【精品解析】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形专项训练试题(含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专项训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应 ( http: / / www.21cnjy.com )的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。【来源：21·世纪·教育·网】
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
2、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝37°，则∠AOB的度数是（ ）
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A．73° B．74° C．64° D．37°
3、如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切 ( http: / / www.21cnjy.com )于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（　　）2·1·c·n·j·y
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A．50° B．55° C．65° D．75°
4、如图，边长为4的正三角形外接圆，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（　　）
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A．12+2π B．4+π C．24+2π D．12+14π
5、如图，点A，B，C都在⊙O上，连接CA，CB，OA，OB．若∠AOB=140°，则∠ACB为（ ）
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A．40° B．50° C．70° D．80°
6、直角三角形△PAB一条边为AB，另一顶点P在直线l上，下面是三个学生做直角三角形的过程以及自认为正确的最终结论：
甲：过点A作l的垂线，垂足为P1；过点B作l的垂线，垂足为P2；作AP3⊥BP3．故符合题意的点P有三处；
乙：以AB为直径作圆O，⊙O与交l于两点P1、P2，故符合题意的点P有两处；
丙：过点A作P1A⊥AB，垂足为A，交l于点P1；过点B作P2B⊥AB，垂足为B，交l于点P2．故符合题意的点P有两处．
下列说法正确的是（　　）
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A．甲的作法和结论均正确
B．乙、丙的作法和结论合在一起才正确
C．甲、乙、丙的作法和结论合在一起才正确
D．丙的作法和结论均正确
7、如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　）
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A．125° B．130° C．135° D．140°
8、已知⊙O的半径为3，若PO=2，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
9、如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（ ）
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A． B． C． D．
10、如图，在圆中半径OC弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（ ）
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A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图AB为⊙O的直径 ( http: / / www.21cnjy.com )，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号）
①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=．
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2、若弧长为的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为________．
3、如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过 ( http: / / www.21cnjy.com )点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论：
①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2．其中正确的结论有 _____（填写所有正确结论的序号）．
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4、如图，点A、B、C、D、E在上，且弧AB为，则________．
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5、如图，某小区的一个圆形 ( http: / / www.21cnjy.com )管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是______cm．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．www.21-cn-jy.com
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（1）求a的值；
（2）点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；2-1-c-n-j-y
（3）点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．
2、如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径．连结BD，若．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）当AD＝4，BC＝4时，求ABD的面积．
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3、如图是由小正方形组成的9×7网格，每个 ( http: / / www.21cnjy.com )小正方形的顶点叫做格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）画出该圆的圆心O，并画出劣弧的中点D；
（2）画出格点E，使EA为⊙O的一条切线，并画出过点E的另一条切线EF，切点为F．
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4、如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB ( http: / / www.21cnjy.com )的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0）， B（4，－3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A ．
（1）画出旋转后的图形△OA′B′，并写出点A′ 的坐标；
（2）求点B经过的路径的长（结果保留π）.
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5、如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，于点．
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（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长.．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．
2、B
【分析】
根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知∠AOB=2∠ACB=74°，即可得出答案．
【详解】
解：由图可知，
∠AOB在⊙O中为对应的圆周角，∠ACB在⊙O中为对应的圆心角，
故：∠AOB=2∠ACB=74°．
故答案为：B．
【点睛】
本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概念是解本题的关键．
3、C
【分析】
首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．
【详解】
解：∵BD是切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BOC＝50°，
∴∠A＝∠BOC＝25°，
∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4、A
【分析】
正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】
解：正三角形的面积为：，
三个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，
所以阴影部分的面积为：，
故选：
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
5、C
【分析】
根据圆周角的性质求解即可．
【详解】
解：∵∠AOB=140°，
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得，∠ACB=70°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题关键是明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
6、B
【分析】
根据三个学生的作法作出图形即可判断
【详解】
解：甲的作图如下，
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不是直角三角形，故甲的不正确
乙：如图，
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根据直径所对的圆周角是直角可知，乙的作法正确，但不完整，
丙的作法如下，
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丙的作法也正确，但不完整，
乙、丙的作法和结论合在一起才正确
故选B
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，直径所对的圆周角是直角，根据题意作出图形是解题的关键．
7、B
【分析】
如图所示，连接AC，由圆周角定理∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C=∠BDC=50°，再由等弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠BAC=50°，再根据圆内接四边形对角互补求解即可．21教育网
【详解】
解：如图所示，连接AC，
∴∠BAC=∠BDC=50°，
∵，
∴∠ABC=∠BAC=50°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°，
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，熟练掌握相关知识是解题的关键．【出处：21教育名师】
8、A
【分析】
已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是 ( http: / / www.21cnjy.com )d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【详解】
∵⊙O的半径为3，若PO＝2，
∴2＜3，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系的应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
9、D
【分析】
由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．www-2-1-cnjy-com
【详解】
∵
∴
∵四边形内接于
∴
又∵
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
10、C
【分析】
连接OA，OB，根据平行线的性质确定，再根据AB=CO和圆的性质确定是等边三角形，进而得出，最后根据扇形面积公式即可求解．21*cnjy*com
【详解】
解：如下图所示，连接OA，OB．
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∵，
∴．
∴S阴=S扇形AOB．
∵AO，BO，CO都是的半径，
∴AO=BO=CO．
∵AB=CO=2，
∴AO=BO=AB=2．
∴是等边三角形．
∴．
∴S阴=S扇形AOB=．
故选：C
【点睛】
本题考查平行线的性质，等边三角形的判定定理，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
二、填空题
1、①②④
【分析】
连接OM，由切线的性质可得，继而得，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得，由此可判断①；通过证明，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出，利用弧长公式求得的长可判断③；由，，，可得，继而可得，，进而有，在中，利用勾股定理求出PD的长，可得，由此可判断④．
【详解】
解：连接OM，
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∵PE为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即AM平分，故①正确；
∵AB为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为，故③错误；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
又∵，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由①可得，
，
故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．21·cn·jy·com
2、4
【分析】
利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径．
【详解】
解：∵扇形的圆心角为90°，弧长为2π，
∴，
即，
则扇形的半径r=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了弧长的计算公式，扇形的弧长公式为（n为扇形的圆心角度数，r为扇形的半径），熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
3、②③④
【分析】
根据切线的性质，正方形的性质，通过三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )全等，证明HD=HM，∠HCM=∠HCD，GM=GB，∠GCB=∠GCM，可判断前两个结论；运用对角互补的四边形内接于圆，证明∠GHF+∠GEF=180°，取GH的中点P，连接PA，则PA+PC≥AC，当PC最大时，PA最小，根据直径是圆中最大的弦，故PC=1时，PA最小，计算即可．
【详解】
∵GH是⊙O的切线，M为切点，且CM是⊙O的直径，
∴∠CMH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CMH=∠CDH=90°，
∵CM=CD，CH=CH，
∴△CMH≌△CDH，
∴HD=HM，∠HCM=∠HCD，
同理可证，∴GM=GB，∠GCB=∠GCM，
∴GB+DH=GH，无法确定HD＝2BG，
故①错误；
∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°，
∴2∠HCM+2∠GCM=90°，
∴∠HCM+∠GCM=45°，
即∠GCH＝45°，
故②正确；
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∵△CMH≌△CDH，BD是正方形的对角线，
∴∠GHF=∠DHF，∠GCH=∠HDF=45°，
∴∠GHF+∠GEF=∠DHF +∠GCH+∠EFC
=∠DHF +∠HDF+∠HFD
=180°，
根据对角互补的四边形内接于圆，
∴H，F，E，G四点在同一个圆上，
故③正确；
∵正方形ABCD的边长为1，
∴
=1
=，∠GAH=90°，AC=
取GH的中点P，连接PA，
∴GH=2PA，
∴=，
∴当PA取最小值时，有最大值，
连接PC，AC，
则PA+PC≥AC，
∴PA≥AC- PC，
∴当PC最大时，PA最小，
∵直径是圆中最大的弦，
∴PC=1时，PA最小，
∴当A，P，C三点共线时，且PC最大时，PA最小，
∴PA=-1，
∴最大值为：1-（-1）=2-，
∴四边形CGAH面积的最大值为2，
∴④正确；
故答案为: ②③④．
【点睛】
本题考查了切线的性质，直径是 ( http: / / www.21cnjy.com )最大的弦，三角形的全等，直角三角形斜边上的中线，四点共圆，正方形的性质，熟练掌握圆的性质，灵活运用直角三角形的性质，线段最短原理是解题的关键．
4、
【分析】
先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得．21世纪教育网版权所有
【详解】
弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧为，所以 ，
顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：
, ，
，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．21·世纪*教育网
5、100
【分析】
由垂径定理和勾股定理计算即可．
【详解】
如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．
设AO=OB=r
则OC=r-20，BC=
有
化简得r=50
故新管道直径为100cm．
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故答案为：100．
【点睛】
本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．21*cnjy*com
三、解答题
1、
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）先求得,点的坐标，进而根据即可求得的值；
（2）过点作轴于点，证明是直角三角形，进而，根据相似的性质列出比例式进而代入点的坐标解方程即可；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）接，取的中点，连接,根据题意，点在以为圆心，2为半径的圆上，则在以为圆心，为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得的解析式为，根据,设直线的解析式为，将点代入求得，进而设，根据，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．
（1）
令，解得
令，
抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
抛物线与轴的交点为
解得
（2）
如图，过点作轴于点，
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是直角三角形，且
又
在抛物线上，
整理得
解得（舍）
在第三象限，
（3）
如图，连接，取的中点，连接,
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是的中位线
根据题意点在以为圆心，2为半径的圆上，
则在以为圆心，为半径的圆上运动，
当三点共线，且在的延长线上时，最大，如图，
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即
设直线的解析式为，代入点，
即
解得
直线的解析式为
设直线的解析式为
解得
则的解析式为
设点，
，
解得（舍去）
【点睛】
本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．21cnjy.com
2、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先证明，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等即可证明；
（2）过O点作OE⊥BC于点E，连接OB，由垂径定理可得BE=CE=，由勾股定理求出，即可得到．【版权所有：21教育】
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴∠1=∠2；
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（2）过O点作OE⊥BC于点E，连接OB，
∴BE=CE=，
∵AD为⊙O的直径，
∴OB=，
∴，
∴．
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【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．21教育名师原创作品
3、（1）作图见详解；（2）作图见详解
【分析】
（1）四边形ABCG为矩形，连接AC，B ( http: / / www.21cnjy.com )G交点即为圆心O；观察图发现在线段AB中间的一个小正方形方格内，连接其对角线，交于点H，然后连接OH交圆O于点D，即为所求；
（2）在方格中利用全等三角形可得，由其性质得出+，且点E恰好在格点上，即为所求；连接OU，EU,JT，MT,RM,SA，利用全等三角形的性质及平行线的性质可得，根据垂直于弦的直径同时平分弦，得出点F即为点A关于OE的对称点，即为所求．
【详解】
解：（1）如图所示：四边形ABCG为矩形，连接AC，BG交点即为圆心O；
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观察图发现在线段AB中间的一个小正方形方格内，连接其对角线，交于点H，然后连接OH交圆O于点D，即为所求；
（2）如图所示：
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在中，
，
，
∴，
∵，
∴+，
∴，
∴点E恰好在格点上，即为所求；
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如图所示：连接OU，EU,JT，MT,RM,SA，
由图可得：中，
，
，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与圆O的交点F即为所求（点F即为点A关于OE的对称点）．
【点睛】
题目主要考查直线与圆的作图能力，全等三角形的应用，平行线的性质等，在方格中找出全等的三角形是解题关键．
4、（1）见解析，的坐标为；（2）
【分析】
（1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转90°得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可；
（2）根据弧长公式求解即可．
【详解】
解：（1）如图，△OA B 即为所求．
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点的坐标为
（2）由题意可求OB=5
∴
【点睛】
本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质及弧长公式．
5、（1）见详解；（2）7
【分析】
（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线长定理可得AB=AC，BE=DE，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
（1）证明：∵，DE是的两条切线，于点
∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是矩形，
∴EF=，CF=，
∵，，DE是的两条切线，
∴AB=AC，BE=DE，
设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，
在中，，
解得：x=5，
∴AC=5+2=7．
【点睛】
本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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