【强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形专项训练试卷(含答案详解)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专项训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题 ( http: / / www.21cnjy.com )目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（　　）
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A．10 B．6 C．6 D．12
2、如图，ABC内接于⊙O，，BD为⊙O的直径，且BD＝2，则DC＝（ ）
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A．1 B． C． D．
3、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（ ）
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A．3 B．2 C．1 D．
4、如图，PA是的切线，切点为A，PO的延长线交于点B，若，则的度数为（ ）．
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A．20° B．25° C．30° D．40°
5、已知的半径为5cm，点P到圆心的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（ ）
A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断
6、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则下列角中可确定大小的是（　　）
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A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA
7、如图，Rt△ABC中，∠A＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°，∠B＝30°，AC＝1，将Rt△ABC延直线l由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（　　）
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A． B． C． D．（2+）π
8、如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　）
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A．125° B．130° C．135° D．140°
9、下列判断正确的个数有（ ）
①直径是圆中最大的弦；
②长度相等的两条弧一定是等弧；
③半径相等的两个圆是等圆；
④弧分优弧和劣弧；
⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（ ）
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A． B．
C．3 D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，以矩形的对角线为直径画圆，点、在该圆上，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，．则图中影部分的面积和为 __（结果保留根号和．
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2、如图，AB为⊙的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长为__________
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3、往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为8cm，则水面AB的宽度为___cm．21教育网
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4、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．
5、如图，点D为边长是的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ____．21·cn·jy·com
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，已知P是⊙O上一点，用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．
要求：用直尺和圆规作图．
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2、在平面直角坐标系xOy中，点A（0，-1 ( http: / / www.21cnjy.com )），以O为圆心，OA长为半径画圆，P为平面上一点，若存在⊙O上一点B，使得点P关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点P是⊙O的以A为中心的“关联点”．
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（1）如图，点，，中，⊙O的以点A为中心的“关联点”是________；
（2）已知点P（m，0）为x轴上一点，若点P是⊙O的以A为中心的“关联点”，直接写出m的取值范围；
（3）C为坐标轴上一点，以OC为一边作等边△OCD，若CD边上至少有一个点是⊙O的以点A为中心的“关联点”，求CD长的最大值．www.21-cn-jy.com
3、在平面内，给定不在同一直线上的点A ( http: / / www.21cnjy.com )，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．【出处：21教育名师】
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4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．
（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧的长．
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5、如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，PC＝，求线段AB的长．
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-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．
【详解】
解：连接OB，OC，
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∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°．
∵OB=OC，BC=6，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=6．
∴⊙O的直径等于12．
故选：D．
【点睛】
本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
2、C
【分析】
根据三角形内角和定理求得，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得的长www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：
为⊙O的直径，
在，， BD＝2，
故选C
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得是解题的关键．
3、B
【分析】
连接OC，由垂径定理，得到CE=4，再由勾股定理求出OE的长度，即可求出AE的长度．
【详解】
解：连接OC，如图
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∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．
4、B
【分析】
连接OA，如图，根据切线的 ( http: / / www.21cnjy.com )性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．
【详解】
解：连接OA，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠PAO=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∵∠AOP=∠B+∠OAB，
∴∠B=∠AOP=×50°=25°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
5、A
【分析】
直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点P与圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．【来源：21cnj*y.co*m】
6、C
【分析】
由题意根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC=90°，然后根据圆周角定理进行分析求解．21cnjy.com
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
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∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为90°是解题的关键．
7、C
【分析】
根据题意，画出示意图，确定出点的运动路径，再根据弧长公式即可求解．
【详解】
解：根据题意可得，Rt△ABC的运动示意图，如下：
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Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴，，，
由图形可得，点的运动路线为，先以为中心，顺时针旋转，到达点，经过的路径长为，再以为中心，顺时针旋转，到达点，经过的路径长为，
顶点A所经过的路径的长为，
故选：C
【点睛】
此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点的运动路线．
8、B
【分析】
如图所示，连接AC，由圆周角定理∠B ( http: / / www.21cnjy.com )AC=∠BDC=50°，再由等弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠BAC=50°，再根据圆内接四边形对角互补求解即可．【版权所有：21教育】
【详解】
解：如图所示，连接AC，
∴∠BAC=∠BDC=50°，
∵，
∴∠ABC=∠BAC=50°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC=180°-∠ABC=130°，
故选B．
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【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9、B
【详解】
①直径是圆中最大的弦；故①正确，
②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确
③半径相等的两个圆是等圆；故③正确
④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确
⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．
综上所述，正确的有①③
故选B
【点睛】
本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．
10、C
【分析】
连接OA、OB，则为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为，进而通过勾股定理，可得半径为3．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：如图，连接OA，OB，则OA=OB，
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∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的面积是18，
∴，
∴，即：
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键．
二、填空题
1、
【分析】
设的中点为，连接，先求出，，则，，然后求出，最后根据求解即可．
【详解】
解：设的中点为，连接，
，四边形ABCD是矩形，
，∠ABC=90°，
又∵∠CAB=30°，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴．
故答案为：．
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【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，扇形面积公式，解题的关键在于能够根据题意得到．
2、3
【分析】
根据垂径定理可得，进而利用勾股定理解直角三角形即可求得的长
【详解】
解： AB为⊙的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，
在中，
故答案为：3
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
3、24
【分析】
连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出AB的长．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D．
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∵OC⊥AB，
∴AC＝CB，
∵OA＝OD＝13cm，CD＝8cm，
∴OC＝OD﹣CD＝5（cm），
∴，
∴AB＝2AC＝24（cm），
故答案为：24．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
4、六
【分析】
由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．
【详解】
解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：
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∵半径与边长相等，
∴这个三角形是等边三角形，
∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形
故答案为：六．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键．
5、
【分析】
根据题意作等边三角形的外接圆，当点运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：根据题意作等边三角形的外接圆，
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D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，
在圆上运动，
当点运动到的中点时，四边形ADBC的面积S的最大值，
过点作的垂线交于点，如图：
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，
，
，
在中，
，
解得：，
，
过点作的垂线交于，
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，
，
，
，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．
三、解答题
1、见详解
【分析】
方法一：连接OP，并延长，以点P为圆心，O ( http: / / www.21cnjy.com )P长为半径画弧，交OP的延长线于点C，然后再以点O、C为圆心，大于OC长的一半为半径画弧，交于点M、N，则问题可求解；方法二：连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于点D，连接OD并延长，然后以点D为圆心OD长为半径画弧，交OD的延长线于点E，连接PE，则问题可求解．21*cnjy*com
【详解】
解：方法一如图所示：
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直线MN即为⊙O的切线；
方法二如图所示：
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则PE即为⊙O的切线．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
2、（1）P1，P2；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据题意，点的对称点的轨迹是以为圆心2为半径的圆，则平面上满足条件的点P在以A为圆心2为半径的圆上或圆内，据此即可判断；21*cnjy*com
（2）根据（1）的结论求得与轴的交点即可求解；
（3）根据题意可知，平面上满足条件的点P在以A为圆心2为半径的圆上或圆内，根据题意求的最大值，即求得的最大值，故当点位于轴负半轴时，画出满足条件的等边三角形△OCD，进而根据切线的性质以及解直角三角形求解即可
【详解】
（1）根据题意，点的对称点的轨迹是以为圆心2为半径的圆，则平面上满足条件的点P在以A为圆心2为半径的圆上或圆内，
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由图可知符合条件，
故答案为：P1，P2；
（2）如图，设与坐标轴交于点，
,
,
则
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；
（3）如图，由题意可知，平面上满足条件的点P在以A为圆心2为半径的圆上或圆内
因此满足条件的等边三角形△OCD如图所示放置时，CD长度最大，
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设切点为G，连接AG
∵∠AGC=90°，∠OCD=60°，AG=2
∴
∴
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，切线的性质，等边三角形的性质，从题意分析得出“点的对称点的轨迹是以为圆心2为半径的圆”是解题的关键．21·世纪*教育网
3、见解析
【分析】
由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．
【详解】
证明：根据题意作图如下：
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∵BD是圆周角ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴，
∴AD=CD．
【点睛】
本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．
4、（1）作图见解析；（2）
【分析】
（1）由于D点为⊙O的切点，即可得到 ( http: / / www.21cnjy.com )OC=OD，且OD⊥AB，则可确定O点在∠A的角平分线上，所以应先画出∠A的角平分线，与BC的交点即为O点，再以O为圆心，OC为半径画出圆即可；
（2）连接CD和OD，根据切 ( http: / / www.21cnjy.com )线长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB的度数，然后进一步求出∠COD的度数，并结合三角函数求出OC的长度，再运用弧长公式求解即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：（1）如图所示，先作∠A的角平分线，交BC于O点，以O为圆心，OC为半径画出⊙O即为所求；
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（2）如图所示，连接CD和OD，
由题意，AD为⊙O的切线，
∵OC⊥AC，且OC为半径，
∴AC为⊙O的切线，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵CD=BD，
∴∠B=∠DCB，
∵∠ADC=∠B+∠BCD，
∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
即：3∠DCB=90°，
∴∠DCB=30°，
∵OC=OD，
∴∠DCB=∠ODC=30°，
∴∠COD=180°-2×30°=120°，
∵∠DCB=∠B=30°，
∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠DAO=30°，
∴在Rt△ACO中，，
∴．
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【点睛】
本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．21世纪教育网版权所有
5、（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BPA＝∠BAP、∠OAC＝∠OCA．再运用等量代换说明∠OAB＝90°，即可证明结论；
（2）先由勾股定理可得OP=2, 设AB＝x，则OB＝x＋2．在Rt△AOB中运用勾股定理列方程解答即可．
【详解】
解：（1）证明：∵BA＝BP，
∴∠BPA＝∠BAP．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA．
∵OP⊥OC，
∴∠COP＝90°．
∴∠OPC＋∠OCP＝90°．
∵∠APB＝∠OPC，
∴∠BAP＋∠OAC＝90°．即∠OAB＝90°，
∴OA⊥AB．
∵OA为半径，
∴AB为⊙O的切线；
（2）在Rt△OPC中，OC＝4，PC＝，
∴OP＝2．
设AB＝x，则OB＝x＋2．
在Rt△AOB中，，
∴x＝3,即AB＝3．
【点睛】
本题主要考查了圆的性质、圆的切线证明、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、定理成为解答本题的关键．
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