【精品解析】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形专项测评练习题(含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专项测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内 ( http: / / www.21cnjy.com )相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21世纪教育网版权所有
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2
2、如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．8 C． D．
3、如图，已知中，，则圆周角的度数是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．25° C．100° D．30°
4、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（ ）
A．不变 B．面积扩大为原来的3倍
C．面积扩大为原来的9倍 D．面积缩小为原来的
5、已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）
A． B． C． D．
6、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（ ( http: / / www.21cnjy.com )0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）
7、圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
8、如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．125° B．130° C．135° D．140°
9、如图，小王将一长为4，宽为3的长方 ( http: / / www.21cnjy.com )形木板放在桌面上按顺时针方向做无滑动的翻滚，当第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，此时木板与桌面成30°角，则点A运动到A2时的路径长为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B．4π C． D．
10、如图，PA是的切线，切点为A，PO的延长线交于点B，若，则的度数为（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．20° B．25° C．30° D．40°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，AB、CD为一个正多边形的两条边，O为该正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则该正多边形的边数为 _____．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
2、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．
3、是的内接正六边形一边，点是优弧上的一点（点不与点，重合）且，与交于点，则的度数为_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
4、龙湖实验中学的操场有4条等宽的跑道，每 ( http: / / www.21cnjy.com )条跑道是由两条直跑道和两个半圆形弧道连接而成，请根据小泓与瞿老师的对话计算每条跑道的宽度是______米．【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com / )
5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=105°，则∠BOD=_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径．连结BD，若．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）当AD＝4，BC＝4时，求ABD的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
2、如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点，连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：（1）；
（2）．
3、下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
求作：直线BD，使得．
作法：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
①分别作线段AC，BC的垂直平分线，，两直线交于点O；
②以点O为圆心，OA长为半径作圆；
③以点A为圆心，BC长为半径作孤，交于点D；
④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在上，，
∴______．
∴（______）（填推理的依据）．
∴．
4、已知，P是直线AB上一动点（ ( http: / / www.21cnjy.com )不与A，B重合），以P为直角顶点作等腰直角三角形PBD，点E是直线AD与△PBD的外接圆除点D以外的另一个交点，直线BE与直线PD相交于点F．
（1）如图，当点P在线段AB上运动时，若∠DBE＝30°，PB＝2，求DE的长；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）当点P在射线AB上运动时，试探求线段AB，PB，PF之间的数量关系，并给出证明．
5、如图1，△ABC为圆内接三角形，AE⊥BC于D交⊙O于点E，BF⊥AC于F交AE于点G．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：DG＝DE；
（2）如图2，连接BE，作OM⊥BE于M，求证：AC＝2OM；
（3）在（2）的条件下，连接OG、CE，若OG＝CE，BG＝2FC+2FG，AG＝2，求OM长．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案
【详解】
解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P，
由题意得：BC=4cm，
∵六边形ABCD是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键．
2、D
【分析】
连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论．21·cn·jy·com
【详解】
解：连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°，
∴OE=BE，
∵OE2+BE2=OB2，
∴，
∴BC=2BE=，即正方形ABCD的边长是．
故选：D
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．2-1-c-n-j-y
3、B
【分析】
根据圆周角定理，即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
4、A
【分析】
设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．
【详解】
设原来扇形的半径为r，圆心角为n，
∴原来扇形的面积为，
∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，
∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，
∴变化后的扇形的面积为，
∴扇形的面积不变．
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．
5、B
【分析】
如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， 再由等边三角形的性质，可得∠OAB=30°，，然后根据锐角三角函数，即可求解．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据题意得：OA= ，∠OAB=30°，，
在中，
，
∴AB=3，即这个正三角形的边长是3．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．
6、A
【分析】
首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【详解】
解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
7、B
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．【来源：21cnj*y.co*m】
8、B
【分析】
如图所示，连接AC，由圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )定理∠BAC=∠BDC=50°，再由等弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠BAC=50°，再根据圆内接四边形对角互补求解即可．21·世纪*教育网
【详解】
解：如图所示，连接AC，
∴∠BAC=∠BDC=50°，
∵，
∴∠ABC=∠BAC=50°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°，
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9、C
【分析】
根据题意可得：第一次转动的路径是以点B为圆心，AB长为半径的弧长，此时圆心角 ，第二次转动的路径是以点C为圆心，A1C长为半径的弧长，此时圆心角 ，再由弧长公式，即可求解．
【详解】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据题意得： ， ，
第一次转动的路径是以点B为圆心，AB长为半径的弧长，此时圆心角 ，
∴ ，
第二次转动的路径是以点C为圆心，A1C长为半径的弧长，此时圆心角 ，
∴ ，
∴点A运动到A2时的路径长为 ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求弧长，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．
10、B
【分析】
连接OA，如图，根据切线的性质得∠ ( http: / / www.21cnjy.com )PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：连接OA，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵∠AOP=∠B+∠OAB，
∴∠B=∠AOP=×50°=25°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．21教育名师原创作品
二、填空题
1、15
【分析】
根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝24°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
【详解】
解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠ADB＝12°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝24°，
而360°÷24°＝15，
∴这个正多边形为正十五边形，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
2、六
【分析】
设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则，由此即可得到答案．
【详解】
解：设这个正多边形的边数为n，
∵正多边形的半径与边长相等，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴，
∴，
∴正多边形的边数是六，
故答案为：六．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
3、90°
【分析】
先根据是的内接正六边形一边得，再根据圆周角性质得，再根据平行线的性质得,最后由三角形外角性质可得结论．
【详解】
解：∵是的内接正六边形一边
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为90°
【点睛】
本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键
4、
【分析】
设跑道的宽为米，根据直道长度一样，外圈与内圈的差是两个圆周长的差，列出式子求解即可．
【详解】
解：设跑道的宽为米，由对称性设内圈两个半圆形弧道拼成的圆的半径为，
根据题意可得：，
解得：，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了圆的基本概念，一元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式求解．
5、150°
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】
∵四边形内接于，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先证明，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等即可证明；
（2）过O点作OE⊥BC于点E，连接OB，由垂径定理可得BE=CE=，由勾股定理求出，即可得到．21cnjy.com
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴∠1=∠2；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）过O点作OE⊥BC于点E，连接OB，
∴BE=CE=，
∵AD为⊙O的直径，
∴OB=，
∴，
∴．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．【来源：21·世纪·教育·网】
2、（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接，根据，可证．从而可得，，即可证明，故；
（2）证明，可得，即可证明．
【详解】
证明：（1）连接，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵为的直径，为的切线，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
（2）由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明，从而得到．
3、（1）作图见解析；（2） 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【分析】
（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；
（2）由作图可得，证明，利用圆周角定理可得，从而可得答案.
【详解】
解：（1）如图，直线BD就是所求作的直线
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）证明：连接AD，
∵点A，B，C，D在上，，
∴．
∴（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．
∴．
故答案为： 在同圆中，等弧所对的圆周角相等
【点睛】
本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键.21*cnjy*com
4、（1） （2）PF=AB-PB或PF=AB+PB，理由见解析
【分析】
（1）根据△PBD等腰直角三角形，PB＝2，求出DB的长，由⊙O是△PBD的外接圆，∠DBE＝30°，可得答案；
（2）根据同弧所对的圆周角，可得∠ADP ( http: / / www.21cnjy.com )=∠FBP，由△PBD等腰直角三角形，得∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，可证△APD≌△FPB，可得答案．
【详解】
解：（1）由题意画以下图，连接EP，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△PBD等腰直角三角形，⊙O是△PBD的外接圆，
∴∠DPB=∠DEB=90°，
∵PB＝2，
∴ ，
∵∠DBE＝30°，
∴
（2）①点P在点A、B之间，
由（1）的图根据同弧所对的圆周角相等，可得：
∠ADP=∠FBP，
又∵△PBD等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠APD=90°，DP=BP，
在△APD和△FPB中
∴△APD≌△FPB
∴AP=FP，
∵AP+PB=AB
∴FP+PB=AB，
∴FP=AB-PB，
②点P在点B的右侧，如下图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵△PBD等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠APF=90°，DP=BP，
∵∠PBF+∠EBP=180°，∠PDA+∠EBP=180°，
∴∠PBF=∠PDA，
在△APD和△FPB中
∴△APD≌△FPB
∴AP=FP，
∴AB+PB=AP，
∴AB+PB=PF，
∴PF= AB+PB．
综上所述，FP=AB-PB或PF= AB+PB．
【点睛】
本题考查了圆的性质，等腰直角三角形，三角形全等的判定，做题的关键是注意（2）的两种情况．
5、（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）连接BE，首先根据题意得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据等角的余角相等得到，进而得到，最后根据等腰三角形三线合一性质即可证明出DG＝DE；21教育网
（2）连接AO，OB，OE，OC，作OH⊥AC于点H，首先根据圆周角定理以及角度之间的转化得到，然后证明，最后利用垂径定理即可证明AC＝2OM；
（3）过点O作OH⊥AC于H，ON⊥BG于N，连接CG，OB，首先得到四边形ONFH是矩形，然后根据BG＝2FC+2FG得出NG=CF，然后证明出△CDG≌△CDE（SAS）和△ONG≌△GFC（HL），设GF=ON=x，CF=GN=y，，根据勾股定理得到关于x和y的方程①，然后根据和得到关于x和y的方程②，联立方程①②即可求出OM的长度．
【详解】
解：（1）如图所示，连接BE，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵BF⊥AC，AE⊥BC
∴，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵AE⊥BC
∴DG＝DE（三线合一）；
（2）如图所示，连接AO，OB，OE，OC，作OH⊥AC于点H，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵OH⊥AC
∴，
∵，即
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴AC＝2OM；
（3）如图所示，过点O作OH⊥AC于H，ON⊥BG于N，连接CG，OB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
又∵
∴四边形ONFH是矩形，
∴NF=OH，
由（2）可知，
又∵BG=2FC+2FG，
∴，
∴ME=NF=FG+GN，
∴NG=CF，
∵在和中，
∴△CDG≌△CDE（SAS）
∴CE=CG=OG，
∵在和中，
∴△ONG≌△GFC（HL），
∴∠OGN=∠GCF，
∵
∴
∴∠OGC=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设GF=ON=x，CF=GN=y，则，，
在直角△ONG中，，则，
在直角△ONB中，，则，
∴，
∴①
∵，
∴
∵，
∴
∴，
在△AGF中，
∴，，
∵
∴，即，
∴，
∴
将①代入得：，
∴，
∴，即②，
联立①②解得，
∴，
∴
∴
【点睛】
此题考查了圆的综合题，勾股定理，全等三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质和判定，圆周角定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点以及正确作出辅助线，根据题意列出方程求解．2·1·c·n·j·y
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)