一、概念规律题组
1．在以下的哪些情况中可将所研究的物体看成质点( )
A．研究某学生骑车由学校回家的速度
B．对这位学生骑车姿势进行生理学分析
C．研究火星探测器从地球到火星的飞行轨迹
D．研究火星探测器降落火星后如何探测火星的表面
答案 AC
解析 质点是指有质量而不考虑大小和形状的物体．它是我们为了研究问题方便而引入的一种理想化模型，A、C情景中物体的大小和形状能忽略，因而可看成质点；B、D情景中所研究的问题都涉及物体的不同部分，此时的物体就不能再看成质点，否则问题将无法研究．
2．两辆汽车在平直公路上行驶，甲车内的人看见窗外树木向东移动，乙车内的人发现甲车没有运动．如果以大地为参考系，上述事实说明( )
A．甲车向西运动，乙车不动
B．乙车向西运动，甲车不动
C．甲车向西运动，乙车向东运动
D．甲、乙两车以相同的速度都向西运动
答案 D
3．某人站在楼房顶层从O点竖直向上抛出一个小球，上升的最大高度为20 m，然后落回到抛出点O下方25 m的B点，则小球在这一运动过程中通过的路程和位移分别为(规定竖直向上为正方向)( )
A．25 m、25 m B．65 m、25 m
C．25 m、－25 m D．65 m、－25 m
答案 D
解析 注意位移正、负号的意义：正号时位移方向与规定的正方向相同，负号时位移方向与规定的正方向相反．
4．下列关于瞬时速度和平均速度的说法中正确的是( )
A．若物体在某段时间内每时刻的瞬时速度都等于零，则它在这段时间内的平均速度一定等于零
B．若物体在某段时间内的平均速度等于零，则它在这段时间内任一时刻的瞬时速度一定等于零
C．匀速直线运动中任意一段时间内的平均速度都等于它任一时刻的瞬时速度
D．变速直线运动中任意一段时间内的平均速度一定不等于它某一时刻的瞬时速度
答案 AC
解析 由于各时刻的瞬时速度都等于零，即物体静止，因此平均速度也一定等于零，故A正确；物体从某点沿一曲线运动又回到原出发点，则平均速度为零，但各个时刻的瞬时速度不为零，故B错误；匀速直线运动中速度不变(包括大小、方向)，平均速度与瞬时速度相等，故C正确；由于运动情况不确定，一段时间的平均速度可能等于某时刻的瞬时速度，故D错误．
二、思想方法题组
5．甲、乙两个物体沿同一直线向同一方向运动时，取物体的初速度方向为正，甲的加速度恒为2 m/s2，乙的加速度恒为－3 m/s2，则下列说法中正确的是( )
A．两物体都做加速直线运动，乙的速度变化快
B．甲做加速直线运动，它的速度变化快
C．乙做减速直线运动，它的速度变化率大
D．甲的加速度比乙的加速度大
答案 C
解析 因为两物体的运动方向相同，即速度方向相同，加速度一正一负，说明加速度方向相反，两者只有一个是做加速运动，所以A错；加速度的负号说明加速度的方向与所取的正方向相反，比较加速度的大小时，应比较加速度的绝对值．乙的加速度的绝对值大，所以它的速度变化快，B、D错；所以本题应选C.
二、思想方法题组
6．如图1所示是一辆汽车做直线运动的x－t图象，对相应的线段所表示的运动，下列说法正确的是( )
图1
A．AB段表示静止
B．BC段发生的位移大于CD段发生的位移
C．CD段运动方向和BC段运动方向相反
D．CD段运动速度大小大于BC段运动速度大小
答案 ACD
解析 分析题图可知：AB段表示汽车静止；BC段表示汽车向正方向做匀速直线运动，发生的位移为8 m，vBC＝＝ m/s＝4 m/s；CD段表示汽车反方向做匀速直线运动，发生的位移为－12 m，vCD＝＝ m/s＝－6 m/s，负号表示运动方向与正方向相反．
7．做直线运动的物体，其v－t图象如图2所示，试根据v－t图象判断：
图2
(1)第1秒内，物体的加速度为多大？
(2)第2秒和第4秒内的加速度是否相同？
(3)在第4秒内，物体做什么运动？
答案 (1)4 m/s2 (2)加速度相同 (3)物体做沿负方向的加速度为负且不变的加速直线运动
解析 (1)物体在第1秒内，速度从0增加到4 m/s，故加速度大小a1＝Δv/Δt＝ m/s2＝4 m/s2.
(2)第2秒和第3秒内的加速度相同，该过程中物体的加速度a2＝a3＝＝ m/s2＝－2 m/s2.
在第4秒内，物体的速度从0至－2 m/s，故该过程中加速度a4＝＝ m/s2＝－2 m/s2.
可见，第2秒和第4秒内的加速度相同．
(3)在第4秒内，物体做沿负方向的加速度为负且不变的加速直线运动．
思维提升
1．能否把一个物体看做质点，并不是由物体的形状和大小来决定的，而是由它的形状和大小对所研究问题的影响程度决定的．一般来说，如果在研究的问题中，物体的形状、大小及物体上各部分运动的差异是次要的或不起作用的因素时，物体就可看做质点．
2．(1)描述物体是否运动首先要选择一个参考系，以此为标准来衡量物体是运动还是静止的，参考系一旦确定，对物体运动描述也唯一确定．
(2)参考系的选择是任意的，但应以观测方便和使运动的描述简单为原则．研究地面上物体的运动时，常选地面为参考系．
3．位移是由初始位置指向末位置的有向线段，是矢量；路程是物体运动的轨迹的长度，是标量，位移的方向常常用正、负号表示．
4．(1)位移和发生这段位移所用时间的比值称为这段时间内的平均速度．
(2)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，瞬时速度与位置、时刻对应；平均速度与位移、时间间隔对应．
5．在x－t图象中，图线反映了质点的位移随时间的变化规律．在t轴上方的位移为正，表示位移方向与规定的正方向相同；t轴下方位移为负，表示位移方向与规定的正方向相反；斜率表示速度，斜率为正表示物体沿正方向运动，斜率为负表示物体沿负方向运动．
6．根据题意把抽象复杂的物理过程表示成物理图象，将物理量之间的代数关系转变为几何关系，运用图象直观、简明的特点来分析解决物理问题，能达到化难为易的目的.
一、质点的概念
1．质点是一个理想化的物理模型；是对实际物体科学的抽象；是研究物体运动时抓住主要因素，忽略次要因素，对实际物体进行的近似．
2．物体能否看成质点是由问题的性质决定的，同一物体在有些问题中能看做质点，而在另一些问题中又不能看做质点．如研究火车过桥的时间时就不能把火车看做质点，但研究火车从北京到上海所用的时间时就可把火车看做质点．
3．物体可看做质点的条件是：
(1)平动的物体通常可视为质点，如水平传送带上的物体随传送带的运动．
(2)物体的大小和形状对所研究的问题没有影响或影响很小．
【例1】 (2009·广东理科基础·2)做下列运动的物体，能当做质点处理的是( )
A．自转中的地球
B．旋转中的风力发电机叶片
C．在冰面上旋转的花样滑冰运动员
D．匀速直线运动的火车
答案 D
解析 A、B、C选项中对所研究的问题，物体各部分的运动情况不一样，且大小和形状对研究问题有影响， 所以不能看做质点，D可以．
[规范思维] 判断物体是否可看做质点应注意以下两点：(1)明确题目中所要研究的问题是什么；(2)分析物体的大小和形状对所研究的问题而言能否忽略．
二、位移、平均速度和瞬时速度
1．位移是矢量，其大小等于由初位置指向末位置的有向线段的长度；路程是标量，其大小等于物体运动轨迹的长度．只有在单向直线运动中位移大小才等于路程．
2．平均速度公式＝中的“Δx”是指物体的位移，而不是路程；＝只适用于匀变速直线运动；求 时一定要注意Δx与Δt的对应关系；
3．平均速度的方向与位移方向相同；瞬时速度的方向与那一时刻物体运动方向相同．
【例2】 (2010·江苏启东中学期末)如图3所示，博尔特在男子100 m决赛和男子200 m决赛中分别以9.69 s和19.3 s的成绩破两项世界纪录，获得两枚金牌．关于他在这两次决赛中的运动情况，下列说法正确的是( )
图3
A．200 m决赛中的位移是100 m决赛的两倍
B．200 m决赛中的平均速度约为10.36 m/s
C．100 m决赛中的平均速度约为10.32 m/s
D．200 m决赛中的最大速度约为20.64 m/s
答案 C
解析 由于200 m决赛的跑道有弯曲部分，100 m决赛的跑道是直道，所以200 m决赛的位移不是100 m决赛的两倍，A错误；由＝可知，100 m决赛的平均速度＝ m/s≈10.32 m/s,200 m决赛的位移不是200 m，故平均速度≠ m/s≈10.36 m/s，故C正确，B错误；因运动员的跑动过程不是初速度为零的匀加速运动，故200 m决赛的最大速度不等于2×10.32 m/s＝20.64 m/s，故D错误．
[规范思维] 平均速度＝，而不是；只有在单向直线运动中，位移大小才等于路程，一般情况下位移大小小于路程．
[针对训练] (2010·天星原创题)“水立方”的泳池长50 m，在100米蝶泳比赛中，测得菲尔普斯在10 s末的速度为1.8 m/s、50 m时的速度为2.2 m/s、经过50.58 s到达终点时的速度为2.4 m/s，则他在全程中的平均速度为( )
A．1.98 m/s B．2.4 m/s C．2.2 m/s D．0 m/s
答案 D
解析 平均速度是表示位移变化快慢的物理量，大小等于位移与时间的比值．本题中要注意泳道长50米，运动员在100米蝶泳比赛中要游一个来回，位移为0，故平均速度为0.
三、对加速度的理解和计算
1．加速度a＝是加速度的定义式，而非决定式，即加速度与Δv和Δt无关，与速度v也无关．v很大，a可能很小甚至为0；a很大，v可能很大，可能很小，也可能为0(某瞬时)．
2．物体是否做加速运动，决定于加速度a与速度v的方向关系．(1)当a与v同向时，物体做加速运动．若a增大，表明速度增加得越来越快；若a减小，表明速度增加得越来越慢(仍然增大)．(2)当a与v反向时，物体做减速运动．若a增大，速度减小得越来越快，若a减小，速度减小得越来越慢．
3．由牛顿第二定律知，a的大小决定于物体受到的合外力F和物体的质量m，a的方向由合外力F的方向决定．
【例3】 一个做变速直线运动的物体，加速度逐渐减小到零时，那么该物体的运动情况可能是( )
A．速度不断增大，到加速度为零时，速度达到最大，而后做匀速直线运动
B．速度不断减小，到加速度为零时，物体运动停止
C．速度不断减小到零，然后向相反方向做加速运动，而后物体做匀速直线运动
D．速度不断减小，到加速度为零时速度减小到最小，而后物体做匀速直线运动
答案 ABCD
解析 当加速度的方向与初速度同向时，物体的速度增大，加速度减小，只是速度增加得慢了，A项正确．加速度的方向与初速度反向时，物体做减速运动，有可能加速度减为零时，速度v>0，然后做匀速运动；有可能加速度减到零后，速度恰好减到零；也有可能速度减为零时，加速度没有减为零，物体将反向做加速运动，所以B、C、D项均正确．
[规范思维] 要明确物体做加速或减速运动的条件：加速度与初速度同向做加速运动，反向做减速运动．速度增大还是减小与a大小怎样变化无关．
【例4】 有些国家的交通管理部门为了交通安全，特别制定了死亡加速度为500g(g＝10 m/s2)，以醒世人，意思是如果行车加速度超过此值，将有生命危险，那么大的加速度，一般情况下车辆是达不到的，但如果发生交通事故时，将会达到这一数值．试问：
(1)一辆以72 km/h的速度行驶的汽车在一次事故中撞向停在路上的大货车上，设大货车没有被撞动，汽车与大货车的碰撞时间为2.0×10－3 s，汽车驾驶员是否有生命危险？
(2)若汽车内装有安全气囊，缓冲时间为1×10－2 s，汽车驾驶员是否有生命危险？
答案 (1)有生命危险 (2)无生命危险
解析 选汽车运动的方向为正方向
(1)汽车的加速度：a＝＝ m/s2＝－104 m/s2
因加速度大小为104 m/s2>500g，
所以驾驶员有生命危险
(2)在装有气囊的情况下
汽车的加速度a′＝＝ m/s2＝－2 000 m/s2
因加速度大小为2 000 m/s2<500g
所以驾驶员无生命危险
[规范思维] 求解加速度时要注意物体的初速度、末速度的方向，若选定正方向，则可用正负号表示它们的方向.
【基础演练】
1．(2010·杭州月考)两辆汽车在平直的公路上匀速并排行驶，甲车内一个人看见窗外树木向东移动，乙车内一个人发现甲车没有动，以大地为参考系，上述事实说明( )
A．甲车向西运动，乙车不动
B．乙车向西运动，甲车不动
C．甲车向西运动，乙车向东运动
D．甲、乙两车以相同的速度同时向西运动
答案 D
2．下列关于运动会的各种比赛中，能将人或物体看做质点的是( )
A．研究乒乓球比赛中王皓的旋球技术时
B．研究刘子歌在200米蝶泳比赛中的手臂动作时
C．研究万米冠军在长跑中的位置时
D．研究跳水冠军郭晶晶在跳水比赛中的美妙姿态时
答案 C
3．关于速度和加速度的关系，下列说法正确的是( )
A．加速度方向为正时，速度一定增加
B．速度变化得越快，加速度就越大
C．加速度方向保持不变，速度方向也保持不变
D．加速度大小不断变小，速度大小也不断变小
答案 B
4．2010年1月17日我国自行研制的“长江三号丙”运载火箭成功地将我国第三颗北斗导航卫星成功送入太空预定轨道，图4是火箭点火升空瞬间时的照片．在这一瞬间关于火箭的速度和加速度的判断，下列说法正确的是( )
图4
A．火箭的速度很小，但加速度可能较大
B．火箭的速度很大，加速度可能也很大
C．火箭的速度很小，所以加速度也很小
D．火箭的速度很大，但加速度一定很小
答案 A
解析 火箭点火升空瞬间速度很小，火箭得到高速气体的反冲力，加速度可以较大，A正确，B、D错误；加速度的大小与速度的大小无必然联系，故C错误．
5．如图5所示是汽车的速度计，某同学在汽车中观察速度计指针位置的变化．开始时指针指示在如图5甲所示的位置，经过8 s后指针指示在图乙所示的位置，若汽车做匀变速直线运动，那么它的加速度约为( )
图5
A．11 m/s2 B．5.0 m/s2 C．1.4 m/s2 D．0.6 m/s2
答案 C
解析 题图甲所示为汽车的初速度，示数约为20 km/h≈5.6 m/s，题图乙所示为汽车的末速度，约为60 km/h≈16.7 m/s，则加速度a＝ m/s2＝1.4 m/s2，故C选项正确．
6．(2011·巩义五中高三期中)如图6所示是火炬手攀登珠峰的线路图，请根据此图判断下列说法正确的是( )
图6
A．由起点到终点火炬手所走线路的总长度是火炬手的位移
B．线路总长度与火炬手所走时间的比等于登山的平均速率
C．在计算登山运动的速度时可以把火炬手当成质点
D．若火炬手选择其他线路到达相同地点，则两次的路程和位移一定相同
答案 BC
解析 由起点到终点火炬手所走线路的总长度是火炬手走过的路程．线路总长度与火炬手所走时间的比等于登山的平均速率．火炬手在运动中，能够忽略其大小，可以看做质点．若选择不同路线，路程一般是不同的，但位移相同．综上，选项B、C正确．
7．在《闯关东》中，从山东龙口港到大连是一条重要的闯关东路线．假设有甲、乙两船同时从龙口港口出发，甲船路线是龙口—旅顺—大连，乙船路线是龙口—大连．两船航行两天后都在下午三点到达大连，以下关于两船航程的描述中正确的是( )
A．两船的路程相同，位移不相同
B．两船的平均速度相同
C．“两船航行两天后都在下午三点到达大连”一句中，“两天”指的是时间，“下午三点”指的是时刻
D．在研究两船的航行问题时，可以把船视为质点
答案 BCD
【能力提升】
8．在排球比赛中，扣球手抓住一次机会找了一个“探头球”，已知来球速度为10 m/s，球被击回时速度大小为20 m/s，击球时间为0.05 s，假设速度方向均为水平方向．求：击球过程中排球的加速度．
答案 600 m/s2 方向与初速度方向相反
解析 以初速度方向为正方向，则有
v0＝10 m/s，v＝－20 m/s
所以a＝＝ m/s2
＝－600 m/s2
即加速度大小为600 m/s2，方向与初速度方向相反．
9．为了测定气垫导轨上滑块的加速度，滑块上安装了宽度为3.0 cm的遮光板，如图7所示，滑块在牵引力作用下先后匀加速通过两个光电门，配套的数字毫秒计记录了遮光板通过第一个光电门的时间为Δt1＝0.30 s，通过第二个光电门的时间为Δt2＝0.10 s，遮光板从开始遮住第一个光电门到开始遮住第二个光电门的时间为Δt＝3.0 s．试估算：
图7
(1)滑块的加速度多大？
(2)两个光电门之间的距离是多少？
答案 (1)0.067 m/s2 (2)0.6 m
解析 (1)遮光板通过第一个光电门的速度
v1＝＝ m/s＝0.10 m/s
遮光板通过第二个光电门的速度
v2＝＝ m/s＝0.30 m/s
故滑块的加速度a＝≈0.067 m/s2.
(2)两个光电门之间的距离x＝Δt＝0.6 m.
10．(2010·盐城调研)2008年9月南京军区某部进行了一次海上军事演习，一艘鱼雷快艇以30 m/s的速度追击前面同一直线上正在逃跑的敌舰．当两者相距L0＝2 km时，以60 m/s的速度发射一枚鱼雷，经过t1＝50 s艇长通过望远镜看到了鱼雷击中敌舰爆炸的火光，同时发现敌舰仍在继续逃跑，于是马上发出了第二次攻击的命令，第二枚鱼雷以同样速度发射后，又经t2＝30 s，鱼雷再次击中敌舰并将其击沉．求被第一枚鱼雷击中前后，敌舰逃跑的速度v1、v2分别为多大？
答案 20 m/s 10 m/s
解析 被第一枚鱼雷击中前，敌舰逃跑的速度为v1，当鱼雷快艇与敌舰相距L0＝2 km时，发射第一枚鱼雷，经过t1＝50 s击中敌舰，则有
(v－v1)t1＝L0，即：(60－v1)×50＝2 000
解得v1＝20 m/s
击中敌舰时，鱼雷快艇与敌舰的距离为L0－(30－v1)t1＝1 500 m，马上发射第二枚鱼雷，被第一枚鱼雷击中后敌舰的速度为v2，经t2＝30 s，鱼雷再次击中敌舰，则有
(v－v2)t2＝1 500
即：(60－v2)×30＝1 500
解得v2＝10 m/s.
易错点评
1．速率是瞬时速度的大小，平均速率不是平均速度的大小，计算时应紧扣定义，不可取几段的平均值．
2．位移、速度、加速度都是矢量，计算它们在一段时间内的变化量时，要注意其方向，不可直接相减．若题目中没有明确其方向，要注意多解问题．
3．加速度与速度、速度的变化量没有必然联系，它反映的是速度变化的快慢，即速度的变化率．
4．对于光电门的原理，应知道是用极短一段时间内的平均速度代替瞬时速度．一、概念规律题组
1．伽利略用实验验证v∝t的最大困难是( )
A．不能很准确地测定下落的距离
B．不能测出下落物体的瞬时速度
C．当时没有测量时间的仪器
D．当时没有记录落体运动的数码相机
答案 B
2．关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动
B．只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动
C．自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等
D．自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动
答案 CD
解析 A选项中，竖直向下的运动，有可能受到空气阻力或其他力的影响，下落的加速度不等于g，这样就不是自由落体运动；选项B中，物体有可能具有初速度，所以选项A、B不对．选项C中，因自由落体运动是匀变速直线运动，加速度恒定，由加速度的概念a＝可知，Δv＝gΔt，所以若时间相等，则速度的变化量相等．选项D可根据自由落体运动的性质判定是正确的．
3．关于自由落体运动的加速度g，下列说法正确的是( )
A．重的物体的g值大
B．g值在地面任何地方一样大
C．g值在赤道处大于南北两极处
D．同一地点的轻重物体的g值一样大
答案 D
解析 在同一地点所有物体g值都相同．在地面不同地方，重力加速度的大小不同．从赤道到两极，g值变大．
4．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离随时间变化的关系为x＝5＋2t3 (m)，它的速度随时间t变化关系为v＝6t2(m/s)．该质点在t＝0到t＝2 s间的平均速度和t＝2 s到t＝3 s间的平均速度大小分别为( )
A．12 m/s,39 m/s B．8 m/s,38 m/s
C．12 m/s,19.5 m/s D．8 m/s,12 m/s
答案 B
解析 平均速度＝，t＝0时，x0＝5 m；t＝2 s时，x2＝21 m；t＝3 s时，x3＝59 m．故1＝＝8 m/s，2＝＝38 m/s.
二、思想方法题组
5．自由下落的物体，自起始点开始依次下落三段相同的位移所需要的时间比为( )
A．1∶3∶5 B．1∶4∶9
C．1∶∶ D．1∶(－1)∶(－)
答案 D
6．(2011·泰安模拟)小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某高度，其速度—时间图象如图1所示，则由图象可知(g＝10 m/s2)以下说法正确的是( )
图1
A．小球下落的最大速度为5 m/s
B．第一次反弹初速度的大小为3 m/s
C．小球能弹起的最大高度为0.45 m
D．小球能弹起的最大高度为1.25 m
答案 ABC
解析 由v－t图象可知，t＝0.5 s时，小球下落至地面，速度为5 m/s，小球与地面作用的时间不计，小球刚被地面弹起时，速度为－3 m/s，能弹起的最大高度为h＝＝ m＝0.45 m．故选项A、B、C对，D错．
思维提升
1．自由落体运动的两个条件是：①初速度为0；②加速度为g.
2．重力加速度的大小与重物本身无关，而与重物所处的不同位置有关．
3．自由落体是初速度为零的匀加速运动，有如下的比例关系：
(1)T末、2T末、3T末、…瞬时速度之比
v1∶v2∶v3＝1∶2∶3∶…
(2)T内、2T内、3T内、…位移之比
x1∶x2∶x3∶…＝1∶4∶9∶…
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内、…位移之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝1∶3∶5∶…
(4)通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…＝1∶(－1)∶(－)∶…
一、自由落体运动
1．自由落体运动的特点
(1)从静止开始，即初速度为零．(2)物体只受重力作用．自由落体运动是一个初速度为零的匀加速直线运动．
2．重力加速度：自由落体的加速度叫做重力加速度，用g表示，它的大小约为9.8 m/s2，方向竖直向下．
(1)重力加速度是由于地球的引力产生的，地球上不同的地方g的大小不同，赤道上的重力加速度比在两极的要小．
(2)重力加速度的大小会随位置的改变而变化，但变化量不大，所以我们在今后的计算中，认为其为一定值，常用9.8 m/s2，在粗略的计算中也可以取10 m/s2.
(3)自由落体运动是初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动．匀变速直线运动的一切规律，对自由落体运动都是适用的．v＝gt，h＝gt2，v2＝2gh.另外，初速度为零的匀加速运动的比例式对自由落体运动也是适用的．
【例1】 从离地500 m的高空自由落下一个小球，g取10 m/s2，求：
(1)经过多长时间落到地面；
(2)从开始下落时刻起，在第1 s内的位移大小、最后1 s内的位移大小；
(3)落下一半时间时的位移大小．
答案 (1)10 s (2)5 m 95 m (3)125 m
解析 (1)由位移公式x＝gt2，得落地时间t＝＝ s＝10 s.
(2)第1 s内的位移：x1＝gt＝×10×12 m＝5 m，前9 s内的位移为：x9＝gt＝×10×92 m＝405 m，最后1 s内的位移等于总位移和前9 s内位移的差，即x10＝x－x9＝(500－405) m＝95 m.
(3)落下一半时间即t′＝5 s，其位移x′＝gt′2＝×10×52 m＝125 m.
[规范思维] (1)匀变速直线运动的所有规律均适用于自由落体运动．(2)初速度为零的匀加速运动的比例式也适用于自由落体运动．
[针对训练1] 一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由落下一个小球．当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底．则相邻两小球开始下落的时间间隔为________ s，这时第3个小球和第5个小球相距________ m.
答案 0.5 35
解析 设相邻两小球开始下落的时间间隔为T，则第1个小球从井口落至井底的时间为t＝10T.
由题意知
h＝gt2＝g(10T)2，
T＝ ＝ s＝0.5 s.
利用初速度为零的匀加速直线运动的规律，从时间t＝0开始，在连续相等的时间内位移之比等于以1开始的连续奇数比．从第11个小球下落开始计时，经T,2T,3T，…，10T后它将依次到达第10个、第9个、…、第2个、第1个小球的位置，各个位置之间的位移之比为1∶3∶5∶…∶17∶19，所以这时第3个小球和第5个小球相距：
Δh＝h＝×125 m＝35 m
二、竖直上抛运动
1．竖直上抛运动问题的处理方法
(1)分段法
可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理．
(2)整体法
将竖直上抛运动视为初速度为v0，加速度为－g的匀减速直线运动．
2．竖直上抛运动的重要特性
(1)对称性
①时间对称性：上升过程和下降过程时间相等
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等
(2)多解性
通过某一点对应两个时刻，即：物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段．
【例2】某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2.5 s内物体的( )
A．路程为65 m
B．位移大小为25 m，方向向上
C．速度改变量的大小为10 m/s
D．平均速度大小为13 m/s，方向向上
答案 AB
解析 物体的上升时间t＝＝3 s，上升高度H＝＝45 m，下降时间t1＝(5－3) s＝2 s，下降的位移x1＝gt＝20 m．所以5 s时物体的位移x＝H－x1＝25 m，方向向上．路程s＝H＋x1＝65 m．5 s末的速度v1＝gt1＝20 m/s，方向向下，5 s 内速度改变量Δv＝v1－v0＝－50 m/s，方向向下.＝＝ m/s＝5 m/s，方向向上．
[规范思维] 此题的关键在于根据竖直上抛运动规律求出5 s内的位移和路程，及5 s末的瞬时速度．
(1)竖直上抛运动的两种处理方法——分段法和整体法解答问题时结果是相同的，解题要灵活选用．
(2)用两种方法解题时，要特别注意物理量正负号的不同．
[针对训练2] (2010·福建厦门质检)王兵同学利用数码相机连拍功能(此相机每秒连拍10张)，记录下北京奥运会跳水比赛中小将陈若琳和王鑫在10 m跳台跳水的全过程．所拍摄的第一张恰为她们起跳的瞬间，第四张如图2甲所示，王兵同学认为这是她们在最高点；第十九张如图2乙所示，她们正好身体竖直双手触及水面．设起跳时她们的重心离台面的距离和触水时她们的重心离水面的距离相等．由以上材料(g取10 m/s2)
(1)估算陈若琳的起跳速度；
(2)分析第四张照片是在最高点吗？如果不是，此时重心是处于上升还是下降阶段？
图2
答案 (1)3.4 m/s (2)不是 上升阶段
解析 (1)由题意得：运动员从起跳到入水所用时间为t＝1.8 s
设跳台高h，起跳速度为v0，由：
－h＝v0t－gt2
得v0＝3.4 m/s
(2)上升至最高点所用时间
t1＝＝0.34 s
而拍第四张历时0.3 s，所以还处于上升阶段．
【例3】 原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地．从开始蹬地到离地是加速过程(视为匀加速)，加速过程中重心上升的距离称为“加速距离”．离地后重心继续上升，在此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”．现有以下数据：人原地上跳的“加速距离”d1＝0.50 m，“竖直高度”h1＝1.0 m；跳蚤原地上跳的“加速距离”d2＝0.000 80 m，
“竖直高度”h2＝0.10 m．假想人具有与跳蚤相等的起跳加速度，而“加速距离”仍为0.50 m，则人上跳的“竖直高度”是多少？
答案 62.5 m
解析 用a表示跳蚤起跳的加速度，v表示离地时的速度，
则加速过程有：v2＝2ad2①
离开地面后有：v2＝2gh2②
若假想人具有和跳蚤相同的加速度a，令v′表示在这种假想下人离地时的速度，H表示与此相应的竖直高度，则加速过程有：v′2＝2ad1③
离开地面后有：v′2＝2gH④
由以上各式可得
H＝⑤
代入数值，得H＝62.5 m⑥
[规范思维] 认识、了解人跳离地面的全过程是解题关键．过程包括离开地面前向上的加速运动和离开地面后的竖直上抛运动．
[针对训练3] 如图3甲所示．为了测量运动员跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网的压力，并在计算机上做出压力－时间图象，假如做出的图象如图乙所示．设运动员在空中运动时可视为质点，则运动员跃起的最大高度为(g取10 m/s2)( )
图3
A．1.8 m B．3.6 m C．5.0 m D．7.2 m
答案 C
解析 由图象分析可知，运动员在空中的时间为2 s，根据竖直上抛运动的时间对称性，t上＝1 s，上升高度h＝gt2＝×10×12 m＝5 m.
【基础演练】
1．关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．物体竖直向下的运动就是自由落体运动
B．加速度等于重力加速度的运动就是自由落体运动
C．在自由落体运动过程中，不同质量的物体运动规律相同
D．物体做自由落体运动位移与时间成反比
答案 C
解析 由静止开始只在重力作用下的运动是自由落体运动，在自由落体运动中，由于加速度a＝g，所以其运动规律与质量无关，自由落体运动的位移x＝gt2，x与t2成正比．
2．(2011·皖南八校联考)一物体从某一行星表面竖直向上抛出(不计空气阻力)．设抛出时t＝0，得到物体上升高度随时间变化的h－t图象如图4所示，则该行星表面重力加速度大小与物体被抛出时的初速度大小分别为( )
图4
A．8 m/s2,20 m/s B．10 m/s2,25 m/s
C．8 m/s2,25 m/s D．10 m/s2,20 m/s
答案 A
解析 根据图象可知物体在t＝2.5 s时上升到最大高度，为25 m．由运动学公式可求得A项正确．
3．竖直上抛的物体，又落回抛出点，关于物体运动的下列说法中正确的有( )
A．上升过程和下落过程，时间相等、位移相同
B．物体到达最高点时，速度和加速度均为零
C．整个过程中，任意相等时间内物体的速度变化量均相同
D．不管竖直上抛的初速度有多大(v0＞10 m/s)，物体上升过程的最后1 s时间内的位移总是不变的
答案 CD
解析 上升和下落过程时间相等，而位移大小相等、方向相反，物体到最高点加速度仍为g，故A、B均错，在任意相等时间t内，速度变化量均为gt，C正确，根据逆向思维知，物体上升过程最后1 s内位移和自由下落第1 s内位移大小是相等的，都为g×12＝g，D也正确．
4．(2010·上海交大东方学校模拟)从某高处释放一粒小石子，经过1 s从同一地点再释放另一粒小石子，则在它们落地之前，两粒石子间的距离将( )
A．保持不变 B．不断增大
C．不断减小 D．有时增大，有时减小
答案 B
解析 设第1粒石子运动的时间为t s，则第2粒石子运动的时间为(t－1) s，在它们落地之前，两粒石子间的距离为Δh＝gt2－g(t－1)2＝gt－g，可见，两粒石子间的距离随t的增大而增大，故B正确．
5．(2011·山东省日照市统测)如下图所示，在高空中有四个小球，在同一位置同时以速率v向上、向下、向左、向右被射出，不考虑空气阻力，经过1 s后四个小球在空中的位置构成的图形正确的是( )
答案 A
解析 不考虑空气阻力，四个小球有两个做平抛运动，其余两个分别做竖直上抛运动和竖直下抛运动，它们的加速度相同，所以它们的相对运动是分别沿水平方向和竖直方向向外做速度相同的匀速直线运动，在空中的位置构成的图形是正方形，所以选项A正确．
6．(2011·沈阳质检)A、B两小球从不同高度自由下落，同时落地，A球下落的时间为t，B球下落的时间为t/2，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为( )
A．gt2 B.gt2 C.gt2 D.gt2
答案 D
解析 A球下落高度为hA＝gt2，B球下落高度为hB＝g()2＝gt2，当B球开始下落的瞬间，A球已下落了时间，A、B两球的高度差为Δh＝hA－g()2－hB＝gt2，所以D项正确．
7．(2011·山东临沂质检)在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精确测定．近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g值归于测长度和时间，以稳定的氦氖激光的波长为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，能将g值测得很准，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落至原处的时间为T2，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P点至又回到P点所用的时间为T1，测得T1、T2和H，可求得g等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设小球上升的最大高度为h，则有h＝g()2，h－H＝g()2，联立解得g＝.
【能力提升】
8. (2011·济南实验中学月考)取一根长2 m左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘．在线下端系上第一个垫圈，隔12 cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别为36 cm、60 cm、84 cm，如图5所示，站在椅子上，向上提起线的上端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地上的金属盘．松手后开始计时，若不计空气阻力，则第2、3、4、5个垫圈( )
图5
A．落到盘上的声音时间间隔越来越大
B．落到盘上的声音时间间隔相等
C．依次落到盘上的速率关系为1∶∶∶2
D．依次落到盘上的时间关系为1∶(－1)∶(－)∶(2－)
答案 B
解析 各垫圈之间的距离之比为1∶3∶5∶7，各垫圈到金属盘的距离之比为1∶4∶9∶16，各垫圈做自由落体运动，根据x＝gt2得t＝，各垫圈落到盘上的时间之比为1∶2∶3∶4，则各垫圈落地时间间隔相等，B选项正确，A、D选项错误；根据2gx＝v2得v＝，各垫圈依次落到盘上的速率之比为1∶2∶3∶4，C选项错误．
9．(2011·济南质检)小芳是一个善于思考的乡村女孩，她在学过自由落体运动规律后，对自家房上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，小芳同学在自己的作业本上画出了如图6所示的雨滴下落同自家房子尺寸的关系图，其中2点和3点之间的小矩形表示小芳正对的窗子，请问：
图6
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？
答案 (1)3.2 m (2)0.2 s
解析 设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为T
由h＝gt2/2得
第2滴水的位移为h2＝g(3T)2/2①
第3滴水的位移为h3＝g(2T)2/2②
且h2－h3＝1 m③
由①②③得 T＝0.2 s
则屋檐高h＝g(4T)2/2＝3.2 m.
10．2010年冰岛火山喷发，火山灰尘给欧洲人民的生活带来了很大的影响．假设一灰尘颗粒开始以4 m/s2的加速度从地面竖直上升，10 s末，忽然失去所有向上的推动力，灰尘颗粒只在重力作用下运动，则该颗粒最高可上升到距地面多高处？此颗粒失去推动力后经多长时间落回地面？(g取10 m/s2)
答案 280 m 11.48 s
解析 向上加速阶段
H1＝a1t＝×4×102 m＝200 m
失去向上的推动力时，灰尘颗粒的速度大小为：
v1＝a1t1＝4×10 m/s＝40 m/s
此后，灰尘颗粒做竖直上抛运动．
竖直上抛上升阶段：H2＝＝80 m
t2＝＝4 s
自由下落阶段：H1＋H2＝gt
得t3＝＝ s＝7.48 s
所以，此颗粒距地面最大高度
Hmax＝H1＋H2＝280 m
颗粒从失去推动力到落地的总时间
t＝t2＋t3＝11.48 s
易错点评
1．在研究两个或两个以上抛体间的相对运动时，利用转换参考系的思想，能够简化解题，化难为易，并且两抛体间的相对运动不是静止，就是匀速直线运动两种情形．
2．对于8、9两题，都涉及多个物体做相同规律的运动，解此类问题，一般用等效转换的思想，即将“多个物体的运动”等效为“一个物体的运动”．
3．解竖直上抛问题时，要注意利用上升过程与下降过程的对称性以及各物理量的正负．本章重要的思想方法、重点题型
本章重要的思想方法 公式、概念或模型举例
理想模型法 质点________
比值定义法 速度的定义________定义式________加速度的定义________定义式________
极限法 瞬时速度的定义______瞬时加速度的定义____
本章重要的题型 对应典型题目举例(请同学们自己找出对应题目)
对质点的理解
平均速度和平均速率
关于加速度
匀变速直线运动的基本公式及推论公式的应用
自由落体运动
竖直上抛运动
运动的v－t图象
追及与相遇问题
纸带类问题分析
学案6 章末测试
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1．一物体具有水平向右的初速度，初始加速度与初速度同向且不断减小，当加速度减小到零以后再反向逐渐增大较长一段时间，以下对物体可能的运动情况叙述正确的是( )
A．加速度减小的过程速度减小，加速度增加的过程速度增加
B．加速度减小的过程速度增加，加速度增加的过程速度减小
C．加速度减小到零以前物体向右运动，加速度开始反向增加物体就向左运动
D．速度减小到零以前物体向右运动，速度减小到零以后物体就向左运动
答案 BD
2．(2011·长春检测)A与B两个质点向同一方向运动，A做初速度为零的匀加速直线运动，B做匀速直线运动．开始计时时，A、B位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时( )
A．两质点速度相等
B．A与B在这段时间内的平均速度相等
C．A的瞬时速度是B的2倍
D．A与B的位移相等
答案 BCD
解析 由题意可知二者位移相同，所用的时间也相同，则平均速度相同，再由＝＝vB，所以A的瞬时速度是B的2倍，选B、C、D.
3. (2011·福州模拟)利用速度传感器与计算机结合，可以自动作出物体运动的图象．某同学在一次实验中得到的运动小车的速度－时间图象如图1所示，由此可以知道( )
图1
A．小车先做加速运动，后做减速运动
B．小车运动的最大速度约为0.8 m/s
C．小车的最大位移是0.8 m
D．小车做曲线运动
答案 AB
解析 由v－t图象可以看出，小车的速度先增加，后减小，最大速度约为0.8 m/s，故A、B正确．小车的位移为v－t图象与t轴所围的“面积”，x＝84×0.1×1 m＝8.4 m，C项错误，图线弯曲表明小车速度大小变化不均匀，但方向没有改变，不表示小车做曲线运动，故D项错误．
4. (2011·牡丹江模拟)物体A、B在同一直线上做匀变速直线运动，它们的v－t图象如图2所示，则( )
图2
A．物体A、B运动方向一定相反
B．物体A、B在0～4 s内的位移相同
C．物体A、B在t＝4 s时的速度相同
D．物体A的加速度比物体B的加速度大
答案 C
解析 由图可知，两个图象都在时间轴上方，运动方向相同，A选项错误；图线与时间轴围成的面积与这段时间内物体的位移大小相等，在0～4 s内，B图线与时间轴围成的面积显然比A图线与时间轴围成的面积大，即B物体在0～4 s内运动的位移比A物体大，B选项错误；在t＝4 s 这个时刻，两个图线交于一点，表示两个物体的速度相等，C选项正确；B图线比A图线斜率大，即B物体的加速度大于A物体的加速度，D选项错误．
5．(2011·北京东城1月检测)小球从空中自由下落，与水平地面每一次相碰后反弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图3所示．若g＝10 m/s2，则(
图3
A．小球第一次反弹后离开地面的速度的大小为5 m/s
B．碰撞前后速度改变量的大小为2 m/s
C．小球是从5 m高处自由下落的
D．小球反弹起的最大高度为0.45 m
答案 D
解析 由v－t图象可知，小球第一次反弹后离开地面时的速度大小为3 m/s，A项错误；碰撞前后速度改变量Δv＝v′－v＝－3 m/s－5 m/s＝－8 m/s，B项错误；由小球落地时的速度v＝5 m/s，得小球下落高度h＝＝1.25 m，C项错误；由小球反弹速度v′＝－3 m/s，得反弹的最大高度h′＝＝0.45 m，D项正确．
6. (2011·鞍山质检)如图4所示为物体做直线运动的v－t图象．若将该物体的运动过程用x－t图象表示出来(其中x为物体相对出发点的位移)，则下列四幅图象描述正确的是( )
图4
答案 C
解析 由题图可知，物体在0～t1和t2～t3时间内做匀速运动，两时间段内速度大小相等，但方向相反，在t1～t2时间内物体静止不动．相应地位移－时间图象上，0～t1时间内位移均匀增大，是过原点的直线，t1～t2时间内位移不变，是平行于t轴的直线，t2～t3时间内物体从静止位置向相反方向运动，是一条斜率为负的直线，且t3－t2>t1，最后的位移为负值，结合图象知选项C正确．
7. (2010·天津五校联考)从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体A、B的v－t图象如图5所示．在0～t0时间内，下列说法中正确的是( )
图5
A．A、B两个物体的加速度大小都在不断减小
B．A物体的加速度不断增大，B物体的加速度不断减小
C．A、B两物体的位移都不断增大
D．A、B两个物体的平均速度大小都大于
答案 AC
解析 由图象可看出，A、B两物体的v－t图线的斜率都在减小，即加速度减小，A对，B错；图线所包围的面积都在t轴上方，则位移均在增加，C正确；在0～t0时间内，A物体的位移大于初、末速度相同的匀加速运动的位移，A>，B物体的位移小于相同速度变化的匀减速运动的位移，B<，D错．故选A、C.
8．(2011·山东淄博期中)如图6所示，a、b分别是甲、乙两辆车从同一地点沿同一直线同时运动的速度图象，由图象可以判断( )
图6
A．2 s后甲、乙两车的加速度大小相等
B．在0～8 s内两车最远相距148 m
C．两车只有t0时刻速率相等
D．两车在t＝8 s时相遇
答案 B
解析 2 s后，|a甲|＝ m/s2，|a乙|＝ m/s2，故|a甲|>|a乙|，A错；t＝2 s时和t＝t0时，甲、乙速率均相等，故C错；t＝8 s时，甲回到出发点，乙没有回到出发点，故D错；由题干图可知两车在0～8 s内相距最远时应在t0时刻，由a、b两线可求出t0＝4.4 s，则两车相距最远的距离x应为a、b两线和纵轴围成的面积，解得x＝148 m，故B对．
9．如图7所示，a、b分别是甲、乙两辆车从同一地点沿同一直线同时运动的速度图象，由图象可以判断( )
图7
A．2 s后甲、乙两车的加速度大小相等
B．在0～8 s内两车最远相距148 m
C．两车只有t0时刻速率相等
D．两车在t＝8 s时相遇
答案 B
解析 2 s后，|a甲|＝ m/s2，|a乙|＝ m/s2，故|a甲|>|a乙|，A错；t＝2 s时和t＝t0时，甲、乙速率均相等，故C错；t＝8 s时，甲回到出发点，乙没有回到出发点，故D错；由题干图可知两车在0～8 s内相距最远时应在t0时刻，由a、b两线可求出t0＝4.4 s，则两车相距最远的距离x应为a、b两线和纵轴围成的面积，解得x＝148 m，故B对．
10．(2011·陕西西安质检)如图7所示的x—t图象和v—t图象中，给出的四条曲线1、2、3、4，分别代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是( )
图8
A．曲线1表示物体做曲线运动
B．x—t图象中，t1时刻v1>v2
C．v—t图象中0至t3时间内物体3和物体4的平均速度大小相等
D．两图象中，t2、t4时刻分别表示物体2、4开始反向运动
答案 B
解析 在x－t图象中，图线不是物体的运动轨迹，t1时刻图线1的斜率大于图线2的斜率，因此速度v1大于v2.B对，A错．
在v－t图象中，图线与时间轴所围面积表示位移大小，C选项中，在0至t3时间内图线3与时间轴所围面积小，物体3的位移小，平均速度小，C错误．
x－t图象中，t2时刻，速度由正方向变为负方向，物体反向运动，v－t图象中，t4时刻，速度由增大变为减小，方向并没有改变，物体仍然沿正方向运动，D错误．
二、填空题(本题共2小题，满分12分)
11．(6分)光电计时器也是一种研究物体运动情况的常用计时仪器，其结构如图8(a)所示，a、b分别是光电门的激光发射和接收装置，当有物体从a，b间通过时，光电计时器就可以精确地把物体从开始挡光到挡光结束的时间记录下来．现利用图8(b)所示的装置测量滑块和长木板间的动摩擦因数，图中MN是水平桌面，Q是长木板与桌面的接触点，1和2是固定在长木板适当位置的两个光电门，与之连接的两个光电计时器没有画出，长木板顶端P点悬有一铅锤．实验时，让滑块从长木板的顶端滑下，光电门1、2各自连接的计时器显示的挡光时间分别为1.0×10－2 s和4.0×10－3 s．用精度为0.05 mm的游标卡尺测量滑块的宽度d，其示数如图9所示．
图8
图9
(1)滑块的宽度d＝________ cm.
(2)滑块通过光电门1时的速度v1＝________ m/s.滑块通过光电门2时的速度v2＝________ m/s.
答案 (1)1.015 (2)1.0 2.5
12．(6分)(2011·天星调研)做直线运动的小车，牵引一条纸带通过打点计时器，交流电源的频率为50 Hz，从纸带上打出的某一点开始，每5个点剪下一段纸带，按图10所示，使每一条纸带下端与x轴重合，左边与y轴平行，将每段纸带粘贴在直线坐标系中，则小车做________运动，加速度a＝________ m/s2(结果保留两位有效数字)．
图10
答案 匀加速直线 0.75
解析 由题意可得，每段纸带的长度就是相等时间间隔T内小车的位移，由图示数据可得相邻相等时间间隔内小车的位移差等于Δx＝7.5×10－3 m，为一个常数，可知小车做匀加速直线运动，而时间间隔T＝0.02×5 s＝0.1 s，根据Δx＝aT2，可得小车的加速度为：a＝0.75 m/s2.
三、计算题(本题共4小题，满分48分)
13．(12分)建筑工人安装脚手架进行高空作业时，一名建筑工人不慎将抓在手中的一根长5 m的铁杆在竖直状态下由静止脱手，不计空气阻力．试问：
(1)假设杆的下端离地面40 m，那么铁杆碰到地面时的速度大约是多少？
(2)若铁杆在下落过程中经过某楼层面的时间为0.2 s，试求铁杆下落时其下端距离该楼层面的高度是多少？(g取10 m/s2，不计楼层面的厚度)
答案 (1)28.28 m/s (2)28.8 m
解析 (1)由公式v2＝2gh得，铁杆碰到地面时的速度为：
v＝＝＝28.28 m/s
(2)设下落时铁杆下端距离该楼层面的高度为h1，
则有
h1＝gt
h1＋5＝gt
t2－t1＝0.2 s
解得：h1＝28.8 m
14．(10分) 如图11所示，A、B两物体相距x＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力的作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时正以vB＝10 m/s的初速度向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，求A追上B所经历的时间．
图11
答案 8 s
解析 物体B减速至静止所用的时间为t0
则0－vB＝at0，t0＝ s＝5 s
t0时间内，物体B向前运动的位移
xB＝vBt0＝×10×5 m＝25 m.
又因A物体5 s内前进xA＝vAt0＝20 m，
显然xB＋7 m>xA.
所以A追上B前，物体B已经静止，设A追上B经历的时间为t′，则t′＝＝ s＝8 s.
15．(12分)甲、乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1＝16 m/s的初速度，a1＝－2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，乙车以v2＝4 m/s的初速度，a2＝1 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时两车运动的时间．
答案 24 m 8 s
解析 当两车速度相等时，相距最远，再次相遇时，两车的位移相等．设经过时间t1两车相距最远．
由题意得v1＋a1t1＝v2＋a2t1
则t1＝＝ s＝4 s
此时Δx＝x1－x2＝(v1t1＋a1t)－(v2t1＋a2t)
＝[16×4＋×(－2)×42] m－(4×4＋×1×42) m＝24 m
设经过时间t2，两车再次相遇，则
v1t2＋a1t＝v2t2＋a2t
解得t2＝0(舍)或t2＝8 s.
所以8 s后两车再次相遇．
16．(14分)2009年杭州“七十迈”事件，将交通安全问题，以前所末有的方向，推到公众舆论的“风口浪尖”，这也透视出汽车时代的人们对交通安全问题的担忧．下面的图表，是《驾驶员守则》中的安全距离图示和部分安全距离数据.
车速(km/h) 反应距离(m) 刹车距离(m) 停车距离(m)
40 10 10 20
60 15 22.5 37.5
80 s3＝( ) x3＝( ) L3＝( )
请根据上边的表格计算(本题中的路面情况均相同)：
(1)如果驾驶员的反应时间相同，请在表格中填上对应的数值．
(2)超速是一种很危险的驾驶行为，一位司机发现前面80 m处有一障碍物，此时他的车速为100 km/h，请问他能否避免车祸的发生？
(3)酒后驾车是一种危害性很大的违法行为，由于酒精的作用，人的反应时间延长，发生交通事故的概率大大增加．一名喝了酒的驾驶员，发现前面50 m处有一队学生正在横过马路，此时他的车速为72 km/h，而他的反应时间却比正常时慢了0.1 s，请问他能否避免惨剧的发生？
答案 (1)20 40 60 (2)无法避免 (3)不能避免
解析 (1)反应时间为t＝＝ s＝0.9 s
则s3＝v3t＝×0.9 m＝20 m
设汽车刹车时加速度为a，则根据运动学知识有：
a＝＝ m/s2＝ m/s2
则x3＝＝ m＝40 m
则L3＝s3＋x3＝60 m
(2)由运动学知识有：反应距离s4＝v4t，
代入数据得s4＝25 m，刹车距离x4＝
代入数据，得x4＝62.5 m
则L4＝s4＋x4＝87.5 m>80 m
故车祸无法避免．
(3)司机的反应距离为s5＝v5(t＋Δt)
代入数据，得s5＝20 m
司机的刹车距离为x5＝，
代入数值，得x5＝32.4 m
L5＝s5＋x5＝52.4 m>50 m
故惨剧不可能避免地要发生．概念规律题组
1．如图1所示为甲、乙两物体的x－t图象，则( )
图1
A．甲、乙两物体都做匀速直线运动
B．若甲、乙两物体在同一直线上运动，则一定会相遇
C．t1时刻甲、乙相遇
D．t2时刻甲、乙相遇
答案 ABC
2．某物体沿一直线运动，其v－t图象如图2所示，则下列说法中正确的是( )
图2
A．第2 s内和第3 s内速度方向相反
B．第2 s内和第3 s内速度方向相同
C．第2 s末速度方向发生变化
D．第5 s内速度方向与第1 s内方向相同
答案 B
3．如图3所示为某质点运动的速度—时间图象，下列有关该质点运动情况的判断正确的是( )
图3
A．0～t1时间内加速度为正，质点做加速运动
B．t1～t2时间内加速度为负，质点做减速运动
C．t2～t3时间内加速度为负，质点做减速运动
D．t3～t4时间内加速度为正，质点做加速运动
答案 AB
解析 由图象可知，在0～t1时间内加速度为正，速度也为正，加速度方向与速度方向相同，故质点做加速运动；在t1～t2时间内加速度为负，速度为正，加速度方向与速度方向相反，故质点做减速运动；在t2～t3时间内加速度为负，速度也为负，加速度方向与速度方向相同，故质点做加速运动；在t3～t4时间内加速度为正，速度为负，加速度方向与速度方向相反，质点做减速运动．
4．如图4所示为一物体做匀变速直线运动的图象．由图象作出的下列判断中正确的是( )
图4
A．物体始终沿正方向运动
B．物体先沿负方向运动，在t＝2 s后沿正方向运动
C．在t＝2 s前物体位于出发点负方向上，t＝2 s后位于出发点正方向上
D．在t＝2 s时，物体距出发点最远
答案 BD
解析 物体的运动方向即为速度方向．由图象知，在t＝2 s前，速度为负，物体沿负方向运动，2 s后速度为正，物体沿正方向运动，A是错的，B是正确的．
物体的位置由起点及运动的位移决定．取起点为原点则位置由位移决定．在v－t图象中，位移数值是图象与坐标轴所围的面积．由图象可知t<2 s时物体的位移为负，t＝2 s时绝对值最大．t＝2 s后，位移为负位移与正位移的代数和，绝对值减小，所以t＝2 s时位移绝对值最大即物体离出发点最远，所以D正确，C错，所以选B、D.
二、思想方法题组
5．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标．在描述两车运动的v－t图象中(如图5所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况．关于两车之间的位置关系，下列说法中正确的是( )
图5
A．在0～10 s内两车逐渐靠近
B．在10～20 s内两车逐渐远离
C．在5～15 s内两车的位移相等
D．在t＝10 s时两车在公路上相遇
答案 C
解析 由题图知乙做匀减速直线运动，初速度v乙＝10 m/s，加速度大小a乙＝0.5 m/s2；甲做匀速直线运动，速度v甲＝5 m/s.当t＝10 s时v甲＝v乙，甲、乙两车距离最大，所以0～10 s内两车之间的距离越来越大；10～20 s内两车之间的距离越来越小，t＝20 s时，两车距离为零，再次相遇，故A、B、D错误；在5～15 s时间内，两图线与时间轴围成的面积相等，因而两车位移相等，故C正确．
6．一辆警车在平直的公路上以40 m/s的速度巡逻，突然接到报警，在前方不远处有歹徒抢劫，该警车要尽快赶到出事地点且到达出事地点时的速度也为40 m/s，有三种行进方式：a为一直匀速直线运动；b为先减速再加速；c为先加速再减速，则( )
A．a种方式先到达 B．b种方式先到达
C．c种方式先到达 D．条件不足，无法确定
答案 C
解析 作出v－t图象如右图所示，从出发点到出事地点位移一定，根据v－t图象的意义，图线与坐标轴所围的面积相等，则只能tc思维提升
1．x－t图象和v－t图象都只能反映直线运动的规律，而不能反映曲线运动的规律．
2．x－t图象和v－t图象是用图线直观地反映位移或速度随时间变化的工具．图线上每一点表示某一时刻的位移或速度随时间的推移，也可反映其变化情况，而正负表示了位移或速度的方向．
3．利用图象解决问题要做到“六看”，即看轴、看线、看斜率、看面积、看截距、看拐点．
4．解决追及相遇问题要注意“一个条件”和“两个关系”，即两者速度相等；时间关系和位移关系.
一、运动图象的分析与运用
运动学图象主要有x－t图象和v－t图象，运用运动学图象解题可总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面积”，五看“截距”，六看“特殊点”．
1．一看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量之间的关系．
2．二看“线”：图象表示研究对象的变化过程和规律．在v－t图象和x－t图象中倾斜的直线分别表示物体的速度和位移随时间变化的运动情况．
3．三看“斜率”：斜率表示纵、横坐标轴上两个物理量的比值，常用一个重要的物理量与之对应，用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢．x－t图象中斜率表示运动物体的速度的大小和方向．v－t图象中斜率表示运动物体的加速度的大小和方向．
4．四看“面积”：即图象和坐标轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义．如v和t的乘积vt＝x，有意义，所以v－t图与横轴所围“面积”表示位移，x－t图象与横轴所围面积无意义．
5．五看“截距”：截距一般表示物理过程的初始情况，如t＝0时的位移或速度．
6．六看“特殊点”：如交点、拐点(转折点)等．如x－t图象的交点表示两质点相遇，但v－t图象的交点只表示速度相等．
【例1】 (2010·广东·17)图6是某质点运动的速度－时间图象，由图象得到的正确结果是( )
图6
A．0～1 s内的平均速度是2 m/s
B．0～2 s内的位移大小是3 m
C．0～1 s内的加速度大于2～4 s内的加速度
D．0～1 s内的运动方向与2～4 s内的运动方向相反
答案 BC
解析 由题图可以看出：0～1 s内质点做初速度为零、末速度为2 m/s的匀加速直线运动；1～2 s内质点以2 m/s的速度做匀速直线运动；2～4 s内质点做初速度为2 m/s，末速度为0的匀减速直线运动，故0～1 s内质点的平均速度为v＝ m/s＝1 m/s，选项A错误；0～2 s内图象与时间轴所围的面积在数值上等于位移的大小，x2＝ m＝3 m，选项B正确；0～1 s内质点的加速度a1＝ m/s2＝2 m/s2,2～4 s内质点的加速度a2＝ m/s＝－1 m/s2，选项C正确；因0～4 s内图线都在时间轴的上方，故速度一直沿正方向，选项D错误．
[规范思维] 运动的v－t图象是高考的热点．
(1)v－t图象中，图线向上倾斜表示物体做加速运动，向下倾斜表示物体做减速运动．
(2)v－t图象中，图线与横轴所围成的“面积”在数值上等于物体的位移，在t轴下方的“面积”表示位移为负．
[针对训练1] (2010·天津·3)质点做直线运动的v－t图象如图7所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 s内平均速度的大小和方向分别为( )
图7
A．0.25 m/s 向右 B．0.25 m/s 向左
C．1 m/s 向右 D．1 m/s 向左
答案 B
解析 在v－t图象 ，图线与横轴所围面积代表位移，0～3 s内，x1＝3 m，向右；3～8 s内，x2＝－5 m，负号表示向左，则0～8 s内质点运动的位移x＝x1＋x2＝－2 m，向左，＝＝－0.25 m/s，向左，选项B正确．
【例2】 (2010·全国Ⅰ·24)汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60 s内汽车的加速度随时间变化的图线如图8所示．
图8
(1)画出汽车在0～60 s内的v－t图线；
(2)求在这60 s内汽车行驶的路程．
答案 (1)见解析图 (2)900 m
解析 (1)0～10 s内，汽车做初速度为0的匀加速直线运动，10 s末速度v1＝a1t1＝2×10 m/s＝20 m/s
10～40 s内，汽车做匀速直线运动，40～60 s内，汽车做匀减速直线运动．
60 s末的速度v2＝v1＋a2t2＝20 m/s－1×20 m/s＝0.
v－t图线如右图所示．
(2)x＝v1t1＋v1t＋(v1＋v2)t2＝×20×10 m＋20×30 m＋×(20＋0)×20 m＝900 m.
[规范思维] 要掌握v－t图象的斜率表示a，这也是a－t图象与v－t图象的联系点．本题由a－t图象画v－t图象，由v－t图象求路程，设计新颖、环环相扣．
【例3】 某质点在东西方向上做直线运动，其位移－时间图象如图9所示(规定向东为正方向)．试根据图象：
图9
(1)描述质点运动情况；
(2)求出质点在0～4 s、0～8 s、2～4 s三段时间内的位移和路程．
(3)求出质点在0～4 s、4～8 s内的速度．
答案 (1)见解析 (2)见解析 (3)2 m/s，方向向东；4 m/s，方向向西
解析 (1)从图象知：质点从t＝0开始由原点出发向东做匀速直线运动，持续运动4 s，4 s末开始向西做匀速直线运动，又经过2 s，即6 s末回到原出发点，然后又继续向西做匀速直线运动直到8 s末．
(2)在0～4 s内位移大小是8 m，方向向东，路程是8 m.
在0～8 s内的位移为－8 m，负号表示位移的方向向西，说明质点在8 s末时刻处于原出发点西8 m的位置上，此段时间内路程为24 m.
在2～4 s内，质点发生的位移是4 m，方向向东，路程也是4 m.
(3)在0～4 s内质点的速度为
v1＝＝ m/s＝2 m/s，方向向东；
在4～8 s内质点的速度为
v2＝＝ m/s＝－4 m/s，方向向西．
[规范思维] x－t图象不同于v－t图象，x－t图象中，图线向上倾斜表示物体沿正方向运动，向下倾斜表示物体沿负方向运动，图线的斜率表示物体的速度．
[针对训练2] (2010·潍坊二检)一遥控玩具小车在平直路上运动的位移－时间图象如图10所示，则( )
图10
A．15 s末汽车的位移为300 m
B．20 s末汽车的速度为－1 m/s
C．前10 s内汽车的速度为3 m/s
D．前25 s内汽车做单方向直线运动
答案 BC
解析 由位移－时间图象可知：前10 s内汽车做匀速直线运动，速度为3 m/s，加速度为0，所以C正确；10 s～15 s汽车处于静止状态，汽车相对于出发点的位移为30 m，所以A错误；15 s～25 s汽车向反方向做匀速直线运动，速度为－1 m/s，所以D错误，B正确．
二、追及相遇问题
讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件——速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0xB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
【例4】 汽车以25 m/s的速度匀速直线行驶，在它后面有一辆摩托车，当两车相距1 000 m时，摩托车从静止起动做匀加速运动追赶汽车，摩托车的最大速度可达30 m/s，若使摩托车在4 min时刚好追上汽车．求：
(1)摩托车做匀加速运动的加速度a.
(2)摩托车追上汽车前两车相距最大距离x.
答案 (1)2.25 m/s2 (2)1 138 m
解析 (1)设汽车位移为x1，摩托车位移为x2
摩托车的加速度为a，摩托车达到最大速度所用时间为t，则
30 m/s＝at
x1＝25×240 m＝6 000 m
x2＝＋30(240－)
恰好追上的条件为x2＝x1＋1 000 m
解得a＝ m/s2＝2.25 m/s2
(2)摩托车与汽车速度相等时两车相距最远
设此时刻为T，最大距离为xmax
由运动学公式得25 m/s＝aT
解得T＝ s
所以xmax＝1 000＋25T－＝ m
＝1 138 m
[规范思维] (1)要抓住追上的等量关系x2＝x1＋x0；(2)要抓住追上前的临界条件：速度相等．(3)解追及相遇问题除题中所述解析法外，还有图象法、数学极值法等．本题同学们可试着用图象法求解．
[针对训练3] (2009·海南·8)甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图像如图11所示，图中△OPQ和△OQT面积分别是x1和x2(x1图11
A．若x0＝x1＋x2，两车不会相遇
B．若x0C．若x0＝x1，两车相遇1次
D．若x0＝x2，两车相遇1次
答案 ABC
解析 若乙车追上甲车时，甲、乙两车速度相同，即此时t＝T，则x0＝x1，此后甲车速度大于乙车速度，全程甲、乙仅相遇一次；若甲、乙两车速度相同时，x0x1，则此时甲车仍在乙车的前面，以后乙车不可能追上甲车了，全程中甲、乙都不会相遇，综上所述，选项A、B、C对，D错．
【基础演练】
1．(2010·山东淄博期中)如图12所示为一质点做直线运动的速度－时间图象，下列说法正确的是( )
图12
A．整个过程中，CE段的加速度最大
B．整个过程中，BC段的加速度最大
C．整个过程中，D点所表示的状态离出发点最远
D．BC段所通过的路程是34 m
答案 ACD
解析 在速度－时间图象中，斜率代表加速度，CE段的斜率最大，故该段的加速度最大，故选项A正确；在D点，运动方向发生改变，故D点所表示的状态离出发点最远，选项C正确；在速度－时间图象中，图象与横轴所围的面积表示位移大小，故xBC＝ m＝34 m，BC段为单向直线运动，路程与位移相等，选项D正确．
2. 某人骑自行车在平直道路上行进，图13中的实线记录了自行车开始一段时间内的v－t图象．某同学为了简化计算，用虚线作近似处理，下列说法正确的是( )
图13
A．在t1时刻，虚线反映的加速度比实际的大
B．在0～t1时间内，由虚线计算出的平均速度比实际的大
C．在t1～t2时间内，由虚线计算出的位移比实际的大
D．在t3～t4时间内，虚线反映的是匀速直线运动
答案 BD
解析 如右图所示，t1时刻，实线上A点的切线为AB，实际加速度的大小即为AB的斜率，由图可知虚线反映的加速度小于实际加速度，故选项A错误；在v－t图象中，位移等于所对应图线与坐标轴所包围的面积，0～t1时间内，虚线所对应的位移大于实线所对应的位移，由＝知，由虚线计算出的平均速度比实际的大，故选项B正确；在t1～t2时间内，由虚线计算出的位移比实际的小，故选项C错误；t3～t4时间内虚线为平行于时间轴的直线，此线反映的运动为匀速直线运动，故选项D正确．
3．(2011·温州模拟)如图14所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x－t图象，由图可知( )
图14
A．t＝0时，A在B的前面
B．B在t2时刻追上A，并在此后跑在A的前面
C．B开始运动的速度比A小，t2时刻后才大于A的速度
D．A运动的速度始终比B大
答案 AB
解析 t＝0时，A质点在x1处，而B质点在原点处，故A正确；由题图可知，0～t1时间内，A质点运动的速度比B大，但t1以后A质点静止不动，速度为零，故C、D均错误；t2时刻A、B两质点到达同一位置，之后B质点继续向前运动，跑到A质点的前面，故B正确．
4．(2011·潍坊模拟)如图15所示，汽车以10 m/s的速度匀速驶向路口，当行驶至距路口停车线20 m处时，绿灯还有3 s熄灭．而该汽车在绿灯熄灭时刚好停在停车线处，则汽车运动的速度(v)－时间(t)图象可能是( )
图15
答案 BC
解析 清楚地理解v－t图象中“面积”的物理意义是解本题的关键，A、D中的v－t图象中“面积”不等于20 m；B中v－t图象的“面积”可能等于20 m；C中v－t图象的“面积”正好等于20 m．B、C项正确，A、D项错误．
5．t＝0时，甲乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图16所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是( )
图16
A．在第1小时末，乙车改变运动方向
B．在第2小时末，甲乙两车相距10 km
C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D．在第4小时末，甲乙两车相遇
答案 BC
解析 速度－时间图象在t轴以下的均为反方向运动，故2 h末乙车改变运动方向，A错；2 h末从图象围成的面积可知乙车运动位移大小为30 km，甲车位移为30 km，相向运动，此时两车相距70 km－30 km－30 km＝10 km，B对；从图象的斜率看，斜率大加速度大，故乙车加速度在4 h内一直比甲车加速度大，C对；4 h末，甲车运动位移为120 km，乙车运动位移为30 km，两车原来相距70 km，故此时两车还相距20 km，D错．
6．一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间的变化规律如图17所示，取开始运动的方向为正方向，则物体运动的v－t图象正确的是( )
图17
答案 C
解析 本题考查加速度在v－t图象中的表示．在0～1 s内，a＝1 m/s2，物体从静止开始做正向匀加速运动，速度图象是一条直线，1 s末速度v1＝at＝1 m/s.在1 s～2 s内，a2＝－1 m/s2，物体将仍沿正方向运动，但要减速，2 s末时速度v2＝v1＋a2t＝0,2 s～3 s内重复0～1 s内运动情况，3 s～4 s内重复1 s～2 s内运动情况，故选C项．
7. (2011·陕西宝鸡调研)某跳伞运动训练研究所，让一名跳伞运动员从悬停在高空的直升机中跳下，研究人员利用运动员随身携带的仪器记录下了他的运动情况，通过分析数据，定性画出了运动员从跳离飞机到落地的过程中在空中沿竖直方向运动的v－t图象如图18所示，规定向下的方向为正方向，则对运动员的运动，下列说法正确的是( )
图18
A．0～15 s末都做加速度逐渐减小的加速运动
B．0～10 s末做自由落体运动，15 s末开始做匀速直线运动
C．10 s末打开降落伞，以后做匀减速运动至15 s末
D．10 s末～15 s末加速度方向竖直向上，加速度的大小在逐渐减小
答案 D
解析 在v－t图象中，图线的斜率代表加速度，从图象可以看出，0～10 s内，加速度方向向下，图线的斜率越来越小，故不是自由落体运动，是变加速直线运动，10 s末速度达到最大值；10 s末打开降落伞，加速度方向向上，物体做加速度逐渐减小的减速运动，15 s末加速度为零，速度达到稳定值，以后将做匀速直线运动．故选项D正确．
【能力提升】
8．甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9 m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的．为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置标记．在某次练习中，甲在接力区前x0＝13.5 m处作了标记，并以v＝9 m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令．乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒．已知接力区的长度为L＝20 m.
求：(1)此次练习中乙在接棒前的加速度a.
(2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离．
答案 (1)3 m/s2 (2)6.5 m
解析 (1)在甲发出口令后，甲、乙达到共同速度所用时间为t＝①
设在这段时间内甲、乙的位移分别为x1和x2，则
x2＝at2②
x1＝vt③
x1＝x2＋x0④
联立①②③④式解得a＝＝3 m/s2.
(2)在这段时间内，乙在接力区的位移为
x2＝＝13.5 m
完成交接棒时，乙离接力区末端的距离为
L－x2＝6.5 m.
9．(2011·江苏海安模拟)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以v＝10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内．问：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
(2)判定警车在加速阶段能否追上货车．(要求通过计算说明)
(3)警车发动后要多长时间才能追上货车？
答案 (1)75 m (2)不能 (3)12 s
解析 (1)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．则t1＝ s＝4 s
x货＝(5.5＋4)×10 m＝95 m
x警＝at＝×2.5×42 m＝20 m；所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75 m.
(2)vm＝90 km/h＝25 m/s，当警车刚达到最大速度时，运动时间t2＝ s＝10 s
x货′＝(5.5＋10)×10 m＝155 m
x警′＝at＝×2.5×102 m＝125 m
因为x货′>x警′，故此时警车尚未赶上货车．
(3)警车刚达到最大速度时两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30 m，警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间后追赶上货车．则Δt＝＝2 s
所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s才能追上货车．
易错点评
1．要注意区分x－t图象与v－t图象的不同意义．
2．要注意把图象与实际的运动情境相结合．
3．比较位移相等的不同运动形式的时间长短问题用v－t图象方便．
4．用图象解决追及相遇问题简洁直观，便于理解分析．实验目的
1．练习使用打点计时器，利用打点纸带探究小车速度随时间变化的规律
2．能画出小车运动的v－t图象，并根据图象求加速度．
实验原理
1．打点计时器
(1)作用：计时仪器，每隔0.02_s打一次点．
(2)工作条件：
①电磁打点计时器：4 V～6 V的交流电源．
②电火花计时器：220_V的交流电源．
(3)纸带上各点的意义：
①表示和纸带相连的物体在不同时刻的位置．
②通过研究纸带上各点之间的间隔，可以判断物体的运动情况．
2．利用纸带判断物体运动性质的方法
(1)沿直线运动的物体，若相等时间内的位移相等，即x1＝x2＝x3＝…，则物体做匀速直线运动．
(2)沿直线运动的物体在连续相等时间内的位移分别为x1，x2，x3，x4，…，若Δx＝x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝…，则说明物体在做匀变速直线运动，且Δx＝aT2.
3．速度、加速度的求解方法
(1)“平均速度法”求瞬时速度，即vn＝，如图1所示．
图1
(2)“逐差法”求加速度，即a1＝，a2＝，a3＝，然后取平均值，即＝，这样可以使所给数据全部得到利用，以提高结果的准确性．
(3)“图象法”求加速度，即由“平均速度法”求出多个点的速度，画出v－t图，直线的斜率即加速度．
实验器材
电火花计时器(或电磁打点计时器)，一端附有滑轮的长木板，小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸片．
实验步骤
1．仪器安装
(1)把附有滑轮的长木板放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路．
(2)把一条细绳拴在小车上，细绳跨过滑轮，下边挂上合适的钩码，把纸带穿过打点计时器，并将它的一端固定在小车的后面．实验装置见图2所示，放手后，看小车能否在木板上平稳地加速滑行．
图2
2．测量与记录
(1)把小车停在靠近打点计时器处，先接通电源，后放开小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列的点，随后立即关闭电源．换上新纸带，重复三次．
(2)从三条纸带中选择一条比较理想的，舍掉开头一些比较密集的点，从后边便于测量的点开始确定计数点，为了计算方便和减小误差，通常用连续打点五次的时间作为时间单位，即T＝0.1 s，如图3所示，正确使用毫米刻度尺测量每相邻两计数点之间的距离．
图3
(3)利用一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度求得各计数点1、2、3、4、5的瞬时速度．
(4)增减所挂钩码数，或在小车上放置重物，再做两次实验．
数据处理及实验结论
1．由实验数据得出v－t图象．
图4
(1)根据表格中的v、t数据，在平面直角坐标系中仔细描点，如图4，可以看到，对于每次实验，描出的几个点大致落在一条直线上．
(2)做一条直线，使同一次实验得到的各点尽量落到这条直线上，落不到直线上的点，应均匀分布在直线的两侧，这条直线就是本次实验的v－t图象，它是一条倾斜的直线．
2．由实验得出v－t图象后，进一步分析得出小车运动的速度随时间变化的规律
(1)小车运动的v－t图象是一条倾斜的直线如图5所示，当时间增加相同的值Δt时，速度也会增加相同的值Δv，由此得出结论：小车的速度随时间均匀变化．
图5
3．求出小车的加速度：利用v－t图象的斜率求加速度a＝或
利用逐差法求加速度a＝
注意事项
1．纸带和细绳要和木板平行，小车运动要平稳．
2．实验中应先接通电源，后让小车运动；实验后先断开电源后取纸带．
3．要防止钩码落地和小车与滑轮相撞．
4．小车的加速度宜适当大些，可以减小长度的测量误差，加速度大小以能在约50 cm的纸带上清楚地取出6～7个计数点为宜．
5．选择一条理想的纸带，是指纸带上的点迹清晰，舍弃打点密集的部分，适当选取计数点(注意计数点与计时点的区别)，弄清楚所选的时间间隔T等于多少．
题型一 对实验原理的正确理解
【例1】 在做“研究匀变速直线运动”的实验时，为了能够较准确地测出加速度，将你认为正确的选项前面的字母填在横线上：______________________
A．把附有滑轮的长木板放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面
B．把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路
C．再把一条细绳拴在小车上，细绳跨过滑轮，下边挂上合适的钩码，每次必须由静止释放小车
D．把纸带穿过打点计时器，并把它的一端固定在小车的后面
E．把小车停在靠近打点计时器处，接通直流电源后，放开小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列的点，随后立即关闭电源，换上新纸带，重复三次
F．从三条纸带中选择一条比较理想的纸带，舍掉开头比较密集的点，在后边便于测量的地方找一个开始点，并把每打五个点的时间作为时间单位．在选好的开始点下面记作0，往后第六个点作为计数点1，依此标出计数点2、3、4、5、6，并测算出相邻两点间的距离
G．根据公式a1＝(x4－x1)/3T2，a2＝(x5－x2)/3T2，a3＝(x6－x3)/3T2及＝(a1＋a2＋a3)/3求出
答案 ABCDFG
解析 在实验中尽可能地保证小车做匀变速直线运动，同时也要求纸带能尽可能地直接反映小车的运动情况，既要减小运动误差也要减小纸带的分析误差．其中E项中的电源应采用交流电，而不是直流电．
题型二 纸带数据的处理
【例2】 (2010·重庆·22)某同学用打点计时器测做匀加速直线运动的物体的加速度，电源频率f＝50 Hz，在纸带上打出的点中，选出零点，每隔4个点取1个计数点，因保存不当，纸带被污染，如图6所示，A、B、C、D是依次排列的4个计数点，但仅能读出其中3个计数点到零点的距离： xA＝16.6 mm，xB＝126.5 mm，xD＝624.5 mm
图6
若无法再做实验，可由以上信息推知：
(1)相邻两计数点的时间间隔为________ s
(2)打C点时物体的速度大小为________ m/s(取2位有效数字)
(3)物体的加速度大小为________(用xA、xB、xD和f表示)
答案 (1)0.1 (2)2.5 (3) f2
解析 (1)由电源频率f＝50 Hz，可知电源周期
T0＝0.02 s
所以打点周期T＝5×0.02 s＝0.1 s
(2)打C点时物体的速度
vC＝＝ m/s
≈2.5 m/s
(3)xAB＝xB－xA，xBC＝xC－xB，
xCD＝xD－xC
又因xCD－xBC＝xBC－xAB＝aT2＝a()2
所以a＝ f2
[规范思维] 高考对“纸带”的命题往往从以下三个方面设置问题：
(1)利用连续相等时间内的位移之差x2－x1＝x3－x2＝x4－x3＝……等于恒量进行有关计算或判断．
(2)利用平均速度法求瞬时速度；
(3)利用Δx＝aT2(或逐差法)求a.
[针对训练] 某同学在研究小车的运动实验中，获得一条点迹清楚的纸带，如图7所示，已知打点计时器每隔0.02 s 打一个点，该同学选择了A、B、C、D、E、F六个计数点，测量数据如图所示，单位是cm.
图7
(1)小车做什么运动？
(2)试计算瞬时速度vB、vC、vD、vE各多大？
(3)计算小车的加速度多大？
答案 (1)匀加速直线运动
(2)0.415 m/s 0.495 m/s 0.575 m/s 0.655 m/s
(3)2.0 m/s2
解析 (1)因为相邻的位移差
Δx＝BC－AB＝CD－BC＝DE－CD＝EF－DE＝常数，所以小车做匀加速直线运动．
(2)由图可知，相邻计数点的时间间隔
T＝2×0.02 s＝0.04 s
由求瞬时速度的方法可得：
vB＝＝ m/s＝0.415 m/s
vC＝＝ m/s
＝0.495 m/s
vD＝＝ m/s
＝0.575 m/s
vE＝＝ m/s
＝0.655 m/s
(3)a1＝，a2＝
a＝
＝
＝
＝ m/s2
＝2.0 m/s2
1．(2010·鸡西一模)在“研究匀变速直线运动”的实验中，下列方法中有助于减少实验误差的是( )
A．选取计数点，把每打5个点的时间间隔作为一个时间单位
B．使小车运动的加速度尽量小些
C．舍去纸带上开始时密集的点，只利用点迹清晰、点间隔适当的那一部分进行测量、计算
D．适当增加挂在细绳下钩码的个数
答案 ACD
解析 选取计数点可以使用于测量和计算的相邻点的间隔增大，在用直尺测量这些点间的间隔时，在测量绝对误差基本相同的情况下，相对误差较小，因此A正确；在实验中，如果小车运动的加速度过小，打出的点很密，长度测量的相对误差较大，测量准确性降低，因此小车的加速度应适当大些，而使小车加速度增大的常见方法是，适当增加挂在细绳下钩码的个数，以增大拉力，故B项错，D项对；为了减少长度测量的相对误差，舍去纸带上过于密集，甚至分辨不清的点，因此C项正确．
2．“研究匀变速直线运动”的实验中，使用电磁打点计时器(所用交流电的频率为50 Hz)，得到如图8所示的纸带．图中的点为计数点，相邻两计数点间还有四个点未画出来，下列表述正确的是( )
图8
A．实验时应先放开纸带再接通电源
B．(x6－x1)等于(x2－x1)的6倍
C．从纸带可求出计数点B对应的速率
D．相邻两个计数点间的时间间隔为0.02 s
答案 C
3．在研究变速直线运动的实验中，算出小车经过各计数点的瞬时速度如下：
计数点序号 1 2 3 4 5 6
计数点对应的时刻/s 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
通过计数点的速度/(cm·s－1) 44.0 62.0 81.0 100.0 110.0 168.0
为了算出加速度，合理的方法是( )
A．根据任意两个计数点的速度，由公式a＝算出加速度
B．根据实验数据画出v－t图线，量出其倾角α，由公式a＝tan α算出加速度
C．根据实验数据画出v－t图线，由图线上任意两点所对应的速度，用公式a＝算出加速度
D．依次算出通过连续两个计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度
答案 C
解析 方法A偶然性较大，方法D实际上也仅由始末两个速度决定，偶然误差也比较大，只有利用实验数据画出对应的v－t图线，才可充分利用各次测量数据，减少偶然误差．由于物理图象中，坐标轴的分度大小往往是不相等的，根据同一数据，可以画出倾角不同的许多图线，方法B是错误的，另外测量角度误差较大．正确的方法是根据图线找出任意两个时刻对应的速度值，由a＝计算．C正确．
4．(2010·广东·34改编) 图9是某同学在做匀变速直线运动实验中获得的一条纸带．
(1)已知打点计时器电源频率为50 Hz，则纸带上打相邻两点的时间间隔为________．
(2)ABCD是纸带上四个计数点，每两个相邻计数点间有四个点没有画出．从图中读出A、B两点间距x＝____；C点对应的速度是______(计算结果保留三位有效数字)．
图9
答案 (1)0.02 s (2)0.70 cm 10.0 cm/s
5．一个小球沿斜面向下运动，用每间隔 s曝光一次的频闪相机拍摄不同时刻小球位置的照片，如图10所示，即照片上出现的相邻两个小球的像之间的时间间隔为 s，测得小球在几个连续相等时间内的位移数据如下表所示
图10
x1(cm) x2(cm) x3(cm) x4(cm)
8.20 9.30 10.40 11.50
(1)小球在相邻的相等时间内的位移差________(填“相等”或“不相等”)，小球运动的性质属________直线运动．
(2)有甲、乙两同学计算小球加速度的方法如下：
甲同学：a1＝，a2＝，a3＝，
＝.
乙同学：a1＝，a2＝，＝.
你认为甲、乙中两位同学的计算方法更准确的是______，加速度值为________．
答案 (1)相等 匀加速
(2)乙同学 1.10 m/s2
解析 (1)x2－x1＝9.30 cm－8.20 cm＝1.10 cm
x3－x2＝10.40 cm－9.30 cm＝1.10 cm
x4－x3＝11.50 cm－10.40 cm＝1.10 cm
由以上数据可以得出，小球在相邻的相等的时间间隔内位移差相等．即Δx＝K(恒量)，所以小球的运动性质属匀加速直线运动．
(2)用逐差法求加速度可以减小实验误差．故乙同学计算方法更准确．
a1＝ cm/s2＝1.10 m/s2
a2＝ cm/s2＝1.10 m/s2
＝＝1.10 m/s2
6．(2009·天津理综)如图11所示，将打点计时器固定在铁架台上，使重物带动纸带从静止开始自由下落，利用此装置可以测定重力加速度．
图11
(1)所需器材有打点计时器(带导线)、纸带、复写纸、带铁夹的铁架台和带夹子的重物，此外还需________(填字母代号)中的器材．
A．直流电源、天平及砝码 B．直流电源、毫米刻度尺
C．交流电源、天平及砝码 D．交流电源、毫米刻度尺
(2)通过作图象的方法可以剔除偶然误差较大的数据，提高实验的准确程度．为使图线的斜率等于重力加速度，除作v－t图象外，还可作________图象，其纵轴表示的是________，横轴表示的是________．
答案 (1)D (2)—h 速度平方的二分之一 重物下落的高度
解析 (1)打点计时器需接交流电源．重力加速度与物体的质量无关，所以不要天平和砝码．计算速度需要测相邻计数点间的距离，需要毫米刻度尺，选D.
(2)由公式v2＝2gh，如绘出—h图象，其斜率也等于重力加速度．
7．某同学用如图12所示的实验装置研究小车在斜面上的运动．实验步骤如下：
图12
a．安装好实验器材．
b．接通电源后，让拖着纸带的小车沿平板斜面向下运动，重复几次．选出一条点迹比较清晰的纸带，舍去开始密集的点迹，从便于测量的点开始，每两个打点间隔取一个计数点，如图13甲中0、1、2、…、6点所示．
乙
图13
c．测量1、2、3、…、6计数点到0计数点的距离，分别记作：x1、x2、x3、…、x6.
d．通过测量和计算，该同学判断出小车沿平板做匀加速直线运动．
e．分别计算出x1、x2、x3、…、x6与对应时间的比值、、、…、.
f．以为纵坐标、t为横坐标，标出与对应时间t的坐标点，画出－t图线．
结合上述实验步骤，请你完成下列任务；
(1)实验中，除打点计时器(含纸带、复写纸)、小车、平板、铁架台、导线及开关外，在下面的仪器和器材中，必须使用的有________和________．(填选项代号)
A．电压合适的50 Hz交流电源 B．电压可调的直流电源 C．刻度尺 D．秒表 E．天平 F．重锤
(2)将最小刻度为1 mm的刻度尺的0刻线与0计数点对齐，0、1、2、5计数点所在位置如图乙所示，则x2＝____ cm，x5＝________ cm.
(3)该同学在图14中已标出1、3、4、6计数点对应的坐标点，请你在该图中标出与2、5两个计数点对应的坐标点，并画出－t图线．
图14
(4)根据－t图线判断，在打0计数点时，小车的速度v0＝______ m/s；它在斜面上运动的加速度a＝______ m/s2.
答案 (1)A C (2)2.98(2.97～2.99)，
13．20(13.19～13.21) (3)见解析图
(4)0.18(0.16～0.20) 4.80(4.50～5.10)
解析 (1)还需要的实验器材有电压合适的50 Hz交流电源和刻度尺；
(2)用毫米刻度尺读数，注意要估读一位，则x2＝2.98 cm，x5＝13.20 cm；
(3)描点连线如下图所示
(4)设打0点时速度为v0
由运动学公式得x＝v0t＋at2，
即＝v0＋at，v0即图线在轴上的截距．
由图可读出v0＝0.18 m/s
图线的斜率k＝a＝2.4，a＝4.80 m/s2一、概念规律题组
1．在公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2中涉及的五个物理量，除t是标量外，其他四个量v、v0、a、x都是矢量，在直线运动中四个矢量的方向都在一条直线中，当取其中一个量的方向为正方向时，其他三个量的方向与此相同的取正值，与此相反的取负值，若取速度v0方向为正方向，以下说法正确的是( )
A．匀加速直线运动中a取负值
B．匀加速直线运动中a取正值
C．匀减速直线运动中a取正值
D．无论匀加速直线运动还是匀减速直线运动a都取正值
答案 B
解析 据v＝v0＋at可知，当v0与a同向时，v增大；当v0与a反向时，v减小．x＝v0t＋at2也是如此，故当v0取正值时，匀加速直线运动中，a取正；匀减速直线运动中，a取负，故选项B正确．
2．某运动物体做匀变速直线运动，加速度大小为0.6 m/s2，那么在任意1 s内( )
A．此物体的末速度一定等于初速度的0.6倍
B．此物体任意1 s的初速度一定比前1 s末的速度大0.6 m/s
C．此物体在每1 s内的速度变化为0.6 m/s
D．此物体在任意1 s内的末速度一定比初速度大0.6 m/s
答案 C
解析 因已知物体做匀变速直线运动，又知加速度为0.6 m/s2，主要涉及对速度公式的理解：①物体可能做匀加速直线运动，也可能做匀减速直线运动；②v＝v0＋at是矢量式．匀加速直线运动a＝0.6 m/s2；匀减速直线运动a＝－0.6 m/s2.
3．我国自行研制的“枭龙”战机已在四川某地试飞成功．假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为( )
A．vt B. C．2vt D．不能确定
答案 B
解析 因为战机在起飞前做匀加速直线运动，则x＝t＝t＝t.B选项正确．
4．一个做匀加速直线运动的物体，通过A点的瞬时速度是v1，通过B点的瞬时速度是v2，那么它通过AB中点的瞬时速度是( )
A. B. C. D.
答案 C
二、思想方法题组
5．如图1所示，请回答：
图1
(1)图线①②分别表示物体做什么运动？
(2)①物体3 s内速度的改变量是多少，方向与速度方向有什么关系？
(3)②物体5 s内速度的改变量是多少？方向与其速度方向有何关系？
(4)①②物体的运动加速度分别为多少？方向如何？
(5)两图象的交点A的意义．
答案 见解析
解析 (1)①做匀加速直线运动；②做匀减速直线运动
(2)①物体3 s内速度的改变量
Δv＝9 m/s－0＝9 m/s，方向与速度方向相同
(3)②物体5 s内的速度改变量Δv′＝(0－9) m/s＝－9 m/s，负号表示速度改变量与速度方向相反．
(4)①物体的加速度
a1＝＝＝3 m/s2，方向与速度方向相同．
②物体的加速度
a2＝＝＝－1.8 m/s2，方向与速度方向相反．
(5)图象的交点A表示两物体在2 s时的速度相同．
6．汽车以40 km/h的速度匀速行驶．
(1)若汽车以0.6 m/s2的加速度加速，则10 s后速度能达到多少？
(2)若汽车刹车以0.6 m/s2的加速度减速，则10 s后速度减为多少？
(3)若汽车刹车以3 m/s2的加速度减速，则10 s后速度为多少？
答案 (1)17 m/s (2)5 m/s (3)0
解析 (1)初速度v0＝40 km/h≈11 m/s，
加速度a＝0.6 m/s2，时间t＝10 s.
10 s后的速度为
v＝v0＋at＝11 m/s＋0.6×10 m/s＝17 m/s.
(2)汽车刹车所用时间t1＝＝ s>10 s，
则v1＝v0－at＝11 m/s－0.6×10 m/s＝5 m/s.
(3)汽车刹车所用时间t2＝＝ s<10 s，所以10 s后汽车已经刹车完毕，则10 s后汽车速度为零．
思维提升
1．匀变速直线运动的公式都是矢量式，应注意各物理量的正负以及物理量的符号与公式中加减号的区别．
2．一个匀变速运动，其时间中点的速度v1与位移中点的速度v2不同，且不论匀加速还是匀减速总有v13．分析图象应从轴、点、线、面积、斜率等几个方面着手．轴是指看坐标轴代表的物理量，是x－t图象还是v－t图象．点是指看图线与坐标轴的交点或者是图线的折点．线是看图的形状，是直线还是曲线，通过图线的形状判断两物理量的关系，还要通过面积和斜率看图象所表达的含义．
4．①物体做匀减速运动时，必须考虑减速为零后能否返回，若此后物体停止不动，则此后任一时刻速度均为零，不能用公式v＝v0＋at来求速度．
②处理“刹车问题”要先判断刹车所用的时间t0.若题目所给时间tt0，则t秒末的速度为零．
一、匀变速直线运动及其推论公式的应用
1．两个基本公式
(1)速度公式：v＝v0＋at
(2)位移公式：x＝v0t＋at2
两个公式中共有五个物理量，只要其中三个物理量确定之后，另外两个就确定了．原则上应用两个基本公式中的一个或两个联立列方程组，就可以解决任意的匀变速直线运动问题．
2．常用的推论公式及特点
(1)速度—位移公式v2－v＝2ax，此式中不含时间t；
(2)平均速度公式＝v＝，此式只适用于匀变速直线运动，式中不含有时间t和加速度a；＝，可用于任何运动．
(3)位移差公式Δx＝aT2，利用纸带法求解加速度即利用了此式．
(4)初速度为零的匀加速直线运动的比例式的适用条件：初速度为零的匀加速直线运动．
3．无论是基本公式还是推论公式均为矢量式，公式中的v0、v、a、x都是矢量，解题时应注意各量的正负．一般先选v0方向为正方向，其他量与正方向相同取正值，相反取负值．
【例1】 (2010·湖南·24)短跑名将博尔特在北京奥运会上创造了100 m和200 m短跑项目的新世界纪录，他的成绩分别是9.69 s和19.30 s．假定他在100 m比赛时从发令到起跑的反应时间是0.15 s，起跑后做匀加速运动，达到最大速率后做匀速运动.200 m比赛时，反应时间及起跑后加速阶段的加速度和加速时间与100 m比赛时相同，但由于弯道和体力等因素的影响，以后的平均速率只有跑100 m时最大速率的96%.求：
(1)加速所用时间和达到的最大速率；
(2)起跑后做匀加速运动的加速度．(结果保留两位小数)
答案 (1)1.29 s 11.24 m/s (2)8.71 m/s2
解析 (1)设加速所用时间为t(以s为单位)，匀速运动时的速度为v(以m/s为单位)，则有
vt＋(9.69－0.15－t)v＝100①
vt＋(19.30－0.15－t)×0.96v＝200②
由①②式得
t＝1.29 s
v＝11.24 m/s
(2)设加速度大小为a，则
a＝＝8.71 m/s2
[规范思维] (1)对于物体的直线运动，画出物体的运动示意图(如下图)，分析运动情况，找出相应的规律，是解题的关键．
(2)本题表示加速阶段的位移，利用了平均速度公式＝，平均速度 还等于v.公式特点是不含有加速度，且能避开繁琐的计算，可使解题过程变得非常简捷．
[针对训练1] (2009·江苏·7)如图2所示，以8 m/s匀速行驶的汽车即将通过路口，绿灯还有2 s将熄灭，此时汽车距离停车线18 m．该车加速时最大加速度大小为2 m/s2，减速时最大加速度为5 m/s2.此路段允许行驶的最大速度为12.5 m/s.下列说法中正确的有( )
图2
A．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前汽车可能通过停车线
B．如果立即做匀加速运动，在绿灯熄灭前通过停车线汽车一定超速
C．如果立即做匀减速运动，在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线
D．如果距停车线5 m处减速，汽车能停在停车线处
答案 AC
解析 如果立即做匀加速直线运动，t1＝2 s内汽车的位移x1＝v0t1＋a1t＝20 m>18 m，此时汽车的速度v1＝v0＋a1t1＝12 m/s<12.5 m/s，汽车没有超速，A项正确，B项错误；如果立即做匀减速运动，速度减为零需要时间t2＝＝1.6 s，此过程通过的位移为x2＝a2t＝6.4 m，C项正确，D项错误．
【例2】(全国高考)已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为l1，BC间的距离为l2，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等．求O与A的距离．
答案
解析 首先画出运动情况示意图：
解法一 基本公式法
设物体的加速度为a，到达A点时的速度为v0，通过AB段和BC段所用的时间都为t，则有l1＝v0t＋at2
l1＋l2＝2v0t＋a(2t)2
联立以上二式得l2－l1＝at2
3l1－l2＝2v0t
设O与A的距离为l，则有l＝
联立以上几式得l＝.
解法二 利用推论法
由连续相等时间内的位移之差公式得：
l2－l1＝at2①
又由平均速度公式：vB＝②
l＋l1＝③
由①②③得：l＝.
[规范思维] (1)合理选用公式可简化解题过程．本题中解法二中利用位移差求加速度，利用平均速度求瞬时速度，使解析过程简化了．
(2)对于多过程问题，要注意x、v0、t等量的对应关系，不能“张冠李戴”．
[针对训练2] (安徽省2010届高三第一次联考)一个质点正在做匀加速直线运动，用固定在地面上的照相机对该质点进行闪光照相，由闪光照片得到的数据，发现质点在第一次、第二次闪光的时间间隔内移动了2 m；在第三次、第四次闪光的时间间隔内移动了8 m．由此可求得( )
A．第一次闪光时质点的速度
B．质点运动的加速度
C．从第二次闪光到第三次闪光这段时间内质点的位移
D．质点运动的初速度
答案 C
解析 质点运动情况如图所示．照相机照相时，闪光时间间隔都相同，第一次、第二次闪光的时间间隔内质点通过的位移为x1，第二次、第三次闪光时间内质点位移为x2，第三、四次闪光时间内质点位移为x3，则有x3－x2＝x2－x1，所以x2＝5 m.
由于不知道闪光的周期，无法求初速度、第1次闪光时的速度和加速度．C项正确．
二、用匀变速运动规律分析两类匀减速运动
1．刹车类问题：即匀减速直线运动到速度为零后即停止运动，加速度a突然消失，求解时要注意先确定其实际运动时间．
2．双向可逆类：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，故求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正、负号．
3．逆向思维法：对于末速度为零的匀减速运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速运动．
【例3】 一辆汽车以72 km/h的速度行驶，现因故紧急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程中加速度的大小为5 m/s2，则从开始刹车经过5 s，后汽车通过的距离是多少？
答案 40 m
解析 设汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为t0，选v0的方向为正方向．
v0＝72 km/h＝20 m/s，由v＝v0＋at0得
t0＝＝ s＝4 s
可见，该汽车刹车后经过4 s就已经停止，最后1 s是静止的．
由x＝v0t＋at2知刹车后5 s内通过的距离
x＝v0t0＋at02＝[20×4＋×(－5)×42] m＝40 m.
[规范思维] 此题最容易犯的错误是将t＝5 s直接代入位移公式得x＝v0t＋at2＝[20×5＋×(－5)×52] m＝37.5 m，这样得出的位移实际上是汽车停止后又反向加速运动1 s的总位移，这显然与实际情况不相符．
[针对训练3] 物体沿光滑斜面上滑，v0＝20 m/s，加速度大小为5 m/s2，求：
(1)物体多长时间后回到出发点；
(2)由开始运动算起，求6 s末物体的速度．
答案 (1)8 s (2)10 m/s，方向与初速度方向相反
解析 由于物体连续做匀减速直线运动，加速度不变，故可以直接应用匀变速运动公式，以v0的方向为正方向．
(1)设经t1秒回到出发点，此过程中位移x＝0，代入公式x＝v0t＋at2，并将a＝－5 m/s2代入，得
t＝－＝－ s＝8 s.
(2)由公式v＝v0＋at知6 s末物体的速度
vt＝v0＋at＝[20＋(－5)×6] m/s＝－10 m/s.
负号表示此时物体的速度方向与初速度方向相反.
【基础演练】
1．(北京市昌平一中2010第二次月考)某人欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机停止运动前在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，则飞机着陆时的速度为( )
A. B. C. D.到之间的某个值
答案 B
解析 根据公式＝＝解得v＝
2．(福建省季延中学2010高三阶段考试)在交通事故的分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动时留下的滑动痕迹．在某次交通事故中，汽车的刹车线长度是14 m，假设汽车轮胎与地面间的动摩擦因数恒为0.7，g取10 m/s2，则汽车刹车前的速度大小为( )
A．7 m/s B．10 m/s C．14 m/s D．20 m/s
答案 C
解析 设汽车刹车后滑动时的加速度大小为a，由牛顿第二定律可得μmg＝ma，a＝μg
由匀变速直线运动速度—位移关系式v＝2ax，可得汽车刹车前的速度为
v0＝＝
＝ m/s＝14 m/s
3．(2010·聊城模拟)物体沿一直线运动，在t时间内通过的位移为x，它在中间位置x处的速度为v1，在中间时刻t时的速度为v2，则v1和v2的关系为( )
A．当物体做匀加速直线运动时，v1>v2
B．当物体做匀减速直线运动时，v1>v2
C．当物体做匀速直线运动时，v1＝v2
D．当物体做匀减速直线运动时，v1答案 ABC
解析 设物体的初速度为v0、末速度为vt，由
v－v＝v－v＝2a·.
所以路程中间位置的速度为
v1＝.①
物体做匀变速直线运动时中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度，即v2＝②
第①式的平方减去第②式的平方得
v－v＝.
在匀变速或匀速直线运动的过程中，v－v一定为大于或等于零的数值，所以v1≥v2.
4．2009年3月29日，中国女子冰壶队首次夺得世界冠军，如图3所示，一冰壶以速度v垂直进入三个矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间分别是( )
图3
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝∶∶1
C．t1∶t2∶t3＝1∶∶
D．t1∶t2∶t3＝(－)∶(－1)∶1
答案 BD
解析 因为冰壶做匀减速运动，且末速度为零，故可以看做反向匀加速直线运动来研究．初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比为1∶(－1)∶(－)，故所求时间之比为(－)∶(－1)∶1，所以选项C错，D正确；由v2－v＝2ax可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶∶，则所求的速度之比为∶∶1，故选项A错，B正确，所以正确选项为B、D.
5．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m．则刹车后6 s内的位移是( )
A．20 m B．24 m C．25 m D．75 m
答案 C
6. 如图4所示，在光滑的斜面上放置3个相同的小球(可视为质点)，小球1、2、3距斜面底端A点的距离分别为x1、x2、x3，现将它们分别从静止释放，到达A点的时间分别为t1、t2、t3，斜面的倾角为θ.则下列说法正确的是( )
图4
A.＝＝ B.>>
C.＝＝ D．若θ增大，则的值减小
答案 BC
7. (2011·天津五校联考)如图5所示，小球沿足够长的斜面向上做匀变速运动，依次经a、b、c、d到达最高点e.已知ab＝bd＝6 m，bc＝ 1 m，小球从a到c和从c到d所用的时间都是2 s，设小球经b、c时的速度分别为vb、vc，则( )
图5
A．vb＝ m/s B．vc＝3 m/s
C．de＝3 m D．从d到e所用时间为4 s
答案 BD
【能力提升】
8．(2011·上海闸北八中学月考)某动车组列车以平均速度v行驶，从甲地到乙地的时间为t.该列车以速度v0从甲地出发匀速前进，途中接到紧急停车命令后紧急刹车，列车停车后又立即匀加速到v0，继续匀速前进．从开始刹车至加速到v0的时间是t0，(列车刹车过程与加速过程中的加速度大小相等)，若列车仍要在t时间内到达乙地．则动车组列车匀速运动的速度v0应为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 该动车组从开始刹车到加速到v0所发生的位移大小为·t0，依题意，动车组两次运动所用的时间相等，即＋t0＝t，解得v0＝，故正确答案为C.
9．(2010·天星调研)航空母舰(Aircraft Carrier)简称“航母”、“空母”，是一种可以供军用飞机起飞和降落的军舰．蒸汽弹射起飞，就是使用一个长平的甲板作为飞机跑道，起飞时一个蒸汽驱动的弹射装置带动飞机在两秒钟内达到起飞速度，目前只有美国具备生产蒸汽弹射器的成熟技术．某航空母舰上的战斗机，起飞过程中最大加速度a＝4.5 m/s2，飞机要达到速度v0＝60 m/s才能起飞，航空母舰甲板长L＝289 m，为使飞机安全起飞，航空母舰应以一定速度航行以保证起飞安全，求航空母舰的最小速度v的大小．(设飞机起飞对航空母舰的状态没有影响，飞机的运动可以看做匀加速直线运动)
答案 9 m/s
解析 解法一 若航空母舰匀速运动，以地面为参考系，设在时间t内航空母舰和飞机的位移分别为x1和x2，航母的最小速度为v，由运动学知识得
x1＝vt，x2＝vt＋at2，x2－x1＝L，
v0＝v＋at
联立解得v＝9 m/s.
解法二 若航空母舰匀速运动，以航空母舰为参考系，则飞机的加速度即为飞机相对航空母舰的加速度，当飞机起飞时甲板的长度L即为两者的相对位移，飞机相对航空母舰的初速度为零，设航空母舰的最小速度为v，则飞机起飞时相对航空母舰的速度为(v0－v)
由运动学公式可得(v0－v)2－0＝2aL，解得v＝9 m/s.
10．(2010·岳阳模拟)如图6所示，某直升飞机在地面上空某高度A位置处于静止状态待命，要求该机10时56分40秒由静止状态沿水平方向做匀加速直线运动，经过AB段加速后，进入BC段的匀速受阅区，11时准时通过C位置，如图7所示．已知xAB＝5 km，xBC＝10 km.问：
图6
图7
(1)直升飞机在BC段的速度大小是多少？
(2)在AB段飞机做匀加速直线运动时的加速度大小是多少？
答案 (1)100 m/s (2)1 m/s2
解析 (1)设BC段飞机做匀速直线运动的速度大小为v，运动的时间为t2.在AB段飞机做匀加速直线运动的时间为t1，加速度的大小为a.
对AB段，由平均速度公式得到：
(v＋0)/2＝xAB/t1①
对BC段，由匀速直线运动的速度公式可得：
v＝xBC/t2②
根据飞机10时56分40秒由A出发，11时准时通过C位置，则：
t1＋t2＝200 s③
联立①②③，代入已知数据解得
v＝100 m/s，
(2)在AB段，由运动学公式v－v＝2ax得：
a＝v2/2xAB＝1 m/s2.
易错点评
1．在用比例法解题时，要注意初速度为0这一条件．若是匀减速运动末速度为0，应注意比例的倒置．
2．匀变速直线运动公式中各物理量是相对于同一惯性参考系的，解题中应注意参考系的选取．
3．解匀减速类问题，要注意区分“返回式”和“停止式”两种情形，特别是“停止式”要先判明停止时间，再根据情况计算．
