【强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形难点解析试卷(含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应 ( http: / / www.21cnjy.com )的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21世纪教育网版权所有
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在Rt中，．以点为圆心，长为半径的圆交于点，则的长是（ ）
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A．1 B． C． D．2
2、如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分图形的周长为（　　）2-1-c-n-j-y
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A．2π B．4π C．2π+12 D．4π+12
3、下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）
A． B． C． D．
5、已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
6、如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，则⊙O的半径为（ ）
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A．4.8 B．5 C．4 D．4
7、如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　）
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A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2
8、如图，中，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点．若长为4，则线段长的最小值为（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
9、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ） 21*cnjy*com
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A．70° B．50° C．20° D．40°
10、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（　　）
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A．54° B．56° C．64° D．66°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 _____．
2、如图，网格中的小正方形边长都是1，则以为圆心，为半径的和弦所围成的弓形面积等于___________．21教育名师原创作品
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3、如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是_____．
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4、已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 ___度．
5、如图，半径为2的扇形AO ( http: / / www.21cnjy.com )B的圆心角为120°，点C是弧AB的中点，点D、E是半径OA、OB上的动点，且满足∠DCE＝60°，则图中阴影部分面积等于___________．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O和⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，
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（1）连接OP；
（2）分别以点O和点P为圆心，大于的长半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（3）作直线MN，交OP于点C；
（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；
（5）作直线PA，PB．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线
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完成如下证明：
证明：连接OA，OB，
∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上
∴∠OAP=90°（___________）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴直线PA是⊙O的切线（___________）（填推理的依据）．
同理可证直线PB是⊙O的切线．
2、已知直线m与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥m于点D．
（1）如图①，当直线m与⊙O相交于点E、F时，求证：∠DAE=∠BAF．
（2）如图②，当直线m与⊙O相切于点C时，若∠DAC=35°，求∠BAC的大小；
（3）若PC＝2，PB＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
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3、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点 ( http: / / www.21cnjy.com )，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD，过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线与AB的延长线交于点G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）求证：四边形AFCD是菱形．
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4、如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且．
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（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求的半径．
5、如图，，，点D是上一点，与相交于点F，且．
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（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点D是中点，连接，求证：平分．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．21·世纪*教育网
【详解】
解： 在Rt中，，
∴BC=3，，
连接CD，过点C作CE⊥AB于E，
∵，
∴，
解得，
∵CB=CD，CE⊥AB，
∴，
∴，
故选：B．
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【点睛】
此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．
2、D
【分析】
根据正多边形的外角求得内角的度数，进而根据弧长公式求得，即可求得阴影部分的周长．
【详解】
解：正六边形ABCDEF的边长为6，
阴影部分图形的周长为
故选D
【点睛】
本题考查了求弧长公式，求正多边形的内角，牢记弧长公式和正多边形的外角与内角的关系是解题的关键．
3、B
【详解】
①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
4、B
【分析】
如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， 再由等边三角形的性质，可得∠OAB=30°，，然后根据锐角三角函数，即可求解．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据题意得：OA= ，∠OAB=30°，，
在中，
，
∴AB=3，即这个正三角形的边长是3．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．
5、A
【分析】
圆的半径为 圆心到直线的距离为 当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵⊙O的半径等于为8，圆心O到直线l的距离为为6，
∴，
∴直线l与相离，
∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，
故选A．
【点睛】
本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．
6、B
【分析】
连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．构建方程即可解决问题．
【详解】
解：设⊙O与AB相切于点E．连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，
再设⊙O的半径为x．
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∵AB切⊙O于E，
∴EF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∴∠OFD=90°，
在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，
∴（8-x）2+42= x2，
∴x=5，
∴⊙O的半径为5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径 ( http: / / www.21cnjy.com )定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
7、D
【分析】
先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案
【详解】
解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P，
由题意得：BC=4cm，
∵六边形ABCD是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键．
8、D
【分析】
如图，连接 由为直径，证明在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解，即可得到答案.21*cnjy*com
【详解】
解：如图，连接 由为直径，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在以的中点为圆心，为直径的上运动，
连接 交于点 则此时最小，
，，
故选D
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.www-2-1-cnjy-com
9、D
【分析】
首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切 ( http: / / www.21cnjy.com )线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．
【详解】
解：连接OA，OB，
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∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
10、A
【分析】
根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝∠BCD＝36°，
∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，
即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆 ( http: / / www.21cnjy.com )中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
二、填空题
1、
【分析】
根据扇形的面积公式，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：扇形的面积为 ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形的面积等于 （其中 为圆心角， 为半径）是解题的关键．
2、
【分析】
根据勾股定理求出半径AO的长度，然后根据弓形面积＝扇形OAB的面积-三角形OAB的面积，求解即可．
【详解】
解：由勾股定理得，，
由网格的性质可得，是等腰直角三角形，
∴和弦所围成的弓形面积＝．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了网格的特点和性质，勾股定理，扇形面积公式等知识，解题的关键是正确分析出弓形面积＝扇形面积-三角形OAB的面积．【来源：21cnj*y.co*m】
3、
【分析】
根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．
【详解】
解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，
则阴影部分的面积是：，
故答案为：6π．
【点睛】
本题考查扇形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
4、140
【分析】
作的外接圆，根据三角形内心的性质可得：，，再由三角形内角和定理得出：，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．
【详解】
解：如图所示，作的外接圆，
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∵点I是的内心，
∴BI，CI分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点O是的外心，
∴，
故答案为：140．
【点睛】
题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．
5、
【分析】
如图，连接 过作于 是等边三角形，求解 证明 再证明 可得，再计算即可得到答案.
【详解】
解：如图，连接 过作于
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是的中点，
是等边三角形，
而
故答案为：
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算，掌握“利用转化的思想求解阴影部分的面积”是解本题的关键.【版权所有：21教育】
三、解答题
1、直径所对的圆周角是直角 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】
连接OA，OB，根据圆周角定理可知∠OAP=90°，再依据切线的判定证明结论；
【详解】
证明：连接OA，OB，
∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上，
∴∠OAP=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴直线PA是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
同理可证直线PB是⊙O的切线，
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
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2、（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）通过已知条件可知，，再通过同角的补交相等证得，即可得到答案；
（2）利用，得，再通过OA=OC，得；
（3）现在中，利用勾股定理求得半径r=2，再通过，得，即可求得，那么，即可求解．
【详解】
解：（1）如图，连接BF
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∵AD⊥m
∴
∵AB是⊙O的直径
∴
∴
∵，
∴
∴∠DAE=∠BAF
（2）连接OC
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∵直线m与⊙O相切于点C
∴
∵AD⊥m
∴
∴
∵OA=OC
∴
（3）连接OC
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∵直线m与⊙O相切于点C
∴
设半径OC=OB=r
在中，则：
∴
解得：r=2，即OC=r=2
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了圆切线、内接四边形的性质，以及解直角三角形的应用，扇形面积求法，解答此题的关键是掌握圆的性质．【出处：21教育名师】
3、（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接OC、AC，证明△AC ( http: / / www.21cnjy.com )D为等边三角形，得出∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠OCD=30°，由FG∥DA，得出∠DCF=180°-∠ADC=120°，则∠OCF=∠DCF-∠OCD=90°，即FG⊥OC，即可得出结论；
（2）证明AF∥DC，由FG∥DA，得出四边形AFCD是菱形．
【详解】
（1）证明：连接OC、AC，如图所示：
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∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE，AD=AC，
∵DC=AD，
∴DC=AD=AC，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠DAB=∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∴∠OCD=90°-60°=30°，
∵FG∥DA，
∴∠D=∠DCG=60°，
∴∠OCG=∠DCG+∠OCD=60°+30°=90°，
∴FG⊥OC，
∵OC为⊙O的半径，
∴FG是⊙O的切线；
（2）证明：∵AF与⊙O相切，
∴AF⊥AG，
∵DC⊥AG，
∴AF∥DC，
∵FG∥DA，
∴四边形AFCD为平行四边形．
∵DC＝AD，
∴四边形AFCD是菱形．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，证明FG是⊙O的切线是解题的关键．
4、（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接，只要证明即可．此题可运用三角形的中位线定理证，因为，所以．
（2）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可分别求出的长和、的长，即可根据中位线性质求出的长，即的半径长．21教育网
【详解】
（1）证明：连接．
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因为是的中点，是的中点，
，
．
，
．
，是圆的半径，
是的切线．
（2）如图，，，
，，
，且，
，
，
且，
∴，
，
，
∴ ，
的半径长为．
【点睛】
本题考查了切线的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．
5、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】
（1）在和中，，，故可证明三角形相似．
（2）由得出．
（3）法一：由题意知，由得，有，所以可得，又因为可得，；由于，，进而说明，得出平分．法二：通过得出F、D、C、E四点共圆，由得，从而得出平分．21cnjy.com
【详解】
解：（1）证明在和中
．
（2）证明：在和中
．
（3）证明：
又D是中点
，
平分．
法二：
F、D、C、E四点共圆
又D是点，
平分．
【点睛】
本题考察了相似三角形的判定，全等三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )，角平分线，圆内接四边形等知识点．解题的关键与难点在于角度的转化．解题技巧：多个角度相等时可考虑将几何图形放入圆中利用同弧或等弧所对圆周角相等求解．2·1·c·n·j·y
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