【精品解析】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形同步测试练习题(含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形同步测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题 ( http: / / www.21cnjy.com )目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21·世纪*教育网
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知的半径为5cm，点P到圆心的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（ ）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
2、如图，中，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
3、圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
4、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．10
5、已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
6、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）
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A．5 B． C． D．
7、如图，已知中，，则圆周角的度数是（ ）
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A．50° B．25° C．100° D．30°
8、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（ ）2·1·c·n·j·y
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A． B． C． D．
9、下列说法中，正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．过任意三点可以画一个圆
C．周长相等的圆是等圆
D．平分弦的直径垂直于弦
10、已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．
2、如图，在中，，分别以、、边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为__________．
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3、如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )AB⊥AC，∠C=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分面积为___________（用含π的代数式表示）．【版权所有：21教育】
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4、 “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一 ( http: / / www.21cnjy.com )，即：求作一个正方形，使其面积等于给定圆的面积．这个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的．如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：21*cnjy*com
已知：⊙O（纸片），其半径为．
求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积．
作法：①如图1，取⊙O的直径，作射线，过点作的垂线；
②如图2，以点为圆心，为半径画弧交直线于点；
③将纸片⊙O沿着直线向右无滑动地滚动半周，使点，分别落在对应的，处；
④取的中点，以点为圆心，为半径画半圆，交射线于点；
⑤以为边作正方形．
正方形即为所求．
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根据上述作图步骤，完成下列填空：
（1）由①可知，直线为⊙O的切线，其依据是________________________________．
（2）由②③可知，，，则_____________，____________（用含的代数式表示）．
（3）连接，在Rt中，根据，可计算得_________（用含的代数式表示）．由此可得．
5、圆锥的母线长为，底面圆半径为r，则全面积为______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O和⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，
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（1）连接OP；
（2）分别以点O和点P为圆心，大于的长半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（3）作直线MN，交OP于点C；
（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；
（5）作直线PA，PB．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线
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完成如下证明：
证明：连接OA，OB，
∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上
∴∠OAP=90°（___________）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴直线PA是⊙O的切线（___________）（填推理的依据）．
同理可证直线PB是⊙O的切线．
2、如图1，BC是⊙O的直径，点A，P ( http: / / www.21cnjy.com )在⊙O上，且分别位于BC的两侧（点A、P均不与点B、C重合），过点A 作AQ⊥AP，交PC 的延长线于点Q，AQ交⊙O于点D，已知AB＝3，AC＝4．
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（1）求证：△APQ∽△ABC．
（2）如图2，当点C为的中点时，求AP的长．
（3）连结AO，OD，当∠PAC与△AOD的一个内角相等时，求所有满足条件的AP的长．
3、如图，内接于⊙O，且为⊙O的直径，交于点，在的延长线上取点，使得∠DCE＝∠B．
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（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求AE的长．
4、如图，A是上一点，过点A作的切线．
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（1）①连接OA并延长，使AB=OA；
②作线段OB的垂直平分线；使用直尺和圆规，在图中作OB的垂直平分线l（保留作图痕迹）．
（2）直线l即为所求作的切线，完成如下证明．
证明：在中，∵直线l垂直平分OB
∴直线l经过半径OA的外端，且__________，
∴直线l是的切线（____________）（填推理的依据）．
5、在平面直角坐标系中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于，两点，对于点Р和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点Р为的“图象关联点”．【来源：21cnj*y.co*m】
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（1）已知，，，，在点E，F，G，H中，的”图象关联点”是______；
（2）已知的“图象关联点”P在第一象限，若，判断OP与的位置关系，并证明；
（3）已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形ABCD内时，直接写出抛物线中a的取值范围．21·cn·jy·com
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点P与圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．【出处：21教育名师】
2、C
【分析】
由题意直接根据圆周角定理进行分析即可得出答案.
【详解】
解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，，
∴∠ABC=∠AOC=.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆周角定理，注意掌握同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半．
3、B
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．2-1-c-n-j-y
4、A
【分析】
根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
5、A
【分析】
圆的半径为 圆心到直线的距离为 当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．
【详解】
解：∵⊙O的半径等于为8，圆心O到直线l的距离为为6，
∴，
∴直线l与相离，
∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，
故选A．
【点睛】
本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．
6、D
【分析】
连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．
【详解】
解：连接OF，OE，OG，
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∵AB、BC、CD分别与相切，
∴，，，且，
∴OB平分，OC平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．21教育名师原创作品
7、B
【分析】
根据圆周角定理，即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
8、B
【分析】
阴影部分的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，
由旋转性质可知：，，
，，
在中，，，，
，，
有勾股定理可知：，
阴影部分的面积=扇形扇形
．
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．
9、C
【分析】
根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．
【详解】
A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；
B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；
C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．
10、B
【分析】
圆的半径为 圆心O到直线l的距离为 当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.
【详解】
解： ⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，
⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，
直线l与⊙O的位置关系为相切，
故选B
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.
二、填空题
1、六
【分析】
由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．
【详解】
解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：
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∵半径与边长相等，
∴这个三角形是等边三角形，
∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形
故答案为：六．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键．
2、
【分析】
根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即．
【详解】
解：在中，，
，
．
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理，求扇形面积，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
3、
【分析】
连接，根据阴影部分面积为，根据等边三角形的面积，扇形面积公式进行计算即可
【详解】
解：如图，连接
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，，
，
AB为直径
是等边三角形
阴影部分面积为
故答案为：
【点睛】
本题考查了求扇形面积，添加辅助线将阴影部分面积转化为是解题的关键．
4、（1）经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2），；（3）
【分析】
（1）根据切线的定义判断即可．
（2）由=AC+，计算即可；根据计算即可．
（3）根据勾股定理，得即为正方形的面积，比较与圆的面积的大小关机即可．
【详解】
解：（1）∵⊙O的直径，作射线，过点作的垂线，
∴经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
故答案为：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
（2）根据题意，得AC=r，==πr，
∴=AC+=r+πr，
∴=；
∵，
∴MA=-r=，
故答案为：，；
（3）如图，连接ME，
根据勾股定理，得
=
=；
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故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆的切线的定义，勾股定理，圆的周长，正方形的面积和性质，熟练掌握圆的切线的定义，勾股定理，正方形的性质是解题的关键．21世纪教育网版权所有
5、
【分析】
根据圆锥的展开图为扇形，结合弧长公式、圆周长的求解公式、面积的求解公式，圆锥侧面积的求解公式可得出答案．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
故可得，这个扇形的半径为，扇形的弧长为，
圆锥的侧面积为；
圆锥的全面积为圆锥的底面积侧面积：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
1、直径所对的圆周角是直角 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】
连接OA，OB，根据圆周角定理可知∠OAP=90°，再依据切线的判定证明结论；
【详解】
证明：连接OA，OB，
∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上，
∴∠OAP=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴直线PA是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
同理可证直线PB是⊙O的切线，
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
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2、（1）见解析；（2）（3）当，时，；当时，．
【分析】
（1）通过证，，即可得；
（2）先证是等腰直角三角形，求，通过，得，求CQ长，即可求PQ得长，通过，即可得，即可求AP．
（3）分类讨论， ，，，三种情况讨论，再通过勾股定理和相似即可求解．
【详解】
证明：（1）∵AQ⊥AP
∴
∵BC是⊙O的直径
∴
∴
∵
∴
（2）如图，连接CD，PD
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∵BC是⊙O的直径
∴
∵AB＝3，AC＝4
∴利用勾股定理得：,即直径为5
∵
∴
∴DP是⊙O的直径，且DP=BC=5
∵点C为的中点
∴CD=PC
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴利用勾股定理得：,则
∵，
∴
∵
∴
∴，即：
∴
∴
∵
∴，即：
∴
（3）连接AO,OD，OP，CD，OD交AC于点M
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∵（已证）
∴OD,OP共线，为⊙O的直径
情况一：当时
∵，
∴
∴AP=PC
∵
∴
∴
∴即
∵AP=PC
∴
∴在中，
∴
∴在中，
情况二：当时，
∵
∴
∴
同情况一：
情况三：当时
∵，
∴
∴，
∵OA=OD
∴
∴
∴
综上所述，当，时，；当时，．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径 ( http: / / www.21cnjy.com )定理，圆的内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，是圆的综合题。解答此题的关键是，通过圆的性质，找到角与角、边与边之间的关系．
3、（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠DCE=∠DEC，∠A=∠ACO，可得出∠DCE+∠ACO=90°，则可得出结论．21教育网
（2）过点D作DF⊥CE于点F，由勾股定理求出AB=5，证明△AOE∽△ACB，得出比例线段，即可求出AE．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
（1）证明：连接OC，如图1，
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∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∵∠DEC=∠AEO，
∴∠DCE=∠AEO，
∵OA⊥OE，
∴∠A+∠AEO=90°，
∴∠DCE+∠A=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠DCE+∠ACO=90°，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，
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∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AOE，
∵AC=2，，
∴AB=，
又∵∠A=∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质和判定，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．21cnjy.com
4、（1）见解析；（2）l⊥OA，经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线．
【分析】
（1）根据题中给出的作图步骤完成作图即可；
（2）根据切线的判定定理证明即可
【详解】
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形如图所示；
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（2）完成下面的证明
证明：在中，∵直线l垂直平分OB
∴直线l经过半径OA的外端，且l⊥OA，
∴直线l是的切线(经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线) ．
【点睛】
本题考查了做垂线，切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键．
5、（1）F，H；（2）相切，见解析；（3）－＜a＜－
【分析】
（1）根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可；
（2）连接PM，过点M作MN⊥OP于N，证明即可；
（3）求出点Р纵坐标为1.5或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过，两点且顶点为P，
则顶点P的横坐标为，
∵在点E，F，G，H中，，横坐标为，
∴在点E，F，G，H中，的”图象关联点”是F，H；
故答案为：F，H；
（2）OP与⊙M的位置关系是：相切.
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∵AB为⊙M的直径，
∴为的中点.
∵A（1，0）， B（4，0），
.
∴.
连接PM.
∵P为⊙M的“图象关联点”，
∴点P为抛物线的顶点.
∴ 点P在抛物线的对称轴上.
∴PM是AB的垂直平分线.
∴PM⊥AB.
过点M作MN⊥OP于N.
∵OP＝PM
∴
∴OP与⊙M相切
（3）由（1）可知，顶点P的横坐标为，由（2）可知⊙M的半径为1.5，
已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形ABCD内时，
顶点P的纵坐标范围是大于1.5且小于2，
当抛物线顶点坐标为（2.5，2）时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，；
当抛物线顶点坐标为（2.5，1.5）时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，；
∴a的取值范围－＜a＜－．
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【点睛】
本题考查了二次函数的综合和切线的证明，解题关键是熟练运用二次函数的性质和切线判定定理进行求解与证明．21*cnjy*com
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