【强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形同步训练试题(含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形同步训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个 ( http: / / www.21cnjy.com )题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。【来源：21cnj*y.co*m】
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ）【版权所有：21教育】
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A． B． C． D．
2、如图，中的半径为1，内接于．若，，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
3、如图，为的直径，为外一点，过作的切线，切点为，连接交于，，点在右侧的半圆周上运动（不与，重合），则的大小是（ ）
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A．19° B．38° C．52° D．76°
4、如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（ ）21cnjy.com
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A． B． C． D．
5、如图，CD是的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．
（2）作直线GH交AB于点E．
（3）在直线GH上截取．
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）
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A． B． C． D．
6、如图，中，，，点O是的内心．则等于（ ）
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A．124° B．118° C．112° D．62°
7、下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心
8、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（　　）
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A．30° B．36° C．45° D．72°
9、下列叙述正确的有( )个.
（1）随着的增大而增大；
（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；
（3）斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；
（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；
（5）以为三边长度的三角形，不是直角三角形．
A．0 B．1 C．2 D．3
10、如图，菱形中，，．以为圆心，长为半径画，点为菱形内一点，连，，．若，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 _____．
2、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．
3、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________
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4、如图，点A、B、C、D、E在上，且弧AB为，则________．
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5、如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．21*cnjy*com
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC
作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P
点P即为所求
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（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠_________＝∠_________
∴∠BAC＝∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD（______________________） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
2、如图，四边形ABCD为平行四边形，以AD为直径的⊙O交AB于点E，连接DE，DA＝2，DE，DC＝5．过点E作直线l．过点C作CH⊥l，垂足为H．www.21-cn-jy.com
（1）若l∥AD，且l与⊙O交于另一点F，连接DF，求DF的长；
（2）连接BH，当直线l绕点E旋转时，求BH的最大值；
（3）过点A作AM⊥l，垂足为M，当直线l绕点E旋转时，求CH﹣4AM的最大值．
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3、如图，AB为⊙O的切线，B为切点，过点B作BC⊥OA，垂足为点E，交⊙O于点C，连接CO并延长CO与AB的延长线交于点D，连接AC．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为2，OD＝4．求线段AD的长．
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4、如图，射线AB和射线CB相交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．2·1·c·n·j·y
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．
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5、如图，点O，B的坐标分别是（0，0），（3，0）．将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1．
（1）画出平面直角坐标系和三角形△OA1B1；
（2）求旋转过程中点B走过的路径的长．
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-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．
【详解】
解：连接CD，如图所示：
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∵点D是AB的中点，，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得；
故选D．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
2、B
【分析】
连接OA、OB，过点O作，由三角形内角和求出，由圆周角定理可得，由得是等腰三角形，即可知，，根据三角函数已可求出AD，进而得出答案．
【详解】
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如图，连接OA、OB，过点O作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．
3、B
【分析】
连接 由为的直径，求解 结合为的切线，求解 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解：连接 为的直径，
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为的切线，
故选B
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，直径 ( http: / / www.21cnjy.com )所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.
4、B
【分析】
利用，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，再利用勾股定理求解 可得tan∠ACD=，从而可得答案.
【详解】
解：如图， ∵，
∴∠BAC=∠DCA．
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∵同圆的半径相等， ∴AC=AB=3，而
在Rt△ACD中，tan∠ACD=．
∴tan∠BAC=tan∠ACD=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．
5、C
【分析】
连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．
【详解】
解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，
∴，故A正确；
∵CD是的高，
∴，故B正确；
∵，，
∴，故C错误；
∵，
∴∠AFE=45°，
同理可得∠BFE=45°，
∴∠AFB＝90°，
，故D正确；
故选：C．
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【点睛】
本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．21·cn·jy·com
6、B
【分析】
根据三角形内心的性质得到∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=×74°=37°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内 ( http: / / www.21cnjy.com )心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
7、A
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．
【详解】
解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．www-2-1-cnjy-com
8、B
【分析】
连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接OC，OD．
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∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9、D
【分析】
根据反比例函数的性质，得当或者时，随着的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．21教育网
【详解】
当或者时，随着的增大而增大，故（1）不正确；
如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；，故（2）正确；
∵圆的直径所对的圆周角为直角
∴斜边为的直角三角形顶点A的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆，故（3）正确；
三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确；
∵
∴
∴以为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、 ( http: / / www.21cnjy.com )圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．2-1-c-n-j-y
10、C
【分析】
过点P作交于点M，由菱形得，，由，得，，故可得，，根据SAS证明，求出，即可求出．
【详解】
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如图，过点P作交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，即，
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及求不规则图形的面积等知识，掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．
二、填空题
1、
【分析】
根据扇形的面积公式，即可求解．
【详解】
解：根据题意得：扇形的面积为 ．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形的面积等于 （其中 为圆心角， 为半径）是解题的关键．
2、在⊙A上
【分析】
先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
【详解】
解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA==5，
∵半径为5，
∴OA=r，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com )有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外 d＞r；当点P在圆上 d=r；当点P在圆内 d＜r．
3、
【分析】
由勾股定理求得圆锥母线长为，再由圆锥的侧面积公式即可得出圆锥侧面积为．
【详解】
∵是一个圆锥在某平面上的正投影
∴为等腰三角形
∵AD⊥BC
∴
在中有
即
由圆锥侧面积公式有．
故答案为：。
【点睛】
本题考查了计算圆锥的侧面积，若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为．21*cnjy*com
4、
【分析】
先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得．
【详解】
弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧为，所以 ，
顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：
, ，
，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．
5、（2，1）
【分析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】
解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，1）．
故答案为（2，1）．
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【点睛】
本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】
（1）根据按步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理进行证明即可
【详解】
解：（1）如图所示，
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（2）证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠BAC=∠BAD
∴∠BAC＝∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD（圆周角定理） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【点睛】
本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
2、（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）由平行线的性质可得∠ADE=∠DEF，则AE=DF，由AD是圆O的直径，得到∠AED=90°，则；21·世纪*教育网
（2）连接CE，取CE中点K，过点K作KM⊥BE于M，由题意可知H在以K为圆心，以CE为直径的圆上，如图所示，当H运动到的位置时，即此时，B，K三点共线，BH有最大值，由此求解即可；
（3）如图3-1所示，过点B作BN⊥l于N，过点B作BT∥l交CH于T，先证四边形BCHN是平行四边形，得到HT=BN，再证△AME∽△BNE，得到BN=4AM，即可推出CH-4AM=CH-HT=CT，又由 即可得到当直线l与直线BC垂直时，，如图3-2所示，即此时CH-4AM的最大值即为BC，由此求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，连接DF，
∵AD∥l，
∴∠ADE=∠DEF，
∴AE=DF，
∵AD是圆O的直径，
∴∠AED=90°，
∴；
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（2）如图所示，连接CE，取CE中点K，过点K作KM⊥BE于M，
∵CH⊥EH，
∴∠CHE=90°，
∴H在以K为圆心，以CE为直径的圆上，
∵，
∴如图所示，当H运动到的位置时，即此时，B，K三点共线，BH有最大值，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AB∥CD，
∴BE=AB-AE=4，∠CDE=∠AED=90°，∠DCE=∠MEK，
∴，
∴，
∵∠CDE=∠EMK=90°，
∴△CDE∽△EMK，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴BH的最大值为；
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（3）如图3-1所示，过点B作BN⊥l于N，过点B作BT∥l交CH于T，
∵BN⊥l，CH⊥l，
∴BN∥CH，
∴四边形BCHN是平行四边形，
∴HT=BN，
同理可证AM∥BN，
∴△AME∽△BNE，
∴，
∴BN=4AM，
∴HT=4AM，
∴CH-4AM=CH-HT=CT，
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又∵
∴当直线l与直线BC垂直时，，如图3-2所示，即此时CH-4AM的最大值即为BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴CH-4AM的最大值为．
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【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定 ( http: / / www.21cnjy.com )，弧、弦，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，圆内一点到圆上一点的最大距离，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．21教育名师原创作品
3、（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sinD＝＝，代入数值即可求得答案
【详解】
解：（1）连接OB，
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∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
即∠ABO＝90°，
∵BC是弦，OA⊥BC，
∴CE＝BE，
∴AC＝AB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ACO＝∠ABO＝90°，
即AC⊥OC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，由勾股定理得，
BD＝＝2，
∵sinD＝＝，⊙O半径为2，OD＝4．
∴＝，
解得AC＝2，
∴AD＝BD+AB＝4．
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
4、（1）45°；（2）AE＝BE+CE，理由见解析；（3）或
【分析】
（1）连接AC，证A、B、E、C四点共圆， ( http: / / www.21cnjy.com )由圆周角定理得出∠AEB＝∠ACB，证出△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝45°，进而得出结论；
（2）在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数定义得出FH＝EH＝BE，进而得出结论；
（3）分两种情况，由（2）得FH＝EH＝BE，由三角函数定义得出AH＝3BH＝BE，分别表示出CE，进而得出答案．
【详解】
解：（1）连接AC，如图①所示：
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∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝45°；
（2）AE＝BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，
∴∠ABD＝∠FBE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠FBE＝120°，
∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF＝，
∵BH⊥EF，
∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，，
∴，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE，
∴；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示，
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由（2）得：FH＝EH＝BE，
∵tan∠DAB＝，
∴，
∴，
∴；
②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示，【出处：21教育名师】
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同①得：，
∴，
∴＝；
综上所述，当α＝120°，时，的值为或．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三角形是解题的关键．21世纪教育网版权所有
5、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据点O的坐标确定直角坐标系，根据旋转的性质确定点A1、B1，顺次连线即可得到△OA1B1；
（2）利用弧长公式计算即可．
【详解】
解：（1）如图，△OA1B1即为所求三角形；
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（2）旋转过程中点B走过的路径的长=．
【点睛】
此题考查了旋转作图，弧长的计算公式，正确掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键．
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