【精品解析】沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形专项测试练习题(含详解)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专项测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相 ( http: / / www.21cnjy.com )应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21*cnjy*com
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
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A． B． C． D．
2、如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（　　）
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A．50° B．55° C．65° D．75°
3、如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
4、如图，ABC内接于⊙O，，BD为⊙O的直径，且BD＝2，则DC＝（ ）
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A．1 B． C． D．
5、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（ ）
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A． B．
C． D．
6、如图，菱形ABCD的顶点B，C，D均在⊙A上，点E在弧BD上，则∠BED的度数为（　　）
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A．90° B．120° C．135° D．150°
7、如图，中，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
8、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．10
9、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（ ）
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A． B． C． D．
10、如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ）
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A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，为的直径，弦于点，，，则的长为________．
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2、往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为8cm，则水面AB的宽度为___cm．
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3、在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的圆O交BC边于点D．要使得圆O与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是 _________ ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > AB；④AB < DE < AB．
4、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．则∠APB=________度；
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5、如图AB为⊙O的直径， ( http: / / www.21cnjy.com )点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号）
①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=．2-1-c-n-j-y
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，为⊙O的直径，半径于O，⊙O的弦与相交于点F，⊙O的切线交的延长线于点E．
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（1）求证：；
（2）若⊙O的半径长为3，且，求的长．
2、在平面直角坐标系xOy中，图 ( http: / / www.21cnjy.com )形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”．
（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；
②在点（0，2） ，（3，3），（，0）中，⊙O的“倍点”是________；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（，1），若点E（，3） 是正方形ABCD的“倍点”，求的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积．
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3、如图，点O，B的坐标分别是（0，0），（3，0）．将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1．
（1）画出平面直角坐标系和三角形△OA1B1；
（2）求旋转过程中点B走过的路径的长．
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4、下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，．
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求作：直线BD，使得．
作法：如图，
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①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作孤，交于点D；
④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在上，，
∴______．
∴（______）（填推理的依据）．
∴．
5、已知：A，B是直线l上的两点．
求作：ABC，使得点C在直线l上方，且AC=BC，．
作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；
④连接AC，BC．ABC就是所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴OAB是等边三角形．
∴．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝∠AOB（ ）（填推理的依据）．
∴．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC（ ）（填推理的依据）．
∴ABC就是所求作的三角形．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H，首先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用等面积法求出BD的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据30°角直角三角形的性质求出OH的长度，最后根据进行计算即可．21cnjy.com
【详解】
解：如图所示，连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H
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∵，，
∴在中，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆
∴是圆的直径，
∴
∴，即
解得：
又∵
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∵OH⊥CD
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了30°角直角三角形的性质，等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．21·cn·jy·com
2、C
【分析】
首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．
【详解】
解：∵BD是切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BOC＝50°，
∴∠A＝∠BOC＝25°，
∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3、B
【分析】
由垂径定理可知，AE=CE，则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，求出，然后利用扇形面积公式，即可求出答案．21·世纪*教育网
【详解】
解：根据题意，如图：
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∵AB是的直径，OD是半径，，
∴AE=CE，
∴阴影CED的面积等于AED的面积，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选：B
【点睛】
本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算．
4、C
【分析】
根据三角形内角和定理求得，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得的长2·1·c·n·j·y
【详解】
解：
为⊙O的直径，
在，， BD＝2，
故选C
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
5、D
【分析】
本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21*cnjy*com
【详解】
如图，AS交圆于点E，连接EB，
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由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．【来源：21cnj*y.co*m】
所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．
∴cos∠ASB＞cos50°，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6、B
【分析】
连接AC，根据菱形的性质得到△ABC、△ACD是等边三角形，求出∠BCD=120°，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】
如图，连接AC
∴AC=AB=AD
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=AD=CD=AC
∴△ABC、△ACD是等边三角形
∴∠ACB=∠ACD=60°
∴∠BCD=120°
∵优弧
∴∠BED=∠BCD=120°
故选B．
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【点睛】
此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知菱形的性质及圆周角定理．
7、C
【分析】
由题意直接根据圆周角定理进行分析即可得出答案.
【详解】
解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，，
∴∠ABC=∠AOC=.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆周角定理，注意掌握同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半．
8、A
【分析】
根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．21教育网
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆角， ( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9、B
【分析】
阴影部分的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，
由旋转性质可知：，，
，，
在中，，，，
，，
有勾股定理可知：，
阴影部分的面积=扇形扇形
．
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．
10、D
【分析】
连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．
【详解】
解：连接CD，如图所示：
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∵点D是AB的中点，，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得；
故选D．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
二、填空题
1、8
【分析】
如图所示，连接OC，由垂径定理可得，再由勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接OC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD=8，
∴，∠OHC=90°，
∵OC=OA=5，
∴，
∴AH=OA+OH=8，
故答案为：8．
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【点睛】
本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．
2、24
【分析】
连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出AB的长．
【详解】
解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D．
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∵OC⊥AB，
∴AC＝CB，
∵OA＝OD＝13cm，CD＝8cm，
∴OC＝OD﹣CD＝5（cm），
∴，
∴AB＝2AC＝24（cm），
故答案为：24．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
3、②④
【分析】
将所给四个条件逐一判断即可得出结论．
【详解】
解：在中，
①当∠BAC > 60°时，若时，点E与点A重合，不符合题意，故①不满足；
②当∠ABC时，点E与点A重合，不符合题意，当∠ABC时，点E与点O不关于AD对称，当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，
所以，当45° < ∠ABC < 60°时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故②满足条件；
③当时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故③不满足条件；
④当AB < DE < AB时，点E关于直线AD的对称点在线段OA上，故④满足条件；
所以，要使得与AC边的交点E关于直线AD的对称点在线段OA上（不与端点重合），需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或AB < DE < AB21世纪教育网版权所有
故答案为②④
【点睛】
本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键．
4、60
【分析】
先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据切线长定理可得，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．
【详解】
解：是的切线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
5、①②④
【分析】
连接OM，由切线的性质可得，继而得，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得，由此可判断①；通过证明，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出，利用弧长公式求得的长可判断③；由，，，可得，继而可得，，进而有，在中，利用勾股定理求出PD的长，可得，由此可判断④．
【详解】
解：连接OM，
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∵PE为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即AM平分，故①正确；
∵AB为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为，故③错误；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由①可得，
，
故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．www.21-cn-jy.com
三、解答题
1、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC．根据半径相等，利用切线的性质和等角的余角相等证得∠ECF＝∠EFC，即可得到结论；
（2）设BF＝BE＝x，在Rt△OCE中，利用勾股定理可求得x＝2，再在Rt△ODF中，利用勾股定理即可求解．21教育名师原创作品
【详解】
（1）证明：如图，连接OC．
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∵CE切⊙O于点C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCF＋∠ECF＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠D＋∠DFO＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD，
∴∠ECF＝∠OFD
又∵∠OFD＝∠EFC
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF；
（2）解： ∵BF＝BE，
设BF＝BE＝x，则EC＝EF＝2x，OE＝3＋x，
在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2，
∴32＋(2x)2＝(3＋x)2，
解得x1＝0(舍)，x2＝2，
∴OF＝OB－FB＝1，
在Rt△ODF中，．
【点睛】
本题考查了切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2、（1）① 2；② ；（2）t的值为3或；（3）π
【分析】
（1）①根据定义解答即可；②分别找出的最大值，再根据定义判断即可；
（2） 如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为．若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为． 分， 和【来源：21·世纪·教育·网】
分别讨论即可求解；
（3）分线段MN在内部和在外部两种情况讨论即可.
【详解】
（1）①圆上两点之间的最大距离是直径2，根据定义可知d= 2，
故答案为：2；
②由图可知，故不是图形W的“倍点”； ，故不是图形W的“倍点”；，当Q（1，0）时，=2d，故P为图形W的“倍点”；【出处：21教育名师】
故答案为：；
（2）如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为．
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依题意，若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为．
当时，点E到ABCD上的点的最大距离为EC的长． 取点H（1，3），则CH⊥EH且CH=4，此时可求得EH=4，从而点E的坐标为，即；
当时，点E到ABCD上的点的最大距离为ED的长．由对称性可得点E的坐标为，即．
当时，显然不符合题意．
综上，t的值为3或．
（3）MN上d=2，2d=4，
当线段MN在内部时，T组成的图形为半径为4的圆，，
当线段MN在外部时，T组成的图形为半径为8的圆，，
故点T所构成的图形的面积为或.
【点睛】
此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
3、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据点O的坐标确定直角坐标系，根据旋转的性质确定点A1、B1，顺次连线即可得到△OA1B1；
（2）利用弧长公式计算即可．
【详解】
解：（1）如图，△OA1B1即为所求三角形；
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（2）旋转过程中点B走过的路径的长=．
【点睛】
此题考查了旋转作图，弧长的计算公式，正确掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键．
4、（1）作图见解析；（2） 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【分析】
（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；
（2）由作图可得，证明，利用圆周角定理可得，从而可得答案.
【详解】
解：（1）如图，直线BD就是所求作的直线
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（2）证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在上，，
∴．
∴（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∴．
故答案为： 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【点睛】
本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键.【版权所有：21教育】
5、（1）见解析；（2）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
【分析】
（1）根据题意补全图形；
（2）根据同一个圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，及垂直平分线上的点到两端点的距离相等即可．
【详解】
（1）作图正确；
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（2）证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴OAB是等边三角形．
∴．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝∠AOB（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）（填推理的依据）．
∴．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）（填推理的依据）．
∴ABC就是所求作的三角形，
故答案是：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
【点睛】
本题是圆的综合题、作图、考查了圆周角定理、垂直平分线、等腰三角形，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及作图的基本能力．
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