北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定 解答题专题提升训练（word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN的值．
2．如图，E是正方形ABCD内一点，△BCE是等边三角形，连接DE，AE，延长DE交AB于点F．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AFD的度数．
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．
（1）试判断AF与BE的关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝5，AE＝2，求OP的长．
4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG．
（1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明．
（2）求证：BG平分∠EGF．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝MF
（2）若AE＝2，求FC的长．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是x，y轴上的动点，以AB为边作边长为2的正方形ABCD，求OC的最大值．
7．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，AF∥BC，点O是AC中点，连结DO并延长交AF于点E，连结CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）①若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积是多少；
②当∠BAC为多少度时，四边形ADCE是正方形．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CE．
（1）判断四边形BECF是什么特殊的四边形，并说明理由；
（2）当△ABC满足 　 　时，四边形BECF是正方形．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．
（1）求证：四边形AECD是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．
10．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G．
（1）求证：四边形OGCF是正方形．
（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
12．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA＝∠CGF；
（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
13．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点 E．连接BE并延长BE到点F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠CDE＝15°，判断CE，DE，EF之间的数量关系，并说明理由．
14．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
15．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：AE＝AF；
（2）已知∠AEB＝75°，若点P是EF的中点，连接CP，DP，求∠CPD的度数．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，则∠AEC＝　 　；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
17．如图所示，在正方形ABCD中，AB＝10，点O为对角线交点，BE＝CF，连接EF，过点O作OG⊥EF交BC边于G，点G始终在BC边上，并且不与点B、点C重合，连接OE、OF、EG．
（1）求证：OE＝OF；
（2）请求出∠EOG的度数？
（3）试求出△BEG的周长；
（4）若AE＝AO，请直接写出四边形BEOG的面积．
18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A、C作BK的垂线，垂足分别为M、N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM、ON．
（1）求证：AM＝BN；
（2）请判断△OMN的形状，并说明理由．
19．如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．
（1）求证：BG＝CE；
（2）求证：CE⊥BG；
（3）求：∠AME的度数．
20．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH＝∠DCH；
②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；
（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．
21．如图，已知正方形ABCD中，E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE交直线AE于点F，连接BF．
（1）如图1，求证：CF+AF＝BF；
（2）如图2，图3，其他条件不变，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不需证明．
22．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P是对角线BD上一动点，过点P作PQ⊥AP，交射线CB于点Q．
如图①，当点P与点O重合时，易证CQ＝PD（不需证明）；当点P在线段DO上时，如图②；当点P在线段BO上时，如图③，判断CQ与PD有怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图②进行证明．
参考答案
1．解：连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°，
∵正方形的性质可知∠EBF＝45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∵正方形的边长为1，
∴BE＝BC＝1，
在直角三角形BEF中，
∴BF＝EF＝，
∵PM⊥BD，PN⊥BC，
∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC，
∴BE×PM+BC×PN＝BC×EF，
∵BE＝BC，
∴PM+PN＝EF＝．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AB＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°＝∠ABC＝∠BAD，
又∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠EDC＝∠ECD＝60°，
∴∠ABE＝∠ECD＝30°，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△BCE是等边三角形，
∴CE＝BC＝BE，
∵四边形ABCD是正方形
∴CD＝BC，
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝（180°﹣30°）＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD＝∠CDE＝75°．
3．解：（1）AF＝BE，且AF⊥BE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF＝BE，∠DAF＝∠ABE，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴AF⊥BE；
（2）由（1）知∴△BAE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF＝90°，
∵点P为BF的中点，
∴OP＝BF，
∵BC＝AB＝CD＝5，AE＝DF＝2，
∴CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝＝， ∴OP＝．
4．（1）解：AF＝DE，AF⊥DE，理由如下：
∵ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵E、F分别为边AB、BC 的中点，
∴AE＝BF．
∴△DAE≌△ABF（SAS）．
∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF．
∵∠DAG+∠EAG＝90°，
∴∠DAG+∠ADG＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴AF⊥DE；
（2）证明：如图，过点B作BM⊥AF，垂足为M，则BM∥GE，
∵AE＝BE，
∴AG＝GM．
设BF＝a，则AB＝2a，AF＝a，BM＝a，AM＝a，
∴GM＝BM＝a．
∴△BMG为等腰直角三角形．
∴∠BGM＝45°，∠BGE＝90°﹣45°＝45°．
∴∠BGM＝∠BGE．
∴BG平分∠EGF．
5．解：（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°．
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF．
（2）设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2．
即42+（8﹣x）2＝x2，
∴解得：x＝5，即FM＝5．
∴FC＝FM﹣CM＝5﹣2＝3．
6．解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE，
则BE＝×2＝1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE＝＝，
∵∠AOB＝90°，点E是AB的中点，
∴OE＝BE＝1，
由两点之间线段最短可知，点O、E、C三点共线时OC最大，
∴OC的最大值＝+1．
7．证明：（1）∵点O是AC的中点，
∴AO＝OC，
∵AE∥BC，
∴∠AEO＝∠CDO，
∵∠AOE＝∠COD，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴AE＝CD，
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）①∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，
∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：AD＝，
∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120；
②当∠BAC＝90°时，
∴AD⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AD＝DC，
∴四边形ADCE是正方形．
8．解：（1）四边形BECF是菱形，理由如下：
∵EF垂直平分BC，
∴FB＝FC，EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵CF∥AB，
∴∠FCB＝∠EBC，
∴∠FCB＝∠ECB，
在△FCD和△ECD中，
，
∴△FCD≌△ECD（ASA），
∴CF＝CE，
∴FB＝FC＝CE＝BE，
∴四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝45°或BC＝AC时，
∵∠BCA＝90°，
∴△BCA是等腰直角三角形，
∴CE⊥BE，
∴菱形BECF是正方形，
故答案为：∠A＝45°或BC＝AC．
9．证明：（1）∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，
∴CF＝FA，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形AECD是矩形；
（2）当∠BAC＝90°时，
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD，
∵由（1）得四边形AECD是矩形，
∴矩形AECD是正方形．
10．（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，
∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，
∴∠OGC＝∠OFC＝90°．
∵∠C＝90°，
∴四边形OGCF是矩形．
∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，
∴OG＝OH＝OF，
又四边形OGCF是矩形，
∴四边形OGCF是正方形；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝AB，
∵AC＝4，
∴AB＝2AC＝2×4＝8，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝＝4，
在Rt△AOH和Rt△AOF中，
，
∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），
∴AH＝AF，
设正方形OGCF的边长为x，
则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，
∴4﹣x+4﹣x＝8，
∴x＝2﹣2，
即正方形OGCF的边长为2﹣2．
11．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
12．证明：（1）连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠CGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠HEA＝∠CGF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠A＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG＝HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG+∠DGH＝90°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴菱形EFGH为正方形；
13．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴∠CBE＝∠CDE，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F，
∵∠CDE＝15°，
∴∠CBE＝15°，
∴∠CEG＝60°，
∵CE＝GE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝60°，CE＝GC，
∴∠GCF＝60°﹣15°＝45°，
∴∠ECD＝∠GCF，
在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF，
∴EF＝EG+GF＝CE+ED．
14．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
∴AE＝AF，
（2）连接AP，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF，∠FAE＝90°，
在Rt△EAF和Rt△ECF中，P是EF中点，
∴PA＝PC＝PE＝PF＝EF，
又∵AE＝AF，∠AEB＝75°，
∴∠AEP＝45°，∠CEP＝∠ECP＝60°，
∴∠DCP＝30°，
在△APD和△CPD中，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠CDP＝45°，
∴∠CPD＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
16．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DC＝DE，DA＝DE，
∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°﹣20°）＝80°，∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝80°+55°＝135°，
故答案为：135°；
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．
17．（1）证明：∵点O是正方形对角线交点，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，
在△EBO和△FCO中，
，
∴△EBO≌△FCO（SAS），
∴OE＝OF，
（2）解：由（1）可知，△EBO≌△FCO，
∴∠BOE＝∠COF，
∵∠BOF+∠COF＝∠BOE+∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∵OE＝OF，OG⊥EF，
∴OG垂直平分EF，OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝45°，
（3）解：∵OG垂直平分EF，
∴EG＝GF，
∴△BEG的周长为BE+EG+BG＝CF+GF+BG＝BC，
∵BC＝AB＝10，
∴△BEG的周长为10，
（4）∵AC＝＝10，
∴AO＝AC＝5，
∵AE＝AO，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣5，
在△AED中，∠AOE＝（180°﹣∠EAO）＝67.5°，
∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝22.5°，
∴∠BOG＝∠EOG﹣∠BOE＝22.5°，
∴OB为∠EOG的角平分线，
∵BO为∠EBG的角平分线，
∴∠OBG＝∠OBE，
∴△OBG≌△OBE（ASA），
∴BE＝BG，OE＝OG，
∴OB⊥EG，
在△EBG中，EG＝＝10﹣10，
∴S四边形BEOG＝2S△OBG＝×EG OB＝50﹣25．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，
∵AM⊥BM，CN⊥BN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
∴∠MAB＝∠CBM，
∴△ABM≌△BCN（AAS），
∴AM＝BN；
（2）解：△OMN是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接OB，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO，
∵∠MAB＝∠CBM，
∴∠MAB﹣∠OAB＝∠CBM﹣∠OBC，
∴∠MAO＝∠NBO，
又∵AM＝BN，OA＝OB，
∴△AOM≌△BON（SAS），
∴MO＝NO，∠AOM＝∠BON，
∵∠AON+∠BON＝90°，
∴∠AON+∠AOM＝90°，
∴∠MON＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形．
19．（1）证明：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE；
（2）证明：设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF＝∠ACF+∠AGF＝90°+90°＝180°，
∴∠CNG＝360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）＝360°﹣（180°+90°）＝90°，
∴BG⊥CE；
（3）解：过A作BG，CE的垂线段交于点P，Q，
∵△ABG≌△AEC，
∴AP＝AQ，
∴AM是角平分线，
∴∠AMC＝45°，
∴∠AME＝135°．
20．证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，
在△ADH和△CDH中，
，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠DAH＝∠DCH；
②结论：EF＝2CG，理由如下：
∵△DAH≌△DCH，
∴∠DAF＝∠DCH，
∵CG⊥HC，
∴∠FCG+∠DCH＝90°，
∴∠FCG+∠DAF＝90°，
∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，
∴∠GCE＝∠GCF，
∴CG＝GE，
∴EF＝2CG；
（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，
∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∵FG＝GE，FM＝MD，
∴DE＝2MG＝8，
在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，
∴BE＝BC+CE＝6+2；
②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可知GM是△DEC的中位线，
∴DE＝2GM＝6，
在Rt△DCE中，CE＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2
综上所述，BE的长为 6+2或6﹣2．
21．证明：（1）如图1，延长FC至H，使CH＝AF，连接BH，
∵CF⊥AE，
∴∠AFC＝∠ABC＝90°，
∴∠FAB+∠FCB＝180°，
∵∠FCB+∠BCH＝180°，
∴∠BCH＝∠FAB，
在△ABF和△CBH中，
，
∴△ABF≌△CBH（SAS），
∴∠ABF＝∠CBH，BF＝BH，
∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝∠CBH+∠CBF＝90°＝∠FBH，
∴△FBH是等腰直角三角形，
∴FH＝FB，
∴FC+AF＝BF；
（2）图2，AF﹣CF＝BF；
理由如下：如图2，在线段AF上截取AH＝CF，连接BH，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC＝∠ADC＝90°，
∴∠DAF+∠DCF＝180°，
∴∠DAF+∠BCF＝90°，
∵∠DAF+∠BAF＝90°，
∴∠BAH＝∠BCF，
在△ABH和△CBF中，
，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，
∴∠ABC＝∠ABH+∠CBH＝∠CBF+∠CBH＝∠FBH＝90°，
∴△BFH是等腰直角三角形，
∴FH＝BF，
∴AF﹣CF＝BF；
图3，CF﹣AF＝BF；
理由如下：如图3，在线段CF上截取CH＝AF，连接BH，
同理可证△BFH是等腰直角三角形，
∴FH＝BF，
∴CF﹣AF＝BF．
22．解：图②结论：CQ＝PD；
图③结论：CQ＝PD；
证明：如图②，过点P作AB的平行线交AD于G，交BC于点H，过点P作AD的平行线交AB于点S，交CD于点R，连接PC，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠PBH＝45°，
∴△BPH为等腰直角三角形，
同理△BPS为等腰直角三角形，
∴四边形SPHB为正方形，
∴RC＝SP＝BH＝AG＝PH，
同理可证四边形GPRD为正方形，
∴PG＝PR，
∵∠APG+∠QPH＝90°，∠QPH+∠PQH＝90°，
∴∠APG＝∠PQH，
在△PGA和△QHP中，
，
∴△PGA≌△QHP（AAS），
∴AP＝PQ，
在△PGA和△PRC中，
，
∴△PGA≌△PRC（SAS），
∴AP＝PC，
∴PQ＝PC，
∴CQ＝2HC＝2PR＝2×PD＝PD．