【强化训练】沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形综合测试练习题(精选)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形综合测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指 ( http: / / www.21cnjy.com )定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。【来源：21·世纪·教育·网】
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，小王将一长为4，宽为 ( http: / / www.21cnjy.com )3的长方形木板放在桌面上按顺时针方向做无滑动的翻滚，当第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，此时木板与桌面成30°角，则点A运动到A2时的路径长为（　　）
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A．10 B．4π C． D．
2、如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（　　）21*cnjy*com
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A．30° B．60° C．80° D．90°
3、如图，在圆内接五边形中，，则的度数为（ ）
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A． B． C． D．
4、如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（ ）
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A．45° B．60° C．90° D．120°
5、已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
6、如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（ ）．
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A．65° B．60° C．55° D．50°
7、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．10
8、如图，中的半径为1，内接于．若，，则的长是（ ）
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A． B． C． D．
9、如图，FA、FB分别与⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上一点，过点C的切线分别交FA、FB于D、E两点，若∠F＝60°，△FDE的周长为12，则⊙O的半径长为（　　）
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A． B．2 C．2 D．3
10、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（ ）
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A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是_____．
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2、如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F ( http: / / www.21cnjy.com )是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．
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3、往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为8cm，则水面AB的宽度为___cm．
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4、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝_____°．
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5、如图，以矩形的对角线为直径画圆，点、在该圆上，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，．则图中影部分的面积和为 __（结果保留根号和．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，于点．
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（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长.．
2、在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图中画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）在（1）所画的图中，计算线段AC在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．
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3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．
（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧的长．
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4、如图，，，点D是上一点，与相交于点F，且．
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（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点D是中点，连接，求证：平分．
5、（教材呈现）下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容．
圆周角定理　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等．2-1-c-n-j-y
由圆周角定理，可以得到以下推论：推论1 90°的圆周角所对的弦是直径．（如图）
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（推论证明）已知：△ABC的三个顶点都在⊙O上，且∠ACB＝90°．
求证：线段AB是⊙O的直径．
请你结合图①写出推论1的证明过程．
（深入探究）如图②，点A，B，C，D均在半径为1的⊙O上，若∠ACB＝90°，∠ACD＝60°．则线段AD的长为 ．
（拓展应用）如图③，已知△ABC是等边三角形，以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD，点E是BC的中点，连结DE． 若AB＝，则DE的长为 ．
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-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
根据题意可得：第一次转动的路径是以点B为圆心，AB长为半径的弧长，此时圆心角 ，第二次转动的路径是以点C为圆心，A1C长为半径的弧长，此时圆心角 ，再由弧长公式，即可求解．
【详解】
解：如图，
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根据题意得： ， ，
第一次转动的路径是以点B为圆心，AB长为半径的弧长，此时圆心角 ，
∴ ，
第二次转动的路径是以点C为圆心，A1C长为半径的弧长，此时圆心角 ，
∴ ，
∴点A运动到A2时的路径长为 ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求弧长，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．
2、B
【分析】
延长AO交⊙O于点D，连接BD，根据圆 ( http: / / www.21cnjy.com )周角定理得出∠D=∠P=30°，∠ABD=90°，由直角三角形的性质可推得AB=BO=AO，然后根据等边三角形的判定与性质可以得解．【出处：21教育名师】
【详解】
解：如图，延长AO交⊙O于点D，连接BD，
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∵∠P=30°，
∴∠D=∠P=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴AB=AD=AO=BO，
∴三角形ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故选B．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、圆直径的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质是解题关键．
3、B
【分析】
先利用多边的内角和得到，可计算出，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可.
【详解】
解：∵五边形的内角和为，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关键.
4、B
【分析】
设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．
【详解】
解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC；
∠ADC=β；
四边形为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故选：B．
【点睛】
该题主要考查了圆周角定理及其 ( http: / / www.21cnjy.com )应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.21·世纪*教育网
5、A
【分析】
根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．
【详解】
解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，
∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析判断是解题的关键．
6、C
【分析】
先由OB=OC，得到∠OCB=∠OBC=35°，从而可得∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】
解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=35°，
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，
∴，
故选C．
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【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．
7、A
【分析】
根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆角，直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
8、B
【分析】
连接OA、OB，过点O作，由三角形内角和求出，由圆周角定理可得，由得是等腰三角形，即可知，，根据三角函数已可求出AD，进而得出答案．21cnjy.com
【详解】
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如图，连接OA、OB，过点O作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．
9、C
【分析】
根据切线长定理可得，、、，再根据∠F＝60°，可知为等边三角形，，再△FDE的周长为12，可得，求得，再作，即可求解．
【详解】
解：FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，过点C的切线分别交FA、FB于D、E两点，
则：、、，，
∵∠F＝60°，
∴为等边三角形，，
∵△FDE的周长为12，即，
∴，即，
作，如下图：
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则，，
∴，
设，则，由勾股定理可得：，
解得，，
故选C
【点睛】
此题考查了圆的有关性质，切线的性质、切线长定理，垂径定理以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．21教育网
10、B
【分析】
阴影部分的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，
由旋转性质可知：，，
，，
在中，，，，
，，
有勾股定理可知：，
阴影部分的面积=扇形扇形
．
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．
二、填空题
1、
【分析】
根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．21教育名师原创作品
【详解】
解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，
则阴影部分的面积是：，
故答案为：6π．
【点睛】
本题考查扇形的面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
2、##
【分析】
延长AG交CD于M，如图1，可证△AD ( http: / / www.21cnjy.com )G≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．
【详解】
解：延长AG交CD于M，如图1，
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∵ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，
∴△ADG≌△DGC，
∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，
∴△ADM≌△CDF，
∴FD=DM且AE=DF，
∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，
∴△ABE≌△DAM，
∴∠DAM=∠ABE，
∵∠DAM+∠BAM=90°，
∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，
∴点H是以AB为直径的圆上一点．
如图2，取AB中点O，连接OD，OH，
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∵AB=AD=2，O是AB中点，
∴AO=1=OH，
在Rt△AOD中，OD=，
∵DH≥OD-OH，
∴DH≥-1，
∴DH的最小值为-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．
3、24
【分析】
连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出AB的长．21·cn·jy·com
【详解】
解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D．
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∵OC⊥AB，
∴AC＝CB，
∵OA＝OD＝13cm，CD＝8cm，
∴OC＝OD﹣CD＝5（cm），
∴，
∴AB＝2AC＝24（cm），
故答案为：24．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
4、36
【分析】
连接OA，OB，OB交AF于J． ( http: / / www.21cnjy.com )由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．21*cnjy*com
【详解】
解：连接OA，OB，OB交AF于J．
∵五边形ABCDE是正五边形，OF⊥BC，
∴，
∴∠AOB＝72°，∠BOF=∠AOB＝36°，
∴∠AOF＝∠AOB +∠BOF=108°，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝＝36°
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故答案为：36．
【点睛】
本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结合来解题．正n边形的每个中心角都等于．【版权所有：21教育】
5、
【分析】
设的中点为，连接，先求出，，则，，然后求出，最后根据求解即可．
【详解】
解：设的中点为，连接，
，四边形ABCD是矩形，
，∠ABC=90°，
又∵∠CAB=30°，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∴．
故答案为：．
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【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，扇形面积公式，解题的关键在于能够根据题意得到．
三、解答题
1、（1）见详解；（2）7
【分析】
（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线长定理可得AB=AC，BE=DE，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
（1）证明：∵，DE是的两条切线，于点
∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是矩形，
∴EF=，CF=，
∵，，DE是的两条切线，
∴AB=AC，BE=DE，
设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，
在中，，
解得：x=5，
∴AC=5+2=7．
【点睛】
本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．
2、（1）见详解；（2）
【分析】
（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可．
（2）由勾股定理求出AC的长度，然后利用扇形的面积公式，即可求出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：
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（2）由勾股定理，则
，
∴线段AC在旋转过程中扫过的图形面积为：
；
【点睛】
本题考查了作图——旋转变换：根据旋转 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，也考查了扇形的面积公式，勾股定理．21世纪教育网版权所有
3、（1）作图见解析；（2）
【分析】
（1）由于D点为⊙O的切点，即 ( http: / / www.21cnjy.com )可得到OC=OD，且OD⊥AB，则可确定O点在∠A的角平分线上，所以应先画出∠A的角平分线，与BC的交点即为O点，再以O为圆心，OC为半径画出圆即可；
（2）连接CD和OD，根据切线 ( http: / / www.21cnjy.com )长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB的度数，然后进一步求出∠COD的度数，并结合三角函数求出OC的长度，再运用弧长公式求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，先作∠A的角平分线，交BC于O点，以O为圆心，OC为半径画出⊙O即为所求；
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（2）如图所示，连接CD和OD，
由题意，AD为⊙O的切线，
∵OC⊥AC，且OC为半径，
∴AC为⊙O的切线，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵CD=BD，
∴∠B=∠DCB，
∵∠ADC=∠B+∠BCD，
∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
即：3∠DCB=90°，
∴∠DCB=30°，
∵OC=OD，
∴∠DCB=∠ODC=30°，
∴∠COD=180°-2×30°=120°，
∵∠DCB=∠B=30°，
∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠CAO=∠DAO=30°，
∴在Rt△ACO中，，
∴．
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【点睛】
本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．www-2-1-cnjy-com
4、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】
（1）在和中，，，故可证明三角形相似．
（2）由得出．
（3）法一：由题意知，由得，有，所以可得，又因为可得，；由于，，进而说明，得出平分．法二：通过得出F、D、C、E四点共圆，由得，从而得出平分．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：（1）证明在和中
．
（2）证明：在和中
．
（3）证明：
又D是中点
，
平分．
法二：
F、D、C、E四点共圆
又D是点，
平分．
【点睛】
本题考察了相似三角形的判定，全等 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形，角平分线，圆内接四边形等知识点．解题的关键与难点在于角度的转化．解题技巧：多个角度相等时可考虑将几何图形放入圆中利用同弧或等弧所对圆周角相等求解．www.21-cn-jy.com
5、【推论证明】见解析；【深入探究】；【拓展应用】．
【分析】
推论证明：根据圆周角定理求出，即可证明出线段AB是⊙O的直径；
深入探究：连接AB，首先根据∠ACB＝90°得出AB是⊙O的直径，然后求出，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据30°角直角三角形的性质求出BD的长度，最后根据勾股定理即可求出AD的长度；
拓展应用：连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，首先根据等边三角形三线合一的性质求出，然后证明出A，E，C，D四点共圆，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出，，最后根据等腰直角三角形的性质和30°角直角三角形的性质，结合勾股定理求解即可．
【详解】
解：推论证明：∵
∴，
∴A，B，O三点共线，
又∵点O是圆心，
∴AB是⊙O的直径；
深入探究：如图所示，连接AB，
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∵∠ACB＝90°
∴AB是⊙O的直径
∴
∵∠ACD＝60°
∴
∵
∴
∴在中，
∴；
拓展应用：如图所示，连接AE，作CF⊥DE交DE于点F，
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∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点
∴，
又∵以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD
∴，
∴点A，E，C，D四点都在以AC为直径的圆上，
∵
∴
∵CF⊥DE
∴是等腰直角三角形
∴，
∴
∵
∴，解得：
∴
∵
∴
∴在中，
∴
∴．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，90°的圆周角所对 ( http: / / www.21cnjy.com )的弦是直径，相等的圆周角所对的弧相等，等边三角形和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点和性质定理．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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