【强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形章节训练试题(含详解)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形章节训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题 ( http: / / www.21cnjy.com )目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21教育网
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，边长为4的正三角形外接圆，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（　　）
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A．12+2π B．4+π C．24+2π D．12+14π
2、若O是ABC的内心，当时，（ ）
A．130° B．160° C．100° D．110°
3、如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心，则∠O1AB的度数为（　　）
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A．45° B．30° C．20° D．15°
4、已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
5、已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
6、如图，中，，则等于（ ）
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A． B． C． D．
7、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（　　）
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A．54° B．56° C．64° D．66°
8、如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（　　）
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A． B．
C．或 D．（﹣2，0）或（﹣5，0）
9、如图，菱形中，，．以为圆心，长为半径画，点为菱形内一点，连，，．若，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A． B． C． D．
10、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（ ）
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A．6 B． C．3 D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在⊙O中，∠BOC=80°，则∠A=___________°．
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2、如图，将Rt△ABC的斜边AB与量角器的 ( http: / / www.21cnjy.com )直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．
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3、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历 ( http: / / www.21cnjy.com )志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为 ( http: / / www.21cnjy.com )两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．
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4、如图，半圆O中，直径AB＝30，弦CD∥AB，长为6π，则由与AC，AD围成的阴影部分面积为_______．
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5、如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在中，，点在边上，过三点的⊙交于点，作直径，连结并延长交于点，连结，此时．
（1）求证：；
（2）当为的中点，且时，求⊙的直径长．
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2、综合与实践
“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．
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使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．
独立思考：（1）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．
已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点，________，切半圆于．求证：________________．
探究解决：（2）请完成证明过程．
应用实践：（3）若半圆的直径为，，求的长度．
3、如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，于点．
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（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长.．
4、如图，△ABC内接于⊙O，AB为 ( http: / / www.21cnjy.com )直径，点D为半径OA上一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，交BC的延长线于点P，点F在线段PE上，且PF＝CF．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）连接AP与⊙O相交于点G，若∠ABC＝2∠PAC，求证：AB＝BP；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，BC＝3，求CF的长．
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5、在平面内，给定不在同一直 ( http: / / www.21cnjy.com )线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．
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-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．
【详解】
解：正三角形的面积为：，
三个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，
所以阴影部分的面积为：，
故选：
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
2、A
【分析】
由三角形内角和以及内心定义计算即可
【详解】
∵
∴
又∵O是ABC的内心
∴OB、OC为角平分线，
∴
∴180°=180°-50°=130°
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
3、B
【分析】
连接O1O2，AO2，O1B，可得△AO2O1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答．
【详解】
解：连接O1O2，AO2，O1B，
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∵O1B= O1A
∴
∵⊙O1和⊙O2是等圆，
∴AO1=O1O2=AO2，
∴△AO2O1是等边三角形，
∴∠AO2O1=60°，
∴∠O1AB=∠AO2O1 =30°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△AO2O1是等边三角形是解题关键．
4、B
【分析】
圆的半径为 圆心O到直线l的距离为 当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.【版权所有：21教育】
【详解】
解： ⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为5cm，
⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离，
直线l与⊙O的位置关系为相切，
故选B
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.
5、A
【分析】
圆的半径为 圆心到直线的距离为 当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．
【详解】
解：∵⊙O的半径等于为8，圆心O到直线l的距离为为6，
∴，
∴直线l与相离，
∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，
故选A．
【点睛】
本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．
6、C
【分析】
由题意直接根据圆周角定理进行分析即可得出答案.
【详解】
解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，，
∴∠ABC=∠AOC=.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆周角定理，注意掌握同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半．
7、A
【分析】
根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝∠BCD＝36°，
∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，
即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中 ( http: / / www.21cnjy.com )，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
8、C
【分析】
由题意根据函数解析式求得A（- ( http: / / www.21cnjy.com )4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
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则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴，
∴，
∴AP= ，
∴OP= 或OP= ，
∴P或P，
故选：C．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．21·cn·jy·com
9、C
【分析】
过点P作交于点M，由菱形得，，由，得，，故可得，，根据SAS证明，求出，即可求出．21教育名师原创作品
【详解】
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如图，过点P作交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，即，
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及求不规则图形的面积等知识，掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．
10、D
【分析】
如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB，则，∠AOB=30°，推出OA=2AB=6，利用勾股定理求出，即可得到圆O的直径为．
【详解】
解：如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，
∵AC，AB都是圆O的切线，
∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，
又∵OA=OA，
∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠DAC=60°，
∴，
∴∠AOB=30°，
∴OA=2AB=6，
∴，
∴圆O的直径为，
故选D．
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【点睛】
本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．21cnjy.com
二、填空题
1、40°度
【分析】
直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】
解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，解题的关键是熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．www.21-cn-jy.com
2、76°或142°
【分析】
设AB的中点为O，连接O ( http: / / www.21cnjy.com )D，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD，根据等腰三角形的性质分BC为底边和BC为腰求∠BCD的度数即可．21*cnjy*com
【详解】
解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，
∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，
∴∠BOD=2∠BCD，
①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，
连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；
②若BC为等腰三角形的腰时，
当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，
连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，
当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，
综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，
故答案为：76°或142°．
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【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
3、
【分析】
如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．【出处：21教育名师】
【详解】
解：如图，
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∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE是直径，∠ECD=45°，
根据题意得：AB=2.5， ，
∴ ，
∴ ，
即此斛底面的正方形的边长为 尺．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
4、45
【分析】
连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=来求解．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：连接OC，OD，
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∵直径AB=30，
∴OC=OD=，
∴CD∥AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∵长为6π，
∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=，
故答案为：45π．
【点睛】
本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．
5、2或或0
【分析】
当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标．21*cnjy*com
【详解】
解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0．
当y=-1时，有-1=-x2+1，x=．
故答案是：2或或0．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标．
三、解答题
1、（1）证明见解析；（2）2．
【分析】
（1）连接AF，根据圆周角定理得到，根据，推出BD垂直平分AF，于是得到AB=BF；
（2）根据直角三角形的性质得到BF=BC，求得AB=BC，得到，求得，AB==，于是得到结论．21·世纪*教育网
【详解】
解：（1）如图，连接AF
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AE是⊙O的直径
BD是⊙O的直径
BD垂直平分AF
AB＝BF；
（2） F为BC的中点
AF = CF =BF＝BC
AB＝BF
AB＝BC
，
在中， ，AC=3，
AC＝
AB＝BF
在中， ，AC=3 ，
⊙O的直径长为2．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，平行线的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
2、（1），，将三等分；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据题意即可得；
（2）先证明与全等，然后根据全等的性质可得，再由圆的切线的性质可得，可得三个角相等，即可证明结论；
（3）连，延长与相交于点，由（2）结论可得，再由切线的性质，，然后利用勾股定理及线段间的数量关系可得，最后利用相似三角形的判定和性质求解即可得．
【详解】
解：（1），，将三等分，
故答案为：；，将三等分，
（2）证明：在与中，
，
，
．
，
是的切线．
、都是的切线，
，
，
，将三等分．
（3）如图，连，延长与相交于点，
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由（2），知．
是的切线，
，
，．
∵半径，
∴由勾股定理得，在中，
，，
．
∵，
，
，
，即，
．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质，勾股定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
3、（1）见详解；（2）7
【分析】
（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线长定理可得AB=AC，BE=DE，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
（1）证明：∵，DE是的两条切线，于点
∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是矩形，
∴EF=，CF=，
∵，，DE是的两条切线，
∴AB=AC，BE=DE，
设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，
在中，，
解得：x=5，
∴AC=5+2=7．
【点睛】
本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．
4、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）连接，由题意知，，，，；可得，进而说明是的切线．
（2）连接，同弧所对圆周角相等，有，，进而说明．
（3）勾股定理知，，有，知，，；在中用勾股定理求出的长，求出的长，通过角度关系得出，故有，进而求出的值．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：（1）证明：如图所示，连接，为半径
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是的内接三角形，且是直径
在和中，有
又
即
是半径
是的切线．
（2）证明：如图连接
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为直径
（3）在中
在和中
，，
设，
在中，有，
解得
，
∴
【点睛】
本题考查了切线、圆周角、三角形全等、等腰三角形、勾股定理等知识．解题的关键与难点在于角度等量关系的转化．2-1-c-n-j-y
5、见解析
【分析】
由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．
【详解】
证明：根据题意作图如下：
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∵BD是圆周角ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴，
∴AD=CD．
【点睛】
本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．
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