1.6电势差与电场强度的关系（导学案）

纳雍县第四中学2013-2014学年度第一学期物理导学案 物理教研组制
1.6电势差与电场强度的关系（导学案）
【学习目标】
1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系，能够推导出这个关系式,会用该关系式进行有关的计算。
2.知道电场强度另一个单位“伏特每米”的物理意义。
3.理解电势高低与场强大小无直接的关系。
【课前预习】
电场强度和电势差分别从 和 的角度描述了电场，它们分别与电荷在电场中受的电场力和电荷在电场中的能相联系。
1.推导电场强度和电势差的关系
（1）沿场强方向移动电荷：如图：表示某一匀强电场的等势面和电场线。沿场强方向把正电荷q由A点移动到B点 ，设A、B两点间的距离为d，电势差为U，场强为E。则电场力所做的功：
从力的角度： Ｗ= = ①
从能的角度： Ｗ= ②
由 ① ② 两式得: U = 　
结论：在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于 。
（2）若不是沿场强方向移动电荷？
如图，在匀强电场E中，有相距为L的A、B两点，两点连线与场强方向成α角。则A、B两点间的电势差为U = EL，对不对？
解析：（试着推导）
结论：匀强电场中两点间的电势差等于 。
2.对公式E = U/d的认识
电场强度与电势差的关系也可写做 。它的意义是：在匀强电场中，电场强度的大小等于 。也就是说，电场强度在数值上等于 。单位关系：1 =1N/C 。
思考：1.在匀强电场中，两条平行线段上相等距离的两点间的电势差 。
２..单位长度内，沿AB、 ABˊ 两个方向，哪个电势降落的快？
场强E的方向是 降落最快的方向。
3.非匀强电场中，等差等势面之间的距离相等吗？
以点电荷电场中的等势面为例分析等差等势面密处场强 ，等势面疏处场强 。
小结：电势差和电场强度的关系的３种说法
（1）在匀强电场中两点间的电势差等于 。
（2）在匀强电场中电场强度的大小等于 。
（3）电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
注意：U = Ed和E = U/d的适用条件是：
【新课内容】
一、电势差与电场强度的关系
1．电场力的性质：力和能是贯穿物理学的两条主线，空间只要有电荷的存在，在它的周围就存在 （E是客观存在而又看不见摸不着的），电场有最基本的特性： 。可以通过电荷的受力去研究电场。
2.电场能的性质：电场力移动电荷对电荷做功。会导致电势能发生转化（因为功是能量转化的量度）做功的多少决定了能量转化的数量。
3.推导电场强度和电势差的关系
问题一：若沿场强方向移动电荷
如图：表示某一匀强电场的等势面和电场线。沿场强方向把正电荷q由A点移动到B点 ，设A、B两点间的距离为d，电势差为U，场强为E。则电场力所做的功：
从力的角度：Ｗ= = ①
从能的角度：Ｗ= ②
由①②两式得: U = 　
结论：在匀强电场中，沿场强方向的两点间的电势差等于 。
4.表达式：U = 或：E = （d为 ）在匀强电场中，场强在数值上等于 。
5.注意：U = Ed和E = U/d的适用条件是： 。
6.单位关系：1V/m =1N/C
问题二：若不是沿场强方向移动电荷？
如图，在匀强电场E中，有相距为L的A、B两点，两点连线与场强方向成α角。则A、B两点间的电势差为U = EL，对不对？
解析：（试着推导）
7.电势差和电场强度的关系的３种说法
（1）在匀强电场中两点间的电势差等于 。UAB = Ed
（2）在匀强电场中电场强度的大小等于 。 E = UAB／d
（3）电场强度在数值上＝沿电场方向每单位距离上降低的电势。
看图讨论：得出一些结论 （互动、探讨）
二、电场强度的另一种表述
问题三：电场中A、B两点的电势差UAB跟移动电荷的路径有关吗？
[说明]电场中两点间的电势差，
类同于重力场中两点间的高度差：
高度差Δh 跟物体运动的路径无关，　只与A、B的位置有关
电势差UAB 跟移动电荷的路径无关，只与A、B的位置有关。
8.（1）文字描述： 。
（2）数学描述式: 。
（3）数值： 。
问题四： 单位长度内，沿AB、 ABˊ 两个方向，哪个电势降落的快？
9.场强E的方向是 降落最快的方向。
应用：在匀强电场中，两条平行线段上相等距离的两点间的电势差 。
问题五：非匀强电场中，等差等势面之间的距离相等吗？
如点电荷的电场中的等势面
10.结论：等差等势面密处场强 ，等势面疏处场强 。
请定性地画出电势差相等的二个等势面。哪两个等势面是否在相邻等势面的中间
提出疑惑：
【典例精讲】
【例1】图1－6－6所示是匀强电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离都是2 cm，则该电场的场强为________ V/m，到A点距离为1.5 cm的P点电势为________ V。
答案:　－2.5
【解析】因为电场是匀强电场，所以可用E＝求解，但必须明确d是指A、B两点在电场线方向上的距离，且各单位必须用国际单位制中的单位．
所以E＝＝＝ V/m＝ V/m，UBP＝Esin 60°＝×0.005× V＝2.5 V；φP＝－2.5 V
【例2】 (1)如图是一非匀强电场，某一电场线上A、B、C三点＝，比较UAB和UBC的大小。
(2)如图所示，在同一幅等差等势面图中，为什么等势面越密的地方场强越大？
答案： (1)UAB>UBC　(2)见解析
【解析】 (1)由电场线分布可知，AB段的任一点的场强都大于BC段任一点的场强，故AB段场强的平均值E1大于BC段场强的平均值E2，又UAB＝E1·；UBC＝E2·，故UAB>UBC.
(2)在同一幅等差等势面图中，我们往往把每个相邻等势面间的电势差取一个定值，如果相邻等势面的间距越小(等势面越密)，那么场强E＝U/d就越大。
【例3】如图13－7－3所示，在场强为E＝4．0×103 N／C的匀强电场中有相距5．0 cm的A、B两点，两点连线与场强成30°角．求A、B两点间的电势差。
【解析】A、B连线不沿场强方向，不能直接用公式U＝Ed计算A、B两点间的电势差．根据匀强电场的等势面是与场强方向垂直的平面这一性质，可过B点作一等势面，在等势面上找一点B′，使A、B′的连线沿场强方向，求UAB′即可．
过B点作一垂直于电场线的平面即等势面，过A点作电场线的平行线，二者交于B′点，如图，显然UB＝UB′,UAB＝UAB′．
UAB＝E·＝E·cos30°＝4.0×103×0.05× N／C＝1.7×102 N/C．
答案：UAB＝1.7×102 N/C
说明：用本节的两个公式解题一定要注意适用条件，还要注意必须使用国际单位．通过此题可以看出场强方向是电势降落最快的方向，即是通过相同距离电势降落最大的方向．这个结论对非匀强电场也成立．
【例4】 图13－7－4中，A、B、C三点都在匀强电场中，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm．把一个电量q＝10－5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为零：从B移到C，电场力做功为－1.73×10－3 J，则该匀强电场的场强大小和方向是（ D ）
A．865 V／m，垂直AC向左 B．865 V／m，垂直AC向右
C．1000 V／m，垂直AB斜向上 D．1000 V／m，垂直AB斜向下
【解析】把电荷q从A移到B电场力不做功，说明A、B两点在同一等势面上．因该电场为匀强电场，等势面应为平面，故图中直线AB即为等势线，场强方向应垂直于等势面，可见，选项A、B不正确．
UBC＝V＝－173 V，B点电势比C点低173 V，因电场线指向电势降低的方向，所以场强方向必垂直于AB斜向下．场强大小E＝V/m＝1000 V/m．选项D正确。
说明：本题涉及到较多的知识点，如电场线、等势面、电场力的功、电势差、场强与电势差的关系，等等．解题时要把握准特点，如等势面的特点：在等势面上移动电荷不做功、匀强电场的等势面是一簇平面、电场线与等势面垂直等；搞清楚关系，如电场线与等势面的关系、场强与电势差的关系、电场力的功与电势差的关系等．对这些知识及其内在联系的学习和理解，是解决复杂问题的基础．
【课后作业】
1．对公式E＝的理解，下列说法正确的是（ D ）
A．此公式适用于计算任何电场中a、b两点间的电势差 B．a点和b点距离越大，则这两点的电势差越大
C．公式中d是指a点和b点之间的距离 D．公式中的d是a、b两个等势面间的垂直距离
2．下列公式适用于任何电场的是(　AC　)
A．W＝qU　 B．U＝Ed　 C．E＝　　 D．E＝k
3.如图所示是一个匀强电场的等势面，每两个相邻等势面相距2 cm，由此可以确定电场强度的方向和数值是(　B　)
A．竖直向下，E＝100 V/m B．水平向左，E＝100 V/m
C．水平向左，E＝200 V/m D．水平向右，E＝200 V/m
【解析】电场线和等势面的关系是相互垂直的，所以电场线是水平方向的，又因为电势随着电场线方向逐渐降低，所以电场强度方向水平向左．根据E＝＝＝100 V/m.
4.图中a、b、c是一条电场线上三个点，电场线的方向由a到c，a、b间的距离等于b、c间的距离，用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以断定(　A　)
A．φa>φb>φc B．Ea>Eb>Ec C．φa－φb＝φb－φc D．Ea＝Eb＝Ec
【解析】一条电场线可以判断电势的高低，但是不能判断场强的大小．因为一条电场线无法确定疏密程度．
5.下列说法正确的是（ B ）
A．匀强电场中各处场强相等、电势也相等 B．等势体内各点电势相等、场强为零
C．沿电场线方向电场强度一定越来越小 D．电势降低的方向就是电场线的方向
6.下列说法正确的是(　C　)
A．匀强电场中各处场强相等，电势也相等 B．等势体各点电势相等，场强也相等
C．沿电场线方向电势一定越来越低 D．电势降低的方向就是电场线的方向
7.下列关于匀强电场中场强和电势差的关系，正确的说法是( C　)
A．在相同距离上的两点，电势差大的其场强也必定大 B．场强在数值上等于每单位距离上的电势降落
C．沿着电场线方向，任何相同距离上的电势降落必定相等 D．电势降低的方向必定是电场强度的方向
8.如图13－7－5所示，在电场中任意取一条电场线，电场线上的a、b两点相距为d，则( BD )
A．a点的场强一定大于b点的场强
B．a点的电势一定高于b点的电势
C．a、b两点间的电势差一定等于Ed(E为a点场强)
D．a、b两点间的电势差等于单位正电荷由a点沿任意路径移到b点的过程中电场力所做的功
9.如图13－7－6所示的电场中，AB＝BC，则UAB______UBC．(填“>”“＝”或“<”)答案：<
10.如图13－7－7所示，是匀强电场中的一组等势面．若A、B、C、D相邻两点间的距离都是2 cm，则电场的场强为________V／m．到A点距离为1．5 cm的P点电势为______V。
【解析】E＝＝×103 V／m．UBP＝E· sin60°＝×103×0.5×10－2×V＝2.5 V．则φP＝－2.5 V．
11.如图13－7－8所示，两平行金属板相距10 cm，两板间加电压40 V，两板间有A、B、C三点，A距上板2 cm，B距下板2 cm，若把一个电量为3×10－4 C的负电荷沿路径ACB从A点移到B点，电场力做功多少 若把它从A点沿AB移到B点，电场力做功是多少 若把它从A点沿ACBA路径又移回到A点，电场力做功是多少
【解析】场强E＝ V/m＝400 V／m，UBC＝EdBC＝400×6×10－2 V＝24 V．在负电荷沿路径ACB移动时，AC为等势面，电场力不做功，故WACB＝WCB＝qUCB＝－3×10－4×(－24) J＝7.2×10－3J．
从A沿AB移动至B点，因电场力做功与路径无关，WAB＝WACB＝7.2×10－3 J．
把它从A点沿ACBA路径又回到A点时，电场力做功为零．答案：7.2×10－3J；7.2×10－3J；0
12.如图13－7－9所示，边长为L的等边三角形三个顶点a、b、c处在匀强电场中，且电场线与a、b、c共平面，一个电子只在电场力作用下由a运动到b动能减小了ΔE，而一个质子只在电场力作用下由a运动到c动能增加了ΔE，则电场强度的大小为________．
【解析】由题意可知b、c两点在同一个等势面上，由动能定理
W＝ΔE及W＝qU,得，eELsin60°＝ΔE．则E＝．
13.图13－7－10中A、B、C为平行纸面的匀强电场中的三个点．已知B点电势为零．现将一电量q＝10－5 C的正点电荷由A点移到C点电场力做功W1＝8×10－5 J；将该电荷由C移到B电场力做功W2＝－2×10－5 J．试求：(1)各点电势；(2)画出电场中电场线及等势面分布情况．
【解析】(1)依W1＝qUAC，W2＝qUCB，代入数据可得:UAC＝8 V，即φA－φC＝8 V．UCB＝－2 V，即φB－φC＝2 V．由于φB＝0，则φC＝－2 V，φA＝6 V．
(2)连接AC，并将AC等分为四份，如图，其中P、Q、K各点电势依次为4 V、2 V、0 V．连接BK，作过BK且垂直纸面的平面M，此即为电场中的零势面．依次过Q、P作平面N、R平行于M，平面N和R即为电势为2 V和4 V的等势面．由于电场线与等势面垂直且由高等势面指向低等势面，故图中有向线段所示即为电场线方向．
答案：(1)φA＝6 V φB＝0 φC＝－2 V；(2)略
14.如图所示的匀强电场中有a、b、c三点，＝5 cm，＝12 cm，其中ab沿电场方向，bc和电场方向成60°角．一个电荷量为q＝4×10－8 C的正电荷从a移到b，静电力做功为W1＝1.2×10－7 J．求：(1)匀强电场的场强．(2)电荷从b移到c，静电力做的功．(3)a、c两点间的电势差．
答案　(1)60 V/m　(2)1.44×10－7 J　(3)6.6 V
【解析】(1)设a、b间距离为d，由题设条件有W1＝qUab＝qEd，所以E＝＝ V/m＝60 V/m.
(2)W2＝qE·cos 60°＝4×10－8×60×12×10－2×0.5 J＝1.44×10－7 J
(3)电荷从a移到c静电力做功：W＝W1＋W2，又W＝qUac，所以Uac＝＝ V＝6.6 V
【教材补充】
公式U＝Ed的适用范围和电场强度表达式的对比
公式U＝Ed虽然是由匀强电场导出来的，但该结论具有普遍意义，尽管该公式一般只适用于匀强电场的计算，但对其他非匀强电场亦可用于定性判断．下表是电场强度的三个公式对比：
公式 区别 物理含义 引入过程 适用
E＝ 是电场强度大小的定义式 F∝q，E与F、q无关，反映的是电场的性质 任何电场
E＝k 是真空中点电荷场强的决定式 由E＝和库仑定律导出 点电荷形 成的电场
E＝ 是匀强电场中场强的决定式 由F＝qE和W＝qU导出 匀强电场
公式E＝U/d的理解和如何把公式应用到非匀强电场中
1．公式E＝反映了匀强电场中电场强度与电势差之间的关系，由公式可知，电场强度的方向就是电场中电势降低最快的方向．
2．公式中d可理解为电场中两等势面之间的距离，由此可得出一个结论：在匀强电场中，两长度相等且相互平行的线段的端点间的电势差相等．
3．对于非匀强电场，用公式E＝可以定性分析某些问题．例如E越大处，等差等势面距离d越小．因此可以断定，等势面越密的地方电场强度也越大．
4．E＝适用于匀强电场的计算，但对于某些非匀强电场问题，有时也可以进行定性地分析.
电场强度、电势和电势差的区别与联系是什么？
描述电场的物理量及意义 电场强度E 电势φ 电势差UAB
电场的力的性质 电场的能的性质 电场中两点间对电荷做功的本领
对电场中的电荷的描述 静电力F 电势能Ep 静电力做功W
相互关系 F＝qE Ep＝qφ W＝qUAB
W＝－ΔEp，U＝Ed
由表中可以看出，电场强度是描述电场的力的性质的物理量，可以理解为已知电场强度，就可以知道任意电荷在该点的受力情况；同理，已知φ时，可得任意电荷在该点的电势能；已知UAB时，可得到在AB间移动任意电荷时静电力所做的功．
匀强电场中电势差和电场强度的关系
沿场强方向的两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积．在匀强电场中，场强在数值上等于沿场强方向每单位距离上的电势差．公式：U＝Ed或．注意：(1)d必须是沿场强方向的距离，如果a、b两点间距L不沿场强方向，计算电势差时，d的取值应为L在沿场强方向的投影．即为a、b两点所在的等势面的垂直距离．(2)此两式只适用于匀强电场．
2．单位：N／C或V／m．1 V／m＝1 J／C·m＝1 N·m／C·m＝1 N／C
3．场强E的物理意义的另一种表述
场强E的大小描述沿电场线方向电势降落的快慢，场强E的方向是电势降落最快的方向．
注意：场强E和电势φ没有直接关系，场强E大只说明沿电场线方向电势φ变化的快，但电势φ可大可小甚至可以是零；反之，电势φ大时，E也可大可小甚至是零．它们之间的关系与加速度a和速度v的关系相似．
疑难辨析
1．公式U＝Ed或E＝中，d是沿电场线方向上两点的距离．如图13－7－1若一匀强电场中任意两点AB的距离为l，AB连线与电场线的夹角为θ，则d应是l在电场线方向上的投影，即d＝lcosθ；若AB间的电势差为U，则E＝．
2．公式U＝Ed或E＝U/d只适用于匀强电场的计算．但对一些非匀强电场的问题，也可由公式进行定性的判断．例如，如图13－7－2所示，在点电荷Q的电场中A、B、C三点，，要求比较UAB与UBC的大小．我们知道，AB段中各点的场强要比BC段中各点的场强大，因此AB段的平均场强要比BC段的平均场强大，由U＝·d可知UAB＞UBC．同理，我们也可以分析出为什么在同一等势面分布图中，等势面越密处场强就越大．因为同一等势图上相邻等势面的电势差是定值，等势面密对应d小，所以场强必然大．
3．电势为零处场强就为零吗 电势越高场强就越大吗
因场强等于沿场强方向上单位距离上的电势差，它是电势在长度上的变化率．由此可知，电势为零，但电势在长度上的变化不一定为零，就像速度为零，加速度不一定为零一样，因此场强不一定为零．譬如，在等量异种点电荷的连线的中垂线上，电势为零，但其上各点的场强却不为零．
电势高，但电势不一定随长度变化，就像速度大加速度可能为零一样，场强也可能为零．譬如，静电平衡状态的导体，电势可能很高，但导体上电势处处相等，不变化，故其内部场强处处为零．
4．场强与电势的比较：
电场强度E 电势φ
1 描述电场的力的性质 描述电场的能的性质
2 电场中某点的场强等于放在该点的点电荷所受的电场力F跟点电荷电量q的比值，E＝，E在数值上等于单位正电荷所受的电场力 电场中某点的电势等于该点跟零电势点间的电势差． φA＝，φ在数值上等于单位正电荷所具有的电势能
3 矢量 标量
4 单位：N／C；V／m 伏(1V＝1 J／C)
5 电势沿着电场强度的方向降落
【学习反思】
我学到了什么： 。
我的困惑： 。
思想是人的翅膀， 1带着人飞向想去的地方。