2022-2023学年北师大版 九年级数学上册4.6利用相似三角形测高同步训练（word、含解析）

4.6利用相似三角形测高 九年级数学同步训练（基础演练+巩固提升）
【北师大版】
基础演练：
一、单选题
1．在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：如图1，甲组测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．如图2，乙组测得学校旗杆的影长为900cm．则旗杆的长为（　　）.
A．900cm B．1000cm C．1100cm D．1200cm
2．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（　　）（结果精确到 .参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
3．如图，小勇在探究课本“综合与实践”中的“制作视力表”时，根据测试距离为5 m的标准视力表制作了一个测试距离为3 m的视力表.如果标准视力表中“E”的高a是72.7 mm，那么制作出的视力表中相应“E”的高b是（　　）
A．121.17 mm B．43.62 mm C．43.36 mm D．29.08 mm
4．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（　　）
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
5．如图，A，D是电线杆AB上的两个瓷壶，AC和DE分别表示太阳光线，若某一时刻线段AD在地面上的影长CE=1m，BD在地面上的影长BE=3m，瓷壶D到地面的距离DB=20m，则电线杆AB的高为（　　）
A．15m B． m C．21m D． m
二、填空题
6．如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=　 　米．
7．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为　 　米．
8．在阳光体育课上，小腾在打网球，如图所示，网高0.9m，球刚好打过网，而且落在离网6m的位置上，则球拍击球的高度h=　 　 m．
9．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为　 　尺．
10．小明在离路灯底部6处测得自己的影子长为1.2，小明的身高为1.6，那么路灯的高度为　 　.
三、解答题
11．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D点观察井内水岸C点，视线DC与井口的直径AB交于点E．如果测得AB＝1.8米，BD＝1米，BE＝0.2米．请求出井深AC的长．
12．如图，小明同学为了测量教学楼的高度 ，先在操场上点A处放一面镜子，从点A处后退 到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E点；再将镜子向后移动 放在C处，从点C处向后退 点D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度 ， 为 ，点O，A，B，C，D在同一水平线上，镜子可看成一个点．求教学楼的高度 ．
13．如图，已知A、B两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发．
（1）汽车行驶到什么位置时离A村最近？写出此点的坐标；
（2）汽车行驶到什么位置时离B村最近？写出此点的坐标；
（3）请在图中画出汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？
巩固提升：
一、单选题
1．在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（　　）
A．10米 B．9.6米 C．6.4米 D．4.8米
2．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB=8m，则池塘的宽DE为（　　）
A．32m B．36m C．48m D．56m
3．小刚身高 ，测得他站立在阳光下的影子长为 ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 ，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　）
A． B． C． D．
4．如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2m，BP=1.8 m，PD=12 m， 那么该古城墙的高度是：
A．6 m B．8 m C．18 m D．24 m
5．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于G，BG延长交CD于点F，CG延长交BD于点H，交AB于N.下列结论：①DE=CN；② ；③S△DEC=3S△BNH；④∠BGN=45°；⑤ .其中正确结论的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
6．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 的竹竿 斜靠在石坝旁，量出竿上 长为 时，它离地面的高度 为 ，则坝高 为　 　 ．
7．如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的面积与它在墙上所形成影子图形的面积之比是　 　。
8．如图，现有一张矩形纸片ABCD，其中AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点B′，那么B′、C两点之间的距离是　 　 cm．
9．在某时刻的阳光照耀下，高为4米的旗杆在水平地面上的影长为5米，附近一个建筑物的影长为20米，则该建筑物的高为　 　米．
10．墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A站测得他的影长与身长相等都为1.5m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD=　 　m.
三、解答题
11．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．
12．如图，AB表示路灯，当身高为1.6米的小名站在离路灯1.6的D处时，他测得自己在路灯下的影长DE与身高CD相等，当小明继续沿直线BD往前走到E点时，画出此时小明的影子，并计算此时小明的影长．
13．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，问FH多少里？
答案解析
基础演练：
1．【答案】D
【解析】【解答】∵同一时刻物高与影长成正比，
∴ = ，
解得旗杆的高度=1200cm；
故选D．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可求出旗杆的高度；
2．【答案】B
【解析】【解答】解：设该雕像的下部设计高度约是xm，则上部的高度为（2-x）m，
∵使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
∴
解之：（舍去）
经检验，x1是方程的根，
故答案为：B.
【解答】设该雕像的下部设计高度约是xm，则上部的高度为（2-x）m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，建立关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：如下图所示：
由题意可知： ，
故有： ，即 ，解得 ，
故答案为：B.
【分析】图形中隐含BC∥ED，可得到△ABC∽△ADE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，由此可求出b的值.
4．【答案】B
【解析】解答：由题意知：∠ABP=∠CDP= ，∠APB=∠CPD，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴ ，
∴CD= =8（米）．
故选：B．
分析：由已知条件得△ABP∽△CDP，根据相似形的性质得 ，代入数据进行解答．此题综合考查了平面镜反射和相似三角形在测量中的应用．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵太阳光线是平行的，
∴AC∥DE，
∴△BDE∽△BAC，
∴ ，
∵BE=3m，CE=1m，
∴BC=4m，
∴ ，
解得：AB= ．
故选：B．
【分析】根据阳光是平行的得到△BDE∽△BAC，利用相似三角形对应边成比例得到关于AB的比例式，再代入数据求解即可．
6．【答案】3.42
【解析】【解答】解：根据题意得：AO⊥BM，NM⊥BM，
∴AO∥NM，
∴△ABO∽△NBM，
∴ ，
∵OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，
∴BM=OB+OM=4+5=9（米），
∴ ，
解得：NM=3.42（米），
∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米．
故答案为：3.42．
【分析】根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AO∥NM，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ABO∽△NBM，根据相似三角形对应边成比例建立方程即可求出MN的长度。
7．【答案】5.6
【解析】【解答】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则 ，即 ，
解得：AB=5.6米．
故答案为：5.6
【分析】将实际问题转化为数学问题，可证得△ABE∽△CDE，的长对应边成比例，建立关于AB的方程，求解即可。
8．【答案】1.5
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
DE：BC=AE：AB，
则 ，
∴h=1.5m．
故答案为：1.5．
【分析】如下图，根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．
9．【答案】57.5
【解析】【解答】如图，AB与BC交于点F，
由题意得△ABF∽△ADE，
∴AB:AD=BF:DE，即5:AD=0.4:5，
解得：AD=62.5（尺），
则BD=AD－AB=62.5－5=57.5（尺）
故答案为57.5.
【分析】如图，设AB与BC交于点F，根据平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABF∽△ADE，由相似三角形的对应边成比例可得AB:AD=BF:DE，从中求出AD,j进而可求BD的长，即井深 .
10．【答案】9.6
【解析】【解答】解：如图，AB=1.6m，DB=6m，BE=1.2m，
∵AB⊥DE，CD⊥DE，
∴AB//CD
∴△EAB∽△ECD，
∴，
∵AB=1.6m，DB=6m，BE=1.2m，
∴，
解得：CD=9.6m.
故答案为：9.6.
【分析】画出示意图，由题意可得AB=1.6m，DB=6m，BE=1.2m，易证△EAB∽△ECD，然后根据相似三角形的性质进行计算即可.
11．【答案】解：由题意，BD∥AC．
∴△BDE∽△ACE．
∴．
∴．
解得AC＝8．
答：井深AC的长为8米．
【解析】【分析】先证明△BDE∽△ACE，再利用相似三角形的性质可得，然后将数据代入计算可得AC＝8。
12．【答案】解：由已知得， ， ， ，
， ，
∴在 和 中
∴
∴ ，即 ，
∴ ，
在 和 中
∴
∴ ，即 ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
答：教学楼的高度 为 ．
【解析】【分析】结合图形，利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
13．【答案】解：（1）在x轴上离A村最近的地方是过A作x轴垂线的垂足，即点（2，0）；（2）离B村最近的是点（7，0）；（3）A关于x轴的对称的点C（2，﹣2），并将其与B连接起来，容易看出△CDE∽△BDF，ED：DF=CE：BF=1：2，故所连直线与x轴交于点D（，0），所以当汽车行驶到D处时，距离两村的和最短．
【解析】【分析】（1）（2）根据垂线段最短的原则确定最近点的位置，表示出坐标．
（3）作出点A关于x轴的对称点C，连接CB，交于x轴于点D，则有AD=CD，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，知点C与点B的所有连线中，CB是最短的线段，所以点D是满足要求的点．
巩固提升：
1．【答案】B
【解析】【解答】解：设树高为x米，
因为 ，
所以 ，
解得：x=9.6．
答：这棵树的高度为9.6米．
故选：B．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．　
2．【答案】C
【解析】【解答】∵AB∥DE，
∴△ABC∽△DEC，
∴ ，
∴ ，
∴DE=48m，
故答案为：C．
【分析】先根据AB∥DE证得△ABC∽△DEC，然后利用相似三角形对应边成比例得，即，故可求出DE.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 ，列方程得：
，
解得 ，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 ．
故答案为：B．
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，根据等量关系列方程。
4．【答案】B
【解析】【分析】因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
【解答】由题意可得△PAB∽△PCD
∴
即
CD=8m，
答：古城墙的高度为8m．
选B
5．【答案】D
【解析】【解答】解：①∵在正方形ABCD中， ， ,
∴
即：
∴ （ASA）
∴CN= DE，故①符合题意；
②∴在正方形ABCD中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，E为BC的中点， 四边形ABCD是正方形
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
③如下图示，过H点作 ，
∴根据 ，有 ，
则：
∴ ，
即是： ，故③符合题意 ；
④过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，
∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，
∴四边形PBQG是矩形，
∴∠PBQ=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠NBP=∠QBE，
由①得：△BNC≌△CED，
∴EC=BN，
∵E是BC的中点，
∴BE=EC，
∴BE=BN，
∵∠BPN=∠BQE=90°，
∴△BPN≌△BQE，
∴BP=BQ，
∴四边形PBQG是正方形，
∴∠BGE=45°，故④符合题意；
⑤如图示，连接N，E
设 ,则 , ,
∵CG⊥DE，
∴ ，
，
由 的面积可得：
化简得： ，
∴ ，
则有：
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
，
并∵
∴
∴ ，故⑤符合题意．
综上所述，
故答案为：D．
【分析】根据题目已知证明 可判断①符合题意；证明 可判断②符合题意；过H点作 ，利用 ， 求解即可判断③符合题意；添加辅助线过B作BP⊥CN于P，BQ⊥DG，交DE的延长线于E，利用△BNC≌△CED，证得△BPN≌△BQE，即可判断④符合题意；连接N，E，设 ,则 , ,利用勾股定理求出CN，CE的长，然后根据 的面积求出GE，GN，再证 ，利用相似三角形对应边成比例，求出BG，BF的长，即可得⑤符合题意．
6．【答案】2.7
【解析】【解答】解：如图，过 作 于 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为：2.7
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
7．【答案】4：25
【解析】【解答】∵ ，∴三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比= ．
【分析】根据物高 ：影长可得相似比的值，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解。
8．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：过点B′作B′F⊥BC，垂足为F，连接B′C．
∵点E是BC的中点，
∴BE= ．
在Rt△ABE中，AE= ．
由射影定理可知；OE AE=BE2，
∴OE= ．
由翻折的性质可知；BO⊥AE．
∴ ．
∴OB= ．
∴BB′= ．
∵∠OBE=∠FBB′，∠BOE=∠BFB′，
∴△BOE∽△BFB′．
∴ ，即 = ．
解得： ．
∴FC= ．
在Rt△B′FC中，B′C= = ．
故答案为： ．
【分析】先在Rt△ABE中，用勾股定理求得AE，再根据射影定理求得OE，运用△ABE面积的两种表示求得OB的长度，运用△BOE∽△BFB′求得BF，最后在Rt△B′FC中，运用勾股定理求得B′C。
9．【答案】16
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴建筑物的高=16（米）
故答案为：16.
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的三角形相似，根据相似三角形的性质列出等式，即可求出答案.
10．【答案】
【解析】【解答】如图：
根据题意得：BG=AF=AE=1.5m，AB=1m，
∵BG∥AF∥CD
∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，
∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，
设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.5）m，AC=（x+1）m，
则 ， ，
解得：x=2，y=4.5，
即CD=4.5米，
故答案为：4.5.
【分析】首先抽象出数学图形，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所截得的三角形与原三角形系数得出△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例得出AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.5）m，AC=（x+1）m，根据比例式建立出方程组，求解即可得出答案。
11．【答案】解：在△ABC与△AMN中，
= ， = ，∴ ，又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AMN，
∴ ，即 ，
解得：MN=1500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1500米
【解析】【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．
12．【答案】解：如图所示：线段EG表示小明此时的影子；根据题意得：BD=CD=DE=EF=1.6米，AB∥CD，∴BE=3.2米，△CDE∽△ABE，∴ ，即 ，解得：AB=3.2米，同理：△FEG∽△ABG，∴ ，即 ，解得：EG=3.2米；答：此时小明的影长为3.2米．
【解析】【分析】灯A与小明一次所在位置CD的顶端C的连线与地面BD的延长线的相交于点GEG即为所求影子。易得△CDE∽△ABE可求得AB=3.2米，再利用△FEG∽△ABG，可求得小明现在的影长为3.2米。
13．【答案】解：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，
∴△GEA∽△AFH，
∴ ．
∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，
∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，
∴ ，
∴FH＝1.05里．
【解析】【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．