【强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形同步测试卷(含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形同步测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目 ( http: / / www.21cnjy.com )指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。【来源：21·世纪·教育·网】
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列叙述正确的有( )个.
（1）随着的增大而增大；
（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；
（3）斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；
（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；
（5）以为三边长度的三角形，不是直角三角形．
A．0 B．1 C．2 D．3
2、如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（ ）．
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A．65° B．60° C．55° D．50°
3、下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心
4、如图，BD是⊙O的切线，∠BCE＝30°，则∠D＝（　　）
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A．40° B．50° C．60° D．30°
5、如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（ ）
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A．45° B．60° C．90° D．120°
6、已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
7、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OA＝2，∠B＝60°，则CD的长为（ ）
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A． B．2 C．2 D．4
8、如图，中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
9、已知⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，则OP需要满足的条件是（ ）
A．OP>4 B．0≤OP<4 C．OP>2 D．0≤OP<2
10、计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、边长为2的正三角形的外接圆的半径等于___．
2、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律 ( http: / / www.21cnjy.com )历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两 ( http: / / www.21cnjy.com )尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．
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3、如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是_____．21·cn·jy·com
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4、在△ABC中，已知∠ABC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分的面积为_____．21教育名师原创作品
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5、若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 _____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．21*cnjy*com
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（1）求a的值；
（2）点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；
（3）点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．
2、如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径．连结BD，若．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）当AD＝4，BC＝4时，求ABD的面积．
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3、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，平分交⊙O于点，连接，过点作⊙O的切线，交的延长线于点．则．下面是证明的部分过程：
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证明：如图②，连接，
是⊙O的直径，，
①________．（1）
为⊙O的切线，，
，（2）
由（1）（2）得，②________________．
平分．
，
③________，
．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；
（2）若，求的长．
4、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC
作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P
点P即为所求
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（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠_________＝∠_________
∴∠BAC＝∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD（______________________） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
5、如图1，△ABC为圆内接三角形，AE⊥BC于D交⊙O于点E，BF⊥AC于F交AE于点G．
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（1）求证：DG＝DE；
（2）如图2，连接BE，作OM⊥BE于M，求证：AC＝2OM；
（3）在（2）的条件下，连接OG、CE，若OG＝CE，BG＝2FC+2FG，AG＝2，求OM长．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据反比例函数的性质，得当或者时，随着的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．21教育网
【详解】
当或者时，随着的增大而增大，故（1）不正确；
如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；，故（2）正确；
∵圆的直径所对的圆周角为直角
∴斜边为的直角三角形顶点A的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆，故（3）正确；
三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确；
∵
∴
∴以为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形、垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．【版权所有：21教育】
2、C
【分析】
先由OB=OC，得到∠OCB=∠OBC=35°，从而可得∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】
解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=35°，
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，
∴，
故选C．
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【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．
3、A
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．
【详解】
解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．21·世纪*教育网
4、D
【分析】
连接，根据同弧所对的圆周角相等，等角对等边，三角形的外角性质可得，根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得．
【详解】
解：连接
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BD是⊙O的切线
故选D
【点睛】
本题考查了切线的性质，等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两锐角互余，掌握切线的性质是解题的关键．
5、B
【分析】
设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC；
∠ADC=β；
四边形为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故选：B．
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内 ( http: / / www.21cnjy.com )接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.www.21-cn-jy.com
6、A
【分析】
根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
【详解】
解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键．
7、B
【分析】
先证明是等边三角形，再证明求解从而可得答案.
【详解】
解：
是等边三角形，
故选B
【点睛】
本题考查的是等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，证明是等边三角形是解本题的关键.
8、A
【分析】
连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H，首先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用等面积法求出BD的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据30°角直角三角形的性质求出OH的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】
解：如图所示，连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H
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∵，，
∴在中，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆
∴是圆的直径，
∴
∴，即
解得：
又∵
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∵OH⊥CD
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了30°角直角三角形的性质，等 ( http: / / www.21cnjy.com )边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
9、A
【分析】
点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答．
【详解】
解：∵⊙O的半径为4，点P 在⊙O外部，
∴OP需要满足的条件是OP>4，
故选：A．
【点睛】
此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键．
10、B
【分析】
直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
二、填空题
1、
【分析】
过圆心作一边的垂线，根据勾股定理可以计算出外接圆半径．
【详解】
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如图所示，是正三角形，故O是的中心，，
∵正三角形的边长为2，OE⊥AB
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴(负值舍去)．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．
2、
【分析】
如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：如图，
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∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE是直径，∠ECD=45°，
根据题意得：AB=2.5， ，
∴ ，
∴ ，
即此斛底面的正方形的边长为 尺．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
3、
【分析】
根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．21cnjy.com
【详解】
解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，www-2-1-cnjy-com
则阴影部分的面积是：，
故答案为：6π．
【点睛】
本题考查扇形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
4、
【分析】
利用勾股定理求出AC及AB的长，根据阴影面积等于求出答案．
【详解】
解：由旋转得，，=∠BAC＝30°，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC=2BC=2，AB=，，
∴阴影部分的面积=
=,
故答案为：．
． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
5、
【分析】
根据扇形的面积公式，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：扇形的面积为 ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形的面积等于 （其中 为圆心角， 为半径）是解题的关键．
三、解答题
1、
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）先求得,点的坐标，进而根据即可求得的值；
（2）过点作轴于点，证明是直角三角形，进而，根据相似的性质列出比例式进而代入点的坐标解方程即可；
（3）接，取的中点，连接,根据题意，点在以为圆心，2为半径的圆上，则在以为圆心，为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得的解析式为，根据,设直线的解析式为，将点代入求得，进而设，根据，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．
（1）
令，解得
令，
抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
抛物线与轴的交点为
解得
（2）
如图，过点作轴于点，
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是直角三角形，且
又
在抛物线上，
整理得
解得（舍）
在第三象限，
（3）
如图，连接，取的中点，连接,
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是的中位线
根据题意点在以为圆心，2为半径的圆上，
则在以为圆心，为半径的圆上运动，
当三点共线，且在的延长线上时，最大，如图，
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即
设直线的解析式为，代入点，
即
解得
直线的解析式为
设直线的解析式为
解得
则的解析式为
设点，
，
解得（舍去）
【点睛】
本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．【出处：21教育名师】
2、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先证明，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等即可证明；
（2）过O点作OE⊥BC于点E，连接OB，由垂径定理可得BE=CE=，由勾股定理求出，即可得到．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴∠1=∠2；
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（2）过O点作OE⊥BC于点E，连接OB，
∴BE=CE=，
∵AD为⊙O的直径，
∴OB=，
∴，
∴．
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【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．
3、（1），，；（2）
【分析】
（1）由是⊙O的直径，得到∠ODB．再由为⊙O的切线，得到，即可推出∠ODA=∠BDE，由角平分线的定义可得，由，得到，即可证明；
（2）在直角△ODE中利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图②，连接，
是⊙O的直径，
，
∠ODB．（1）
为⊙O的切线，
，
，（2）
由（1）（2）得，∠ODA=∠BDE．
平分，
∴．
，
∠ODA，
．
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故答案为：① ，② ，③ ；
（2）为的切线，
．
，
，
，
．
在中，
．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．
4、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】
（1）根据按步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理进行证明即可
【详解】
解：（1）如图所示，
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（2）证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠BAC=∠BAD
∴∠BAC＝∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD（圆周角定理） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【点睛】
本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
5、（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）连接BE，首先根据题意得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据等角的余角相等得到，进而得到，最后根据等腰三角形三线合一性质即可证明出DG＝DE；
（2）连接AO，OB，OE，OC，作OH⊥AC于点H，首先根据圆周角定理以及角度之间的转化得到，然后证明，最后利用垂径定理即可证明AC＝2OM；
（3）过点O作OH⊥AC于H，ON⊥BG于N，连接CG，OB，首先得到四边形ONFH是矩形，然后根据BG＝2FC+2FG得出NG=CF，然后证明出△CDG≌△CDE（SAS）和△ONG≌△GFC（HL），设GF=ON=x，CF=GN=y，，根据勾股定理得到关于x和y的方程①，然后根据和得到关于x和y的方程②，联立方程①②即可求出OM的长度．21*cnjy*com
【详解】
解：（1）如图所示，连接BE，
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∵BF⊥AC，AE⊥BC
∴，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵AE⊥BC
∴DG＝DE（三线合一）；
（2）如图所示，连接AO，OB，OE，OC，作OH⊥AC于点H，
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∵OH⊥AC
∴，
∵，即
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴AC＝2OM；
（3）如图所示，过点O作OH⊥AC于H，ON⊥BG于N，连接CG，OB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
又∵
∴四边形ONFH是矩形，
∴NF=OH，
由（2）可知，
又∵BG=2FC+2FG，
∴，
∴ME=NF=FG+GN，
∴NG=CF，
∵在和中，
∴△CDG≌△CDE（SAS）
∴CE=CG=OG，
∵在和中，
∴△ONG≌△GFC（HL），
∴∠OGN=∠GCF，
∵
∴
∴∠OGC=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设GF=ON=x，CF=GN=y，则，，
在直角△ONG中，，则，
在直角△ONB中，，则，
∴，
∴①
∵，
∴
∵，
∴
∴，
在△AGF中，
∴，，
∵
∴，即，
∴，
∴
将①代入得：，
∴，
∴，即②，
联立①②解得，
∴，
∴
∴
【点睛】
此题考查了圆的综合题，勾股定理，全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质和判定，圆周角定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点以及正确作出辅助线，根据题意列出方程求解．2·1·c·n·j·y
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