沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形综合测试试题(含解析)

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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形综合测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相 ( http: / / www.21cnjy.com )应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。【来源：21·世纪·教育·网】
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
2、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（ ）21*cnjy*com
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A． B． C． D．
3、如图，已知中，，则圆周角的度数是（ ）
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A．50° B．25° C．100° D．30°
4、下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心
5、如图，FA、FB分别与⊙O相切于A ( http: / / www.21cnjy.com )、B两点，点C为劣弧AB上一点，过点C的切线分别交FA、FB于D、E两点，若∠F＝60°，△FDE的周长为12，则⊙O的半径长为（　　）
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A． B．2 C．2 D．3
6、圆O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
7、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（ ）
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A．6 B． C．3 D．
8、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（　　）
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A．30° B．36° C．45° D．72°
9、如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（ ）．
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A．65° B．60° C．55° D．50°
10、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ） 【版权所有：21教育】
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A．70° B．50° C．20° D．40°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=105°，则∠BOD=_______．
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2、16.如图，平行四边形ABCD中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB = 30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB.若PA = PB，现有以下结论：
①△PAB为等边三角形；
②△PEB∽△APF；
③∠PBC - ∠PAC = 30°；
④EA = EB + EP
其中一定正确的是______（写出所有正确结论的序号）
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3、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条OA和OC的夹角为120°，OA的长为25cm，贴纸部分的宽AB为20cm，则一面贴纸的面积为______．（结果保留π）【来源：21cnj*y.co*m】
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4、如图，将Rt△ABC的斜边AB与 ( http: / / www.21cnjy.com )量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．【出处：21教育名师】
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5、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 _____．
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三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，为⊙O的直径，半径于O，⊙O的弦与相交于点F，⊙O的切线交的延长线于点E．
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（1）求证：；
（2）若⊙O的半径长为3，且，求的长．
2、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC
作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P
点P即为所求
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（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠_________＝∠_________
∴∠BAC＝∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD（______________________） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
3、在平面直角坐标系中，的半径为1，点在上，点在内，给出如下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍特征点．2-1-c-n-j-y
（1）如图，点的坐标为．
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①若点的坐标为，则点是点关于的_______倍特征点；
②在，，这三个点中，点_________是点关于的倍特征点；
③直线经过点，与轴交于点，.点在直线上，且点是点关于的倍特征点，求点的坐标；21教育网
（2）若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值．
4、请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数21世纪教育网子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），， 是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和．
是的中点，
…
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任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；
（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是_________．2·1·c·n·j·y
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5、如图，在中，，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，与AC的另一个交点为E．
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（1）求证：BO平分；
（2）若，，求BO的长．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
2、B
【分析】
阴影部分的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，
由旋转性质可知：，，
，，
在中，，，，
，，
有勾股定理可知：，
阴影部分的面积=扇形扇形
．
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．
3、B
【分析】
根据圆周角定理，即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．21·cn·jy·com
4、A
【分析】
根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．
【详解】
解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；
B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；
C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；
D.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D选项错误.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．21*cnjy*com
5、C
【分析】
根据切线长定理可得，、、，再根据∠F＝60°，可知为等边三角形，，再△FDE的周长为12，可得，求得，再作，即可求解．
【详解】
解：FA、FB分别与⊙O相切于A、B两点，过点C的切线分别交FA、FB于D、E两点，
则：、、，，
∵∠F＝60°，
∴为等边三角形，，
∵△FDE的周长为12，即，
∴，即，
作，如下图：
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则，，
∴，
设，则，由勾股定理可得：，
解得，，
故选C
【点睛】
此题考查了圆的有关性质，切线的性质、切线长定理，垂径定理以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．
6、B
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．
7、D
【分析】
如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB，则，∠AOB=30°，推出OA=2AB=6，利用勾股定理求出，即可得到圆O的直径为．
【详解】
解：如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，
∵AC，AB都是圆O的切线，
∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，
又∵OA=OA，
∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠DAC=60°，
∴，
∴∠AOB=30°，
∴OA=2AB=6，
∴，
∴圆O的直径为，
故选D．
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【点睛】
本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
8、B
【分析】
连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【详解】
解：如图，连接OC，OD．
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∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9、C
【分析】
先由OB=OC，得到∠OCB=∠OBC=35°，从而可得∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】
解：∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=35°，
∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=110°，
∴，
故选C．
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【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．
10、D
【分析】
首先连接OA，OB，由PA ( http: / / www.21cnjy.com )，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：连接OA，OB，
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∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
二、填空题
1、150°
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】
∵四边形内接于，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
2、①③④
【分析】
根据等边三角形的性质、垂直平分线的性质逐项进行分析即可．
【详解】
连接PC
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①∵AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F
∴PA=PC，EF⊥AC，EA=EC
∵PA=PB，
∴PA=PB=PC
∴点A、B、C在以P为圆心的圆上
∴
∴△PAB为等边三角形；故①正确；
②∵∠ACB = 30°，EF⊥AC，EA=EC
∴
∴
∵△PAB为等边三角形
∴
∴
∴，故②错误；
③∵平行四边形ABCD中
∴AD∥BC
∴，,
∴△AEF为等边三角形
∵,
∴
∵
∴
即∠PBC - ∠PAC = 30°，故③正确；
∵△AEF、△PAB为等边三角形
∴
∴
∵EF=EP+PF=EA
∴EA=EB+EP，故④正确；
综上，一定正确的是①③④
故答案为：①③④
【点睛】
本题综合考查等边三角形的性质与判定、相 ( http: / / www.21cnjy.com )似三角形的判定、圆周角定理、平行四边形的性质，解题的关键是根据PA=PB=PC得到点A、B、C在以P为圆心的圆上．
3、200π
【分析】
根据题意先求出BO，进而分别求出两个扇形的面积作差即可求出答案．
【详解】
解：∵OA长为25cm，贴纸部分的宽AB为20cm，
∴BO=5cm，
∴贴纸的面积为S=S扇形AOC-S扇形BOD==200π（cm2）.
故答案为：200π．
【点睛】
本题考查扇形的面积计算，熟练掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．
4、76°或142°
【分析】
设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点 ( http: / / www.21cnjy.com )D在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD=2∠BCD，根据等腰三角形的性质分BC为底边和BC为腰求∠BCD的度数即可．
【详解】
解：设AB的中点为O，连接OD，则∠BOD为点D在量角器上对应的角，
∵Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴A、C、B、D四点共圆，圆心为点O，
∴∠BOD=2∠BCD，
①若BC为等腰三角形的底边时，如图射线CD1，则∠BCD1=∠ABC=38°，
连接OD1，则∠BOD1=2∠BCD1=76°；
②若BC为等腰三角形的腰时，
当∠ABC为顶角时，如图射线CD2，则∠BCD2=（180°-∠ABC）÷2=71°，
连接OD2，则∠BOD2=2∠BCD2=142°，
当∠ABC为底角时，∠BCD=180°-2∠ABC=104°，不符合题意，舍去，
综上，点D在量角器上对应的度数是76°或142°，
故答案为：76°或142°．
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【点睛】
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．
5、
【分析】
连接OB，交AC于点D，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC为菱形，根据菱形的性质可得：，，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，由此得出，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB，交AC于点D，
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∵四边形OABC为平行四边形，，
∴四边形OABC为菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴的长为：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC．根据半径相等，利用切线的性质和等角的余角相等证得∠ECF＝∠EFC，即可得到结论；
（2）设BF＝BE＝x，在Rt△OCE中，利用勾股定理可求得x＝2，再在Rt△ODF中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
（1）证明：如图，连接OC．
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∵CE切⊙O于点C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCF＋∠ECF＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠D＋∠DFO＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD，
∴∠ECF＝∠OFD
又∵∠OFD＝∠EFC
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF；
（2）解： ∵BF＝BE，
设BF＝BE＝x，则EC＝EF＝2x，OE＝3＋x，
在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2，
∴32＋(2x)2＝(3＋x)2，
解得x1＝0(舍)，x2＝2，
∴OF＝OB－FB＝1，
在Rt△ODF中，．
【点睛】
本题考查了切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】
（1）根据按步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理进行证明即可
【详解】
解：（1）如图所示，
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（2）证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠BAC=∠BAD
∴∠BAC＝∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD（圆周角定理） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【点睛】
本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
3、（1）①；②；③（，）；（2）k的最小值为，k有最大值为．
【分析】
（1）①先求出AP，AB的长，然后根据题目的定义求解即可；
②先求出，，即可得到，假设点是点A关于⊙O的倍特征点，得到，则不符合题意，同理可以求出，假设点是点A关于⊙O的倍特征点，得到，可求出点F的坐标为（0，-1），由点的坐标为（，0），得到，则，则点不是点A关于⊙O的倍特征点；
③设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，先求出E是AB的中点，从而推出∠EOA=30°，再求出，，即可得到点E的坐标为（，）；
（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交点分别为C、D过点N作NP⊥CD交CD于P，交圆O于B，过点O作直线EF⊥CD交圆O于E，F即可得到，，由，可得，可以推出当的值越大，k的值越大，则当AM=BP，MN=NP时，k的值最小，即当A与E重合，N于F重合时，k的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．
【详解】
解：（1）①∵A点坐标为（1，0），P点坐标为（，0），
∴，B点坐标为（-1，0），
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②∵的坐标为（0，），A点坐标为（1，0），
∴，，
∴
假设点是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴不符合题意，
∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，
同理可以求出，
假设点是点A关于⊙O的倍特征点，
∴，
∴即为AF的中点，
∴点F的坐标为（0，-1），
∵点F（0，-1）在圆上，
∴点是点A关于⊙O的倍特征点，
∵点的坐标为（，0），
∴，
∴，
∴点不是点A关于⊙O的倍特征点，
故答案为：；
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③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于F，
∵点E是点A关于⊙O的倍的特征点，
∴，
∴E是AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵∠EAO=60°，
∴∠EOA=30°，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为（，）；
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（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交点分别为C、D过点N作NP⊥CD交CD于P，交圆O于B，过点O作直线EF⊥CD交圆O于E，F21cnjy.com
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵当k越大时，的值越小，
∴的值越大，
∴当的值越大，k的值越大，
∴当AM=BP，MN=NP时，k的值最小，
∴当A与E重合，N于F重合时，k的值最小，
∵C、D是直线与x轴，y轴的交点，
∴C（1，0），D点坐标为（0，1），
∴OC=OD=1，
∴，
∵OG⊥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴k的最小值为，
∴当N在E点，A在F点时，k有最大值为．
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【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确理解题意进行求解．www.21-cn-jy.com
4、
（1）证明见解析；
（2）．
【分析】
（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案．
（1）
证明：如图2，在上截取，连接，，和．
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是的中点，
．
在和中
，
，
，
又，
，
；
（2）
解：如图3，截取，连接，，，
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由题意可得：，
∵
∴，
在和中
，
，
，
，
，则，
，
，
∵，
∴
则
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了 ( http: / / www.21cnjy.com )圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
5、（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）连接OD，由与AB相切得，由HL定理证明由全等三角形的性质得，即可得证；
（2）设的半径为，则，在中，得出关系式求出，可得出的长，在中，由正切值求出，在中，由勾股定理求出即可．21·世纪*教育网
【详解】
（1）
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如图，连接OD，
∵与AB相切，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）设的半径为，则，
在中，，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，即，
在中，．
【点睛】
本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．21教育名师原创作品
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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