【精品解析】沪教版(上海)九下 第二十七章 圆与正多边形必考点解析试题(含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内 ( http: / / www.21cnjy.com )相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。www-2-1-cnjy-com
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
2、直角三角形△PAB一条边为AB，另一顶点P在直线l上，下面是三个学生做直角三角形的过程以及自认为正确的最终结论：
甲：过点A作l的垂线，垂足为P1；过点B作l的垂线，垂足为P2；作AP3⊥BP3．故符合题意的点P有三处；
乙：以AB为直径作圆O，⊙O与交l于两点P1、P2，故符合题意的点P有两处；
丙：过点A作P1A⊥AB，垂足为A，交l于点P1；过点B作P2B⊥AB，垂足为B，交l于点P2．故符合题意的点P有两处．
下列说法正确的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．甲的作法和结论均正确
B．乙、丙的作法和结论合在一起才正确
C．甲、乙、丙的作法和结论合在一起才正确
D．丙的作法和结论均正确
3、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．70° B．50° C．20° D．40°
4、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（ ( http: / / www.21cnjy.com )0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）
5、如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
6、如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4m2 B．12m2 C．24m2 D．24m2
7、下列说法正确的个数有（ ）
①方程的两个实数根的和等于1；
②半圆是弧；
③正八边形是中心对称图形；
④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；
⑤如果反比例函数的图象经过点，则这个函数图象位于第二、四象限．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC＝30°，BC＝2，则AB的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．4 B．6 C．8 D．10
9、如图，中的半径为1，内接于．若，，则的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
10、如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．30° B．60° C．80° D．90°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课 ( http: / / www.21cnjy.com )后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60cm和180 cm，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN的长度为______cm．
( http: / / www.21cnjy.com / )
2、如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB，CD于点E，F，则弧EF的长是_________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
3、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．
4、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的半圆O上有一动点B，点，为等腰直角三角形，A为直角顶点，且C在第一象限，则线段OC长度的最大值为______．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
5、如图，正方形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )的边长为4，点E是CD边上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，连接CG并延长交AD于点F，则AF的最大值是_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且：CF是⊙O的切线．
（1）求证：∠DCF＝∠CAD．
（2）探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由；
（3）若cosB，AD＝2，求FD的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
2、新定义：在平面直角坐标系xOy中 ( http: / / www.21cnjy.com )，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G为⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图1，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：
①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y＝，是⊙O的关联图形的是　 （请直接写出正确的序号）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）如图2，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．
（3）如图3，已知点B（0，2），C（2，0 ( http: / / www.21cnjy.com )），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．
3、如图，以点为圆心，长为直径作圆，在上取一点，延长至点，连接，，过点作交的延长线于点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
4、已知：如图，射线．
求作：，使得点在射线上，，．
作法：①在射线上任取一点；
②以点为圆心，的长为半径画圆，交射线于另一点；
③以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上方交于点；
④连接、．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：为的直径，点在上，
（___________________________）（填推理依据）．
连接．
，
为等边三角形（___________________________）（填推理依据）．
所以为所求作的三角形．
5、如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求的半径．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．
【详解】
解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：B．
【点睛】
本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．
2、B
【分析】
根据三个学生的作法作出图形即可判断
【详解】
解：甲的作图如下，
( http: / / www.21cnjy.com / )
不是直角三角形，故甲的不正确
乙：如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据直径所对的圆周角是直角可知，乙的作法正确，但不完整，
丙的作法如下，
( http: / / www.21cnjy.com / )
丙的作法也正确，但不完整，
乙、丙的作法和结论合在一起才正确
故选B
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，直径所对的圆周角是直角，根据题意作出图形是解题的关键．
3、D
【分析】
首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．
【详解】
解：连接OA，OB，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠P=140°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．
4、A
【分析】
首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【详解】
解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
5、D
【分析】
由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．
【详解】
∵
∴
∵四边形内接于
∴
又∵
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理， ( http: / / www.21cnjy.com )圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
6、D
【分析】
先根据等边三角形的性质求出△OBC的面积，然后由地基的面积是△OBC的6倍即可得到答案
【详解】
解：如图所示，正六边形ABCDEF，连接OB，OC，过点O作OP⊥BC于P，
由题意得：BC=4cm，
∵六边形ABCD是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，
又∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形和圆的关系是解题的关键．
7、B
【分析】
根据所学知识对五个命题进行判断即可．
【详解】
1、，故方程无实数根，故本命题错误；
2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；
3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；
4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；【出处：21教育名师】
5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误
综上所述，正确个数为3
故选B
【点睛】
本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．【版权所有：21教育】
8、A
【分析】
根据直径所对的圆角为直角，可得 ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵∠BAC＝30°，BC＝2，
∴．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了直径所对的圆角 ( http: / / www.21cnjy.com )，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
9、B
【分析】
连接OA、OB，过点O作，由三角形内角和求出，由圆周角定理可得，由得是等腰三角形，即可知，，根据三角函数已可求出AD，进而得出答案．
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，连接OA、OB，过点O作，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．
10、B
【分析】
延长AO交⊙O于点D，连接BD，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )圆周角定理得出∠D=∠P=30°，∠ABD=90°，由直角三角形的性质可推得AB=BO=AO，然后根据等边三角形的判定与性质可以得解．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：如图，延长AO交⊙O于点D，连接BD，
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵∠P=30°，
∴∠D=∠P=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴AB=AD=AO=BO，
∴三角形ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故选B．
【点睛】
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、圆直径的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质是解题关键．21世纪教育网版权所有
二、填空题
1、
【分析】
如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，根据切线的性质定理和垂径定理求解即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：如图，设小圆的切线MN与小圆相切于点D，与大圆交于M、N，连接OD、OM，
则OD⊥MN，
∴MD=DN，
在Rt△ODM中，OM=180cm，OD=60cm，
∴cm，
∴cm，
即该球在大圆内滑行的路径MN的长度为cm，
故答案为：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握切线的性质和垂径定理是解答的关键．
2、
【分析】
先根据得出，同理可得出，进而得出，根据扇形的弧长公式计算即可．
【详解】
由题意可得：
在中，
同理可得：
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了扇形的弧长计算，以及直角三角形的性质，熟练掌握扇形的弧长计算公式和直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
3、六
【分析】
设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则，由此即可得到答案．
【详解】
解：设这个正多边形的边数为n，
∵正多边形的半径与边长相等，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴，
∴，
∴正多边形的边数是六，
故答案为：六．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
4、1+
【分析】
过点C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连结OB，设OD=x，根据点A（3，0）可求AD=x-3，根据为等腰直角三角形，得出AB=AC，∠BAC=90°，再证△BAE≌△ACD（AAS），得出BE=AD=x-3,EA=DC，在Rt△EBO中，根据勾股定理，
得出CD=AE=，根据勾股定理CO=，当OD=CD时OC最大，OC=此时解方程即可．
【详解】
解：过点C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连结OB，设OD=x，
∵点A（3，0）
∴AD=x-3，
∵为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAD=180°-∠BAC=180°-90°=90°，
∵CD⊥x轴， BE⊥x轴，
∴∠BEA=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠BAE，
在△BAE和△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（AAS），
∴BE=AD=x-3,EA=DC，
在Rt△EBO中，OB=1，BE= x-3，
根据勾股定理，
∴EA=OE+OA=，
∴CD=AE=，
∴CO=，
当OD=CD时OC最大，OC=，此时，
∴，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴线段OC长度的最大值为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：1+．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理是解题关键．21教育网
5、1
【分析】
以AB为直径作圆，当CF与圆相切时，AF最大．根据切线长定理转化线段AF＋BC＝CF，在Rt△DFC利用勾股定理求解．21·cn·jy·com
【详解】
解：以AB为直径作圆，因为∠AGB＝90°，所以G点在圆上．
( http: / / www.21cnjy.com / )
当CF与圆相切时，AF最大．
此时FA＝FG，BC＝CG．
设AF＝x，则DF＝4 x，FC＝4＋x，
在Rt△DFC中，利用勾股定理可得：
42＋（4 x）2＝（4＋x）2，
解得x＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、圆中切线长定理以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解本题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】
（1）连接OC，根据直径所对的圆周角为直角及切线的性质和各角之间的等量关系即可证明；
（2）根据相似三角形的判定定理可得，依据相似三角形的性质：对应边成比例即可得出；
（3）根据同弧所对的圆周角相等可得：，，在中，利用锐角三角函数可得，由勾股定理确定，由此得出，即为（2）中的相似比，设，则，，将其代入（2）中结论求解即可．
【详解】
解：（1）连接OC，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵AD为直径，
∴，，
∵CF为的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（2）在与中，
∵，
，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，
∴，
由（2）结论可得：，
∴，
设，则，，
将其代入结论（2）可得：
，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】
题目主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数解三角形、勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．21*cnjy*com
2、（1）①③；（2）点N的横坐标；（3）或．
【分析】
（1）在坐标系中作出圆及三个函数图象，即可得；
（2）根据题意可得直线l的临界状态是与圆T相切的两条直线和，当临界状态为时；当临界状态为时，根据勾股定理及直角三角形的性质即可得；
（3）根据题意，只考虑横坐标的取值范围，所以将的圆心I平移到x轴上，分三种情况讨论：①当点Q在点P的上方时，连接BP、DQ，交于点H；②当点P在点Q的上方时，直线BP、DQ，交于点H，求出直线HB、直线HD的解析式，然后利用两点之间的距离解方程求解；③当时，两条直线与圆无公共点；综合三种情况即可得．
【详解】
解：（1）在坐标系中作出圆及三个函数图象，可得①③函数解析式与圆有公共点，
( http: / / www.21cnjy.com / )
故答案为：①③；
（2）如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵直线l是的关联直线，
∴直线l的临界状态是与相切的两条直线和，
当临界状态为时，连接TM，
∴，，
∵当时，，
当时，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
，
∴点，
同理可得当临界状态为时，
点，
∴点N的横坐标；
（3）①如图所示：只考虑横坐标的取值范围，所以将的圆心I平移到x轴上，当点Q在点P的上方时，连接BP、DQ，交于点H；
( http: / / www.21cnjy.com / )
设点，直线HB的解析式为，直线HD的解析式为，
当时，与互为相反数，可得
，
得，
由图可得：，则，
∴，
结合，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，h的最大值为，
②如图所示：当点P在点Q的上方时，直线BP、DQ，交于点H，当圆心I在x轴上时，
设点，直线HB的解析式为，直线HD的解析式为，
( http: / / www.21cnjy.com / )
当时，与互为相反数，可得
，
得，
由图可得：，则，
∴，
结合，
解得：，，
∴，
当时，，
∴，h的最小值为，
③当时，两条直线与圆无公共点，不符合题意，
∴，
综上可得：或．
【点睛】
题目主要考查直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图形是解题关键．21cnjy.com
3、（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据角的和差可得，最后根据圆的切线的判定定理即可得证；2-1-c-n-j-y
（2）设的半径为，先在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质即可得．21·世纪*教育网
【详解】
证明：（1）如图，连接，
( http: / / www.21cnjy.com / )
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线；
（2）设的半径为，则，
，
，
在中，，即，
解得，
，
在和中，，
，
，即，
解得．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定定理和相似三角形的判定是解题关键．21*cnjy*com
4、
（1）图形见解析
（2）直径所对的圆周角是直角；三边相等的三角形是等边三角形．
【分析】
（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据圆周角定理等边三角形的判定和性质解决问题即可．
（1）
如图，△ABC即为所求作．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）
∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
连接OC．
∵OA=OC=AC，
∴△AOC为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），
∴∠A=60°．
故答案为：直径所对的圆周角是直角，三边相等的三角形是等边三角形．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【来源：21cnj*y.co*m】
5、（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接，只要证明即可．此题可运用三角形的中位线定理证，因为，所以．
（2）根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理可分别求出的长和、的长，即可根据中位线性质求出的长，即的半径长．
【详解】
（1）证明：连接．
( http: / / www.21cnjy.com / )
因为是的中点，是的中点，
，
．
，
．
，是圆的半径，
是的切线．
（2）如图，，，
，，
，且，
，
，
且，
∴，
，
，
∴ ，
的半径长为．
【点睛】
本题考查了切线的判定、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证它们垂直即可解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)