【精品解析】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形必考点解析试题(含解析)
文档属性
| 名称 | 【精品解析】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形必考点解析试题(含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-19 13:43:13 | ||
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文档简介
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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个 ( http: / / www.21cnjy.com )题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21·世纪*教育网
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（ ）
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A．50° B．100° C．130° D．150°
2、如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC＝56°，则∠BOC的度数为（ ）
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A．28° B．102° C．112° D．128°
3、如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
4、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
5、下列说法正确的个数有（ ）
①方程的两个实数根的和等于1；
②半圆是弧；
③正八边形是中心对称图形；
④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；
⑤如果反比例函数的图象经过点，则这个函数图象位于第二、四象限．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6、已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）
A． B． C． D．
7、如图，小王将一长为4，宽为 ( http: / / www.21cnjy.com )3的长方形木板放在桌面上按顺时针方向做无滑动的翻滚，当第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，此时木板与桌面成30°角，则点A运动到A2时的路径长为（ ）
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A．10 B．4π C． D．
8、如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，则⊙O的半径为（ ）
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A．4.8 B．5 C．4 D．4
9、如图，Rt△ABC中，∠A＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，∠B＝30°，AC＝1，将Rt△ABC延直线l由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（ ）
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A． B． C． D．（2+）π
10、下列叙述正确的有( )个.
（1）随着的增大而增大；
（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；
（3）斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；
（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；
（5）以为三边长度的三角形，不是直角三角形．
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、斛是中国古代的一种量 ( http: / / www.21cnjy.com )器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的 ( http: / / www.21cnjy.com )外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．
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2、如图，AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切 ( http: / / www.21cnjy.com )线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，点E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D，则∠CDB＝___．21教育网
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3、如图，点D是⊙O上一点，C是弧AB的中点，若∠ACB＝116°，则∠BDC的度数是 _____°．
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4、如图，正方形ABCD的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是_______．2·1·c·n·j·y
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5、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知直线m与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥m于点D．
（1）如图①，当直线m与⊙O相交于点E、F时，求证：∠DAE=∠BAF．
（2）如图②，当直线m与⊙O相切于点C时，若∠DAC=35°，求∠BAC的大小；
（3）若PC＝2，PB＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
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2、在平面直角坐标系xOy中，图形W ( http: / / www.21cnjy.com )上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”．【版权所有：21教育】
（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；
②在点（0，2） ，（3，3），（，0）中，⊙O的“倍点”是________；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（，1），若点E（，3） 是正方形ABCD的“倍点”，求的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积．
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3、请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数21世纪教育网子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），， 是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和．
是的中点，
…
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任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；
（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是_________．
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4、已知AB是⊙O的直径，点C是圆O上一点，点P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）如果OP＝AB＝6，求图中阴影部分面积．
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5、如图，为⊙O的直径，半径于O，⊙O的弦与相交于点F，⊙O的切线交的延长线于点E．
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（1）求证：；
（2）若⊙O的半径长为3，且，求的长．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠DCB=180°，
∵∠DCB=130°，
∴∠A=50°，
由圆周角定理得，=2∠A=100°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
2、C
【分析】
直接由圆周角定理求解即可．
【详解】
解：∵∠A＝56°，∠A与∠BOC所对的弧相同，
∴∠BOC＝2∠A＝112°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．21·cn·jy·com
3、B
【分析】
从图中可以看出在AB边，翻转 ( http: / / www.21cnjy.com )的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，同理在AC和BC上也是相同的情况，由此求解即可．21*cnjy*com
【详解】
解：从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次，第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为×3=2π．21*cnjy*com
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P点的运动轨迹．
4、B
【分析】
阴影部分的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，
由旋转性质可知：，，
，，
在中，，，，
，，
有勾股定理可知：，
阴影部分的面积=扇形扇形
．
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．
5、B
【分析】
根据所学知识对五个命题进行判断即可．
【详解】
1、，故方程无实数根，故本命题错误；
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；
3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；
4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；
5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误
综上所述，正确个数为3
故选B
【点睛】
本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．
6、B
【分析】
如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， 再由等边三角形的性质，可得∠OAB=30°，，然后根据锐角三角函数，即可求解．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
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根据题意得：OA= ，∠OAB=30°，，
在中，
，
∴AB=3，即这个正三角形的边长是3．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．
7、C
【分析】
根据题意可得：第一次转动的路径是以点B为圆心，AB长为半径的弧长，此时圆心角 ，第二次转动的路径是以点C为圆心，A1C长为半径的弧长，此时圆心角 ，再由弧长公式，即可求解．
【详解】
解：如图，
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根据题意得： ， ，
第一次转动的路径是以点B为圆心，AB长为半径的弧长，此时圆心角 ，
∴ ，
第二次转动的路径是以点C为圆心，A1C长为半径的弧长，此时圆心角 ，
∴ ，
∴点A运动到A2时的路径长为 ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求弧长，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．
8、B
【分析】
连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．构建方程即可解决问题．
【详解】
解：设⊙O与AB相切于点E．连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，
再设⊙O的半径为x．
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∵AB切⊙O于E，
∴EF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∴∠OFD=90°，
在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，
∴（8-x）2+42= x2，
∴x=5，
∴⊙O的半径为5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定 ( http: / / www.21cnjy.com )理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【来源：21·世纪·教育·网】
9、C
【分析】
根据题意，画出示意图，确定出点的运动路径，再根据弧长公式即可求解．
【详解】
解：根据题意可得，Rt△ABC的运动示意图，如下：
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Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴，，，
由图形可得，点的运动路线为，先以为中心，顺时针旋转，到达点，经过的路径长为，再以为中心，顺时针旋转，到达点，经过的路径长为，
顶点A所经过的路径的长为，
故选：C
【点睛】
此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点的运动路线．
10、D
【分析】
根据反比例函数的性质，得当或者时，随着的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．
【详解】
当或者时，随着的增大而增大，故（1）不正确；
如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；，故（2）正确；
∵圆的直径所对的圆周角为直角
∴斜边为的直角三角形顶点A的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆，故（3）正确；
三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确；
∵
∴
∴以为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形、垂直平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．
二、填空题
1、
【分析】
如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．
【详解】
解：如图，
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∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE是直径，∠ECD=45°，
根据题意得：AB=2.5， ，
∴ ，
∴ ，
即此斛底面的正方形的边长为 尺．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
2、40°
【分析】
由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数．
【详解】
解：连接AC，
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∵由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90° ∠ABT＝40°，
∴∠CDB＝∠CAB＝40°，
故答案为：40°
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握运用同弧所对的圆周角相等解答是关键．
3、32
【分析】
根据圆内接四边形的性质得出∠ADB+∠ACB＝180°，求出∠ADB＝64°，根据C是弧AB的中点求出，根据圆周角定理得出∠BDC＝∠ADC＝ADB，再求出答案即可．
【详解】
解：∵A、C、B、D四点共圆，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ACB＝116°，
∴∠ADB＝180°﹣116°＝64°，
∵C是弧AB的中点，
∴，
∴∠BDC＝∠ADC＝ADB＝32°，
故答案为：32．
【点睛】
本题考查四点共圆性质，圆周角与弧的关系，掌握四点共圆性质，圆周角与弧的关系是解题关键．
4、1
【分析】
以AB为直径作圆，当CF与圆相切时，AF最大．根据切线长定理转化线段AF＋BC＝CF，在Rt△DFC利用勾股定理求解．
【详解】
解：以AB为直径作圆，因为∠AGB＝90°，所以G点在圆上．
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当CF与圆相切时，AF最大．
此时FA＝FG，BC＝CG．
设AF＝x，则DF＝4 x，FC＝4＋x，
在Rt△DFC中，利用勾股定理可得：
42＋（4 x）2＝（4＋x）2，
解得x＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、圆中切线长定理以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．
5、在⊙A上
【分析】
先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
【详解】
解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA==5，
∵半径为5，
∴OA=r，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外 d＞r；当点P在圆上 d=r；当点P在圆内 d＜r．www.21-cn-jy.com
三、解答题
1、（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）通过已知条件可知，，再通过同角的补交相等证得，即可得到答案；
（2）利用，得，再通过OA=OC，得；
（3）现在中，利用勾股定理求得半径r=2，再通过，得，即可求得，那么，即可求解．
【详解】
解：（1）如图，连接BF
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∵AD⊥m
∴
∵AB是⊙O的直径
∴
∴
∵，
∴
∴∠DAE=∠BAF
（2）连接OC
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∵直线m与⊙O相切于点C
∴
∵AD⊥m
∴
∴
∵OA=OC
∴
（3）连接OC
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∵直线m与⊙O相切于点C
∴
设半径OC=OB=r
在中，则：
∴
解得：r=2，即OC=r=2
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了圆切线、内接四边形的性质，以及解直角三角形的应用，扇形面积求法，解答此题的关键是掌握圆的性质．21教育名师原创作品
2、（1）① 2；② ；（2）t的值为3或；（3）π
【分析】
（1）①根据定义解答即可；②分别找出的最大值，再根据定义判断即可；
（2） 如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为．若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为． 分， 和
分别讨论即可求解；
（3）分线段MN在内部和在外部两种情况讨论即可.
【详解】
（1）①圆上两点之间的最大距离是直径2，根据定义可知d= 2，
故答案为：2；
②由图可知，故不是图形W的“倍点”； ，故不是图形W的“倍点”；，当Q（1，0）时，=2d，故P为图形W的“倍点”；21世纪教育网版权所有
故答案为：；
（2）如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为．
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依题意，若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为．
当时，点E到ABCD上的点的最大距离为EC的长． 取点H（1，3），则CH⊥EH且CH=4，此时可求得EH=4，从而点E的坐标为，即；
当时，点E到ABCD上的点的最大距离为ED的长．由对称性可得点E的坐标为，即．
当时，显然不符合题意．
综上，t的值为3或．
（3）MN上d=2，2d=4，
当线段MN在内部时，T组成的图形为半径为4的圆，，
当线段MN在外部时，T组成的图形为半径为8的圆，，
故点T所构成的图形的面积为或.
【点睛】
此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
3、
（1）证明见解析；
（2）．
【分析】
（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案．
（1）
证明：如图2，在上截取，连接，，和．
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是的中点，
．
在和中
，
，
，
又，
，
；
（2）
解：如图3，截取，连接，，，
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由题意可得：，
∵
∴，
在和中
，
，
，
，
，则，
，
，
∵，
∴
则
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
4、（1）见解析；（2）3π﹣．
【分析】
（1）先由圆周角定理得∠ACB＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠BAC+∠B＝90°．再由平行线的性质得∠AOP＝∠B，然后证∠P+∠AOP＝90°，则∠PAO＝90°，即可得证；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）先证△OAP≌△BCA（AAS），得BC＝OA＝AB＝3，再由扇形面积减去三角形面积即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
又∵OP∥BC，
∴∠AOP＝∠B，
∴∠BAC+∠AOP＝90°，
∵∠P＝∠BAC，
∴∠P+∠AOP＝90°，
∴∠PAO＝90°，
∴PA⊥OA，
∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OC，
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由（1）得：∠PAO＝∠ACB＝90°，
在△OAP和△BCA中，
，
∴△OAP≌△BCA（AAS），
∴OP＝AB＝6，BC＝OA＝OC＝AB＝3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴S扇形AOC＝＝3π，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝30°，
∴OH＝OA＝，
∴AH＝，
∴AC＝2AH＝3，
∴S△AOC＝AC OH＝3×＝，
∴图中阴影部分面积＝S扇形AOC﹣S△AOC＝3π﹣．
【点睛】
本题考查了切线的证明和扇形面积的计算，解题关键是熟练掌握切线证明方法和扇形面积公式．
5、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC．根据半径相等，利用切线的性质和等角的余角相等证得∠ECF＝∠EFC，即可得到结论；
（2）设BF＝BE＝x，在Rt△OCE中，利用勾股定理可求得x＝2，再在Rt△ODF中，利用勾股定理即可求解．21cnjy.com
【详解】
（1）证明：如图，连接OC．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵CE切⊙O于点C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCF＋∠ECF＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠D＋∠DFO＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD，
∴∠ECF＝∠OFD
又∵∠OFD＝∠EFC
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF；
（2）解： ∵BF＝BE，
设BF＝BE＝x，则EC＝EF＝2x，OE＝3＋x，
在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2，
∴32＋(2x)2＝(3＋x)2，
解得x1＝0(舍)，x2＝2，
∴OF＝OB－FB＝1，
在Rt△ODF中，．
【点睛】
本题考查了切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个 ( http: / / www.21cnjy.com )题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。21·世纪*教育网
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，四边形ABCD内接于，若，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．50° B．100° C．130° D．150°
2、如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC＝56°，则∠BOC的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．28° B．102° C．112° D．128°
3、如图，正的边长为，边长为的正的顶点R与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将沿着边AB，BC，CA连续翻转（如图所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径的长为（ ）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
4、如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得到，则图中阴影部分面积为（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
5、下列说法正确的个数有（ ）
①方程的两个实数根的和等于1；
②半圆是弧；
③正八边形是中心对称图形；
④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；
⑤如果反比例函数的图象经过点，则这个函数图象位于第二、四象限．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6、已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）
A． B． C． D．
7、如图，小王将一长为4，宽为 ( http: / / www.21cnjy.com )3的长方形木板放在桌面上按顺时针方向做无滑动的翻滚，当第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，此时木板与桌面成30°角，则点A运动到A2时的路径长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B．4π C． D．
8、如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，则⊙O的半径为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4.8 B．5 C．4 D．4
9、如图，Rt△ABC中，∠A＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，∠B＝30°，AC＝1，将Rt△ABC延直线l由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．（2+）π
10、下列叙述正确的有( )个.
（1）随着的增大而增大；
（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；
（3）斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；
（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；
（5）以为三边长度的三角形，不是直角三角形．
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、斛是中国古代的一种量 ( http: / / www.21cnjy.com )器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的 ( http: / / www.21cnjy.com )外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．
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2、如图，AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切 ( http: / / www.21cnjy.com )线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，点E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D，则∠CDB＝___．21教育网
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3、如图，点D是⊙O上一点，C是弧AB的中点，若∠ACB＝116°，则∠BDC的度数是 _____°．
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4、如图，正方形ABCD的边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是_______．2·1·c·n·j·y
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5、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知直线m与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥m于点D．
（1）如图①，当直线m与⊙O相交于点E、F时，求证：∠DAE=∠BAF．
（2）如图②，当直线m与⊙O相切于点C时，若∠DAC=35°，求∠BAC的大小；
（3）若PC＝2，PB＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
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2、在平面直角坐标系xOy中，图形W ( http: / / www.21cnjy.com )上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”．【版权所有：21教育】
（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；
②在点（0，2） ，（3，3），（，0）中，⊙O的“倍点”是________；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（，1），若点E（，3） 是正方形ABCD的“倍点”，求的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积．
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3、请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数21世纪教育网子．阿拉伯Al-Binmi （973-1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Binmi详本出版了俄文版《阿基米德全集》．第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），， 是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接和．
是的中点，
…
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任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明部分；
（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是_________．
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4、已知AB是⊙O的直径，点C是圆O上一点，点P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）如果OP＝AB＝6，求图中阴影部分面积．
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5、如图，为⊙O的直径，半径于O，⊙O的弦与相交于点F，⊙O的切线交的延长线于点E．
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（1）求证：；
（2）若⊙O的半径长为3，且，求的长．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠DCB=180°，
∵∠DCB=130°，
∴∠A=50°，
由圆周角定理得，=2∠A=100°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
2、C
【分析】
直接由圆周角定理求解即可．
【详解】
解：∵∠A＝56°，∠A与∠BOC所对的弧相同，
∴∠BOC＝2∠A＝112°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．21·cn·jy·com
3、B
【分析】
从图中可以看出在AB边，翻转 ( http: / / www.21cnjy.com )的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，同理在AC和BC上也是相同的情况，由此求解即可．21*cnjy*com
【详解】
解：从图中可以看出在AB边，翻转的第一次是一个120度的圆心角，半径是1，所以弧长=，第二次是以点P为圆心，所以没有路程，在BC边上，第一次，第二次同样没有路程，AC边上也是如此，点P运动路径的长为×3=2π．21*cnjy*com
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，求弧长，解题的关键在于能够根据题意得到P点的运动轨迹．
4、B
【分析】
阴影部分的面积=扇形扇形，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及的面积，最后即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：由图可知：阴影部分的面积=扇形扇形，
由旋转性质可知：，，
，，
在中，，，，
，，
有勾股定理可知：，
阴影部分的面积=扇形扇形
．
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．
5、B
【分析】
根据所学知识对五个命题进行判断即可．
【详解】
1、，故方程无实数根，故本命题错误；
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；
3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；
4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；
5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误
综上所述，正确个数为3
故选B
【点睛】
本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．
6、B
【分析】
如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA， 再由等边三角形的性质，可得∠OAB=30°，，然后根据锐角三角函数，即可求解．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据题意得：OA= ，∠OAB=30°，，
在中，
，
∴AB=3，即这个正三角形的边长是3．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．
7、C
【分析】
根据题意可得：第一次转动的路径是以点B为圆心，AB长为半径的弧长，此时圆心角 ，第二次转动的路径是以点C为圆心，A1C长为半径的弧长，此时圆心角 ，再由弧长公式，即可求解．
【详解】
解：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据题意得： ， ，
第一次转动的路径是以点B为圆心，AB长为半径的弧长，此时圆心角 ，
∴ ，
第二次转动的路径是以点C为圆心，A1C长为半径的弧长，此时圆心角 ，
∴ ，
∴点A运动到A2时的路径长为 ．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求弧长，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．
8、B
【分析】
连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．构建方程即可解决问题．
【详解】
解：设⊙O与AB相切于点E．连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，
再设⊙O的半径为x．
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AB切⊙O于E，
∴EF⊥AB，
∵AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∴∠OFD=90°，
在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，
∴（8-x）2+42= x2，
∴x=5，
∴⊙O的半径为5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定 ( http: / / www.21cnjy.com )理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【来源：21·世纪·教育·网】
9、C
【分析】
根据题意，画出示意图，确定出点的运动路径，再根据弧长公式即可求解．
【详解】
解：根据题意可得，Rt△ABC的运动示意图，如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
∴，，，
由图形可得，点的运动路线为，先以为中心，顺时针旋转，到达点，经过的路径长为，再以为中心，顺时针旋转，到达点，经过的路径长为，
顶点A所经过的路径的长为，
故选：C
【点睛】
此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点的运动路线．
10、D
【分析】
根据反比例函数的性质，得当或者时，随着的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为的直角三角形顶点的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．
【详解】
当或者时，随着的增大而增大，故（1）不正确；
如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是和；，故（2）正确；
∵圆的直径所对的圆周角为直角
∴斜边为的直角三角形顶点A的轨迹是以中点为圆心，长为直径的圆，故（3）正确；
三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确；
∵
∴
∴以为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形、垂直平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．
二、填空题
1、
【分析】
如图，根据四边形CDEF为正方形，可得∠D=90°，CD=DE，从而得到CE是直径，∠ECD=45°，然后利用勾股定理，即可求解．
【详解】
解：如图，
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∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE是直径，∠ECD=45°，
根据题意得：AB=2.5， ，
∴ ，
∴ ，
即此斛底面的正方形的边长为 尺．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
2、40°
【分析】
由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得∠CDB的度数．
【详解】
解：连接AC，
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∵由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90° ∠ABT＝40°，
∴∠CDB＝∠CAB＝40°，
故答案为：40°
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握运用同弧所对的圆周角相等解答是关键．
3、32
【分析】
根据圆内接四边形的性质得出∠ADB+∠ACB＝180°，求出∠ADB＝64°，根据C是弧AB的中点求出，根据圆周角定理得出∠BDC＝∠ADC＝ADB，再求出答案即可．
【详解】
解：∵A、C、B、D四点共圆，
∴∠ADB+∠ACB＝180°，
∵∠ACB＝116°，
∴∠ADB＝180°﹣116°＝64°，
∵C是弧AB的中点，
∴，
∴∠BDC＝∠ADC＝ADB＝32°，
故答案为：32．
【点睛】
本题考查四点共圆性质，圆周角与弧的关系，掌握四点共圆性质，圆周角与弧的关系是解题关键．
4、1
【分析】
以AB为直径作圆，当CF与圆相切时，AF最大．根据切线长定理转化线段AF＋BC＝CF，在Rt△DFC利用勾股定理求解．
【详解】
解：以AB为直径作圆，因为∠AGB＝90°，所以G点在圆上．
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当CF与圆相切时，AF最大．
此时FA＝FG，BC＝CG．
设AF＝x，则DF＝4 x，FC＝4＋x，
在Rt△DFC中，利用勾股定理可得：
42＋（4 x）2＝（4＋x）2，
解得x＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、圆中切线长定理以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．
5、在⊙A上
【分析】
先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．
【详解】
解：∵点A的坐标为（4，3），
∴OA==5，
∵半径为5，
∴OA=r，
∴点O在⊙A上．
故答案为：在⊙A上．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外 d＞r；当点P在圆上 d=r；当点P在圆内 d＜r．www.21-cn-jy.com
三、解答题
1、（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）通过已知条件可知，，再通过同角的补交相等证得，即可得到答案；
（2）利用，得，再通过OA=OC，得；
（3）现在中，利用勾股定理求得半径r=2，再通过，得，即可求得，那么，即可求解．
【详解】
解：（1）如图，连接BF
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∵AD⊥m
∴
∵AB是⊙O的直径
∴
∴
∵，
∴
∴∠DAE=∠BAF
（2）连接OC
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∵直线m与⊙O相切于点C
∴
∵AD⊥m
∴
∴
∵OA=OC
∴
（3）连接OC
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∵直线m与⊙O相切于点C
∴
设半径OC=OB=r
在中，则：
∴
解得：r=2，即OC=r=2
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考查了圆切线、内接四边形的性质，以及解直角三角形的应用，扇形面积求法，解答此题的关键是掌握圆的性质．21教育名师原创作品
2、（1）① 2；② ；（2）t的值为3或；（3）π
【分析】
（1）①根据定义解答即可；②分别找出的最大值，再根据定义判断即可；
（2） 如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为．若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为． 分， 和
分别讨论即可求解；
（3）分线段MN在内部和在外部两种情况讨论即可.
【详解】
（1）①圆上两点之间的最大距离是直径2，根据定义可知d= 2，
故答案为：2；
②由图可知，故不是图形W的“倍点”； ，故不是图形W的“倍点”；，当Q（1，0）时，=2d，故P为图形W的“倍点”；21世纪教育网版权所有
故答案为：；
（2）如图所示，正方形ABCD上的任意两点间距离的最大值为．
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依题意，若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上的点的最大距离恰好为．
当时，点E到ABCD上的点的最大距离为EC的长． 取点H（1，3），则CH⊥EH且CH=4，此时可求得EH=4，从而点E的坐标为，即；
当时，点E到ABCD上的点的最大距离为ED的长．由对称性可得点E的坐标为，即．
当时，显然不符合题意．
综上，t的值为3或．
（3）MN上d=2，2d=4，
当线段MN在内部时，T组成的图形为半径为4的圆，，
当线段MN在外部时，T组成的图形为半径为8的圆，，
故点T所构成的图形的面积为或.
【点睛】
此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
3、
（1）证明见解析；
（2）．
【分析】
（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）首先证明，进而得出，以及，进而求出的长即可得出答案．
（1）
证明：如图2，在上截取，连接，，和．
( http: / / www.21cnjy.com / )
是的中点，
．
在和中
，
，
，
又，
，
；
（2）
解：如图3，截取，连接，，，
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意可得：，
∵
∴，
在和中
，
，
，
，
，则，
，
，
∵，
∴
则
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了圆与三角形综合，涉及了圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )角定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
4、（1）见解析；（2）3π﹣．
【分析】
（1）先由圆周角定理得∠ACB＝90° ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠BAC+∠B＝90°．再由平行线的性质得∠AOP＝∠B，然后证∠P+∠AOP＝90°，则∠PAO＝90°，即可得证；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）先证△OAP≌△BCA（AAS），得BC＝OA＝AB＝3，再由扇形面积减去三角形面积即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
又∵OP∥BC，
∴∠AOP＝∠B，
∴∠BAC+∠AOP＝90°，
∵∠P＝∠BAC，
∴∠P+∠AOP＝90°，
∴∠PAO＝90°，
∴PA⊥OA，
∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OC，
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由（1）得：∠PAO＝∠ACB＝90°，
在△OAP和△BCA中，
，
∴△OAP≌△BCA（AAS），
∴OP＝AB＝6，BC＝OA＝OC＝AB＝3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴S扇形AOC＝＝3π，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝30°，
∴OH＝OA＝，
∴AH＝，
∴AC＝2AH＝3，
∴S△AOC＝AC OH＝3×＝，
∴图中阴影部分面积＝S扇形AOC﹣S△AOC＝3π﹣．
【点睛】
本题考查了切线的证明和扇形面积的计算，解题关键是熟练掌握切线证明方法和扇形面积公式．
5、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC．根据半径相等，利用切线的性质和等角的余角相等证得∠ECF＝∠EFC，即可得到结论；
（2）设BF＝BE＝x，在Rt△OCE中，利用勾股定理可求得x＝2，再在Rt△ODF中，利用勾股定理即可求解．21cnjy.com
【详解】
（1）证明：如图，连接OC．
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∵CE切⊙O于点C，
∴OC⊥CE，
∴∠OCF＋∠ECF＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠D＋∠DFO＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD，
∴∠ECF＝∠OFD
又∵∠OFD＝∠EFC
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF；
（2）解： ∵BF＝BE，
设BF＝BE＝x，则EC＝EF＝2x，OE＝3＋x，
在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2，
∴32＋(2x)2＝(3＋x)2，
解得x1＝0(舍)，x2＝2，
∴OF＝OB－FB＝1，
在Rt△ODF中，．
【点睛】
本题考查了切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
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