延庆区2021-2022学年度高二数学试卷评分参考
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.）
（1） D （2）B． （3）B （4）A （5） A
（6） C （7）C （8）A （9）B （10）C
二、填空题（共5个小题，每小题5分，共25分）
（11）. （12）； . （13）.
（14）； . （15）； ① ③.
说明：两个空的题目，前3后2
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共14分）
（1）结果正确，有大致过程，有文字表述，给满分；
（2）全程无文字表述扣1分；
（3）结果不正确，给过程分。
解：（Ⅰ）有放回地抽取3次，取法总数为种， ……………2分
设恰好取出一个黑球为事件，
中包含有种取法， ……………4分
所以. ……………6分
（或解：抽取1次取出黑球的概率为， ……………2分
设连续抽取3次中恰有1次抽出黑球为事件，
则）. ……………6分
（Ⅱ）从6个球中任意取出3个球的取法总数为，
的取值范围是. ……………7分
， 式子和结果各占1分 ……………9分
， ……………11分
. ……………13分
所以的分布列为
……………14分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ） 因为有两个零点分别为，且，
所以
. ……………1分
解得或. ……………3分
因为同号，
所以，即.
所以. ……………5分
所以或.
所以的取值范围是. ……………7分
（1）带等号扣1分；
（2）借助图像由得出，或由求根公式得出，结果正确给满分。
（Ⅱ）因为二次函数的图像开口向上，对称轴为，
（1）当，即时，，
所以.
所以. ……………10分
（2）当，即时，，
所以.
解得或，均舍去. ……………13分
综上可知，. ……………14分
直接由得出给2分。
（18）（共14分）（一、二、三中学生作）
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为.
因为，
所以.
所以.
所以 ……………2分
所以 ……………4分
（Ⅱ）设等比数列的公比为.
因为，， ……………6分
所以,
所以, ……………7分
因为各项均为正数,
所以. ……………8分
所以. ……………9分
（III）因为，
所以
（公式用对一个给2分，用对2个给3分）…12分
.（结果全对给2分，不全对给1分，全不对不给分）14分
（18）（共14分）（五中学生作）
解：（Ⅰ）取的中点，连接.
因为是中点，
所以.
所以.
所以. ……………2分
因为平面, 平面, ……………3分
所以平面. ……………4分
（Ⅱ）因为平面,
所以，.
因为,
所以两两垂直.
如图建立空间直角坐标系. ……………5分
则.
所以，.
因为.
所以. ……………7分
三种证法：（1）平面向量法；（2）相似比；（3）正切或正弦； 勾股定理不能用.
因为平面,
所以. ……………8分
因为与相交，
所以平面. ……………9分
（III）由（Ⅱ）知是平面的法向量，， ……………10分
. ……………11分
设与平面所成的角为，
则.
所以与平面所成角的正弦值为. ……………14分
（19）（共14分）与（16）题给分原则相同
解：（Ⅰ）从表格数据可知，该校抽查的人数为人，其中
上网课仅使用手机的人数为17人，
因此该校学生上网课仅使用手机的概率可以估计为； …………2分
上网课仅使用平板的人数为16人，
因此该校学生上网课仅使用平板的概率可以估计为. …………4分
（Ⅱ）从表格数据可知，上网课仅使用电脑的人数为65人，
因此该校学生上网课仅使用电脑的概率可以估计为. …………5分
的取值范围是. …………6分
………10分
所以的分布列为
0 1 2 3
故的数学期望为. ……11分
（或因为所以）
（III）. ………14分
(20) （共15分）
解：（Ⅰ）由可得
. ……………1分
因为， ……………2分
， ……………3分
所以切点为.
因为切线经过，
所以. ……………4分
解得. ……………5分
另解：所以切线方程为 ……………4分
因为切线过原点，所以
解得 ……………5分
（Ⅱ） 因为，
令.
则，
解得 或. ……………6分
因为
所以.
所以.
令，即，解得：. ……………7分
令，即，解得：或. ……………8分
因为的定义域为，
所以，在上单调递增，在上单调递减. ……………10分
（Ⅲ）题设条件等价于在上的最大值小于在上的最大值. ………11分
在区间上，的最大值为； ……………12分
在区间上，. ……………13分
所以，，. ……………14分
所以的取值范围是. ……………15分
（21）（共14分）
解：（Ⅰ），
. …… 4分
(Ⅱ) 因为对于任意的，都有，
由，，
可知或.
（1）当时，或，即或或;
（2）当时，或，即;
（3）当时，或，即;
（4）当时，或，即或或;
若，不妨取，
则，与矛盾；
若，不妨取，
则与矛盾；
当时，对任意的.
都有，故任意的，都有.
综上，. …… 9分
设.
所以.
当时，；
当时，；
所以. …… 14分延庆区2021—2022学年第二学期期末试卷
高二数学 2022.7
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，，则的值可以是
（A） （B） （C） （D）
（2）已知，则下列大小关系正确的是
（A） （B） （C） （D）
（3）下列四个命题中真命题的序号是
① 函数的最小值为；
② 函数的最小值为；
③ 函数的最大值为；
④ 函数的最小值为.
（A）①② （B）②③ （C）②④ （D）③④
（4）已知，设，则下列结论正确的是
（A） （B） （C） （D）
（5）已知，下列四个条件中，使成立的必要而不充分条件是
（A） （B） （C） （D）
（6）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上的所有点
（A）向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
（B）向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
（C）向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
（D）向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
（7）是定义域为的奇函数，且，若，则
（A） （B） （C） （D）
(
（8题
图
）
)（8）函数的图象如右图所示，
则下列结论一定成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知不等式，若对于任意的且该不等式恒成立，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（10）设集合，集合是的子集，且满足
，，那么满足条件的集合的个数为
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。
（11）函数的定义域是 .
（12）的展开式中各项的二项式系数和为 ；各项的系数和为 .
（13）若复数的模等于，则实数______.
（14） 已知函数 （其中），那么的零点是 ；若的值域是，则的取值范围是 .
（15）已知函数
（i） ；
（ii）给出下列三个结论：
① 函数是偶函数；
② 存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③ 存在，使得以点为顶点的四边形是菱形.
其中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球.
（Ⅰ）若每次抽取后都放回，求恰好取到个黑球的概率；
（Ⅱ）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列.
（17）（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）设的两个零点分别为，若同号，且，求的取值范围；
（Ⅱ）在区间上的最小值为，求的值.
（18）（本小题14分）（一、二、三中学生作）
已知等差数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足.
（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.
(
（18题图）
)
（18）（本小题14分）（五中学生作）
在四棱锥中，，，，
，，平面，.
（Ⅰ）若是的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.
（19）（本小题14分）
为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样.获得数据如下表：
设备类型 仅使用手机 仅使用平板 仅使用电脑 同时使用两种及两种以上设备 使用其他设备 或不使用设备
使用人数 17 16 65 32 0
假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立．
（Ⅰ） 分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率和该校学生上网课仅使用平板的概率；
（Ⅱ）从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量表示这3人中仅使用电脑的人数，以频率估计概率，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设样本中上网课同时使用两种设备的人数是22，用“”表示上网课仅使用一种设备，“”表示上网课不仅使用一种设备；用“”表示上网课同时使用三种设备，“”表示上网课不同时使用三种设备. 试比较方差的大小.（结论不要求证明）.
（20）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线经过原点，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，
求的取值范围.
（21）（本小题14分）
已知集合.
对于，定义：与的差为
；与间的距离为.
（Ⅰ）当时，设,求；
（Ⅱ）若对于任意的，有，求的值并证明：
.
