【强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形月考试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 【强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形月考试卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-22 08:33:55 | ||
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文档简介
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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形月考
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内 ( http: / / www.21cnjy.com )相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21世纪教育网版权所有
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．过任意三点可以画一个圆
C．周长相等的圆是等圆
D．平分弦的直径垂直于弦
2、如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
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A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC
3、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（ ）
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A．30° B．36° C．45° D．72°
4、如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为（ ）21教育网
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A． B． C． D．
5、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（ ）
A．不变 B．面积扩大为原来的3倍
C．面积扩大为原来的9倍 D．面积缩小为原来的
6、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则下列角中可确定大小的是（ ）
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A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA
7、已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
8、如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
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A．125° B．130° C．135° D．140°
9、如图，在平面直角坐标系x ( http: / / www.21cnjy.com )Oy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）
10、如图，AB是⊙O的直径， ( http: / / www.21cnjy.com )BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（ ）21·世纪*教育网
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A．50° B．55° C．65° D．75°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC中，AB⊥A ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠C=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分面积为___________（用含π的代数式表示）．21*cnjy*com
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2、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为_____．
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3、圆形角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是______．
4、如图，某小区的一个圆形管道 ( http: / / www.21cnjy.com )破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是______cm．
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5、如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为______．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，四边形是的内接四边形，，，．
（1）求的度数．
（2）求的度数．
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2、如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，作∠FAC=∠BAC，过点C作CF⊥AF于点F．
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（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CAB=，求=_______．（直接写出答案）
3、如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A，D两点，点D的坐标为，与y轴交于点E．
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（1）求A，B两点的坐标及直线l的解析式；
（2）若点P在直线l下方抛物线上，过点P作轴于点M，直线与直线l交于点N，当点M是的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点H是抛物线对称轴上的一点，且，请直接写出点H的坐标．
4、如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
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（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
5、（问题背景）如图1，P ( http: / / www.21cnjy.com )是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；【版权所有：21教育】
（迁移应用）如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；
（拓展创新）如图3，EF＝6，点C为E ( http: / / www.21cnjy.com )F的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4，请直接写出MC的最小值．
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-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．
【详解】
A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；
B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；
C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．
2、C
【分析】
根据题意可直接进行求解．
【详解】
解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．
3、B
【分析】
连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接OC，OD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4、B
【分析】
从图中可以看出在AB边，翻转的第一次 ( http: / / www.21cnjy.com )是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，同理在AC和BC上也是相同的情况，由此求解即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次，第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为×3=2π．21教育名师原创作品
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P点的运动轨迹．
5、A
【分析】
设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．
【详解】
设原来扇形的半径为r，圆心角为n，
∴原来扇形的面积为，
∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，
∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，
∴变化后的扇形的面积为，
∴扇形的面积不变．
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．
6、C
【分析】
由题意根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC=90°，然后根据圆周角定理进行分析求解．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
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∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为90°是解题的关键．
7、A
【分析】
根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出∠C即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A：∠C＝3：1，
∴∠C＝×180°＝45°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了元内接四边形对角互补的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
8、B
【分析】
如图所示，连接AC，由圆周角定理∠BAC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BDC=50°，再由等弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠BAC=50°，再根据圆内接四边形对角互补求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接AC，
∴∠BAC=∠BDC=50°，
∵，
∴∠ABC=∠BAC=50°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°，
故选B．
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【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9、A
【分析】
首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【详解】
解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A
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【点睛】
此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
10、C
【分析】
首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．
【详解】
解：∵BD是切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BOC＝50°，
∴∠A＝∠BOC＝25°，
∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
1、
【分析】
连接，根据阴影部分面积为，根据等边三角形的面积，扇形面积公式进行计算即可
【详解】
解：如图，连接
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，，
，
AB为直径
是等边三角形
阴影部分面积为
故答案为：
【点睛】
本题考查了求扇形面积，添加辅助线将阴影部分面积转化为是解题的关键．
2、45°度
【分析】
连接OB、OC，根据正方形的性质得到∠BOC的度数，利用圆周角与圆心角的关系得到答案．
【详解】
解：连接OB、OC，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=，
故答案为：45°．
【点睛】
此题考查了圆内接正方形的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记各知识点是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
3、12π
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
∵
=12π，
故答案为：12π．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．
4、100
【分析】
由垂径定理和勾股定理计算即可．
【详解】
如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．
设AO=OB=r
则OC=r-20，BC=
有
化简得r=50
故新管道直径为100cm．
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故答案为：100．
【点睛】
本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．21cnjy.com
5、
【分析】
如图，连接AD，PA，PD，OD．首先证明PA=PB，再根据PD+PB=PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AD，PA，PD，OD．
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∵OC⊥AB，OA=OB，
∴PA=PB，∠COB=90°，
∵，
∴∠DOB=×90°=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD=60°
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD=AB sin∠ABD=2，
∵PB+PD=PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
三、解答题
1、（1）70°；（2）103°
【分析】
（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，得出，在三角形中利用三角形内角和定理求解即可得；
（2）由圆周角定理可得，结合（1）中结论及图形可得：，代入求解即可．
【详解】
解：（1），
，，
在中，
．
（2）由圆周角定理，得．
．
【点睛】
题目主要考查圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握运用圆周角定理是解题关键．
2、
（1）见解析
（2）
【分析】
（1）如图，连接OC，根据等腰三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质可得∠CAB=∠ACO，即可得出∠FAC=∠ACO，可得AF//OC，根据平行线的性质可得∠AFC+∠OCF=180°，根据CF⊥AF可得∠OCF=90°，即可得出CF是⊙O的切线；
（2）利用AAS可证明△AFC≌△AEC，可得S△AFC=S△AEC，根据垂径定理可得CE=DE，可得S△BCD=2S△BCE，根据AB是直径可得∠ACB=90°，根据角的和差关系可得∠BCE=∠CAB，根据正弦的定义可得，可得BE=，AB=，进而可得AE=，根据三角形面积公式即可得答案．
（1）
（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∵∠FAC=∠BAC，
∴∠FAC=∠ACO，
∴AF//OC，
∴∠AFC+∠OCF=180°，
∵CF⊥AF，
∴∠OCF=90°，即OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
( http: / / www.21cnjy.com / )（2）
在△AFC和△AEC中，，
∴△AFC≌△AEC，
∴S△AFC=S△AEC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴S△BCD=2S△BCE，
∵∠BCE+∠CBA=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠BCE=∠CBA，
∵sin∠CAB=，
∴sin∠CAB=sin∠BCE=，
∴BE=，AB=，
∴AE=，
∴====．
故答案为：
【点睛】
本题考查切线的判定、圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的定义，经过半径的外端点，且垂直于这条半径的直线是圆的切线；直径所对的圆周角是90°；垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；在直角三角形中，锐角的正弦是锐角的对边与斜边的比值；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．21·cn·jy·com
3、（1）A（－1，0），B（3，0），；（2）点P的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）点H的坐标为（1，5＋）或（1，－4）.www.21-cn-jy.com
【分析】
（1）先令y＝0时，，x1＝3，x2＝－1. ，即可得到A、B的坐标，然后设直线l解析式为，代入A、D坐标求解即可；21*cnjy*com
（2）根据题意设点P坐标为（m，），则点N（m，），然后分PM＝，且P只能在x轴的下方，这两种情况讨论求解即可；
（3）过点D作DG⊥x轴于G，可得AG=BG=5，∠AGD=90°，再由∠AHD=45°，则点在以G为圆心，以5为半径的圆上，且H在AD下方，设的坐标为（1，n），则，即可求出的坐标为（1，-4）；同理当H在AD上方时，H在以（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，由此即可得到答案．
【详解】
（1）当y＝0时，，
解得x1＝3，x2＝－1.
∴ A（－1，0），B（3，0）.
设直线l解析式为，
∵ l经过D（4，5），A（－1，0），
∴ ，
∴，
∴ 直线l解析式为；
（2）根据题意设点P坐标为（m，），则点N（m，），
∵ 点M是PN的三等分点，点P在直线l下方抛物线上，
∴ PM＝,且P只能在x轴的下方，
∴ PM＝,PN＝，
当PM＝时，则，
解得m1＝2.5，m2＝－1（舍去），
∴ P的坐标为（2.5，－1.75）；
当PM＝时，则，
解得m1＝1，m2＝－1（舍去），
∴ P的坐标为（1，－4） ，
综上所述，点P的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；
（3）如图所示，过点D作DG⊥x轴于G，
∴G点坐标为（4，0），
∴AG=BG=5，∠AGD=90°，
∵∠AHD=45°，
∴点在以G为圆心，以5为半径的圆上，且H在AD下方，
设的坐标为（1，n），
∴，
∴或（舍去），
∴的坐标为（1，-4）；
同理当H在AD上方时，H在以（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，
设H的坐标为（1，t），
∴，
∴或（舍去），
∴H的坐标为（1，5＋）；
∴综上所述，点H的坐标为（1，5＋）或（1，－4）．
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【点睛】
本题主要考查了求二次函数与x轴的交点，求一次函数解析式，圆周角定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【来源：21cnj*y.co*m】
4、
（1）见解析
（2）3，2
【分析】
（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA=∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，进而得到∠OCD=90°，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．
（1）
证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
∵OE∥BC，
∴，
∵CD=4，CE=6，
∴，
设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，
∵OC⊥DC，
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，
∴（3x）2+42=（5x）2，
解得，x=1，
∴OC=3x=3，即⊙O的半径为3，
∵BC∥OE，
∴∠OCB=∠EOC，
在Rt△OCE中，tan∠EOC=，
∴tan∠OCB=tan∠EOC=2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据△PAB绕点A逆时针旋转60°作图即可；
（2）由∠BEC＝120° ( http: / / www.21cnjy.com )得∠BED＝60°，由平行线的性质得∠ADE＝∠BED＝60°，由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圆，由圆内接四边形对角互补得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得证；【出处：21教育名师】
（3）由CA＝CE＝CB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )CF＝3得A、E、B、F共圆C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，进而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，求出EQ，连接QG取中点N，由三角形中位线得MN，以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，即CM最小为，建立平面直角坐标系求出即可．
【详解】
（1）如图1所示，将绕点A逆时针旋转60°得；
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（2）∵∠BEC＝120°，
∴∠BED＝60°，
∵，
∴∠ADE＝∠BED＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴A、D、B、C共圆，如图2所示：
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∴∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝∠BED＝60°，
∴∠BDE＝60°，
∴△DBE是等边三角形；
（3）
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如图3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3，
∴A、E、B、F共圆C，
∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB，
∴∠APF＝∠ABC＝60°，
∵∠EPF＝60°，EF＝6，
作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，QC⊥EF，
∴∠EQC＝60°，
∴，
连接QG取中点N，则且，
以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，
即CM最小为，
以点F为原点建立平面直角坐标系，
，，，
∴,
，
∴CM最小为．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质，解三角函数以及圆的性质，根据题意作出圆是解题的关键．
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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形月考
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内 ( http: / / www.21cnjy.com )相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21世纪教育网版权所有
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．过任意三点可以画一个圆
C．周长相等的圆是等圆
D．平分弦的直径垂直于弦
2、如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
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A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC
3、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（ ）
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A．30° B．36° C．45° D．72°
4、如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为（ ）21教育网
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A． B． C． D．
5、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（ ）
A．不变 B．面积扩大为原来的3倍
C．面积扩大为原来的9倍 D．面积缩小为原来的
6、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则下列角中可确定大小的是（ ）
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A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA
7、已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
8、如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
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A．125° B．130° C．135° D．140°
9、如图，在平面直角坐标系x ( http: / / www.21cnjy.com )Oy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）
10、如图，AB是⊙O的直径， ( http: / / www.21cnjy.com )BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（ ）21·世纪*教育网
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A．50° B．55° C．65° D．75°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC中，AB⊥A ( http: / / www.21cnjy.com )C，∠C=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分面积为___________（用含π的代数式表示）．21*cnjy*com
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2、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为_____．
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3、圆形角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是______．
4、如图，某小区的一个圆形管道 ( http: / / www.21cnjy.com )破裂，修理工人准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部的距离为20cm，则修理工人应准备的新管道的内直径是______cm．
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5、如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为______．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，四边形是的内接四边形，，，．
（1）求的度数．
（2）求的度数．
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2、如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，作∠FAC=∠BAC，过点C作CF⊥AF于点F．
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（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠CAB=，求=_______．（直接写出答案）
3、如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A，D两点，点D的坐标为，与y轴交于点E．
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（1）求A，B两点的坐标及直线l的解析式；
（2）若点P在直线l下方抛物线上，过点P作轴于点M，直线与直线l交于点N，当点M是的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点H是抛物线对称轴上的一点，且，请直接写出点H的坐标．
4、如图，△ABC内接于⊙O，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，∠DCB＝∠OAC．过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E．
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（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，CE＝6，求⊙O的半径及tan∠OCB的值．
5、（问题背景）如图1，P ( http: / / www.21cnjy.com )是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；【版权所有：21教育】
（迁移应用）如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；
（拓展创新）如图3，EF＝6，点C为E ( http: / / www.21cnjy.com )F的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4，请直接写出MC的最小值．
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-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．
【详解】
A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；
B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；
C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．
2、C
【分析】
根据题意可直接进行求解．
【详解】
解：由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键．
3、B
【分析】
连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接OC，OD．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4、B
【分析】
从图中可以看出在AB边，翻转的第一次 ( http: / / www.21cnjy.com )是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，同理在AC和BC上也是相同的情况，由此求解即可．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次，第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为×3=2π．21教育名师原创作品
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P点的运动轨迹．
5、A
【分析】
设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．
【详解】
设原来扇形的半径为r，圆心角为n，
∴原来扇形的面积为，
∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，
∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，
∴变化后的扇形的面积为，
∴扇形的面积不变．
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．
6、C
【分析】
由题意根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC=90°，然后根据圆周角定理进行分析求解．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为90°是解题的关键．
7、A
【分析】
根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出∠C即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A：∠C＝3：1，
∴∠C＝×180°＝45°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了元内接四边形对角互补的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
8、B
【分析】
如图所示，连接AC，由圆周角定理∠BAC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠BDC=50°，再由等弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠BAC=50°，再根据圆内接四边形对角互补求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接AC，
∴∠BAC=∠BDC=50°，
∵，
∴∠ABC=∠BAC=50°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°，
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9、A
【分析】
首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【详解】
解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A
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【点睛】
此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
10、C
【分析】
首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．
【详解】
解：∵BD是切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BOC＝50°，
∴∠A＝∠BOC＝25°，
∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
1、
【分析】
连接，根据阴影部分面积为，根据等边三角形的面积，扇形面积公式进行计算即可
【详解】
解：如图，连接
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，，
，
AB为直径
是等边三角形
阴影部分面积为
故答案为：
【点睛】
本题考查了求扇形面积，添加辅助线将阴影部分面积转化为是解题的关键．
2、45°度
【分析】
连接OB、OC，根据正方形的性质得到∠BOC的度数，利用圆周角与圆心角的关系得到答案．
【详解】
解：连接OB、OC，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=，
故答案为：45°．
【点睛】
此题考查了圆内接正方形的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记各知识点是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
3、12π
【分析】
根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
∵
=12π，
故答案为：12π．
【点睛】
本题考查了扇形的面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．
4、100
【分析】
由垂径定理和勾股定理计算即可．
【详解】
如图所示，作管道圆心O，管道顶部为A点，污水水面为BD，连接AO，AO与BD垂直相交于点C．
设AO=OB=r
则OC=r-20，BC=
有
化简得r=50
故新管道直径为100cm．
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故答案为：100．
【点睛】
本题为垂径定理的实际应用题，主要是通过圆心距，圆的半径及弦长的一半构成直角三角形，并应用勾股定理，来解决问题．21cnjy.com
5、
【分析】
如图，连接AD，PA，PD，OD．首先证明PA=PB，再根据PD+PB=PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接AD，PA，PD，OD．
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∵OC⊥AB，OA=OB，
∴PA=PB，∠COB=90°，
∵，
∴∠DOB=×90°=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ABD=60°
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD=AB sin∠ABD=2，
∵PB+PD=PA+PD≥AD，
∴PD+PB≥2，
∴PD+PB的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
三、解答题
1、（1）70°；（2）103°
【分析】
（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，得出，在三角形中利用三角形内角和定理求解即可得；
（2）由圆周角定理可得，结合（1）中结论及图形可得：，代入求解即可．
【详解】
解：（1），
，，
在中，
．
（2）由圆周角定理，得．
．
【点睛】
题目主要考查圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握运用圆周角定理是解题关键．
2、
（1）见解析
（2）
【分析】
（1）如图，连接OC，根据等腰三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质可得∠CAB=∠ACO，即可得出∠FAC=∠ACO，可得AF//OC，根据平行线的性质可得∠AFC+∠OCF=180°，根据CF⊥AF可得∠OCF=90°，即可得出CF是⊙O的切线；
（2）利用AAS可证明△AFC≌△AEC，可得S△AFC=S△AEC，根据垂径定理可得CE=DE，可得S△BCD=2S△BCE，根据AB是直径可得∠ACB=90°，根据角的和差关系可得∠BCE=∠CAB，根据正弦的定义可得，可得BE=，AB=，进而可得AE=，根据三角形面积公式即可得答案．
（1）
（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∵∠FAC=∠BAC，
∴∠FAC=∠ACO，
∴AF//OC，
∴∠AFC+∠OCF=180°，
∵CF⊥AF，
∴∠OCF=90°，即OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
( http: / / www.21cnjy.com / )（2）
在△AFC和△AEC中，，
∴△AFC≌△AEC，
∴S△AFC=S△AEC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴S△BCD=2S△BCE，
∵∠BCE+∠CBA=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠BCE=∠CBA，
∵sin∠CAB=，
∴sin∠CAB=sin∠BCE=，
∴BE=，AB=，
∴AE=，
∴====．
故答案为：
【点睛】
本题考查切线的判定、圆周角 ( http: / / www.21cnjy.com )定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的定义，经过半径的外端点，且垂直于这条半径的直线是圆的切线；直径所对的圆周角是90°；垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；在直角三角形中，锐角的正弦是锐角的对边与斜边的比值；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．21·cn·jy·com
3、（1）A（－1，0），B（3，0），；（2）点P的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）点H的坐标为（1，5＋）或（1，－4）.www.21-cn-jy.com
【分析】
（1）先令y＝0时，，x1＝3，x2＝－1. ，即可得到A、B的坐标，然后设直线l解析式为，代入A、D坐标求解即可；21*cnjy*com
（2）根据题意设点P坐标为（m，），则点N（m，），然后分PM＝，且P只能在x轴的下方，这两种情况讨论求解即可；
（3）过点D作DG⊥x轴于G，可得AG=BG=5，∠AGD=90°，再由∠AHD=45°，则点在以G为圆心，以5为半径的圆上，且H在AD下方，设的坐标为（1，n），则，即可求出的坐标为（1，-4）；同理当H在AD上方时，H在以（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，由此即可得到答案．
【详解】
（1）当y＝0时，，
解得x1＝3，x2＝－1.
∴ A（－1，0），B（3，0）.
设直线l解析式为，
∵ l经过D（4，5），A（－1，0），
∴ ，
∴，
∴ 直线l解析式为；
（2）根据题意设点P坐标为（m，），则点N（m，），
∵ 点M是PN的三等分点，点P在直线l下方抛物线上，
∴ PM＝,且P只能在x轴的下方，
∴ PM＝,PN＝，
当PM＝时，则，
解得m1＝2.5，m2＝－1（舍去），
∴ P的坐标为（2.5，－1.75）；
当PM＝时，则，
解得m1＝1，m2＝－1（舍去），
∴ P的坐标为（1，－4） ，
综上所述，点P的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；
（3）如图所示，过点D作DG⊥x轴于G，
∴G点坐标为（4，0），
∴AG=BG=5，∠AGD=90°，
∵∠AHD=45°，
∴点在以G为圆心，以5为半径的圆上，且H在AD下方，
设的坐标为（1，n），
∴，
∴或（舍去），
∴的坐标为（1，-4）；
同理当H在AD上方时，H在以（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，
设H的坐标为（1，t），
∴，
∴或（舍去），
∴H的坐标为（1，5＋）；
∴综上所述，点H的坐标为（1，5＋）或（1，－4）．
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【点睛】
本题主要考查了求二次函数与x轴的交点，求一次函数解析式，圆周角定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【来源：21cnj*y.co*m】
4、
（1）见解析
（2）3，2
【分析】
（1）由等腰三角形的性质与已知条件得出，∠OCA=∠DCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，进而得到∠OCD=90°，即可得出结论；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到，设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，在Rt△OCD中，根据勾股定理求出x=1，即⊙O的半径为3，由平行线的性质得到∠OCB=∠EOC，在Rt△OCE中，可求得tan∠EOC=2，即tan∠OCB=2．
（1）
证明：∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DCB＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠DCB+∠OCB＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
∵OE∥BC，
∴，
∵CD=4，CE=6，
∴，
设BD=2x，则OB=OC=3x，OD=OB+BD=5x，
∵OC⊥DC，
∴△OCD是直角三角形，
在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，
∴（3x）2+42=（5x）2，
解得，x=1，
∴OC=3x=3，即⊙O的半径为3，
∵BC∥OE，
∴∠OCB=∠EOC，
在Rt△OCE中，tan∠EOC=，
∴tan∠OCB=tan∠EOC=2．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、勾股定 ( http: / / www.21cnjy.com )理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据△PAB绕点A逆时针旋转60°作图即可；
（2）由∠BEC＝120° ( http: / / www.21cnjy.com )得∠BED＝60°，由平行线的性质得∠ADE＝∠BED＝60°，由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圆，由圆内接四边形对角互补得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得证；【出处：21教育名师】
（3）由CA＝CE＝CB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )CF＝3得A、E、B、F共圆C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，进而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，求出EQ，连接QG取中点N，由三角形中位线得MN，以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，即CM最小为，建立平面直角坐标系求出即可．
【详解】
（1）如图1所示，将绕点A逆时针旋转60°得；
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（2）∵∠BEC＝120°，
∴∠BED＝60°，
∵，
∴∠ADE＝∠BED＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴A、D、B、C共圆，如图2所示：
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∴∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝∠BED＝60°，
∴∠BDE＝60°，
∴△DBE是等边三角形；
（3）
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如图3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3，
∴A、E、B、F共圆C，
∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB，
∴∠APF＝∠ABC＝60°，
∵∠EPF＝60°，EF＝6，
作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，QC⊥EF，
∴∠EQC＝60°，
∴，
连接QG取中点N，则且，
以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，
即CM最小为，
以点F为原点建立平面直角坐标系，
，，，
∴,
，
∴CM最小为．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质，解三角函数以及圆的性质，根据题意作出圆是解题的关键．
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