2022-2023学年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定 知识点分类练习题（word、含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
知识点分类练习题（附答案）
一．矩形的性质
1．如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF．若∠DFC＝70°，则∠DEF＝　 　°．
2．如图所示，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，且∠EDO等于15°，∠DOE＝　 　°．
3．如图，已知矩形ABCD，AB：AD＝2：3，若∠BAD的平分线与BC交于点E，则BE：EC等于　 　．
4．如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则BC的长为　 　．
5．如图，矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若AB＝5，DE＝2，则△BEC的面积为　 　．
6．如图，在矩形纸片ABCD中，边AB＝12，AD＝5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为　 　．
7．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝　 　°．
8．在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线EF分别交AD、BC于E、F，AE＝3，BF＝5，求BD的长．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E与点O关于CD对称．
（1）连接CE、DE，求证：四边形CEDO是菱形；
（2）若AB＝2，∠AOB＝60°，求点E、O之间的距离．
10．利用矩形的性质，证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，　 　；
求证：　 　；
证明：
11．如图，在矩形ABCD中，F是CD的中点，连接AF交BC延长线于点E．求证：BC＝EC．
12．已知矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4，点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿AB方向向B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度沿CD方向向D运动，如果P、Q两点同时出发，问几秒后以△BPQ是直角三角形？
二．矩形的判定
13．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为　 　．
14．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是　 　．（填上你认为正确的一个答案即可）
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；
（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．
16．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上，且CF＝AE．求证：四边形DEBF是矩形．
17．如图，在 ABCD中，点E、F在AD边上，且BF＝CE，AE＝DF．
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
18．如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
三．矩形的判定与性质
19．如图，已知点M，O，N在同一直线上，OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，AB⊥OB，AC⊥OC，垂足分别为B，C，连接BC交AO于点E．
（1）求证：四边形ACOB是矩形．
（2）猜想BC与MN的位置关系，并证明你的结论．
20．如图，在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线EF与边AD、BC交于点E、F，∠CAE＝∠FEA，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是矩形；
（2）若AB＝5，AC＝2，直接写出四边形AFCE的面积．
参考答案
一．矩形的性质
1．解：如图，由折叠的性质知：∠EFB＝∠EFD．
∵∠DFC＝70°，∠EFB+∠EFD+∠DFC＝180°，
∴∠EFB＝＝55°．
又AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝55°．
故答案是：55．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴OA＝OD，
∵DE平分∠ADC
∴∠CDE＝∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
又∵∠EDO＝15°，
∴∠ADO＝60°；
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝60°，
∴AD＝AO＝DO，
∴AO＝AE，
∴∠AOE＝∠AEO，
∵∠OAE＝90°﹣∠OAD＝30°，
∴∠AOE＝∠AEO＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠DOE＝60°+75°＝135°，
故答案为：135．
3．解：设AB＝2a，则AD＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3a，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线与BC相交于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴BE＝AB＝2a，
∴CE＝BC﹣BE＝3a﹣2a＝a，
∴BE：EC＝2：1，
故答案为：2：1．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO，且∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝CO＝2，
∴AC＝4，
∴BC＝＝＝2，
故答案为：2．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，AB＝CD＝5，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵EC平分∠BED，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BC＝BE，
设BC＝BE＝x，
∴AE＝x﹣2，
∵AB2+AE2＝BE2，
∴52+（x﹣2）2＝x2，
∴x＝，
∴BC＝，
∴△BEC的面积＝×BC×DC＝×5＝．
故答案为：．
6．解：连接AC，当点D'在AC上时，CD'有最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
∴AC＝，
由折叠性质得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，
∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，
故答案为：8．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故答案为：35．
8．解：连接BE，设EF与BD交于点O，如图所示：
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，OD＝OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
在△ODE和△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF（ASA），
∴DE＝BF＝5，
∴BE＝DE＝5，
∴AB＝＝＝4，
∵AD＝AE+DE＝3+5＝8，
∴BD＝＝＝4．
9．（1）证明：如图，连接OE交DC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，
∴OC＝OD，
∵点E与点O关于CD对称．
∴CD垂直平分OE，
∴DO＝DE，CO＝CE，
∴DO＝DE＝CO＝CE，
∴四边形CEDO是菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等腰三角形，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠DOE＝30°，
∴OD＝DC＝2，
∵CD垂直平分OE，
∴DF＝1，
∴OF＝
∴OE＝2OF＝2，
∴点E、O之间的距离为2．
10．已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CO是斜边AB边上的中线；
求证：CO＝AB；
证明：如图，延长CO至点E，使CO＝OE，连接AE、BE，
∵CO＝OE，点O为AB中点，
∴OA＝OC，
∴四边形AEBC为平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形AEBC是矩形，
∴CE＝AB，
∵CO＝CE，
∴CO＝AB；
故答案为：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CO是斜边AB边上的中线；CO＝AB．
11．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，
∵F是CD的中点，
∴DF＝CF，
∴在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AD＝EC，而AD＝BC
∴BC＝EC．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝4，∠A＝∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠CQB＝∠PBQ，
∵△BPQ是直角三角形，
∴①如图1，∠PQB＝90°时，
过P作PE⊥CD于E，
则DE＝AP，PE＝AD＝4，
∵∠PEQ＝∠BQP＝∠C＝90°，
∴∠EPQ+∠PQE＝∠PQE+∠CQB＝90°，
∴∠EPQ＝∠CQB，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝2，t＝，
②如图1，当∠BPQ＝90°时，
∴∠APQ＝90°，
∴四边形APQD和四边形PBCQ是矩形，
∴CQ＝PB，
∴10﹣t＝2t，
解得：t＝，
综上所述，P、Q两点同时出发，经过0s或s或2s或秒后以△BPQ是直角三角形．
二．矩形的判定
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠BAD＝90°（答案不唯一）．
14．解：添加的条件是∠A＝90°，
理由是：∵AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A＝90°．
15．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△DEA与△BFC中，
，
∴△DEA≌△BFC（AAS），
∴AE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝DC﹣CF，
即DF＝EB，
又∵AB∥DC，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴ DEBF是矩形．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝FD，
∴AE+EF＝FD+EF，
即AF＝DE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）；
（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴ ABCD为矩形．
18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
三．矩形的判定与性质
19．（1）证明：∵OB，OC分别是∠AOM与∠AON的平分线，
∴∠AOM＝2∠AOB，∠AON＝2∠AOC，
∵点M，O，N在同一直线上，
∴∠AOM+∠AON＝180°，
∴2∠AOB+2∠AOC＝180°，
∴∠AOB+∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵AB⊥OB，AC⊥OC，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°＝∠BOC，
∴四边形ACOB是矩形；
（2）解：BC∥MN，证明如下：
由（1）知，四边形ACOB是矩形，
∴OE＝CE，
∴∠AOC＝∠BCO，
∵OC是∠AON的角平分线，
∴∠AOC＝∠NOC，
∴∠BCO＝∠NOC，
∴BC∥MN．
20．（1）证明：∵∠OAE＝∠OEA，
∴OA＝OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠OCF＝∠OAE，∠OFC＝∠OEA，
∴∠OFC＝∠OCF，
∵OF＝OC，
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC，
∴OA＝OC＝OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，AC＝EF，
∴四边形AFCE是矩形；
（2）解：设CF＝x，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴BF＝5﹣x，
∵四边形AFCE是矩形，
∴∠AFC＝90°＝∠AFB，
在Rt△AFB和Rt△AFC中，由勾股定理得：AF2＝AB2﹣BF2＝AC2﹣CF2，
即52﹣（5﹣x）2＝（2）2﹣x2，
解得：x＝2，
即CF＝2，
则AF＝＝＝4，
∴四边形AFCE的面积是AF×CF＝2×4＝8．