(a)所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图(b)所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处．若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上．则t0可能属于的时间段是( )
(a) (b)
图10
A．0C.图11
3．(2010·东北三校第一次联考)如图11所示，水平放置的平行金属板A、B连接一电压恒定的电源，两个电荷M和N同时分别从极板A的左边缘和两极板右侧的正中间沿水平方向进入板间电场(运动轨迹在同一平面内)，两个电荷恰好在板间某点相遇．若不考虑电荷的重力和它们之间的相互作用，则下列说法中正确的是( )
A．电荷M的比荷大于电荷N的比荷
B．两个电荷在电场中运动的加速度可能相等
C．从两个电荷进入电场到两个电荷相遇，电场力对电荷M做的功一定大于电场力对电荷N做的功
D．电荷M进入电场的初速度大小与电荷N进入电场的初速度大小一定相同
4.
图12
如图12所示，真空中存在范围足够大的匀强电场，A、B为该匀强电场的两个等势面．现有三个完全相同的带等量正电荷的小球a、b、c，从等势面A上的某点同时以相同速率v0向不同方向开始运动，其中a的初速度方向垂直指向等势面B；b的初速度方向平行于等势面；c的初速度方向与a相反，经过一段时间，三个小球先后通过等势面B，已知三个小球始终在该匀强电场中运动，不计重力，则下列判断中正确的是( )
A．等势面A的电势低于等势面B的电势
B．a、c两小球通过等势面B时的速度相同
C．开始运动后的任一时刻，a、b两小球的动能总是相同
D．开始运动后的任一时刻，三个小球之间的距离总是相等
图13
5．(2010·江苏苏、锡、常、镇四市一模)如图13所示，在光滑绝缘水平面上的a、b两点上固定两个带同种电荷的相同金属小球P、Q(均可视为点电荷)，P球所带的电荷量等于Q球所带的电荷量．在ab连线上的c点释放一带电小滑块M，滑块由静止开始向右运动．在滑块向右运动的过程中，下列说法正确的是( )
A．滑块受到的电场力先减小后增大
B．滑块的电势能一直减小
C．滑块的动能先增大后减小
D．在ab连线上必定有一点d，使得c、d两点间的电势差Ucd＝0
图14
6．(2011·湖南十二所重点高中联考)一个质量为m、电荷量为＋q的小球以初速度v0水平抛出，在小球经过的竖直平面内、存在着若干个如图14所示的无电场区和有理想上下边界的匀强电场区，两区域相互间隔、竖直高度相等，电场区水平方向无限长，已知每一电场区的场强大小相等、方向均竖直向上，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．小球在水平方向一直做匀速直线运动
B．若场强大小等于，则小球经过每一电场区的时间均相同
C．若场强大小等于，则小球经过每一无电场区的时间均相同
D．无论场强大小如何，小球通过所有无电场区的时间均相同
题号 1 2 3 4 5 6
答案
【能力提升】
图15
7．(2010·江苏南通一模)如图15所示，BCDG是光滑绝缘的圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中．现有一质量为m、带正电的小滑块(可视为质点)置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为mg，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g.
(1)若滑块从水平轨道上距离B点x＝3R的A点由静止释放，滑块到达与圆心O等高的C点时速度为多大？
(2)在(1)的情况下，求滑块到达C点时受到轨道的作用力大小．
8.
图16
(2010·烟台月考)如图16所示，一长绝缘木板靠在光滑竖直墙面上，质量为m.木板右下方有一质量为2m、电荷量为＋q的小滑块，滑块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与滑块处在场强大小为E＝4mg/q的匀强电场中，电场方向水平向左，若电动机通过一根绝缘细绳拉动滑块，使之匀加速向上移动，当滑块与木板分离时，滑块的速度大小为v，此过程中电动机对滑块做的功为W0(重力加速度为g)．
(1)求滑块向上移动的加速度大小；
(2)写出从滑块开始运动到与木板分离的过程中木板增加的机械能随时间变化的函数关系式．
9．如图17甲所示，在y＝0和y＝2 m之间有沿着x轴方向的匀强电场，MN为电场区域的上边界，在x轴方向范围足够大．电场强度随时间的变化如图乙所示，取x轴正方向为电场正方向．现有一个带负电的粒子，粒子的比荷为＝1.0×10－2 C/kg，在t＝0时刻以速度v0＝5×102 m/s从O点沿y轴正方向进入电场区域，不计粒子重力．求：
图17
(1)粒子通过电场区域的时间；
(2)粒子离开电场时的位置坐标；
(3)粒子通过电场区域后沿x方向的速度大小．
学案6 带电粒子在电场中的运动(二)
【课前双基回扣】
1．D [由qE＝m得Ek＝mv2＝qER为常数．]
2．C [因mgsin θ＝μmgcos θ，所以(mg－qE)sin θ＝μ(mg－qE)cos θ仍成立，故匀速下滑．]
3．BD [由等量同种电荷电场的分布情况可得．]
4．A [油滴从开始运动到最高点，据动能定理得WG＋WE＝mv－mv＝0，而重力做的功WG<0.所以电场力做的功WE>0，而带负电的油滴所受的电场力水平向左，所以最高点必在P点的左上方．]
5．A
思维提升
1．带电粒子在匀强电场和重力场形成的复合场中运动，其处理方法有以下几种：
①正交分解法．②等效“重力”法．③功能关系法．
2．带电粒子在交变电场中的运动，一般应根据所加交变电压的规律，画出粒子相应的速度图象，利用图象来分析粒子的运动，既直观方便，思维难度也小．
【核心考点突破】
例1 (1) (2) (3)EqR(5－3cos θ)
(4)EqR≤Ek≤EqR
解析 (1)加速度a＝.
(2)由R＝v0t，R＝at2及a＝三个式子可解得：
v0＝.
(3)由Ek＝Eq(R－Rcos θ)＋mv0′2，Rsin θ＝v0′t′，R－Rcos θ＝at′2及a＝可解得：Ek＝EqR(5－3cos θ)．
(4)由第(3)小题的结论可以看出，当θ从0°变化到180°，接收屏上电荷的动能逐渐增大，因此D点接收到的电荷的末动能最小，C点接收到的电荷的末动能最大．
EkD＝EqR(5－3cos 60°)＝EqR
EkC＝EqR(5－3cos 120°)＝EqR
所以，屏上接收到的电荷的末动能大小的范围为
EqR≤Ek≤EqR.
[规范思维] 由于带电微粒在匀强电场中所受电场力与重力都是恒力，因此其处理方法可用正交分解法．先将复杂的运动分解为两个互相正交的简单的直线运动，而这两个直线运动的规律我们可以掌握，然后再按运动合成的观点，去求出复杂运动的相关物理量．
例2 (1)
(2)mvm2－(mgsin θ＋qE)·(x＋)
解析 (1)滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，则有
qE＋mgsin θ＝ma①
x＝at②
联立①②可得t1＝ ③
(2)滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为x0，则有mgsin θ＋qE＝kx0④
从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得
(mgsin θ＋qE)·(x＋x0)＋W＝mvm2－0⑤
联立④⑤可得
W＝mvm2－(mgsin θ＋qE)·(x＋)
[规范思维] 本题是典型的力学问题，求解电场中力学问题的方法与纯力学问题完全相同．其思路是：①明确研究对象；②分析受力情况和运动过程；③选取物理规律：如果涉及求解加速度及时间选牛顿第二定律和运动学公式；如果不涉及运动细节一般选动能定理或能量守恒．
例3 (1) (2) T
解析 (1)因粒子在A、B间运动时，水平方向不受外力做匀速运动，所以进入O1′孔的速度即为进入A、B板的初速度．
在C、D间，由动能定理得qU2＝mv
即v0＝
(2)由于粒子进入A、B后，在一个周期T内，竖直方向上的速度变为初始状态．即v竖＝0，若在第一个周期内进入O1′孔，则对应两板最短长度为L＝v0T＝T，若在该时间内，粒子刚好不到A板而返回，则对应两板最小间距，设为d，所以··()2×2＝，即d＝ .
[规范思维] 对于带电粒子在交变电场中的问题，由于不同时间内场强不同，使得带电粒子所受的电场力不同，造成带电粒子的运动情况发生变化，解决这类问题，要分段进行分析，利用牛顿第二定律正确地判断粒子在每一段的运动情况，分段求解粒子的末速度、位移等．
【课时效果检测】
1．BC [由速度图象可知，带电小球在区域Ⅰ与区域Ⅱ中的加速度之比为3∶2，由牛顿第二定律可知：＝，所以小球所受的重力与电场力之比为3∶5，B正确．小球在t＝2.5 s时速度为零，此时下落到最低点，由动能定理可知，重力与电场力的总功为零，故A错误，C正确．因小球只受重力与电场力作用，所以小球的机械能与电势能总和保持不变，D错．]
2．B [3．A [由h＝at2＝··t2可知，在相同的时间内，电荷M的竖直位移大，其加速度大，比荷(电荷量和质量的比值)大，选项A正确而B错误；电荷M的竖直位移大，对应的电压也大；比荷大，但电荷量不一定大，由W＝qU可知，电场力对电荷M做的功不一定大，选项C错误；水平方向由x＝v0t可知，选项D错误．]
4．B [由题意知，三个小球受电场力方向向下，由于正电荷受力方向与场强方向相同，而沿场强方向电势越来越低，故等势面B的电势低于等势面A的电势，故A项错误；三个小球从A至B重力和电场力做的功都相同，根据动能定理知B项正确；开始运动后的任一时刻，沿电场方向，a球的位移总比b球的位移大，即电场力对a球所做的功比对b球所做的功多，a球的动能大些，C错误，D也错误．]
5．ACD [小球P、Q带同种电荷，且P球所带电荷量等于Q球所带的电荷量，则在二者连线上电场强度为零的点O位于ab中点．c点释放一带电小滑块M，由静止开始向右运动，说明P、M带同种电荷，电场力先做正功，滑过O点后电场力做负功，滑块的电势能先减小后增大，动能先增大后减小，选项C对而B错；途经O点受力为零，选项A正确；由电场线的分布情况可知，选项D正确．]
6．AC [小球在水平方向不受力，故一直做匀速直线运动，A正确；若场强大小等于，则所受电场力大小等于mg，方向向上，则在电场区做匀速直线运动，但在无电场区由于仍受重力，速度继续增加，故在电场区以不同的速度做匀速直线运动，经过的时间必不同，B、D错；若场强大小等于，则所受电场力为2mg，经过一个无电场区和一个电场区的过程中，重力做功与电场力做功的代数和为零，所以，在无电场区小球均做初速度为v0的平抛运动，故小球经过每一无电场区的时间均相同，C正确．]
7．(1) (2)mg
解析 (1)设滑块到达C点时的速度为v，由动能定理有
qE(x＋R)－μmgx－mgR＝mv2－0
而qE＝
解得v＝
(2)设滑块到达C点时受到轨道的作用力大小为F，则
F－qE＝m
解得F＝mg
8．(1) (2)ΔE＝2(4μ－1)μmg2t2
解析 (1)滑块与木板间的正压力大小为
FN＝qE＝4mg
Ff＝μFN
对滑块W0－2mgh－Ffh＝×2mv2
v2＝2ah
由以上几式解得a＝
(2)对长木板由牛顿第二定律得
Ff－mg＝ma′
摩擦力对木板做功为W＝Ffx
x＝a′t2
根据功能关系知木板增加的机械能等于摩擦力所做的功，即ΔE＝W
由以上各式解得ΔE＝2(4μ－1)μmg2t2
9．(1)4×10－3 s (2)(－2×10－5 m，2 m)
(3)4×10－3 m/s
解析 (1)因粒子初速度方向垂直匀强电场，在电场中做类平抛运动，所以粒子通过电场区域的时间t＝＝4×10－3 s.
(2)粒子在x方向先加速后减速，加速时的加速度大小为a1＝＝4 m/s2
减速时的加速度大小为a2＝＝2 m/s2
x方向上的位移大小为
x＝a1()2＋a1()2－a2()2＝2×10－5 m
因此粒子离开电场时的位置坐标为(－2×10－5 m，2 m)
(3)离开电场时粒子在x方向的速度大小为
vx＝a1－a2＝4×10－3 m/s.
易错点评
1．带电体在复合场中运动的多过程问题，一定要对不同过程进行正确的受力分析，运用不同运动形式的不同规律去处理，同时注意各过程的速度关联．
2．带电体在复合场中的圆周运动问题，仍然会涉及临界情境，此时要特别注意“等效最高点”与“几何最高点”的不同．一、概念规律题组
1．下列粒子从静止状态经过电压为U的电场加速后，速度最大的是( )
A．质子(H) B．氘核(H)
C．α粒子(He) D．钠离子(Na＋)
2．两平行金属板间为匀强电场，不同的带电粒子都以垂直于电场线的方向飞入该匀强电场(不计重力)，要使这些粒子经过匀强电场后有相同大小的偏转角，则它们应具备的条件是( )
A．有相同的动能和相同的比荷
B．有相同的动量(质量与速度的乘积)和相同的比荷
C．有相同的速度和相同的比荷
D．只要有相同的比荷就可以
3．某示波器在XX′、YY′不加偏转电压时光斑位于屏幕中心，现给其加如图1所示偏转电压，则在光屏上将会看到下列哪个图形(圆为荧光屏，虚线为光屏坐标)( )
图1
4．两平行金属板相距为d，电势差为U，电子质量为m，电荷量为e，从O点沿垂直于极板的方向射出，最远到达A点，然后返回，如图2所示，OA＝h，此电子具有的初动能是( )
图2
A. B．edUh C. D.
二、思想方法题组
图3
5．如图3所示，一电子枪发射出的电子(初速度很小，可视为零)进入加速电场加速后，垂直射入偏转电场，射出后偏转位移为y，要使偏转位移增大，下列哪些措施是可行的( )
A．增大偏转电压U
B．减小加速电压U0
C．增大极板间距离
D．将发射电子改成发射负离子
图4
6．如图4所示，有三个质量相等，分别带正电、带负电和不带电的小球，从平行板电场的中点以相同的初速度垂直于电场方向进入电场，它们分别落在A、B、C三点，可以判断( )
A．落在A点的小球带正电，落在B点的小球不带电
B．三个小球在电场中运动的时间相等
C．三个小球到达极板时的动能关系为EkA>EkB>EkC
D．三个小球在电场中运动时的加速度关系为
aA>aB>aC
一、带电粒子在电场中的直线运动
1．带电粒子在电场中的运动，综合了静电场和力学的知识，分析方法和力学的分析方法基本相同：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速、减速；直线还是曲线)，然后选用恰当的规律解题．解决这类问题的基本方法是：(1)采用运动和力的观点：牛顿第二定律和运动学知识求解．(2)用能量转化的观点：动能定理和功能关系求解．
2．对带电粒子进行受力分析时应注意的问题
(1)要掌握电场力的特点．电场力的大小和方向不仅跟场强的大小和方向有关，还跟带电粒子的电性和电荷量有关．在匀强电场中，同一带电粒子所受电场力处处是恒力；在非匀强电场中，同一带电粒子在不同位置所受电场力的大小和方向都可能不同．
(2)是否考虑重力要依据情况而定．
基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等除有说明或明确的暗示外，一般不考虑重力(但不能忽略质量)．
带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确暗示外，一般都不能忽略重力．
【例1】
图5
(2011·北京·24)静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可简化为如图5所示的折线，图中φ0和d为已知量．一个带负电的粒子在电场中以x＝0为中心、沿x轴方向做周期性运动，已知该粒子质量为m、电荷量为－q，其动能与电势能之和为－A(0(1)粒子所受电场力的大小；
(2)粒子的运动区间；
(3)粒子的运动周期．
[规范思维]
二、带电粒子在电场中的偏转
在图6中，
图6
设带电粒子质量为m，带电荷量为q，以速度v0垂直于电场线方向射入匀强偏转电场，偏转电压为U，若粒子飞离偏转电场时的偏距为y，偏转角为θ，则tan θ＝＝＝，y＝ayt2＝
带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于极板中线的中点．所以侧移距离也可表示为y＝tan θ，所以粒子好像从极板中央沿直线飞出去一样．若不同的带电粒子是从静止经同一加速电压U0加速后进入偏转电场的，则qU0＝mv，即y＝，tan θ＝＝.由以上讨论可知，粒子的偏转角和偏距与粒子的q、m无关，仅决定于加速电场和偏转电场，即不同的带电粒子从静止经过同一电场加速后进入同一偏转电场，它们在电场中的偏转角度和偏转距离总是相同的．
【例2】 如图7所示，甲图是用来使带正电的离子加速和偏转的装置．乙图为该装置中加速与偏转电场的等效模拟．以y轴为界，左侧为沿x轴正向的匀强电场，场强为E.右侧为沿y轴负方向的匀强电场．已知OA⊥AB，OA＝AB，且OB间的电势差为U0.若在x轴的C点无初速度地释放一个电荷量为q、质量为m的正离子(不计重力)，且正离子刚好通过B点．求：
图7
(1)C、O间的距离d；
(2)粒子通过B点的速度大小．
[规范思维]
三、带电粒子在电场中运动的综合问题
【例3】 (2011·洛阳模拟)如图8所示，两平行金属板A、B长L＝8 cm，两板间距离d＝8 cm，A板比B板电势高300 V．一带正电的粒子电荷量q＝10－10 C，质量m＝10－20 kg，沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度v0＝2×106 m/s，粒子飞出平行板电场后经过界面MN、PS间的无电场区域后，进入固定在O点的点电荷Q形成的电场区域，(设界面PS右边点电荷的电场分布不受界面的影响)．已知两界面MN、PS相距为12 cm，D是中心线RO与界面PS的交点，O点在中心线上，距离界面PS为9 cm，粒子穿过界面PS最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上．(静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2)
图8
(1)求粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离多远？到达PS界面时离D点多远？
(2)在图上粗略画出粒子运动的轨迹．
[规范思维]
【基础演练】
1.
图9
(海南高考)一平行板电容器中存在匀强电场，电场沿竖直方向．两个比荷(即粒子的电荷量与质量之比)不同的带正电的粒子a和b，从电容器边缘的P点(如图9所示)以相同的水平速度射入两平行板之间．测得a和b与电容器极板的撞击点到入射点之间的水平距离之比为1∶2.若不计重力，则a和b的比荷之比是 ( )
A．1∶2 B．1∶8 C．2∶1 D．4∶1
2．(2011·安徽·18)图10(a)为示波管的原理图．如果在电极YY′之间所加的电压按图(b)所示的规律变化，在电极XX′之间所加的电压按图(c)所示的规律变化，则在荧光屏上会看到的图形是( )
(a)
(b) (c)
图10
图11
3．(2011·广东·21)图11为静电除尘器除尘机理的示意图．尘埃在电场中通过某种机制带电，在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的．下列表述正确的是( )
A．到达集尘极的尘埃带正电荷
B．电场方向由集尘极指向放电极
C．带电尘埃所受电场力的方向与电场方向相同
D．同一位置带电荷量越多的尘埃所受电场力越大
4.
图12
真空中的某装置如图12所示，其中平行金属板A、B之间有加速电场，C、D之间有偏转电场，M为荧光屏．今有质子、氘核和α粒子均由A板从静止开始被加速电场加速后垂直于电场方向进入偏转电场，最后打在荧光屏上．已知质子、氘核和α粒子的质量之比为1∶2∶4，电荷量之比为1∶1∶2，则下列判断中正确的是( )
A．三种粒子从B板运动到荧光屏经历的时间相同
B．三种粒子打到荧光屏上的位置相同
C．偏转电场的电场力对三种粒子做功之比为1∶2∶2
D．偏转电场的电场力对三种粒子做功之比为1∶2∶4
5.
图13
(2010·济南质检)如图13所示，两平行金属板间有一匀强电场，板长为L，板间距离为d，在板右端L处有一竖直放置的光屏M，一带电荷量为q，质量为m的质点从两板中央射入板间，最后垂直打在M屏上，则下列结论正确的是( )
A．板间电场强度大小为mg/q
B．板间电场强度大小为2mg/q
C．质点在板间的运动时间和它从板的右端运动到光屏的时间相等
D．质点在板间的运动时间大于它从板的右端运动到光屏的时间
6.
图14
(2011·厦门月考)如图14所示，质量相同的两个带电粒子P、Q以相同的速度沿垂直于电场方向射入两平行板间的匀强电场中，P从两极板正中央射入，Q从下极板边缘处射入，它们最后打在同一点(重力不计)，则从开始射入到打到上极板的过程中( )
A．它们运动的时间tQ＞tP
B．它们运动的加速度aQ＜aP
C．它们所带的电荷量之比qP∶qQ＝1∶2
D．它们的动能增加量之比ΔEkP∶ΔEkQ＝1∶2
【能力提升】
图15
7．(2011·黄冈模拟)如图15所示，带电的粒子以一定的初速度v0沿两板的中线进入水平放置的平行金属板内，恰好沿下板的边缘飞出，已知板长为L，板间距离为d，板间电压为U，带电粒子的电荷量为q，粒子通过平行金属板的时间为t(不计粒子的重力)，则( )
A．在前时间内，电场力对粒子做的功为
B．在后时间内，电场力对粒子做的功为Uq
C．在粒子下落前和后的过程中，电场力做功之比为1∶2
D．在粒子下落前和后的过程中，电场力做功之比为2∶1
8.
图16
(2011·河南郑州联考)如图16所示，在真空中有一水平放置的不带电平行板电容器，板间距离为d，电容为C，上板B接地．现有大量质量均为m，带电荷量为q的小油滴，以相同的初速度持续不断地从两板正中间沿图中虚线所示方向射入，第一滴油滴正好落到下板A的正中央P点．如果能落到A板的油滴仅有N滴，且第N＋1滴油滴刚好能飞离电场，假设落到A板的油滴的电荷量能被板全部吸收，不考虑油滴间的相互作用，重力加速度为g，则( )
A．落到A板的油滴数N＝
B．落到A板的油滴数N＝
C．第N＋1滴油滴经过电场的整个过程中增加的动能为
D．第N＋1滴油滴经过电场的整个过程中减少的机械能为
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9.(北京高考)两个半径均为R的圆形平板电极，平行正对放置，相距为d，极板间的电势差为U，板间电场可以认为是均匀的．一个α粒子从正极板边缘以某一初速度垂直于电场方向射入两极板之间，到达负极板时恰好落在极板中心．
已知质子电荷量为e，质子和中子的质量均视为m，忽略重力和空气阻力的影响，求
(1)极板间的电场强度E；
(2)α粒子在极板间运动的加速度a；
(3)α粒子的初速度v0.
10.
图17
如图17所示，M、N为两块水平放置的平行金属板，板长为l，两板间的距离也为l，板间电压恒定．今有一带负电粒子(重力不计)以一定的初速度沿两板正中间垂直进入电场，最后打在距两平行板右端距离为l的竖直屏上．粒子的落点距O点的距离为.若大量的上述粒子(与原来的初速度一样，并忽略粒子间相互作用)从MN板间不同位置垂直进入电场．试求这些粒子落在竖直屏上的范围并在图中画出．
学案5 带电粒子在电场中的运动(一)
【课前双基回扣】
1．A [据qU＝mv2可得v＝，对四种粒子分析，质子的最大，故选项A正确．]
2．C [由偏转角tan θ＝qlU/mvd可知在确定的偏转电场中l，d确定，则偏转角与q/m和v0有关．]
3．D [加图示偏转电压后，光斑将在x轴方向向一侧匀速运动，然后回到O点重复这一运动；y轴方向，偏转电压恒定，所以光斑在y轴方向位移恒定．D正确．]
4．D
5．AB [电子在加速电场中加速时：U0e＝mv2而进入偏转电场时，它的偏转位移(在竖直方向上的位移)
y＝at2＝··＝.由上式可知：偏转电压U增大，y增大；加速电压U0减小，y增大；d减小，y增大，而y与q、m无关．]
6．A [从图中落点可知，C到达下极板时间最短，A到达下极板时间最长，即tCaB>aA，根据牛顿第二定律，F合C>F合B>F合A；结合题中三者带电性质，可知，C带负电，B不带电，A带正电，三电荷运动至下极板过程中，根据动能定理得WC>WB>WA，故ΔEkC>ΔEkB>ΔEkA，而初动能相同，所以到达下极板时，EkC>EkB>EkA.综上，A正确，B、C、D错．]
思维提升
1．用运动学公式和牛顿定律处理带电粒子在电场中的直线运动时，只适用于匀强电场；而动能定理可适用于匀强电场，也可用于非匀强电场，因而一般用公式qU＝mv2分析带电粒子在电场中的加速问题．
2．据W＝qU知，电场力对带电粒子做的功，只与初、末位置间的电势差有关，而与电场强度、两点间的距离无关．
3．带电粒子在电场中运动时，是否考虑重力应具体分析．一般情况下，微观粒子(电子、质子)不计重力，宏观颗粒(油滴、小球)应考虑重力．
4．带电粒子在电场中的偏转是类平抛运动，平抛运动的规律在这里仍然适用，特别是两个推论应熟记．
【核心考点突破】
例1 (1) (2)－d≤x≤d
(3)
解析 (1)由题图可知，0与d(或－d)两点间的电势差为φ0，
电场强度的大小E＝，
粒子所受电场力的大小F＝qE＝.
(2)设粒子在[－x0，x0]区间内运动，速率为v，由题意得
mv2－qφ＝－A①
由题图可知φ＝φ0②
由①②得mv2＝qφ0－A③
因动能非负，有qφ0－A≥0，
得|x|≤d，
0故x0＝d④
粒子的运动区间满足－d≤x≤d.
(3)考虑粒子从－x0处开始运动的四分之一周期，
根据牛顿第二定律，粒子的加速度
a＝＝＝⑤
由匀加速直线运动规律得t＝.
将④⑤代入，得t＝.
粒子的运动周期T＝4t＝.
[规范思维] 带电物体在匀强电场中受恒定的电场力，做匀变速直线运动，可用牛顿定律和运动学公式求解，若是非匀强电场，加速度不恒定，只能用动能定理或功能关系分析求解．
例2 (1) (2)
解析 (1)设正离子到达O点的速度为v0(其方向沿x轴的正方向)
则正离子由C点到O点由动能定理得：
qEd＝mv－0①
而正离子从O点到B点做类平抛运动，则：
＝·t2②
＝v0t③
而＝④
由①②③④得d＝.
(2)设正离子到B点时速度的大小为vB，正离子从C到B过程中由动能定理得：qEd＋qU0＝mv－0
解得vB＝.
[规范思维] 偏转问题的分析处理方法
(1)类似于平抛运动的分析处理，应用运动的合成和分解的知识．
(2)从力学的观点和能量的观点着手．按力学问题的分析方法加以分析，分析带电粒子在运动过程中其他形式的能和动能之间的转化过程时，可应用动能定理，也可以用能量守恒定律．
例3 (1)3 cm 12 cm (2)轨迹图见解析
解析 (1)粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离(侧向位移)
y＝at2＝()2
＝×()2 m
＝0.03 m＝3 cm
带电粒子在离开电场后将做匀速直线运动，其轨迹与PS线交于E，设E到中心线的距离为Y.
则Y＝vy＋y
＝×× m＋0.03 m
＝0.12 m＝12 cm
(2)第一段是抛物线，第二段是直线，第三段是曲线，轨迹如图所示．
[规范思维] 解答此类问题应从以下两方面入手．
(1)对复杂过程要善于分阶段分析，联系力学中的物理模型，从受力情况、运动情况、能量转化等角度去研究．
(2)经常把电场与牛顿定律、动能定理、功能关系、运动学知识、电路知识等综合起来，把力学中处理问题的方法迁移到电场中去．
【课时效果检测】
1．D 2.B 3.BD 4.B 5.BC
6．C [设P、Q两粒子的初速度是v0，加速度分别是aP和aQ，粒子P到上极板的距离是h/2，它们做类平抛运动的水平距离为l.则对P，由l＝v0tP，＝apt，得到aP＝，同理对Q，l＝v0tQ，h＝aQt，得到aQ＝.可见tP＝tQ，aQ＝2aP而aP＝，aQ＝，可见，qP∶qQ＝1∶2.由动能定理知，它们的动能增加量之比ΔEkP∶ΔEkQ＝maP∶maQh＝1∶4.综上，选C.]
7．B [电场力做总功W＝Uq，前、后时间内偏转位移之比为1∶3，则做功之比为1∶3，所以后t/2时间内对粒子做功Uq；粒子下落前、后d/4的过程中电场力做功之比为1∶1.C、D错误．]
8．ACD [第一滴油滴在电容器中运动时，只受重力作用．设板长为l，板间距为d，由平抛运动的知识有v0＝.当第N＋1滴油滴恰好离开电容器时，必定是沿下极板的边缘飞出，油滴的加速度为a＝g－，由类平抛运动知＝(g－)t2，又t＝，而E＝＝，可以求得N＝，A正确．因为电场力做了负功，电势能增加了，而电场力做功为W＝－.由动能定理有Ek＝W＝mgd－mgd＝.]
9．(1)E＝ (2)a＝ (3)v0＝
解析 (1)极板间场强E＝.①
(2)α粒子电荷量为2e，质量为4m，所受电场力
F＝2eE＝，②
α粒子在极板间运动的加速度a＝＝③
(3)由d＝at2，得
t＝＝2d④
v0＝＝ .⑤
10．见解析
解析 设粒子质量为m，带电荷量为q，初速度为v0，则有v0t＝l，y＝at2，tan θ＝＝，y＋ltan θ＝，
所以a·＋l·＝，3al＝v.
由题意可分析出大量粒子垂直射入偏转电场后情况，如上图甲、乙所示．能飞出平行板的粒子范围是l－y.其中y＝a·＝··＝l，粒子落在竖直屏上的范围是从O点到O点以上l处之间的水平带状区域．
易错点评
1．示波管中，粒子的水平偏转与竖直偏转互不影响、各自独立．又因运动的是电子，所以总向电势高的极板一侧偏转．
2．带电粒子在电场中的偏转问题常与电容器相结合，因而应熟记电容器的几个关系，特别是E＝应用较多．
3．不要把类平抛运动理解为必须是水平方向的匀速和竖直方向的匀加速，而要看所受恒力的方向，一般是把运动分解为垂直于恒力方向的匀速直线运动和沿恒力方向初速为0的匀加速直线运动．一、概念规律题组
1．有关电场强度的理解，下述说法正确的是( )
A．由E＝可知，电场强度E跟放入的电荷q所受的电场力成正比
B．当电场中存在试探电荷时，电荷周围才出现电场这种特殊的物质，才存在电场强度
C．由E＝可知，在离点电荷很近，r接近于零，电场强度达无穷大
D．电场强度是反映电场本身特性的物理量，与是否存在试探电荷无关
2．关于电场，下列叙述正确的是( )
A．在以点电荷为圆心，r为半径的球面上，各点的场强都相同
B．正电荷周围的电场强度一定比负电荷周围的电场强度大
C．在电场中某点放入试探电荷q，该点的场强为E＝F/q，取走q后，该点场强不为零
D．电荷所受电场力越大，该点电场强度一定越大
3．关于电场线，下述说法中正确的是( )
A．电场线是客观存在的
B．电场线与电荷运动的轨迹是一致的
C．电场线上某点的切线方向与电荷在该点受力方向可以不同
D．沿电场线方向，场强一定越来越大
4．如图1所示，MN是电场中的一条电场线，一电子从a点运动到b点速度在不断地增大，则下列结论正确的是( )
图1
A．该电场是匀强电场
B．该电场线的方向由N指向M
C．电子在a处的加速度小于在b处的加速度
D．因为电子从a到b的轨迹跟MN重合，所以电场线实际上就是带电粒子在电场中的运动轨迹
二、思想方法题组
5．在x轴上有两个点电荷，一个带正电荷Q1，一个带负电荷Q2，且Q1＝2Q2，用E1和E2分别表示两个电荷所产生的场强的大小，则在x轴上( )
A．E1＝E2的点有一处，该处合场强为零
B．E1＝E2的点有两处，其中一处合场强为零，另一处合场强为2E2
C．E1＝E2的点有三处，其中两处合场强为零，另一处合场强为2E2
D．E1＝E2的点有三处，其中一处合场强为零，另两处合场强为2E1
图2
6．如图2所示，图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，若带电粒子在运动过程中只受电场力作用，根据此图可做出的正确判断是( )
A．带电粒子所带电荷的正、负
B．带电粒子在a、b两点的受力方向
C．带电粒子在a、b两点的加速度何处较大
D．带电粒子在a、b两点的速度何处较大
一、场强的三个表达式的比较及场强的叠加
1．场强的三个表达式的比较
定义式 决定式 关系式
表达式 E＝F/q E＝kQ/r2 E＝U/d
适用范围 任何电场 真空中的点电荷 匀强电场
说明 E的大小及方向与检验电荷的电荷量及存在与否无关． Q：场源电荷的电荷量．r：研究点到场源电荷的距离，用于均匀带电球体(或球壳)时，r是球心到研究点的距离，Q是整个球体的带电荷量． U：电场中两点的电势差．d：两点沿电场方向的距离.
2.电场的叠加原理
多个电荷在电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，这种关系叫电场强度的叠加，电场强度的叠加遵循平行四边形定则．
【例1】 (2011·深圳模拟)如图3甲所示，在一个点电荷Q形成的电场中，Ox坐标轴与它的一条电场线重合，坐标轴上A、B两点的坐标分别为2.0 m和5.0 m．放在A、B两点的试探电荷受到的电场力方向都跟x轴的正方向相同，电场力的大小跟试探电荷所带电荷量的关系图象如图乙中直线a、b所示，放在A点的电荷带正电，放在B点的电荷带负电．求：
图3
(1)B点的电场强度的大小和方向；
(2)试判断点电荷Q的电性，并说明理由；
(3)点电荷Q的位置坐标．
图4
【例2】 (2011·重庆·19)如题图4所示，电量为＋q和－q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有( )
A．体中心、各面中心和各边中点
B．体中心和各边中点
C．各面中心和各边中点
D．体中心和各面中心
[规范思维]
二、对电场线的进一步认识
1．点电荷的电场线的分布特点(如图5所示)
(1)离点电荷越近，电场线越密集，场强越强．
(2)若以点电荷为球心作一个球面，电场线处处与球面垂直，在此球面上场强大小处处相等，方向各不相同．
图5
图6
2．等量异种点电荷形成的电场中电场线的分布特点(如图6所示)
(1)两点电荷连线上各点，电场线方向从正电荷指向负电荷．
(2)两点电荷连线的中垂面(线)上，场强方向均相同，且总与中垂面(线)垂直．在中垂面(线)上到O点等距离处各点的场强相等(O为两点电荷连线的中点)．
(3)关于O点对称的两点A与A′，B与B′的场强等大、同向．
图7
3．等量同种点电荷形成的电场中电场线的分布特点(如图7所示)
(1)两点电荷连线中点O处场强为零．
(2)中点O附近的电场线非常稀疏，但场强并不为零．
(3)在中垂面(线)上从O点到无穷远，电场线先变密后变疏，即场强先变大后变小．
(4)两点电荷连线中垂线上各点的场强方向和该直线平行．
(5)关于O点对称的两点A与A′，B与B′的场强等大、反向．
4．匀强电场中电场线分布特点(如图8所示)
图8
电场线是平行、等间距的直线，场强方向与电场线平行．
【例3】 (2010·广东理综·21)
图9
图9是某一点电荷的电场线分布图，下列表述正确的是( )
A．a点的电势高于b点的电势
B．该点电荷带负电
C．a点和b点电场强度的方向相同
D．a点的电场强度大于b点的电场强度
[规范思维]
图10
【例4】 (2011·烟台模拟)如图10所示，M、N为两个固定的等量同种正电荷，在其连线的中垂线上的P点放一个静止的负电荷(重力不计)，下列说法中正确的是( )
A．从P到O，可能加速度越来越小，速度越来越大
B．从P到O，可能加速度先变大，再变小，速度越来越大
C．越过O点后，加速度一直变大，速度一直变小
D．越过O点后，加速度一直变小，速度一直变小
[规范思维]
三、电场中的力学问题
【例5】
图11
(2011·福建·20)反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似．如图11所示，在虚线MN两侧分别存在着方向相反的两个匀强电场，一带电微粒从A点由静止开始，在电场力作用下沿直线在A、B两点间往返运
动．已知电场强度的大小分别是E1＝2.0×103 N/C和E2＝4.0×103 N/C，方向如图所示，带电微粒质量m＝1.0×10－20 kg，带电荷量q＝－1.0×10－9 C，A点距虚线MN的距离d1＝1.0 cm，不计带电微粒的重力，忽略相对论效应．求：
(1)B点距虚线MN的距离d2；
(2)带电微粒从A点运动到B点所经历的时间t.
[规范思维]
【基础演练】
1．(2011·南京模拟考试)在如图12所示的四种电场中，分别标记有a、b两点．其中a、b两点的电势相等，电场强度相同的是( )
图12
A．甲图中与点电荷等距的a、b两点
B．乙图中两等量异种电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
C．丙图中两等量同种电荷连线的中垂线上与连线等距的a、b两点
D．丁图中匀强电场中的a、b两点
2．(2011·新课标·20)一带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线abc从a运动到c，已知质点的速率是递减的．关于b点电场强度E的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b点的切线)( )
图13
3．一负电荷从电场中A点由静止释放，只受电场力作用，沿电场线运动到B点，它运动的速度—时间图象如图13所示．则A、B两点所在区域的电场线分布情况可能是下图中的( )
4．如图14所示，有一带电物体处在一个斜向上的匀强电场E中，由静止开始沿天花板向左做匀速直线运动，下列说法正确的是( )
图14
A．物体一定带正电
B．物体一定带负电
C．物体不一定受弹力的作用
D．物体一定受弹力的作用
图15
5．如图15所示，一电子沿等量异种电荷的中垂线由A→O→B匀速飞过，电子重力不计，则电子所受另一个力的大小和方向变化情况是( )
A．先变大后变小，方向水平向左
B．先变大后变小，方向水平向右
C．先变小后变大，方向水平向左
D．先变小后变大，方向水平向右
图16
6．(2010·广东汕尾期末)如图16所示，真空中O点有一点电荷，在它产生的电场中有a、b两点，a点的场强大小为Ea，方向与ab连线成60°角，b点的场强大小为Eb，方向与ab连线成30°，关于a、b两点场强Ea、Eb及电势φa、φb的关系，正确的是( )
A．Ea＝3Eb，φa>φb B．Ea＝3Eb，φa<φb
C．Ea＝，φa<φb D．Ea＝Eb，φa<φb
【能力提升】
图17
7．(2010·上海模拟)如图17所示，在光滑绝缘水平面上有两个分别带异种电荷的小球A和B，它们均在水平向右的匀强电场中向右做匀加速运动，且始终保持相对静止．设小球A的电荷量为QA，小球B的电荷量为QB，则下列判断正确的是( )
A．小球A带正电，小球B带负电，且QA＞QB
B．小球A带正电，小球B带负电，且QA＜QB
C．小球A带负电，小球B带正电，且QA＞QB
D．小球A带负电，小球B带正电，且QA＜QB
图18
8．(2010·浙江金华模拟)如图18所示，一质量为m、带电荷量为q的物体处于场强按E＝E0－kt(E0、k均为大于零的常数，取水平向左为正方向)变化的电场中，物体与竖直墙壁间动摩擦因数为μ，当t＝0时刻物体处于静止状态．若物体所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且电场空间和墙面均足够大，下列说法正确的是( )
A．物体开始运动后加速度先增加、后减小
B．物体开始运动后加速度不断增大
C．经过时间t＝，物体在竖直墙壁上的位移达最大值
D．经过时间t＝，物体运动速度达最大值
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
图19
9．如图19所示，一带电荷量为q＝－5×10－3 C，质量为m＝0.1 kg的小物块处于一倾角为θ＝37°的光滑绝缘斜面上，当整个装置处于一水平向左的匀强电场中时，小物块恰处于静止状态．(g取10 m/s2)求：
(1)电场强度多大？
(2)若从某时刻开始，电场强度减小为原来的，物块下滑距离L＝1.5 m时的速度大小？
图20
10．如图20所示，倾角为θ的斜面AB是粗糙且绝缘的，AB长为L，C为AB的中点，在A、C之间加一方向垂直斜面向上的匀强电场，与斜面垂直的虚线CD为电场的边界．现有一质量为m、电荷量为q的带正电的小物块(可视为质点)，从B点开始在B、C间以速度v0沿斜面向下做匀速运动，经过C后沿斜面匀加速下滑，到达斜面底端A时的速度大小为v.试求：
(1)小物块与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)匀强电场场强E的大小．
学案2 电场强度和电场线
【课前双基回扣】
1．D 2.C
3．C [电场线不是客观存在的，是为了形象描述电场而假想的线，A选项是错的．B选项也是错的，由静止开始运动的电荷所受电场力方向应是该点切线方向，下一时刻位置应沿切线方向上，可能在电场线上，也可能不在电场线上，轨迹可能与电场线不一致．何况电荷可以有初速度，运动轨迹与初速度大小方向有关，可能的轨迹很多，而电场线是一定的．正电荷在电场中所受的电场力方向与该点的切线方向相同，而负电荷所受的电场力方向与该点的切线方向相反，选项C是正确的．场强大小与场强的方向无关，与电场线方向无关，D选项是错的．]
4．B [由于电场线的分布情况不确定，所以不能比较场强的大小．又由于电子从a到b速度增大，故电子所受电场力方向由a→b，因此，场强方向由b→a，答案为B.]
5．B [画出电荷及场强的示意图如图所示．
在两个电荷之间可找到一点使E1＝E2且方向相同．合场强等于2E2，在两点电荷连线延长线靠近小电荷量电荷的一侧(图中Q2右侧)，可找到一点使E1＝E2，但方向相反，所以合场强为零；在连线延长线Q1左侧．E1与E2方向相反，但大小不可能相等．故只有选项B正确．]
6．BCD [由电场线的疏密可知，a点的场强大，带电粒子在a点的加速度大，故C正确；画出初速度方向结合运动轨迹的偏转方向，可判断带电粒子所受电场力的方向，但由于电场的方向未知，所以不能判断带电粒子的电性，故A错，B对；利用初速度的方向和电场力方向的关系，可判断带电粒子由a到b做负功，动能减小，因此va>vb，选项D正确．]
思维提升
1．电场强度是电场这种物质的本身属性，由电场本身决定，与检验电荷的存在与否无关．
2．电场强度三个公式的不同：
(1)E＝是定义式，适用任何电场．
(2)E＝k是决定式，只适用点电荷形成的电场．
(3)E＝是关系式，只适用匀强电场．
3．电场强度是矢量，其运算遵循平行四边形定则．
4．电场线是描述电场的一种物理方法，是假想的线，不是客观存在的．
【核心考点突破】
例1 (1)2.5 N/C 方向沿x轴负方向 (2)负电荷，理由见解析 (3)2.6 m
解析 (1)由图可知，两直线的斜率分别表示A、B两点的场强，即B点的电场强度大小是EB＝＝ N/C＝2.5 N/C，因放入B点的是负电荷，电场力方向与规定的x轴的正方向相同，而负电荷受电场力方向与电场强度方向相反，故B点场强方向应指向x轴负方向．
(2)由第(1)问的分析可知，A点的电场强度大小是EA＝ N/C＝40 N/C，方向指向x轴正方向．故点电荷Q应位于A、B两点之间，且是负电荷．
(3)设点电荷Q的坐标为x，由点电荷的电场强度E＝k表达式和数学关系可知：两点场强关系满足＝＝，解得x＝2.6 m(x＝1 m舍去)．
例2 D [利用点电荷产生场强的公式E＝k和场强叠加原理，对某边中点处的场强进行分析求合场强可知其大小并不是零，排除选项A、B、C，选项D正确．]
[规范思维] 电场的叠加要根据电荷的正、负，先判断场强的方向，然后利用矢量合成法则，结合对称性分析叠加结果．
例3 BD [沿电场线方向电势降低，故A选项错误；由图中电场线分布知，此场为一负点电荷的电场线分布图，B项正确；电场线密集处场强大，C项错误、D项正确．]
[规范思维] 根据电场线可以直观反映的信息：电场线的疏密(场强大小)、方向(场强方向)及电势高低(沿电场线方向电势逐渐降低)．
例4 AB [要判断P→O的过程中，加速度的变化情况，关键是判断等量同种电荷连线中垂线上的场强变化情况．画出等量同种点电荷周围的电场线分布如图所示．
根据图可以定性看出，中垂线上的场强并非单调变化，而是有一个电场线分布密集区域，即场强应该存在最大值．即从O点沿中垂线场强先增大后减小．
点电荷从P→O的过程中，电场力可能是先变大后变小，加速度随之先变大后变小；也可能电场力一直变小，加速度一直变小，关键是P点位置的不确定性．不过，在到达O点之前，电场力一直表现为引力，速度一定是一直变大的，在O点时加速度为零，速度最大．该电场关于直线MN对称，点电荷越过O点后的运动也不一定是单调变化的．综上所述，本题正确选项是A、B.]
[规范思维] 等量同种或异种点电荷周围的电场是高考考查的热点，解题时要充分利用电场线这个形象化的工具，并重点掌握：
(1)等量同种电荷连线中垂线上，从O点向外场强先变大后减小．
(2)等量异种电荷连线中垂线上，从O点向外场强逐渐变小．
例5 (1)0.5 cm (2)1.5×10－8 s
解析 (1)带电微粒由A运动到B的过程中，由动能定理有
|q|E1d1－|q|E2d2＝0①
由①式解得d2＝d1＝0.5 cm②
(2)设微粒在虚线MN两侧的加速度大小分别为a1、a2，由牛顿第二定律有|q|E1＝ma1③
|q|E2＝ma2④
设微粒在虚线MN两侧运动的时间分别为t1、t2，由运动学公式有d1＝a1t⑤
d2＝a2t⑥
又t＝t1＋t2⑦
由②③④⑤⑥⑦式解得t＝1.5×10－8 s
[规范思维] 解决电场强度与力学知识的综合问题的一般思路
(1)明确研究对象．(多为一个带电体，也可取几个带电体组成的系统)
(2)分析研究对象所受的全部外力，包括电场力．
(3)由平衡条件或牛顿第二定律列方程求解即可，对于涉及能量的问题，一般用动能定理或能量守恒列方程求解．
【课时效果检测】
1．B 2.D
3．C [由速度—时间图象可知，电荷的速度越来越大，且加速度也是越来越大，故电荷在运动过程中，应受到逐渐增大的吸引力作用，所以电场线的方向应由B指向A.由于加速度越来越大，所以电场力越来越大，即B点的电场强度应大于A点的电场强度，即B点处电场线应比A点处密集，所以正确答案为C.]
4．AD [物体由静止向左运动，所以物体带正电，物体做匀速直线运动，即合力为零，所以一定受摩擦力和弹力作用，所以选A、D.]
5．B [等量异种电荷电场分布如右图所示，由图(a)中电场线的分布可以看出，从A到O，电场线由疏到密；从O到B，电场线由密到疏，所以从A→O→B，电场强度应由小变大，再由大变小，而电场强度方向沿电场线切线方向，为水平向右，如图(b)所示．由于电子处于平衡状态，所受合外力必为零，故另一个力应与电子所受电场力大小相等、方向相反．电子受的电场力与场强方向相反，即水平向左，电子从A→O→B过程中，电场力由小变大，再由大变小，故另一个力方向应水平向右，其大小应先变大后变小，所以选项B正确．]
6．B [点电荷形成的电场，由场强的方向可知，该点电荷为负点电荷，沿电场线方向电势降低，故φa<φb；设Oa的距离为r，则Ob等于r，由E＝k可得，Ea＝3Eb，故选项B正确．]
7．A [如果小球A带正电，小球B带负电，两球相距L，由牛顿第二定律得：对小球B：k－QBE＝mBaB，
对小球A：QAE－k＝mAaA
而aA＝aB，所以必有QA＞QB，A正确，B错误；如果小球A带负电，小球B带正电，则A所受合外力水平向左，加速度向左，不符合题意，故C、D均错．]
8．BC [物体开始运动后，电场力不断减小，则弹力、摩擦力不断减小，所以加速度不断增加；电场力减小到零后反向增大，电场力与重力的合力一直增大，加速度也不断增大，速度也会一直增大，B正确，A、D错误；经过时间t＝后，物体将脱离竖直墙面，所以经过时间t＝，物体在竖直墙壁上的位移达最大值，C正确．]
9．(1)150 N/C (2)3 m/s
解析 (1)小物块受力如图，由受力平衡得：qE－FNsin θ＝0①
mg－FNcos θ＝0②
由①②得E＝
代入数据得E＝150 N/C.
(2)由牛顿第二定律得：
mgsin θ－cos θ＝ma③
v2＝2aL④
由③④得v＝
代入数据得速度大小为：v＝3 m/s.
10．(1)tan θ (2).
解析 (1)小物块在BC上匀速运动，由受力平衡得FN＝mgcos θ，Ff＝mgsin θ，而Ff＝μFN，由以上几式解得μ＝tan θ.
(2)小物块在CA上做匀加速直线运动，受力情况如图所示，则
FN′＝mgcos θ－qE，Ff′＝μFN′
根据牛顿第二定律得
mgsin θ－Ff′＝ma，v2－v＝2a·
由以上几式解得E＝.
易错点评
1．电场强度的方向与正电荷在电场中受力方向相同，不能说成与电荷在电场中受力方向相同，因负电荷受力方向与场强方向相反．
2．电场力的大小由电荷量的大小和场强的大小共同决定，与其它因素(如运动状态、质量)无关．
3．要熟记等量同种电荷和等量异种电荷连线上和连线的中垂线上电场强度的变化规律．