沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形专题测评试题(精选，含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专题测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指 ( http: / / www.21cnjy.com )定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．10
2、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（ ）
A．不变 B．面积扩大为原来的3倍
C．面积扩大为原来的9倍 D．面积缩小为原来的
3、在直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽cm，则水的最大深度为（ ）
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A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
4、如图，BD是⊙O的切线，∠BCE＝30°，则∠D＝（　　）
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A．40° B．50° C．60° D．30°
5、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）
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A．5 B． C． D．
6、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度 ( http: / / www.21cnjy.com )单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（　　）
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A．5厘米 B．4厘米 C．厘米 D．厘米
7、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
8、如图，CD是的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．
（2）作直线GH交AB于点E．
（3）在直线GH上截取．
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）
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A． B． C． D．
9、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（ ）
A．直径所对圆周角为 B．如果点在圆上，那么点到圆心的距离等于半径
C．直径是最长的弦 D．垂直于弦的直径平分这条弦
10、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则下列角中可确定大小的是（　　）
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A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、一块直角三角板的30°角的顶点A落在上，两边分别交于B、C两点，若弦BC长为4，则的半径为______．21·世纪*教育网
2、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．
3、如图，直线l与半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )8的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是__________．【版权所有：21教育】
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4、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条OA和OC的夹角为120°，OA的长为25cm，贴纸部分的宽AB为20cm，则一面贴纸的面积为______．（结果保留π）21*cnjy*com
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5、如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，内接于⊙O，且为⊙O的直径，交于点，在的延长线上取点，使得∠DCE＝∠B．
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（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求AE的长．
2、如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A，D两点，点D的坐标为，与y轴交于点E．www.21-cn-jy.com
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（1）求A，B两点的坐标及直线l的解析式；
（2）若点P在直线l下方抛物线上，过点P作轴于点M，直线与直线l交于点N，当点M是的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点H是抛物线对称轴上的一点，且，请直接写出点H的坐标．
3、（问题背景）如图1，P是等边△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；
（迁移应用）如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；
（拓展创新）如图3，EF＝6，点C为EF ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4，请直接写出MC的最小值．
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4、已知：如图，射线．
求作：，使得点在射线上，，．
作法：①在射线上任取一点；
②以点为圆心，的长为半径画圆，交射线于另一点；
③以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上方交于点；
④连接、．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：为的直径，点在上，
（___________________________）（填推理依据）．
连接．
，
为等边三角形（___________________________）（填推理依据）．
所以为所求作的三角形．
5、如图，已知P是⊙O上一点，用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．
要求：用直尺和圆规作图．
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-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了直径所对的 ( http: / / www.21cnjy.com )圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
2、A
【分析】
设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．
【详解】
设原来扇形的半径为r，圆心角为n，
∴原来扇形的面积为，
∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，
∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，
∴变化后的扇形的面积为，
∴扇形的面积不变．
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．
3、B
【分析】
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【详解】
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
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∵AB=8cm，
∴BD=AB=4（cm），
由题意得：OB=OC==5cm，
在Rt△OBD中，OD=（cm），
∴CD=OC-OD=5-3=2（cm），
即水的最大深度为2cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4、D
【分析】
连接，根据同弧所对的圆周角相等，等角对等边，三角形的外角性质可得，根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求得．
【详解】
解：连接
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BD是⊙O的切线
故选D
【点睛】
本题考查了切线的性质，等弧所对的圆周角相等，直角三角形的两锐角互余，掌握切线的性质是解题的关键．
5、D
【分析】
连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．
【详解】
解：连接OF，OE，OG，
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∵AB、BC、CD分别与相切，
∴，，，且，
∴OB平分，OC平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．21*cnjy*com
6、D
【分析】
根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，
∴AC=8-2=6厘米，
过点O作OB⊥AC于点B，
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则AB=AC=×6=3厘米，
设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，
在Rt△AOB中，
OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，
解得r=厘米．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
7、B
【分析】
阴影部分的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，
由旋转性质可知：，，
，，
在中，，，，
，，
有勾股定理可知：，
阴影部分的面积=扇形扇形
．
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．
8、C
【分析】
连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．
【详解】
解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，
∴，故A正确；
∵CD是的高，
∴，故B正确；
∵，，
∴，故C错误；
∵，
∴∠AFE=45°，
同理可得∠BFE=45°，
∴∠AFB＝90°，
，故D正确；
故选：C．
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【点睛】
本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．
9、A
【分析】
定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.
【详解】
A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为，A选项符合要求；
B、C选项，根据圆的定义可以得到；
D选项，是垂径定理；
故选：A
【点睛】
本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.
10、C
【分析】
由题意根据正方形的性质得到BC弧所对的圆心角为90°，则∠BOC=90°，然后根据圆周角定理进行分析求解．21cnjy.com
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
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∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理和正方形的性质，确定BC弧所对的圆心角为90°是解题的关键．
二、填空题
1、4
【分析】
连接OB、OC，由题意易得∠BOC=60°，则有△BOC是等边三角形，然后问题可求解．
【详解】
连接OB、OC，如图所示：
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∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∵，
∴，即⊙O的半径为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2、六
【分析】
由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．
【详解】
解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：
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∵半径与边长相等，
∴这个三角形是等边三角形，
∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形
故答案为：六．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键．
3、4
【分析】
作直径AC，连接CP，得出△APC∽△PBA，利用相似三角形的性质得出y=x2，所以x-y=x-x2=-x2+x=-（x-8）2+4，当x=8时，x-y有最大值是4．
【详解】
解：如图，作直径AC，连接CP，
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∴∠CPA=90°，
∵AB是切线，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴，
∵PA=x，PB=y，半径为8，
∴，
∴y=x2，所以x-y=x-x2=-x2+x=-（x-8）2+4，
当x=8时，x-y有最大值是4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
4、200π
【分析】
根据题意先求出BO，进而分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案．
【详解】
解：∵OA长为25cm，贴纸部分的宽AB为20cm，
∴BO=5cm，
∴贴纸的面积为S=S扇形AOC-S扇形BOD==200π（cm2）.
故答案为：200π．
【点睛】
本题考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．
5、900
【分析】
由弧长公式l=得到R的方程，解方程即可．
【详解】
解：根据题意得，=，解得，R=900（mm）．
答：这段圆弧所在圆的半径R是900 mm．
故答案是：900．
【点睛】
本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．
三、解答题
1、（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠DCE=∠DEC，∠A=∠ACO，可得出∠DCE+∠ACO=90°，则可得出结论．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）过点D作DF⊥CE于点F，由勾股定理求出AB=5，证明△AOE∽△ACB，得出比例线段，即可求出AE．
【详解】
（1）证明：连接OC，如图1，
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∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∵∠DEC=∠AEO，
∴∠DCE=∠AEO，
∵OA⊥OE，
∴∠A+∠AEO=90°，
∴∠DCE+∠A=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠DCE+∠ACO=90°，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，
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∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AOE，
∵AC=2，，
∴AB=，
又∵∠A=∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．21·cn·jy·com
2、（1）A（－1，0），B（3，0），；（2）点P的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）点H的坐标为（1，5＋）或（1，－4）.2·1·c·n·j·y
【分析】
（1）先令y＝0时，，x1＝3，x2＝－1. ，即可得到A、B的坐标，然后设直线l解析式为，代入A、D坐标求解即可；www-2-1-cnjy-com
（2）根据题意设点P坐标为（m，），则点N（m，），然后分PM＝，且P只能在x轴的下方，这两种情况讨论求解即可；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）过点D作DG⊥x轴于G，可得AG=BG=5，∠AGD=90°，再由∠AHD=45°，则点在以G为圆心，以5为半径的圆上，且H在AD下方，设的坐标为（1，n），则，即可求出的坐标为（1，-4）；同理当H在AD上方时，H在以（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，由此即可得到答案．
【详解】
（1）当y＝0时，，
解得x1＝3，x2＝－1.
∴ A（－1，0），B（3，0）.
设直线l解析式为，
∵ l经过D（4，5），A（－1，0），
∴ ，
∴，
∴ 直线l解析式为；
（2）根据题意设点P坐标为（m，），则点N（m，），
∵ 点M是PN的三等分点，点P在直线l下方抛物线上，
∴ PM＝,且P只能在x轴的下方，
∴ PM＝,PN＝，
当PM＝时，则，
解得m1＝2.5，m2＝－1（舍去），
∴ P的坐标为（2.5，－1.75）；
当PM＝时，则，
解得m1＝1，m2＝－1（舍去），
∴ P的坐标为（1，－4） ，
综上所述，点P的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；
（3）如图所示，过点D作DG⊥x轴于G，
∴G点坐标为（4，0），
∴AG=BG=5，∠AGD=90°，
∵∠AHD=45°，
∴点在以G为圆心，以5为半径的圆上，且H在AD下方，
设的坐标为（1，n），
∴，
∴或（舍去），
∴的坐标为（1，-4）；
同理当H在AD上方时，H在以（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，
设H的坐标为（1，t），
∴，
∴或（舍去），
∴H的坐标为（1，5＋）；
∴综上所述，点H的坐标为（1，5＋）或（1，－4）．
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【点睛】
本题主要考查了求二次函数与x轴的交点，求一次函数解析式，圆周角定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．21世纪教育网版权所有
3、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据△PAB绕点A逆时针旋转60°作图即可；
（2）由∠BEC＝120°得∠BE ( http: / / www.21cnjy.com )D＝60°，由平行线的性质得∠ADE＝∠BED＝60°，由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，故可知A、D、B、C共圆，由圆内接四边形对角互补得出∠ADB＝120°,故可求出∠BDE＝60°，即可得证；21教育网
（3）由CA＝CE＝CB＝CF＝3得A ( http: / / www.21cnjy.com )、E、B、F共圆C得出∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，进而得出∠APF＝∠ABC＝60°，作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，求出EQ，连接QG取中点N，由三角形中位线得MN，以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，即CM最小为，建立平面直角坐标系求出即可．
【详解】
（1）如图1所示，将绕点A逆时针旋转60°得；
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（2）∵∠BEC＝120°，
∴∠BED＝60°，
∵，
∴∠ADE＝∠BED＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴A、D、B、C共圆，如图2所示：
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∴∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝∠BED＝60°，
∴∠BDE＝60°，
∴△DBE是等边三角形；
（3）
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如图3，∵CA＝CE＝CB＝CF＝3，
∴A、E、B、F共圆C，
∴∠PAB＝∠CBF＝∠CFB，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝∠PAB+∠APB，
∴∠APF＝∠ABC＝60°，
∵∠EPF＝60°，EF＝6，
作△EPF的外接圆Q，则∠EQF＝120°，QC⊥EF，
∴∠EQC＝60°，
∴，
连接QG取中点N，则且，
以点N为圆心MN为半径作N，连接CN，与N交于点，
即CM最小为，
以点F为原点建立平面直角坐标系，
，，，
∴,
，
∴CM最小为．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质，解三角函数以及圆的性质，根据题意作出圆是解题的关键．
4、
（1）图形见解析
（2）直径所对的圆周角是直角；三边相等的三角形是等边三角形．
【分析】
（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据圆周角定理等边三角形的判定和性质解决问题即可．
（1）
如图，△ABC即为所求作．
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（2）
∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
连接OC．
∵OA=OC=AC，
∴△AOC为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴∠A=60°．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，三边相等的三角形是等边三角形．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2-1-c-n-j-y
5、见详解
【分析】
方法一：连接OP，并延长，以点P为圆心， ( http: / / www.21cnjy.com )OP长为半径画弧，交OP的延长线于点C，然后再以点O、C为圆心，大于OC长的一半为半径画弧，交于点M、N，则问题可求解；方法二：连接OP，以点P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于点D，连接OD并延长，然后以点D为圆心OD长为半径画弧，交OD的延长线于点E，连接PE，则问题可求解．
【详解】
解：方法一如图所示：
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直线MN即为⊙O的切线；
方法二如图所示：
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则PE即为⊙O的切线．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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