沪教版(上海)九下 第二十七章圆与正多边形专题测评试卷(无超纲，含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形专题测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域 ( http: / / www.21cnjy.com )内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。2-1-c-n-j-y
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
2、如图，点A，B，C都在⊙O上，连接CA，CB，OA，OB．若∠AOB=140°，则∠ACB为（ ）
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A．40° B．50° C．70° D．80°
3、如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A． B． C． D．
4、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（　　）
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A．30° B．36° C．45° D．72°
5、如图，在Rt△ABC中，，，，以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点，，则阴影部分的面积为（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
6、如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心，则∠O1AB的度数为（　　）
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A．45° B．30° C．20° D．15°
7、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（　　）
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A．5 B． C． D．
8、如图，CD是的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点．
（2）作直线GH交AB于点E．
（3）在直线GH上截取．
（4）以点F为圆心，AF长为半径画圆交CD于点P．
则下列说法错误的是（ ）
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A． B． C． D．
9、如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均为上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜m，则点P的位置为（ ）
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A．在上 B．在上 C．在上 D．在上
10、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（ ）
A．直径所对圆周角为 B．如果点在圆上，那么点到圆心的距离等于半径
C．直径是最长的弦 D．垂直于弦的直径平分这条弦
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、为了落实“双减”政策，朝阳区一些 ( http: / / www.21cnjy.com )学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为______cm．
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2、如图，⊙O的半径为5cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为 ___．
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3、AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，OE＝cm，则OF＝________cm．
4、若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形．
5、已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 ___度．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，于点．
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（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长.．
2、如图，射线AB和射线CB ( http: / / www.21cnjy.com )相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．
（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；
（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）当α＝120°，tan∠DAB＝时，请直接写出的值．
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3、如图，，，点D是上一点，与相交于点F，且．
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（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点D是中点，连接，求证：平分．
4、如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，且，AD平分交BC于点D，CP平分交AD于点P，，．
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（1）求证：四边形CEPF为正方形；
（2）求的最大值；
（3）求的最小值．
5、如图，内接于⊙O，且为⊙O的直径，交于点，在的延长线上取点，使得∠DCE＝∠B．
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（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求AE的长．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
圆的半径为 圆心到直线的距离为 当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．
【详解】
解：∵⊙O的半径等于为8，圆心O到直线l的距离为为6，
∴，
∴直线l与相离，
∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，
故选A．
【点睛】
本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．
2、C
【分析】
根据圆周角的性质求解即可．
【详解】
解：∵∠AOB=140°，
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得，∠ACB=70°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题关键是明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
3、B
【分析】
从图中可以看出在AB边， ( http: / / www.21cnjy.com )翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，同理在AC和BC上也是相同的情况，由此求解即可．
【详解】
解：从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次，第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为×3=2π．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P点的运动轨迹．
4、B
【分析】
连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接OC，OD．
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∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5、A
【分析】
连结OC，根据切线长性质DC=AC，OC平分∠ACD，求出∠OCD=∠OCA==30°，利用在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，利用三角形面积公式求出，，再求出扇形面积，利用割补法求即可．
【详解】
解：连结OC，
∵以边上一点为圆心作，恰与边，分别相切于点A, ，
∴DC=AC，OC平分∠ACD，
∵，，
∴∠ACD=90°-∠B=60°，
∴∠OCD=∠OCA==30°，
在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3×，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°=，
∴OD=OA=1，DC=AC=，
∴，，
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，
∴，
S阴影=．
故选择A．
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【点睛】
本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形 ( http: / / www.21cnjy.com )面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．
6、B
【分析】
连接O1O2，AO2，O1B，可得△AO2O1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答．
【详解】
解：连接O1O2，AO2，O1B，
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∵O1B= O1A
∴
∵⊙O1和⊙O2是等圆，
∴AO1=O1O2=AO2，
∴△AO2O1是等边三角形，
∴∠AO2O1=60°，
∴∠O1AB=∠AO2O1 =30°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△AO2O1是等边三角形是解题关键．
7、D
【分析】
连接OF，OE，OG，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分，OC平分，利用平行线的性质及角之间的关系得出，利用勾股定理得出，再由三角形的等面积法即可得．
【详解】
解：连接OF，OE，OG，
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∵AB、BC、CD分别与相切，
∴，，，且，
∴OB平分，OC平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．www.21-cn-jy.com
8、C
【分析】
连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，再根据可得∠AFE=45°，进而得出∠AFB＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．21教育名师原创作品
【详解】
解：连接AF、BF，由作法可知，FE垂直平分AB，
∴，故A正确；
∵CD是的高，
∴，故B正确；
∵，，
∴，故C错误；
∵，
∴∠AFE=45°，
同理可得∠BFE=45°，
∴∠AFB＝90°，
，故D正确；
故选：C．
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【点睛】
本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．21·cn·jy·com
9、B
【分析】
先由勾股定理确定出各点坐标，再利用m＜n＜m判断即可.
【详解】
点C、D、E、P都在上，
由勾股定理得：，，，
解得，，，
故，D（，），E（，1），
P（m，n），m＜n＜m，且m在上，点C的横坐标满足，点D纵坐标满足，
从点D到点C的弧上的点满足：，
故点P在上.
故选：B
【点睛】
此题考查勾股定理和圆的基本性质，掌握相应的定理和性质是解答此题的关键.
10、A
【分析】
定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.
【详解】
A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为，A选项符合要求；
B、C选项，根据圆的定义可以得到；
D选项，是垂径定理；
故选：A
【点睛】
本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.
二、填空题
1、
【分析】
如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．
【详解】
解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，
则OD⊥MN，
∴MD=DN，
在Rt△ODM中，OM=180cm，OD=60cm，
∴cm，
∴cm，
即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为cm，
故答案为：．
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【点睛】
本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．
2、
【分析】
根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【详解】
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如图，连接BO，OC，OA，
由题意得：△BOC，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是得出．
3、或
【分析】
根据题意分两种情况并综合利用垂径定理和勾股定理以及圆的基本性质进行分析即可求解.
【详解】
解：如图，连接BO
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∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，BD＝12cm，
∴,
∵OE＝cm，BD⊥AC,
∴cm,
∴,,
∵OF⊥BC,
∴,
∴,
如图，
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∵OE＝cm，BD⊥AC, ,
∴,
∵OF⊥BC,
∴,
∴.
故答案为：或.
【点睛】
本题考查圆的综合问题，熟练掌握并利用垂径定理和勾股定理以及圆的基本性质进行分析是解题的关键.注意未作图题一般情况下要进行分类作图讨论.www-2-1-cnjy-com
4、六
【分析】
由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数．
【详解】
解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下：
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∵半径与边长相等，
∴这个三角形是等边三角形，
∴正多边形的边数：360°÷60°＝6，
∴这个正多边形是正六边形
故答案为：六．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键．
5、140
【分析】
作的外接圆，根据三角形内心的性质可得：，，再由三角形内角和定理得出：，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：如图所示，作的外接圆，
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∵点I是的内心，
∴BI，CI分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点O是的外心，
∴，
故答案为：140．
【点睛】
题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．
三、解答题
1、（1）见详解；（2）7
【分析】
（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据切线长定理可得AB=AC，BE=DE，再利用勾股定理即可求解．
【详解】
（1）证明：∵，DE是的两条切线，于点
∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是矩形，
∴EF=，CF=，
∵，，DE是的两条切线，
∴AB=AC，BE=DE，
设AB=AC=x，则AE=x+2，AF=x-2，
在中，，
解得：x=5，
∴AC=5+2=7．
【点睛】
本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．
2、（1）45°；（2）AE＝BE+CE，理由见解析；（3）或
【分析】
（1）连接AC，证A、B、E、 ( http: / / www.21cnjy.com )C四点共圆，由圆周角定理得出∠AEB＝∠ACB，证出△ABC是等腰直角三角形，则∠ACB＝45°，进而得出结论；21·世纪*教育网
（2）在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，证△ABF≌△CBE（SAS），得出∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，由等腰三角形的性质得出FH＝EH，由三角函数定义得出FH＝EH＝BE，进而得出结论；
（3）分两种情况，由（2）得FH＝EH＝BE，由三角函数定义得出AH＝3BH＝BE，分别表示出CE，进而得出答案．
【详解】
解：（1）连接AC，如图①所示：
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∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，
∴∠ABC＝∠AEC＝90°，
∴A、B、E、C四点共圆，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠ABC＝90°，AB＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝45°；
（2）AE＝BE+CE，理由如下：
在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示：
∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，
∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，
∴∠ABD＝∠FBE，
∵∠ABC＝120°，
∴∠FBE＝120°，
∵BF＝BE，
∴∠BFE＝∠BEF＝，
∵BH⊥EF，
∴∠BHE＝90°，FH＝EH，
在Rt△BHE中，，
∴，
∵AE＝EF+AF，AF＝CE，
∴；
（3）分两种情况：
①当点D在线段CB上时，在AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图②所示，
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由（2）得：FH＝EH＝BE，
∵tan∠DAB＝，
∴，
∴，
∴；
②当点D在线段CB的延长线上时，在射线AD上截取AF＝CE，连接BF，过点B作BH⊥EF于H，如图③所示，21cnjy.com
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同①得：，
∴，
∴＝；
综上所述，当α＝120°，时，的值为或．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查 ( http: / / www.21cnjy.com )了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三角形是解题的关键．21*cnjy*com
3、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】
（1）在和中，，，故可证明三角形相似．
（2）由得出．
（3）法一：由题意知，由得，有，所以可得，又因为可得，；由于，，进而说明，得出平分．法二：通过得出F、D、C、E四点共圆，由得，从而得出平分．
【详解】
解：（1）证明在和中
．
（2）证明：在和中
．
（3）证明：
又D是中点
，
平分．
法二：
F、D、C、E四点共圆
又D是点，
平分．
【点睛】
本题考察了相似三角形的判定，全等三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形，角平分线，圆内接四边形等知识点．解题的关键与难点在于角度的转化．解题技巧：多个角度相等时可考虑将几何图形放入圆中利用同弧或等弧所对圆周角相等求解．【来源：21·世纪·教育·网】
4、（1）见详解；（2）2；（3）．
【分析】
（1）由圆周角定理，得到，得到四边形CEPF为矩形，再由角平分线的性质定理，得到PE=PF，即可得到结论成立；21*cnjy*com
（2）过点C作CG⊥AB，当最大时，有最大值，利用三角形的面积公式，即可求出答案；
（3）设，由相似三角形的判定和性质，得到，则取最大值时，有最小值，然后求出的最大值，即可得到答案．
【详解】
解：（1）证明：
∵AB为直径，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形CEPF是矩形，
∵CP平分，
∴，
∴四边形CEPF为正方形；
（2）过点C作CG⊥AB，如图：
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由可知，
当最大时，有最大值，
即；
由三角形的面积公式，则
，
∵，
∴，
∴；
∴的最大值是2；
（3）设，
∵，，
∴PE∥AC，
∴△PED∽△ACD，
∴①；
同理：PF∥BC，△PAF∽△DAC，
∴②，
由①+②，得，
∴，
即，
∴；
当x取最大值时，有最小值；
∵AD平分，
∴点P为△ACB的内心，
∴PE，PF为内切圆半径；
作PH⊥AB，垂足为H，如图：
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则易得AF=AH，BE=BH，
∴，
∴，
设，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为；
∴；
∴的最大值为，
∴，
∴的最小值；
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定和性质，角平分线的性质定理，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
5、（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠DCE=∠DEC，∠A=∠ACO，可得出∠DCE+∠ACO=90°，则可得出结论．21世纪教育网版权所有
（2）过点D作DF⊥CE于点F，由勾股定理求出AB=5，证明△AOE∽△ACB，得出比例线段，即可求出AE．【版权所有：21教育】
【详解】
（1）证明：连接OC，如图1，
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∵DC=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∵∠DEC=∠AEO，
∴∠DCE=∠AEO，
∵OA⊥OE，
∴∠A+∠AEO=90°，
∴∠DCE+∠A=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠DCE+∠ACO=90°，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，
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∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AOE，
∵AC=2，，
∴AB=，
又∵∠A=∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，相 ( http: / / www.21cnjy.com )似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．21教育网
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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