【强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形章节练习试题(含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形章节练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题 ( http: / / www.21cnjy.com )目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。www-2-1-cnjy-com
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（　　）
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A．54° B．56° C．64° D．66°
2、如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　）
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A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2
3、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A ( http: / / www.21cnjy.com )（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）
4、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）
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A．3 B．2 C．1 D．
5、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（ ）21教育名师原创作品
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A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
6、如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（ ）
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A． B． C． D．
7、如图，在中，，连接AC，CD，则AC与CD的关系是（ ）．
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A． B．
C． D．无法比较
8、如图，在圆内接五边形中，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
9、如图，中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）【版权所有：21教育】
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A． B． C． D．
10、如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（ ）
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A．50° B．100° C．130° D．150°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知⊙O的直径为6cm，且点P在⊙O上，则线段PO=_________ .
2、如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______．21世纪教育网版权所有
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3、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的半圆O上有一动点B，点，为等腰直角三角形，A为直角顶点，且C在第一象限，则线段OC长度的最大值为______．
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4、如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠C= ( http: / / www.21cnjy.com )30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分面积为___________（用含π的代数式表示）．
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5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=105°，则∠BOD=_______．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图1，△ABC为圆内接三角形，AE⊥BC于D交⊙O于点E，BF⊥AC于F交AE于点G．
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（1）求证：DG＝DE；
（2）如图2，连接BE，作OM⊥BE于M，求证：AC＝2OM；
（3）在（2）的条件下，连接OG、CE，若OG＝CE，BG＝2FC+2FG，AG＝2，求OM长．
2、如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：PA＋PB＝PC．
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3、如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，点、在上，过点作的延长线于点，已知平分．21*cnjy*com
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（1）求证：是切线；
（2）若，，求的半径和的长．
4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．
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（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC = 30°，求CD的长．
5、如图，是的直径，弦，是的中点，连接并延长到点，使，连接交于点，连接，．
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（1）求证：直线是的切线；
（2）若长为，求的半径及的长．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝∠BCD＝36°，
∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，
即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或 ( http: / / www.21cnjy.com )等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2、D
【分析】
先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案
【详解】
解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P，
由题意得：BC=4cm，
∵六边形ABCD是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
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【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键．
3、A
【分析】
首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．21·cn·jy·com
【详解】
解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A
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【点睛】
此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．【来源：21·世纪·教育·网】
4、B
【分析】
连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．
【详解】
解：连接OC，如图
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∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．
5、B
【分析】
根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系
【详解】
解：连接,
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，点O为AB中点．
CO为⊙C的半径，
是的切线，
⊙C 与AB的位置关系是相切
故选B
【点睛】
本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．
6、B
【分析】
利用，得到∠BAC=∠DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，再利用勾股定理求解 可得tan∠ACD=，从而可得答案.
【详解】
解：如图， ∵，
∴∠BAC=∠DCA．
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∵同圆的半径相等， ∴AC=AB=3，而
在Rt△ACD中，tan∠ACD=．
∴tan∠BAC=tan∠ACD=．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．
7、B
【分析】
连接AB，BC，根据得，再根据三角形三边关系可得结论．
【详解】
解：连接AB，BC，如图，
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∵
∴
又
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形三边关系，弧、弦的关系等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键．
8、B
【分析】
先利用多边的内角和得到，可计算出，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可.
【详解】
解：∵五边形的内角和为，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关键.
9、A
【分析】
连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H，首先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用等面积法求出BD的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据30°角直角三角形的性质求出OH的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】
解：如图所示，连接OD，BD，作OH⊥CD交CD于点H
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∵，，
∴在中，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆
∴是圆的直径，
∴
∴，即
解得：
又∵
∴
∴是等边三角形
∴
∴
∵OH⊥CD
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查了30°角直角三角形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
10、B
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠DCB=180°，
∵∠DCB=130°，
∴∠A=50°，
由圆周角定理得，=2∠A=100°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
二、填空题
1、3cm
【分析】
根据点与圆的位置关系得出：点P在⊙O上，则即可得出答案．
【详解】
∵⊙O的直径为6cm，
∴⊙O的半径为3cm，
∵点P在⊙O上，
∴．
故答案为：3cm．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系：点P在⊙O外，则，点P在⊙O上，则，点P在⊙O内，则．
2、2或或0
【分析】
当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标．
【详解】
解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0．
当y=-1时，有-1=-x2+1，x=．
故答案是：2或或0．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标．
3、1+
【分析】
过点C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连结OB，设OD=x，根据点A（3，0）可求AD=x-3，根据为等腰直角三角形，得出AB=AC，∠BAC=90°，再证△BAE≌△ACD（AAS），得出BE=AD=x-3,EA=DC，在Rt△EBO中，根据勾股定理，
得出CD=AE=，根据勾股定理CO=，当OD=CD时OC最大，OC=此时解方程即可．
【详解】
解：过点C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连结OB，设OD=x，
∵点A（3，0）
∴AD=x-3，
∵为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAD=180°-∠BAC=180°-90°=90°，
∵CD⊥x轴， BE⊥x轴，
∴∠BEA=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠BAE，
在△BAE和△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（AAS），
∴BE=AD=x-3,EA=DC，
在Rt△EBO中，OB=1，BE= x-3，
根据勾股定理，
∴EA=OE+OA=，
∴CD=AE=，
∴CO=，
当OD=CD时OC最大，OC=，此时，
∴，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴线段OC长度的最大值为．
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故答案为：1+．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理是解题关键．21教育网
4、
【分析】
连接，根据阴影部分面积为，根据等边三角形的面积，扇形面积公式进行计算即可
【详解】
解：如图，连接
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，，
，
AB为直径
是等边三角形
阴影部分面积为
故答案为：
【点睛】
本题考查了求扇形面积，添加辅助线将阴影部分面积转化为是解题的关键．
5、150°
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】
∵四边形内接于，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）连接BE，首先根据题意得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据等角的余角相等得到，进而得到，最后根据等腰三角形三线合一性质即可证明出DG＝DE；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）连接AO，OB，OE，OC，作OH⊥AC于点H，首先根据圆周角定理以及角度之间的转化得到，然后证明，最后利用垂径定理即可证明AC＝2OM；
（3）过点O作OH⊥AC于H，ON⊥BG于N，连接CG，OB，首先得到四边形ONFH是矩形，然后根据BG＝2FC+2FG得出NG=CF，然后证明出△CDG≌△CDE（SAS）和△ONG≌△GFC（HL），设GF=ON=x，CF=GN=y，，根据勾股定理得到关于x和y的方程①，然后根据和得到关于x和y的方程②，联立方程①②即可求出OM的长度．
【详解】
解：（1）如图所示，连接BE，
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∵BF⊥AC，AE⊥BC
∴，
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵AE⊥BC
∴DG＝DE（三线合一）；
（2）如图所示，连接AO，OB，OE，OC，作OH⊥AC于点H，
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∵OH⊥AC
∴，
∵，即
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
又∵，
∴
∴
∴AC＝2OM；
（3）如图所示，过点O作OH⊥AC于H，ON⊥BG于N，连接CG，OB，
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又∵
∴四边形ONFH是矩形，
∴NF=OH，
由（2）可知，
又∵BG=2FC+2FG，
∴，
∴ME=NF=FG+GN，
∴NG=CF，
∵在和中，
∴△CDG≌△CDE（SAS）
∴CE=CG=OG，
∵在和中，
∴△ONG≌△GFC（HL），
∴∠OGN=∠GCF，
∵
∴
∴∠OGC=90°，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设GF=ON=x，CF=GN=y，则，，
在直角△ONG中，，则，
在直角△ONB中，，则，
∴，
∴①
∵，
∴
∵，
∴
∴，
在△AGF中，
∴，，
∵
∴，即，
∴，
∴
将①代入得：，
∴，
∴，即②，
联立①②解得，
∴，
∴
∴
【点睛】
此题考查了圆的综合题，勾股定理，全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质和判定，圆周角定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点以及正确作出辅助线，根据题意列出方程求解．www.21-cn-jy.com
2、（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用圆周角定理可得 ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；【出处：21教育名师】
（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=A ( http: / / www.21cnjy.com )P，先证明△APE是等边三角形，得到AP=PE，∠AEP=60°，可以推出∠AEC=∠APB，然后证明△APB≌△AEC得到BP=CE，即可证明PC=PE+CE=AP+BP．
【详解】
解：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：
由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°．
∴△ABC是等边三角形．
（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，
∵∠APE=60°，AP=AE，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=PE，∠AEP=60°，
∴∠AEC=120°，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠APB=120°，
∴∠AEC=∠APB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
又∵∠ABP=∠ACE，
∴△APB≌△AEC（AAS），
∴BP=CE，
∴PC=PE+CE=AP+BP．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°．
3、
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
（1）
证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
( http: / / www.21cnjy.com / )（2）
解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD=6，
∴DF=FC=3．
在Rt△OFD中，OF=AE=4，
∴，
在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，
∴，
∴AD的长是．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
4、
（1）见解析
（2）CD=2
【分析】
（1）由题意易得BC=BD，∠DAM=∠DAF，则有∠CAB=∠DAB，进而可得∠BAM=90°，然后问题可求证；
（2）由题意易得CD//AM，∠ANC=∠OCE=30°，然后可得OE=1，CE=，进而问题可求解．
（1）
证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴BC=BD
∴∠CAB=∠DAB
∵AM是∠DAF的平分线
∴∠DAM=∠DAF
∵∠CAD+∠DAF=180°
∴∠DAB+∠DAM=90°
即∠BAM=90°，AB⊥AM
∴AM是⊙O的切线
（2）
解：∵AB⊥CD，AB⊥AM
∴CD//AM
∴∠ANC=∠OCE=30°
在Rt△OCE中，OC=2
∴OE=1，CE=
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E
∴CD=2CE=2．
【点睛】
本题主要考查切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．21cnjy.com
5、（1）见解析；（2）的半径为，．
【分析】
（1）如图：连OC，根据、得CO⊥AB，进而证明即可得到∠FBE=∠COE=90°，即可证明直线是⊙的切线；21·世纪*教育网
（2）由设的半径为，则，，在Rt ABF运用勾股定理即可得半径r，然后再求得AB,最后运用等面积法求解即可．21*cnjy*com
【详解】
（1）如图：连接
∵、
∴
∵，，，
∴
∴
∴
又∵经过半径的外端点
∴是的切线；
（2）设的半径为，则，
在中有：
∴只取，即的半径为．
∵是的直径、即,
∴
∴,
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴，
∴，解得．
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【点睛】
本题主要考查了切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．2·1·c·n·j·y
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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