【强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形月考试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 【强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形月考试卷(含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-22 08:38:22 | ||
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文档简介
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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形月考
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指 ( http: / / www.21cnjy.com )定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21教育网
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则下列角中可确定大小的是（ ）
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A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA
2、如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（ ）
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A．45° B．60° C．90° D．120°
3、下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
5、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．10
6、如图，等边△ABC内接于⊙O，D是上任一点（不与B、C重合），连接BD、CD，AD交BC于E，CF切⊙O于点C，AF⊥CF交⊙O于点G．下列结论：①∠ADC＝60°；②DB2＝DE DA；③若AD＝2，则四边形ABDC的面积为；④若CF＝2，则图中阴影部分的面积为．正确的个数为（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7、在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法错误的是（ ）
A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外
8、如图，BD是⊙O的切线，∠BCE＝30°，则∠D＝（ ）
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A．40° B．50° C．60° D．30°
9、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝37°，则∠AOB的度数是（ ）
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A．73° B．74° C．64° D．37°
10、如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝_____．
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2、如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B．若，，则AB的长为______．
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3、在平面直角坐标系中，点，圆C与x轴相切于点A，过A作一条直线与圆交于A，B两点，AB中点为M，则OM的最大值为______．2·1·c·n·j·y
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4、圆形角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是______．
5、为了落实“双减”政策，朝阳区一 ( http: / / www.21cnjy.com )些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为______cm．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，内接于⊙O，且为⊙O的直径，交于点，在的延长线上取点，使得∠DCE＝∠B．
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（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求AE的长．
2、如图，AB为的直径，点C，D在上，，．求证：DE是的切线．
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3、在平面直角坐标系中，的半径为1，点在上，点在内，给出如下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍特征点．【出处：21教育名师】
（1）如图，点的坐标为．
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①若点的坐标为，则点是点关于的_______倍特征点；
②在，，这三个点中，点_________是点关于的倍特征点；
③直线经过点，与轴交于点，.点在直线上，且点是点关于的倍特征点，求点的坐标；【版权所有：21教育】
（2）若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值．
4、如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知．
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（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若OB＝2，∠CAD＝30°，则的长为 ．
5、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.
已知：⊙O.
求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.
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作法：如图，
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①作直径AB；
②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点；
③作直线MO交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接MA，MB．
∵MA=MB，OA=OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
∴AC= ．
∵AB是直径,
∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．www.21-cn-jy.com
∴△ABC是等腰直角三角形．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
由题意根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC=90°，然后根据圆周角定理进行分析求解．
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
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∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为90°是解题的关键．
2、B
【分析】
设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC；
∠ADC=β；
四边形为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故选：B．
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
3、B
【详解】
①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
4、B
【分析】
直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
5、A
【分析】
根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆 ( http: / / www.21cnjy.com )角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6、C
【分析】
如图1，△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°，根据同弧所对的圆周角相等∠ADC＝∠ABC＝60°，所以判断①正确；如图1，可证明△DBE∽△DAC，则，所以DB DC＝DE DA，而DB与DC不一定相等，所以判断②错误；如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，先证明△ABK≌△ACD，可证明S四边形ABDC＝S△ADK，可以求得S△ADK＝，所以判断③正确；如图3，连接OA、OG、OC、GC，由CF切⊙O于点C得CF⊥OC，而AF⊥CF，所以AF∥OC，由圆周角定理可得∠AOC＝120°，则∠OAC＝∠OCA＝30°，于是∠CAG＝∠OCA＝30°，则∠COG＝2∠CAG＝60°，可证明△AOG和△COG都是等边三角形，则四边形OABC是菱形，因此OA∥CG，推导出S阴影＝S扇形COG，在Rt△CFG中根据勾股定理求出CG的长为4，则⊙O的半径为4，可求得S阴影＝S扇形COG＝＝，所以判断④正确，所以①③④这3个结论正确．
【详解】
解：如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，
故①正确；
∵∠BDE＝∠ACB＝60°，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝∠ADC，
又∠DBE＝∠DAC，
∴△DBE∽△DAC，
∴,
∴DB DC＝DE DA，
∵D是上任一点，
∴DB与DC不一定相等，
∴DB DC与DB2也不一定相等，
∴DB2与DE DA也不一定相等，
故②错误；
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如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，
∵∠ABK+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠ABK＝∠ACD，
∴AB＝AC，
∴△ABK≌△ACD（SAS），
∴AK＝AD，S△ABK＝S△ACD，
∴DH＝KH＝DK，
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∵∠AHD＝90°，∠ADH＝60°，
∴∠DAH＝30°，
∵AD＝2，
∴DH＝AD＝1，
∴DK＝2DH＝2，，
∴S△ADK＝，
∴S四边形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝S△ABD+S△ABK＝S△ADK＝，
故③正确；
如图3，连接OA、OG、OC、GC，则OA＝OG＝OC，
∵CF切⊙O于点C，
∴CF⊥OC，
∵AF⊥CF，
∴AF∥OC，
∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠CAG＝∠OCA＝30°，
∴∠COG＝2∠CAG＝60°，
∴∠AOG＝60°，
∴△AOG和△COG都是等边三角形，
∴OA＝OC＝AG＝CG＝OG，
∴四边形OABC是菱形，
∴OA∥CG，
∴S△CAG＝S△COG，
∴S阴影＝S扇形COG，
∵∠OCF＝90°，∠OCG＝60°，
∴∠FCG＝30°，
∵∠F＝90°，
∴FG＝CG，
∵FG2+CF2＝CG2，CF＝，
∴（CG）2+（）2＝CG2，
∴CG＝4，
∴OC＝CG＝4，
∴S阴影＝S扇形COG＝＝，
故④正确，
∴①③④这3个结论正确，
故选C．
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【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆 ( http: / / www.21cnjy.com )切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．21教育名师原创作品
7、A
【分析】
根据数轴以及圆的半径可得当d=r时， ( http: / / www.21cnjy.com )⊙A与数轴交于两点：1、5，进而根据点到圆心的距离与半径比较即可求得点与圆的位置关系，进而逐项分析判断即可
【详解】
解：∵圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，
故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了数轴，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
8、D
【分析】
连接，根据同弧所对的圆周角相等，等角对等边，三角形的外角性质可得，根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得．
【详解】
解：连接
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BD是⊙O的切线
故选D
【点睛】
本题考查了切线的性质，等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两锐角互余，掌握切线的性质是解题的关键．
9、B
【分析】
根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知∠AOB=2∠ACB=74°，即可得出答案．
【详解】
解：由图可知，
∠AOB在⊙O中为对应的圆周角，∠ACB在⊙O中为对应的圆心角，
故：∠AOB=2∠ACB=74°．
故答案为：B．
【点睛】
本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概念是解本题的关键．
10、B
【分析】
利用，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，再利用勾股定理求解 可得tan∠ACD=，从而可得答案.
【详解】
解：如图， ∵，
∴∠BAC=∠DCA．
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∵同圆的半径相等， ∴AC=AB=3，而
在Rt△ACD中，tan∠ACD=．
∴tan∠BAC=tan∠ACD=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．
二、填空题
1、
【分析】
根据圆的性质，可得OA=OB，OC=OD，证明△AOC≌△BOD，即可得答案．
【详解】
解：由题意可知：OA=OB，OC=OD，
∵AC＝BD，
∴△AOC≌△BOD，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOD＝120°，
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查了圆的性质、三角形全等的判定和性质，做题的关键是证明△AOC≌△BOD．
2、3
【分析】
由切线长定理和，可得为等边三角形，则．
【详解】
解：连接，如下图：
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，分别为的切线，
，
为等腰三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线．
3、##
【分析】
如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点，先求出A点坐标，从而可证OM是△ABD的中位线，得到，则当BD最小时，OM也最小，即当B运动到时，BD有最小值，由此求解即可．21·世纪*教育网
【详解】
解：如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点
∵点C的坐标为（2，2），圆C与x轴相切于点A，
∴点A的坐标为（2，0），
∴OA=OD=2，即O是AD的中点，
又∵M是AB的中点，
∴OM是△ABD的中位线，
∴，
∴当BD最小时，OM也最小，
∴当B运动到时，BD有最小值，
∵C（2，2），D（-2，0），
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
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【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离得到最小值，两点距离公式，三角形中位线定理，把求出OM的最小值转换成求BD的最小值是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
4、12π
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
∵
=12π，
故答案为：12π．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．
5、
【分析】
如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，
则OD⊥MN，
∴MD=DN，
在Rt△ODM中，OM=180cm，OD=60cm，
∴cm，
∴cm，
即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为cm，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．
三、解答题
1、（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠DCE=∠DEC，∠A=∠ACO，可得出∠DCE+∠ACO=90°，则可得出结论．21cnjy.com
（2）过点D作DF⊥CE于点F，由勾股定理求出AB=5，证明△AOE∽△ACB，得出比例线段，即可求出AE．21*cnjy*com
【详解】
（1）证明：连接OC，如图1，
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∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∵∠DEC=∠AEO，
∴∠DCE=∠AEO，
∵OA⊥OE，
∴∠A+∠AEO=90°，
∴∠DCE+∠A=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠DCE+∠ACO=90°，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，
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∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AOE，
∵AC=2，，
∴AB=，
又∵∠A=∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定， ( http: / / www.21cnjy.com )相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．21*cnjy*com
2、见解析
【分析】
连接OD，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论．
【详解】
证明：连接OD，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴DE是的切线．
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【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
3、（1）①；②；③（，）；（2）k的最小值为，k有最大值为．
【分析】
（1）①先求出AP，AB的长，然后根据题目的定义求解即可；
②先求出，，即可得到，假设点是点A关于⊙O的倍特征点，得到，则不符合题意，同理可以求出，假设点是点A关于⊙O的倍特征点，得到，可求出点F的坐标为（0，-1），由点的坐标为（，0），得到，则，则点不是点A关于⊙O的倍特征点；
③设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，先求出E是AB的中点，从而推出∠EOA=30°，再求出，，即可得到点E的坐标为（，）；
（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交点分别为C、D过点N作NP⊥CD交CD于P，交圆O于B，过点O作直线EF⊥CD交圆O于E，F即可得到，，由，可得，可以推出当的值越大，k的值越大，则当AM=BP，MN=NP时，k的值最小，即当A与E重合，N于F重合时，k的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．
【详解】
解：（1）①∵A点坐标为（1，0），P点坐标为（，0），
∴，B点坐标为（-1，0），
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②∵的坐标为（0，），A点坐标为（1，0），
∴，，
∴
假设点是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴不符合题意，
∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，
同理可以求出，
假设点是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴即为AF的中点，
∴点F的坐标为（0，-1），
∵点F（0，-1）在圆上，
∴点是点A关于⊙O的倍特征点，
∵点的坐标为（，0），
∴，
∴，
∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，
故答案为：；
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③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，
∵点E是点A关于⊙O的倍的特征点，
∴，
∴E是AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠EAO=60°，
∴∠EOA=30°，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，）；
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（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交点分别为C、D过点N作NP⊥CD交CD于P，交圆O于B，过点O作直线EF⊥CD交圆O于E，F2-1-c-n-j-y
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵当k越大时，的值越小，
∴的值越大，
∴当的值越大，k的值越大，
∴当AM=BP，MN=NP时，k的值最小，
∴当A与E重合，N于F重合时，k的值最小，
∵C、D是直线与x轴，y轴的交点，
∴C（1，0），D点坐标为（0，1），
∴OC=OD=1，
∴，
∵OG⊥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k的最小值为，
∴当N在E点，A在F点时，k有最大值为．
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【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确理解题意进行求解．21世纪教育网版权所有
4、（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）首先根据题意得到，进而求出的度数，然后利用扇形的弧长公式求解即可．
【详解】
（1）证明：连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
，
，
，
，
在中，，
，
，
则为圆的切线；
（2）∵∠CAD＝30°，
∴由（1）可得，，
∴，
∵OB＝2，
∴．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质，扇形的弧长公式，熟练掌握切线的判定与性质以及扇形的弧长公式是解本题的关键．
5、（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角
【分析】
（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可．
【详解】
（1）①作直径AB；
②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点；
③作直线MO交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.
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（2）证明：连接MA，MB．
∵MA=MB，OA=OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
∴AC=BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角．
【点睛】
本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定 ( http: / / www.21cnjy.com )理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形月考
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指 ( http: / / www.21cnjy.com )定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21教育网
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则下列角中可确定大小的是（ ）
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A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA
2、如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（ ）
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A．45° B．60° C．90° D．120°
3、下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
5、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．10
6、如图，等边△ABC内接于⊙O，D是上任一点（不与B、C重合），连接BD、CD，AD交BC于E，CF切⊙O于点C，AF⊥CF交⊙O于点G．下列结论：①∠ADC＝60°；②DB2＝DE DA；③若AD＝2，则四边形ABDC的面积为；④若CF＝2，则图中阴影部分的面积为．正确的个数为（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7、在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法错误的是（ ）
A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内
C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外
8、如图，BD是⊙O的切线，∠BCE＝30°，则∠D＝（ ）
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A．40° B．50° C．60° D．30°
9、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝37°，则∠AOB的度数是（ ）
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A．73° B．74° C．64° D．37°
10、如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（ ）21·cn·jy·com
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A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在⊙O中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝_____．
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2、如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B．若，，则AB的长为______．
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3、在平面直角坐标系中，点，圆C与x轴相切于点A，过A作一条直线与圆交于A，B两点，AB中点为M，则OM的最大值为______．2·1·c·n·j·y
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4、圆形角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是______．
5、为了落实“双减”政策，朝阳区一 ( http: / / www.21cnjy.com )些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为______cm．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，内接于⊙O，且为⊙O的直径，交于点，在的延长线上取点，使得∠DCE＝∠B．
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（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求AE的长．
2、如图，AB为的直径，点C，D在上，，．求证：DE是的切线．
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3、在平面直角坐标系中，的半径为1，点在上，点在内，给出如下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍特征点．【出处：21教育名师】
（1）如图，点的坐标为．
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①若点的坐标为，则点是点关于的_______倍特征点；
②在，，这三个点中，点_________是点关于的倍特征点；
③直线经过点，与轴交于点，.点在直线上，且点是点关于的倍特征点，求点的坐标；【版权所有：21教育】
（2）若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值．
4、如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知．
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（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若OB＝2，∠CAD＝30°，则的长为 ．
5、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.
已知：⊙O.
求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.
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作法：如图，
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①作直径AB；
②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点；
③作直线MO交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接MA，MB．
∵MA=MB，OA=OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
∴AC= ．
∵AB是直径,
∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．www.21-cn-jy.com
∴△ABC是等腰直角三角形．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
由题意根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC=90°，然后根据圆周角定理进行分析求解．
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
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∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为90°是解题的关键．
2、B
【分析】
设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC；
∠ADC=β；
四边形为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故选：B．
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其应用 ( http: / / www.21cnjy.com )，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
3、B
【详解】
①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
4、B
【分析】
直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
5、A
【分析】
根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆 ( http: / / www.21cnjy.com )角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6、C
【分析】
如图1，△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°，根据同弧所对的圆周角相等∠ADC＝∠ABC＝60°，所以判断①正确；如图1，可证明△DBE∽△DAC，则，所以DB DC＝DE DA，而DB与DC不一定相等，所以判断②错误；如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，先证明△ABK≌△ACD，可证明S四边形ABDC＝S△ADK，可以求得S△ADK＝，所以判断③正确；如图3，连接OA、OG、OC、GC，由CF切⊙O于点C得CF⊥OC，而AF⊥CF，所以AF∥OC，由圆周角定理可得∠AOC＝120°，则∠OAC＝∠OCA＝30°，于是∠CAG＝∠OCA＝30°，则∠COG＝2∠CAG＝60°，可证明△AOG和△COG都是等边三角形，则四边形OABC是菱形，因此OA∥CG，推导出S阴影＝S扇形COG，在Rt△CFG中根据勾股定理求出CG的长为4，则⊙O的半径为4，可求得S阴影＝S扇形COG＝＝，所以判断④正确，所以①③④这3个结论正确．
【详解】
解：如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，
故①正确；
∵∠BDE＝∠ACB＝60°，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝∠ADC，
又∠DBE＝∠DAC，
∴△DBE∽△DAC，
∴,
∴DB DC＝DE DA，
∵D是上任一点，
∴DB与DC不一定相等，
∴DB DC与DB2也不一定相等，
∴DB2与DE DA也不一定相等，
故②错误；
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如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，
∵∠ABK+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠ABK＝∠ACD，
∴AB＝AC，
∴△ABK≌△ACD（SAS），
∴AK＝AD，S△ABK＝S△ACD，
∴DH＝KH＝DK，
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∵∠AHD＝90°，∠ADH＝60°，
∴∠DAH＝30°，
∵AD＝2，
∴DH＝AD＝1，
∴DK＝2DH＝2，，
∴S△ADK＝，
∴S四边形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝S△ABD+S△ABK＝S△ADK＝，
故③正确；
如图3，连接OA、OG、OC、GC，则OA＝OG＝OC，
∵CF切⊙O于点C，
∴CF⊥OC，
∵AF⊥CF，
∴AF∥OC，
∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠CAG＝∠OCA＝30°，
∴∠COG＝2∠CAG＝60°，
∴∠AOG＝60°，
∴△AOG和△COG都是等边三角形，
∴OA＝OC＝AG＝CG＝OG，
∴四边形OABC是菱形，
∴OA∥CG，
∴S△CAG＝S△COG，
∴S阴影＝S扇形COG，
∵∠OCF＝90°，∠OCG＝60°，
∴∠FCG＝30°，
∵∠F＝90°，
∴FG＝CG，
∵FG2+CF2＝CG2，CF＝，
∴（CG）2+（）2＝CG2，
∴CG＝4，
∴OC＝CG＝4，
∴S阴影＝S扇形COG＝＝，
故④正确，
∴①③④这3个结论正确，
故选C．
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【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆 ( http: / / www.21cnjy.com )切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．21教育名师原创作品
7、A
【分析】
根据数轴以及圆的半径可得当d=r时， ( http: / / www.21cnjy.com )⊙A与数轴交于两点：1、5，进而根据点到圆心的距离与半径比较即可求得点与圆的位置关系，进而逐项分析判断即可
【详解】
解：∵圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，
故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了数轴，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
8、D
【分析】
连接，根据同弧所对的圆周角相等，等角对等边，三角形的外角性质可得，根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得．
【详解】
解：连接
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BD是⊙O的切线
故选D
【点睛】
本题考查了切线的性质，等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两锐角互余，掌握切线的性质是解题的关键．
9、B
【分析】
根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知∠AOB=2∠ACB=74°，即可得出答案．
【详解】
解：由图可知，
∠AOB在⊙O中为对应的圆周角，∠ACB在⊙O中为对应的圆心角，
故：∠AOB=2∠ACB=74°．
故答案为：B．
【点睛】
本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概念是解本题的关键．
10、B
【分析】
利用，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，再利用勾股定理求解 可得tan∠ACD=，从而可得答案.
【详解】
解：如图， ∵，
∴∠BAC=∠DCA．
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∵同圆的半径相等， ∴AC=AB=3，而
在Rt△ACD中，tan∠ACD=．
∴tan∠BAC=tan∠ACD=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．
二、填空题
1、
【分析】
根据圆的性质，可得OA=OB，OC=OD，证明△AOC≌△BOD，即可得答案．
【详解】
解：由题意可知：OA=OB，OC=OD，
∵AC＝BD，
∴△AOC≌△BOD，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOD＝120°，
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查了圆的性质、三角形全等的判定和性质，做题的关键是证明△AOC≌△BOD．
2、3
【分析】
由切线长定理和，可得为等边三角形，则．
【详解】
解：连接，如下图：
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，分别为的切线，
，
为等腰三角形，
，
，
为等边三角形，
，
，
．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线．
3、##
【分析】
如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点，先求出A点坐标，从而可证OM是△ABD的中位线，得到，则当BD最小时，OM也最小，即当B运动到时，BD有最小值，由此求解即可．21·世纪*教育网
【详解】
解：如图所示，取D（-2，0），连接BD，连接CD与圆C交于点
∵点C的坐标为（2，2），圆C与x轴相切于点A，
∴点A的坐标为（2，0），
∴OA=OD=2，即O是AD的中点，
又∵M是AB的中点，
∴OM是△ABD的中位线，
∴，
∴当BD最小时，OM也最小，
∴当B运动到时，BD有最小值，
∵C（2，2），D（-2，0），
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
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【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离得到最小值，两点距离公式，三角形中位线定理，把求出OM的最小值转换成求BD的最小值是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
4、12π
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
∵
=12π，
故答案为：12π．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．
5、
【分析】
如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，
则OD⊥MN，
∴MD=DN，
在Rt△ODM中，OM=180cm，OD=60cm，
∴cm，
∴cm，
即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为cm，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．
三、解答题
1、（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠DCE=∠DEC，∠A=∠ACO，可得出∠DCE+∠ACO=90°，则可得出结论．21cnjy.com
（2）过点D作DF⊥CE于点F，由勾股定理求出AB=5，证明△AOE∽△ACB，得出比例线段，即可求出AE．21*cnjy*com
【详解】
（1）证明：连接OC，如图1，
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∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∵∠DEC=∠AEO，
∴∠DCE=∠AEO，
∵OA⊥OE，
∴∠A+∠AEO=90°，
∴∠DCE+∠A=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠DCE+∠ACO=90°，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，
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∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AOE，
∵AC=2，，
∴AB=，
又∵∠A=∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定， ( http: / / www.21cnjy.com )相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．21*cnjy*com
2、见解析
【分析】
连接OD，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论．
【详解】
证明：连接OD，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴DE是的切线．
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【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
3、（1）①；②；③（，）；（2）k的最小值为，k有最大值为．
【分析】
（1）①先求出AP，AB的长，然后根据题目的定义求解即可；
②先求出，，即可得到，假设点是点A关于⊙O的倍特征点，得到，则不符合题意，同理可以求出，假设点是点A关于⊙O的倍特征点，得到，可求出点F的坐标为（0，-1），由点的坐标为（，0），得到，则，则点不是点A关于⊙O的倍特征点；
③设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，先求出E是AB的中点，从而推出∠EOA=30°，再求出，，即可得到点E的坐标为（，）；
（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交点分别为C、D过点N作NP⊥CD交CD于P，交圆O于B，过点O作直线EF⊥CD交圆O于E，F即可得到，，由，可得，可以推出当的值越大，k的值越大，则当AM=BP，MN=NP时，k的值最小，即当A与E重合，N于F重合时，k的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．
【详解】
解：（1）①∵A点坐标为（1，0），P点坐标为（，0），
∴，B点坐标为（-1，0），
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②∵的坐标为（0，），A点坐标为（1，0），
∴，，
∴
假设点是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴不符合题意，
∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，
同理可以求出，
假设点是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴即为AF的中点，
∴点F的坐标为（0，-1），
∵点F（0，-1）在圆上，
∴点是点A关于⊙O的倍特征点，
∵点的坐标为（，0），
∴，
∴，
∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，
故答案为：；
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③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，
∵点E是点A关于⊙O的倍的特征点，
∴，
∴E是AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠EAO=60°，
∴∠EOA=30°，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，）；
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（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交点分别为C、D过点N作NP⊥CD交CD于P，交圆O于B，过点O作直线EF⊥CD交圆O于E，F2-1-c-n-j-y
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵当k越大时，的值越小，
∴的值越大，
∴当的值越大，k的值越大，
∴当AM=BP，MN=NP时，k的值最小，
∴当A与E重合，N于F重合时，k的值最小，
∵C、D是直线与x轴，y轴的交点，
∴C（1，0），D点坐标为（0，1），
∴OC=OD=1，
∴，
∵OG⊥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k的最小值为，
∴当N在E点，A在F点时，k有最大值为．
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【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确理解题意进行求解．21世纪教育网版权所有
4、（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）首先根据题意得到，进而求出的度数，然后利用扇形的弧长公式求解即可．
【详解】
（1）证明：连接，
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，
，
，
，
在中，，
，
，
则为圆的切线；
（2）∵∠CAD＝30°，
∴由（1）可得，，
∴，
∵OB＝2，
∴．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质，扇形的弧长公式，熟练掌握切线的判定与性质以及扇形的弧长公式是解本题的关键．
5、（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角
【分析】
（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可．
【详解】
（1）①作直径AB；
②分别以点A, B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M 点；
③作直线MO交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.
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（2）证明：连接MA，MB．
∵MA=MB，OA=OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
∴AC=BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角) ．
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：BC，90°，直径所对的圆周角是直角．
【点睛】
本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定 ( http: / / www.21cnjy.com )理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．
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