2022-2023学年人教版八年级数学上册11.1.1 三角形的边同步练习（word、含解析）

11.1.1 三角形的边
一．选择题
1．下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各个选项中给出长度的3条线段，其中能首尾依次相连组成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，4cm B．4cm，5cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．1cm，3cm，4cm
3．已知一个三角形的两边长分别为6和3，则这个三角形的第三边长可能是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．10
4．若长度分别是3，a﹣2，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值不可能是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
5．下列对△ABC的判断，错误的是（　　）
A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则△ABC是锐角三角形
C．若AB＝AC，∠B＝40°，则△ABC是钝角三角形
D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则△ABC是等腰直角三角形
6．如图给出的三角形有一部分被遮挡，则这个三角形可能是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
7．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
8．已知一个等腰三角形的两边长分别是5cm与6cm，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．16cm B．17cm C．16cm或17cm D．无法确定
9．等腰三角形的两边长为3和7，则其周长为（　　）
A．17 B．13 C．13或17 D．以上都不对
10．a，b，c是三角形的三边长，化简|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|后等于（　　）
A．b+a﹣3c B．b+c﹣a C．3a+3b+3c D．a+b﹣c
二．填空题
11．在钝角△ABC中，若AB＝4，BC＝8，则AC的取值范围是 　 　．
12．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，且c为奇数，则c＝　 　．
13．已知三角形的三边长为4、x、10，化简：|x﹣5|+|x﹣15|＝　 　．
14．一个三角形的三边长分别是3，1﹣2m，8，则m的取值范围是　 　．
15．现有2cm，4cm，5cm，8cm长的四根木棒，任选三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为 　 　个．
三．解答题
16．已知一个等腰三角形的周长为18cm，试解决：
（1）已知有一边长为4cm，求另两边长；
（2）若腰长是底边长的4倍，求各边长．
17．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC的形状．
18．若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a和b满足方程，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．
19．已知a，b，c是一个三角形的三边长，
（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c　 　0，b﹣a﹣c　 　0，c+b﹣a　 　0．
（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．
20．已知a、b、c为△ABC的三边长；
①b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，求出该三角形的周长，并判断△ABC的形状．
②若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值和最小值．
21．已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
（2）若a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）＝0，试判断△ABC的形状；
（3）化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．
22．若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 　 　（填序号）．
①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6（x为整数），求x的值．
23．阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 　 　三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求x2的值．
（3）当a＝2，b＝4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．
24．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D．连接AD，试说明DA+DB+DC与的大小关系．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【考点】三角形．
【分析】因为三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．
故选：C．
2．【考点】三角形三边关系．
【分析】根据构成三角形的条件即可判断．
【解答】解：1+2＜4，故A选项错误；
4+5＝9＞6，故B选项正确；
5+6＝11＜12，故C选项错误；
1+3＝4，故D选项错误，
故选：B．
3．【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边应大于两边之差，而小于两边之和，从中进行选择符合条件的即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系得，
第三边长应大于6﹣3＝3，而小于6+3＝9，
答案中，只有B符合题意．
故选：B．
4．【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a﹣2＜5+3，求出a的范围即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a﹣2＜5+3，
即4＜a＜10，
即整数a的值可以是5，6，7，8，9，不可能是4．
故选：A．
5．【考点】三角形．
【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断．
【解答】解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意；
B．若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝100°，所以△ABC是钝角三角形，故此选项判断不正确，符合题意；
C．若AB＝AC，∠B＝40°，则∠B＝∠C＝40°，∠A＝100°，所以△ABC是钝角三角形，故此选项判断正确，不符合题意；
D．若2∠A＝2∠B＝∠C，则∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意．
故选：B．
6．【考点】三角形．
【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【解答】解：观察图形知，这个三角形可能是锐角三角形；
故选：B．
7．【考点】三角形．
【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．
故选：D．
8．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分腰为6cm和腰为5cm两种情况，再求其周长．
【解答】解：当腰为6cm时，则三角形的三边长分别为6cm、6cm、5cm，满足三角形的三边关系，周长为17cm；
当腰为5时，则三角形的三边长分别为5cm、5cm、6cm，满足三角形的三边关系，周长为16cm；
综上可知，等腰三角形的周长为16cm或17cm．
故选：C．
9．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考查各情况能否构成三角形．
【解答】解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵3+3＝6＜7，
所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有17．
故选：A．
10．【考点】三角形三边关系；绝对值．
【分析】此题的关键是根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值．
【解答】解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|﹣|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a+c﹣a﹣b＝b+c﹣a．
故选：B．
二．填空题
11．【考点】三角形三边关系．
【分析】要求AC的范围，就要确定对应角的范围，当∠B＝90°时，根据勾股定理计算AC的长度，根据钝角大于90°和三角形两边之和大于第三边，可以确定AC的范围．
【解答】解：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可以确定AC的范围为4＜AC＜14，
又因为当∠B为直角时，AC4，
由于△ABC是钝角三角形，所以AC＞4，
整理得：AC的范围为4AC＜14．
故答案为：4AC＜14．
12．【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
【解答】解：∵a，b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣1＝0，
解得a＝5，b＝1，
∵5﹣1＝4，5+1＝6，
∴4＜c＜6，
又∵c为奇数，
∴c＝5，
故答案是：5．
13．【考点】三角形三边关系；绝对值．
【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣15的值，然后去绝对值符号求解即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是4、x、10，
∴6＜x＜14，
∴x﹣5＞0，x﹣15＜0，
∴|x﹣5|+|x﹣15|＝x﹣5+15﹣x＝10，
故答案为：10．
14．【考点】三角形三边关系；解一元一次不等式组．
【分析】根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案．
【解答】解：8﹣3＜1﹣2m＜3+8，
即5＜1﹣2m＜11，
解得：﹣5＜m＜﹣2．
故答案为：﹣5＜m＜﹣2．
15．【考点】三角形三边关系．
【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解答】解：其中的任意三条组合有2cm、4cm、5cm；2cm、4cm、8cm；4cm、5cm、8cm；2cm、5cm、8cm共四种情况，
根据三角形的三边关系，则2cm、4cm、5cm；4cm、5cm、8cm符合，
故可以组成三角形的个数为2个．
故答案为：2．
三．解答题（共9小题）
16．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】（1）设4cm为腰或底，根据两种情况进行解答即可；
（2）设底边＝acm，则腰＝4acm，根据等腰三角形的周长为18cm列出方程求出a，再代入求出即可．
【解答】解：（1）当4cm为腰，设底边为xcm，可得：4+4+x＝18，
解得：x＝10，
三角形的三边长是4cm，4m，10cm，
不符合三角形的三边关系定理，
当4cm为底，设腰为xcm，可得：x+4+x＝18，
解得：x＝7，
三角形的三边长是7cm，7cm，4cm，
符合三角形的三边关系定理，
所以另两边长7cm，7cm．
（2）设底边＝acm，则腰＝4acm，
∵三角形的周长是18cm，
∴4a+4a+a＝18，
∴a＝2，
4a＝8．
答：等腰三角形的三边长是8cm，8cm，2cm．
17．【考点】三角形三边关系．
【分析】（1）首先根据三角形的三边关系定理可得5﹣2＜AC＜5+2，再根据AC为奇数确定AC的值，进而可得周长；
（2）根据等腰三角形的判定可得△ABC是等腰三角形．
【解答】解：（1）由题意得：5﹣2＜AC＜5+2，
即：3＜AC＜7，
∵AC为奇数，
∴AC＝5，
∴△ABC的周长为5+5+2＝12；
（2）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
18．【考点】三角形三边关系；二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【分析】利用加减消元法解出方程组，求出a、b，根据三角形的三边关系求出c，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：解方程组，得，
则4﹣1＜c＜4+1，即3＜c＜5，
∵周长为整数，
∴c＝4，
∴三角形的周长＝4+4+1＝9．
19．【考点】三角形三边关系；绝对值．
【分析】（1）利用三边关系直接写出答案即可；
（2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可．
【解答】解：（1）∵a，b，c是一个三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．
故答案为：＜，＜，＞；
（2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a
＝a﹣b+c．
20．【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】①利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而求出△ABC的周长进而判断出其形状．
②利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而求出△ABC的周长最大值和最小值．
【解答】解：①∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝2，
∴△ABC的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC是等腰三角形．
②∵a＝5，b＝2，c为整数，
∴5﹣2＜c＜2+5，
∴c的最小值为4，c的最大值为6，
∴△ABC的周长的最大值＝5+2+6＝13，最小值＝5+2+4＝11．
21．【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论；
（2）根据绝对值非负数的性质，得出a＝b或b＝c或a＝b＝c，进而得出结论；
（3）利用三角形的三边关系得到a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，然后去绝对值符号后化简即可．
【解答】解：（1）∵|a﹣b|+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或b﹣c＝0或a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b或b＝c或a＝b＝c，
∴△ABC为等腰三角形或等边三角形；
（3）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）
＝a+b﹣c﹣b+c+a
＝2a．
22．【考点】三角形三边关系．
【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况对16进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）①∵1+2＜4，
∴4cm，2cm，1cm不能组成“不均衡三角形”；
②∵18﹣13＞13﹣9，
∴13cm，18cm，9cm能组成“不均衡三角形”；
③∵19＝19，
∴19cm，20cm，19cm不能组成“不均衡三角形”；
④∵9﹣8＜8﹣6，
∴9cm，8cm，6cm不能组成“不均衡三角形”．
故答案为：②；
（2）①16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6），
解得x＜3，
∵2x﹣6＞0，
解得x＞3，
故不合题意舍去；
②2x+2＞16＞2x﹣6，
解得7＜x＜11，
2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6），
解得x＞9，
∴9＜x＜11，
∵x为整数，
∴x＝10，
经检验，当x＝10时，22，16，14可构成三角形；
③2x﹣6＞16，
解得x＞11，
2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16，
解得x＜15，
∴11＜x＜15，
∵x为整数，
∴x＝12或13或14，都可以构成三角形．
综上所述，x的整数值为10或12或13或14．
23．【考点】三角形综合题．
【分析】（1）根据72+82＝49+64＝113＞92，于是得到三角形是锐角三角形；
（2）根据勾股定理得到结论；
（3）若△ABC是锐角三角形，若△ABC是直角三角形，若△ABC是钝角三角形，根据a，b，c三条边长度之间的关系即可得到结论．
【解答】解：（1）∵72+82＝49+64＝113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122＝x2，
∴x2＝169，
当12是斜边，
则52+x2＝122，
解得：x2＝119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a＝2，b＝4，
∴4﹣2＜c＜4+2，
∴4＜c2＜36，
若△ABC是锐角三角形，
则a2+b2＜c2或a2+c2＜b2，
则c2＞20或c2＜12，
∴20＜c2＜36或4＜c2＜12；
若△ABC是直角三角形，
则a2+b2＝c2或a2+c2＝b2，
则c2＝20或c2＝12；
若△ABC是钝角三角形，
则a2+b2＞c2或a2+c2＞b2，
则c2＜20或c2＞12，
故 c2的取值范围为4＜c2＜20或者12＜c2＜36．
24．【考点】三角形三边关系．
【分析】由三角形的三边关系得：DA+DB＞AB，DB+DC＞BC，DA+DC＞AC，则2（DA+DB+DC）＞AB+BC+AC，即可得出结论．
【解答】解：DA+DB+DC，
理由：在△ABD中，AD+BD＞AB．
在△BCD中，BD+CD＞BC．
在△ACD中，AD+CD＞AC．
∴AD+BD+BD+CD+AD+CD＞AB+BC+AC．
∴．