2022-2023学年华东师大版八年级数学上册12.3乘法公式 解答题优生辅导训练（word、含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年华东师大版八年级数学上册12.3乘法公式 解答题优生辅导训练（word、含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 178.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-20 15:34:14 | ||
图片预览
文档简介
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《12.3乘法公式》
解答题优生辅导训练（附答案）
1．计算：（2x﹣2）（x+1）﹣（x﹣1）2﹣（x+1）2
2．已知x+y＝3，xy＝2，求下列各式的值．
（1）x2+y2；
（2）（x﹣1）（y﹣1）．
3．利用乘法公式解决下列问题：
（1）若x﹣y＝8，xy＝40．则x2+y2＝ ；
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2值．
4．已知多项式A＝（x+2）2+（x+2）（1﹣x）﹣3．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2＝5，求A的值．
5．阅读下列文字，寻找规律，解答下列各小题．
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
（1）观察上式计算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝ ．
（2）计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；
②2+22+23+24+…+2m．
6．阅读、理解、应用．
例：计算：20223﹣2021×2022×2023．
解：设2022＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1） x （x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2022．
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
（3）计算：
7．观察下列各式：
（a+1）（a2﹣a+1）＝a3+1；
（a﹣2）（a2+2a+4）＝a3﹣8；
（3a﹣2）（9a2+6a+4）＝27a3﹣8．
（1）请你按照以上各式的运算规律，填空．
①（x﹣3）（x2+3x+9）＝ ；
②（2x+1）（ ）＝8x3+1；
③（ ）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3．
（2）应用规律计算：（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．
8．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
9．如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
10．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如图2，阴影部分的面积是 ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①103×97；
②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．
11．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
若x满足（x﹣2018）2+（x﹣2021）2＝31，求（x﹣2018）（x﹣2021）的值．
12．用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）图3可以解释为等式；
（2）要拼出一个两边长为a+b，2a+b的长方形，需要图1中的三种纸片各多少块？请先画出图形，再利用整式乘法验证你的结论．
13．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
14．阅读理解：
若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．
解：设80﹣x＝a，x﹣60＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，
∴（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．
解决问题
（1）若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣10，求（20﹣x）2+（x﹣10）2的值；
（2）若x满足（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4048，求（2022﹣x）（2020﹣x）的值．
15．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1： ；
方法2： ．
（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．
16．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
17．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）由图2可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系是 ．
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：3x+4y＝10，xy＝2，求3x﹣4y的值；
（3）两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．
18．问题背景：
在学习了完全平方公式后，老师布置了一道作业题：如图，长方形ABCD的长为a，宽为b，面积为4，周长为10，分别以a，b为边作正方形ABEF及ADGH，求两个正方形面积之和．小燕同学认真思考后，发现利用现有知识不能求出a，b的值，但可以用完全平方公式通过适当的变形求a2+b2的值，从而求得两个正方形面积之和．
（1）问题解决：请你依据上述内容填写已知条件和结果：
a+b＝ ，ab＝ ，a2+b2＝ ．
（2）已知x+y＝7，xy＝10，求（x﹣y）2的值．
19．阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
20．若x满足（x﹣4）（x﹣9）＝6，求（x﹣4）2+（x﹣9）2的值．阅读下面求解的方法：
解：设（x﹣4）＝a，（x﹣9）＝b，则ab＝（x﹣4）（x﹣9）＝6，a﹣b＝（x﹣4）﹣（x﹣9）＝5
∴（x﹣4）2+（x﹣9）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×6＝37．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）若x满足（x﹣2）（x﹣5）＝10，求（x﹣2）2+（x﹣5）2的值；
（2）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF为边作正方形，若AD＝x，则
①DE＝ ，DF＝ （用含x的代数式表示）；
②直接写出图中阴影部分的面积．
参考答案
1．解：原式＝2x2+2x﹣2x﹣2﹣（x2﹣2x+1）﹣（x2+2x+1）
＝2x2+2x﹣2x﹣2﹣x2+2x﹣1﹣x2﹣2x﹣1
＝﹣4．
2．解：（1）将x+y＝3两边平方得：
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝9，
将xy＝2代入得：
x2+y2＝5；
（2）原式＝xy﹣（x+y）+1
＝2﹣3+1
＝0．
3．解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，
把x﹣y＝8，xy＝40，代入上式，得x2+y2＝82+2×40＝144．
故答案是：144；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝152﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255．
4．解：（1）A＝x2+4x+4+x+2﹣x2﹣2x﹣3＝3x+3；
（2）∵（x+1）2＝5，
∴x+1＝±，
则A＝3x+3＝3（x+1）＝±3 ．
5．解：（1）观察上面的式子得到原式＝1﹣xm+1，
故答案为：1﹣xm+1；
（2）①当x＝2时，原式＝1﹣22023；
②当x＝2时，（1﹣2）（1+2+22+23+…+2m）＝1﹣2m+1，
∴1+2+22+23+…+2m＝2m+1﹣1，
∴原式＝2m+1﹣2．
6．解：（1）设123＝x，
∴1232﹣124×122
＝x2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣x2+1
＝1；
（2）设123456786＝x，
∴M＝123456789×123456786
＝（x+3） x
＝x2+3x，
N＝123456788×123456787
＝（x+2）（x+1）
＝x2+3x+2，
∴M＜N；
（3）设++...+＝x，
＝（x+）（1+x）﹣（1+x+） x
＝x+x2++x﹣x﹣x2﹣x
＝．
7．解：（1）①（x﹣3）（x2+3x+9）＝x3﹣27；
②（2x+1）（4x2﹣2x+1）＝8x3+1；
③（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3．
故答案为：①x3﹣27；②4x2﹣2x+1；③x﹣y；
（2）（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）
＝[（a+b）（a2﹣ab+b2）][（a﹣b）（a2+ab+b2）]
＝（a3+b3）（a3﹣b3）
＝a6﹣b6．
8．解：（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
∵2a+b＝6，
∴2a﹣b＝4，
故答案为：4，
②2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12
＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
＝200+199+198+197+...+4+3+2+1
＝×（200+1）×200
＝20100．
9．解：（1）图1中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图②中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选A．
（2）①∵（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2．
∴6（2a﹣b）＝24，
∴2a﹣b＝24÷6＝4．
故答案为：4．
②＝
＝
＝
＝．
10．解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）
＝1002﹣32
＝10000﹣9
＝9991；
②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]
＝（2x）2﹣（y﹣3）2
＝4x2﹣（y2﹣6y+9）
＝4x2﹣y2+6y﹣9．
11．解：设x﹣2018＝a，x﹣2021＝b，
则a2+b2＝31，a﹣b＝x﹣2018﹣x+2021＝3，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝9，
∴31﹣2ab＝9，
解得ab＝11，
即（x﹣2018）（x﹣2021）＝11．
12．解：（1）∵图3面积为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
∴图3可以解释为等式（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）需要边长为a的正方形2块，长为b宽为a的长方形3块，边长为b的正方形1块．如下图所示：
整式乘法验证，（a+b）（2a+b）＝2a2+ab+2ab+b2＝2a2+3ab+b2，
∴需要a×a的正方形2块，需要a×b的长方形3块，需要b×b的正方形1块．
13．解：（1）图2，大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，
每个长方形的长为a，宽为b，因此面积为ab，
由面积之间的关系可得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）由（1）得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，
即（m+n）2＝42+4×（﹣3），
∴m+n＝2或m+n＝﹣2；
（3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，
由于AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，
因此a+b＝8，a2+b2＝26，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即64＝26+2ab，
∴ab＝19，
∴阴影部分的面积为ab＝．
14．解：（1）设（20﹣x）＝a，（x﹣10）＝b，
则（20﹣x）（x﹣10）＝ab＝﹣10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣10）＝10，
所以（20﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102+2×10＝120；
（2）设（2022﹣x）＝a，（2020﹣x）＝b，
则a﹣b＝（2022﹣x）﹣（2020﹣x）＝2，
因为（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4048，
所以（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝4048，
即22+2×（2022﹣x）（2020﹣x）＝4048，
（2019﹣x）（2017﹣x）＝2022．
15．解：（1）阴影两部分求和为a2+b2，用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab＝，
∴m+n＝5，m2+n2＝20时，
mn＝
＝
＝，
（m﹣n）2
＝m2﹣2mn+n2；
＝20﹣2×
＝20﹣5
＝15；
②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，
可得a+b＝（x﹣2021）+（x﹣2023）
＝x﹣2021+x﹣2023
＝2x﹣4044
＝2（x﹣2022），
由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4，
且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝34﹣4＝30，
∴（x﹣2022）2＝（）2＝＝＝＝16．
16．解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S＝（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，
∴S＝a2+2ab+b2．
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）①∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝16．
∴a2+2ab+b2＝16．
∵a2+b2＝10，
∴ab＝3．
②设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1．
∵（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，
∴（a﹣1）2+（a+1）2＝130．
∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝130．
∴2a2＝128．
∴a2＝64．
即（x﹣2020）2＝64．
∴x﹣2020＝±8．
17．解：（1）∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，
∴（a+b）2＝4ab+（b﹣a）2．
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）由（1）得：
（3x+4y）2＝（3x﹣4y）2+4×3x×4y．
∴（3x﹣4y）2＝（3x+4y）2﹣48xy
∴（3x﹣4y）2＝100﹣96＝4．
∴3x﹣4y＝±2．
（3）∵ABCD，AEFG为正方形，边长分别为x，y．BE＝2，
∴DG＝BE＝2，x﹣y＝2．
∴（x﹣y）2＝4．
∴x2﹣2xy+y2＝4．
∵x2+y2＝34，
∴2xy＝30．
∴x2+2xy+y2＝34+30，
∴（x+y）2＝64．
∵x＞0，y＞0，
∴x+y＝8．
∴＝y+x＝8．
18．解：（1）∵长方形ABCD的周长为10，
∴a+b＝5．
∵长方形ABCD的面积为4，
∴ab＝4．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣8＝17．
故答案为：5，4，17．
（2）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy．
∴（x﹣y）2＝72﹣4×10＝9．
19．解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，
所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
故答案为：12；
（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，
所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣；
答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∵长方形CEPF的面积为160，
∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，
∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，
所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；
故答案为：384．
20．解：（1）设（x﹣2）＝a，（x﹣5）＝b，则ab＝（x﹣2）（x﹣5）＝10，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣5）＝3，
∴（x﹣2）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×10＝29；
（2）①∵AE＝1，CF＝3，正方形ABCD边长为x，
∴DE＝x﹣1，DF＝x﹣3．
故答案为：x﹣1，x﹣3；
②∵长方形EMFD的面积是15，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝15，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则ab＝15，a﹣b＝2，
∴（x﹣1+x﹣3） ＝（a+b） ＝（a﹣b） +4ab＝2 +4×15＝64，
∵a≥0，b≥0，
∴x﹣1+x﹣3＝a+b＝8，
∴阴影部分面积为（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a ﹣b ＝（a+b）（a﹣b）＝16．
解答题优生辅导训练（附答案）
1．计算：（2x﹣2）（x+1）﹣（x﹣1）2﹣（x+1）2
2．已知x+y＝3，xy＝2，求下列各式的值．
（1）x2+y2；
（2）（x﹣1）（y﹣1）．
3．利用乘法公式解决下列问题：
（1）若x﹣y＝8，xy＝40．则x2+y2＝ ；
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2值．
4．已知多项式A＝（x+2）2+（x+2）（1﹣x）﹣3．
（1）化简多项式A；
（2）若（x+1）2＝5，求A的值．
5．阅读下列文字，寻找规律，解答下列各小题．
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
（1）观察上式计算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝ ．
（2）计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；
②2+22+23+24+…+2m．
6．阅读、理解、应用．
例：计算：20223﹣2021×2022×2023．
解：设2022＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1） x （x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2022．
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
（3）计算：
7．观察下列各式：
（a+1）（a2﹣a+1）＝a3+1；
（a﹣2）（a2+2a+4）＝a3﹣8；
（3a﹣2）（9a2+6a+4）＝27a3﹣8．
（1）请你按照以上各式的运算规律，填空．
①（x﹣3）（x2+3x+9）＝ ；
②（2x+1）（ ）＝8x3+1；
③（ ）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3．
（2）应用规律计算：（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．
8．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
9．如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的选项）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
10．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如图2，阴影部分的面积是 ；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式 ；
（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①103×97；
②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．
11．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
若x满足（x﹣2018）2+（x﹣2021）2＝31，求（x﹣2018）（x﹣2021）的值．
12．用纸片拼图时，我们发现利用图1中的三种纸片（边长分别为a，b的正方形和长为b宽为a的长方形）各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图2可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）图3可以解释为等式；
（2）要拼出一个两边长为a+b，2a+b的长方形，需要图1中的三种纸片各多少块？请先画出图形，再利用整式乘法验证你的结论．
13．图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．
14．阅读理解：
若x满足（80﹣x）（x﹣60）＝30，求（80﹣x）2+（x﹣60）2的值．
解：设80﹣x＝a，x﹣60＝b，则（80﹣x）（x﹣60）＝ab＝30，a+b＝（80﹣x）+（x﹣60）＝20，
∴（80﹣x）2+（x﹣60）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×30＝340．
解决问题
（1）若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣10，求（20﹣x）2+（x﹣10）2的值；
（2）若x满足（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4048，求（2022﹣x）（2020﹣x）的值．
15．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1： ；
方法2： ．
（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．
16．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
17．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）由图2可以直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系是 ．
（2）根据（1）中的结论，解决下列问题：3x+4y＝10，xy＝2，求3x﹣4y的值；
（3）两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积和．
18．问题背景：
在学习了完全平方公式后，老师布置了一道作业题：如图，长方形ABCD的长为a，宽为b，面积为4，周长为10，分别以a，b为边作正方形ABEF及ADGH，求两个正方形面积之和．小燕同学认真思考后，发现利用现有知识不能求出a，b的值，但可以用完全平方公式通过适当的变形求a2+b2的值，从而求得两个正方形面积之和．
（1）问题解决：请你依据上述内容填写已知条件和结果：
a+b＝ ，ab＝ ，a2+b2＝ ．
（2）已知x+y＝7，xy＝10，求（x﹣y）2的值．
19．阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
20．若x满足（x﹣4）（x﹣9）＝6，求（x﹣4）2+（x﹣9）2的值．阅读下面求解的方法：
解：设（x﹣4）＝a，（x﹣9）＝b，则ab＝（x﹣4）（x﹣9）＝6，a﹣b＝（x﹣4）﹣（x﹣9）＝5
∴（x﹣4）2+（x﹣9）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×6＝37．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）若x满足（x﹣2）（x﹣5）＝10，求（x﹣2）2+（x﹣5）2的值；
（2）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF为边作正方形，若AD＝x，则
①DE＝ ，DF＝ （用含x的代数式表示）；
②直接写出图中阴影部分的面积．
参考答案
1．解：原式＝2x2+2x﹣2x﹣2﹣（x2﹣2x+1）﹣（x2+2x+1）
＝2x2+2x﹣2x﹣2﹣x2+2x﹣1﹣x2﹣2x﹣1
＝﹣4．
2．解：（1）将x+y＝3两边平方得：
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝9，
将xy＝2代入得：
x2+y2＝5；
（2）原式＝xy﹣（x+y）+1
＝2﹣3+1
＝0．
3．解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，
把x﹣y＝8，xy＝40，代入上式，得x2+y2＝82+2×40＝144．
故答案是：144；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝152﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255．
4．解：（1）A＝x2+4x+4+x+2﹣x2﹣2x﹣3＝3x+3；
（2）∵（x+1）2＝5，
∴x+1＝±，
则A＝3x+3＝3（x+1）＝±3 ．
5．解：（1）观察上面的式子得到原式＝1﹣xm+1，
故答案为：1﹣xm+1；
（2）①当x＝2时，原式＝1﹣22023；
②当x＝2时，（1﹣2）（1+2+22+23+…+2m）＝1﹣2m+1，
∴1+2+22+23+…+2m＝2m+1﹣1，
∴原式＝2m+1﹣2．
6．解：（1）设123＝x，
∴1232﹣124×122
＝x2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣x2+1
＝1；
（2）设123456786＝x，
∴M＝123456789×123456786
＝（x+3） x
＝x2+3x，
N＝123456788×123456787
＝（x+2）（x+1）
＝x2+3x+2，
∴M＜N；
（3）设++...+＝x，
＝（x+）（1+x）﹣（1+x+） x
＝x+x2++x﹣x﹣x2﹣x
＝．
7．解：（1）①（x﹣3）（x2+3x+9）＝x3﹣27；
②（2x+1）（4x2﹣2x+1）＝8x3+1；
③（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3﹣y3．
故答案为：①x3﹣27；②4x2﹣2x+1；③x﹣y；
（2）（a2﹣b2）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）
＝[（a+b）（a2﹣ab+b2）][（a﹣b）（a2+ab+b2）]
＝（a3+b3）（a3﹣b3）
＝a6﹣b6．
8．解：（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
∵2a+b＝6，
∴2a﹣b＝4，
故答案为：4，
②2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12
＝（200+199）（200﹣199）+（198+197）（198﹣197）+...+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）
＝200+199+198+197+...+4+3+2+1
＝×（200+1）×200
＝20100．
9．解：（1）图1中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图②中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选A．
（2）①∵（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2．
∴6（2a﹣b）＝24，
∴2a﹣b＝24÷6＝4．
故答案为：4．
②＝
＝
＝
＝．
10．解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）
＝1002﹣32
＝10000﹣9
＝9991；
②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]
＝（2x）2﹣（y﹣3）2
＝4x2﹣（y2﹣6y+9）
＝4x2﹣y2+6y﹣9．
11．解：设x﹣2018＝a，x﹣2021＝b，
则a2+b2＝31，a﹣b＝x﹣2018﹣x+2021＝3，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝9，
∴31﹣2ab＝9，
解得ab＝11，
即（x﹣2018）（x﹣2021）＝11．
12．解：（1）∵图3面积为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，
∴图3可以解释为等式（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）需要边长为a的正方形2块，长为b宽为a的长方形3块，边长为b的正方形1块．如下图所示：
整式乘法验证，（a+b）（2a+b）＝2a2+ab+2ab+b2＝2a2+3ab+b2，
∴需要a×a的正方形2块，需要a×b的长方形3块，需要b×b的正方形1块．
13．解：（1）图2，大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，
小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，
每个长方形的长为a，宽为b，因此面积为ab，
由面积之间的关系可得，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）由（1）得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，
即（m+n）2＝42+4×（﹣3），
∴m+n＝2或m+n＝﹣2；
（3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，
由于AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，
因此a+b＝8，a2+b2＝26，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即64＝26+2ab，
∴ab＝19，
∴阴影部分的面积为ab＝．
14．解：（1）设（20﹣x）＝a，（x﹣10）＝b，
则（20﹣x）（x﹣10）＝ab＝﹣10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣10）＝10，
所以（20﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102+2×10＝120；
（2）设（2022﹣x）＝a，（2020﹣x）＝b，
则a﹣b＝（2022﹣x）﹣（2020﹣x）＝2，
因为（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝4048，
所以（2022﹣x）2+（2020﹣x）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝4048，
即22+2×（2022﹣x）（2020﹣x）＝4048，
（2019﹣x）（2017﹣x）＝2022．
15．解：（1）阴影两部分求和为a2+b2，用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab＝，
∴m+n＝5，m2+n2＝20时，
mn＝
＝
＝，
（m﹣n）2
＝m2﹣2mn+n2；
＝20﹣2×
＝20﹣5
＝15；
②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，
可得a+b＝（x﹣2021）+（x﹣2023）
＝x﹣2021+x﹣2023
＝2x﹣4044
＝2（x﹣2022），
由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4，
且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝34﹣4＝30，
∴（x﹣2022）2＝（）2＝＝＝＝16．
16．解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S＝（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，
∴S＝a2+2ab+b2．
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）①∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝16．
∴a2+2ab+b2＝16．
∵a2+b2＝10，
∴ab＝3．
②设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1．
∵（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，
∴（a﹣1）2+（a+1）2＝130．
∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝130．
∴2a2＝128．
∴a2＝64．
即（x﹣2020）2＝64．
∴x﹣2020＝±8．
17．解：（1）∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，
∴（a+b）2＝4ab+（b﹣a）2．
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）由（1）得：
（3x+4y）2＝（3x﹣4y）2+4×3x×4y．
∴（3x﹣4y）2＝（3x+4y）2﹣48xy
∴（3x﹣4y）2＝100﹣96＝4．
∴3x﹣4y＝±2．
（3）∵ABCD，AEFG为正方形，边长分别为x，y．BE＝2，
∴DG＝BE＝2，x﹣y＝2．
∴（x﹣y）2＝4．
∴x2﹣2xy+y2＝4．
∵x2+y2＝34，
∴2xy＝30．
∴x2+2xy+y2＝34+30，
∴（x+y）2＝64．
∵x＞0，y＞0，
∴x+y＝8．
∴＝y+x＝8．
18．解：（1）∵长方形ABCD的周长为10，
∴a+b＝5．
∵长方形ABCD的面积为4，
∴ab＝4．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣8＝17．
故答案为：5，4，17．
（2）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy．
∴（x﹣y）2＝72﹣4×10＝9．
19．解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，
所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
故答案为：12；
（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，
所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣；
答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∵长方形CEPF的面积为160，
∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，
∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，
所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；
故答案为：384．
20．解：（1）设（x﹣2）＝a，（x﹣5）＝b，则ab＝（x﹣2）（x﹣5）＝10，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣5）＝3，
∴（x﹣2）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×10＝29；
（2）①∵AE＝1，CF＝3，正方形ABCD边长为x，
∴DE＝x﹣1，DF＝x﹣3．
故答案为：x﹣1，x﹣3；
②∵长方形EMFD的面积是15，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝15，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则ab＝15，a﹣b＝2，
∴（x﹣1+x﹣3） ＝（a+b） ＝（a﹣b） +4ab＝2 +4×15＝64，
∵a≥0，b≥0，
∴x﹣1+x﹣3＝a+b＝8，
∴阴影部分面积为（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a ﹣b ＝（a+b）（a﹣b）＝16．