2022-2023学年人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质 自主达标测试题（word、含解析）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《24.1圆的有关性质》自主达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，在⊙O中，弦的条数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确
2．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（　　）
A．8 B．10 C．11 D．12
3．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（　　）
A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
4．下列说法中正确的个数有（　　）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径一定垂直于弦；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；④直径是弦；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O．∠B＝α，则∠D的度数为（　　）
A．90°+α B．90°﹣α C．180°+α D．180°﹣α
6．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD长为（　　）
A．6 B．12 C．8 D．不能确定
7．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若∠CAB＝51°，则∠ADC的度数为（　　）
A．45° B．35° C．42° D．39°
8．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（　　）
A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为　 　cm．
10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径为　 　cm．
11．一个圆的半径为2，弦长是2，求这条弦所对的圆周角是　 　．
12．利用圆周角定理，我们可以得到圆内接四边形的一个性质，请规范写出我们所学的这个性质的内容　 　，并利用这个性质完成下题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝60°，则∠DCE的度数是　 　．
13．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是　 　．
14．如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABC＝α中，一定成立的是　 　（填序号）．
三．解答题（共7小题，满分50分）
15．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD＝2cm，AB＝5cm，求AD、AC的长．
16．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．
17．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
18．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．
（1）若∠E+∠F＝α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；
（2）若∠E+∠F＝60°，求∠A的度数．
19．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AE＝，ON＝1，求⊙O的半径．
20．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）若BC的长为6，求⊙O的半径．
21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：如图，在⊙O中，有弦AB、弦DB、弦CB、弦CD．共有4条弦．
故选：C．
2．解：作直径CF，连接BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴＝，
∴DE＝BF＝6，
∴BC＝＝8．
解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．
∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
∴CM＝＝＝4，
∴BC＝2CM＝8．
故选：A．
3．解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4（mm），
由勾股定理得，OA＝＝5（mm），
故选：C．
4．解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中；
②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径；
③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴；
④直径是弦；正确；
⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧；
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B＝180°，
又∠B＝α，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣α．
故选：D．
6．解：∵AP BP＝CP DP，
∴PD＝，
∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，
∴PD＝6，
∴CD＝PC+PD＝2+6＝8．
故选：C．
7．解：如图，连接BD，
∴∠CDB＝∠CAB＝51°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝39°，
故选：D．
8．解：设⊙O的半径为r寸．
在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝（r﹣1）寸，OA＝r寸，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．解：连接OA，
∵OA＝OC＝10cm，CD＝4cm，
∴OD＝10﹣4＝6cm，
在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD＝＝8cm，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AB＝2AD＝16cm．
故答案为16．
10．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故答案为：2.5
11．解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OA＝2，AB＝2，
∴AD＝BD＝2，
∴AD：OA＝：2，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AMB＝60°，
∴∠ANB＝120°．
故答案为：60°或120°．
12．解：∵圆内接四边形的对角互补，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝60°，
故答案为；圆内接四边形的对角互补，60°．
13．解：由AB＝OC，得
AB＝OB，
∠A＝∠AOB．
由BO＝EO，得
∠BEO＝∠EBO．
由∠EBO是△ABO的外角，得
∠EBO＝∠A+∠AOB＝2∠A，
∠BEO＝∠EBO＝2∠A．
由∠DOE是△AOE的外角，得
∠A+∠AEO＝∠EOD，
即∠A+2∠A＝84°，
∠A＝28°．
故答案为：28°．
14．解：如图，连接OC，设OB交CD于K．
∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴∠CDO＝∠OBA，
∵∠DKO＝∠BKE，
∴∠DOK＝∠BEK＝α，
即∠BOD＝α，故①正确，
不妨设，∠OAB＝90°﹣α，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OBE+∠BEK＝90°，
∴∠BKE＝90°，
∴OB⊥CD，从条件上看，AB＝CD，推不出OB⊥CD这样的位置关系，故②错误，
∵CD＝AB，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABC＝∠DOB＝α，故③正确．
故答案为①③．
三．解答题（共7小题，满分50分）
15．解：连接OC，
∵AB＝5cm，
∴OC＝OA＝AB＝cm，
Rt△CDO中，由勾股定理得：DO＝＝cm，
∴AD＝﹣＝1cm，
由勾股定理得：AC＝＝，
则AD的长为1cm，AC的长为cm．
16．证明：∵AD＝BC，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴DC＝AB．
17．解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；
（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝．
又∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．
18．解：（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A＝∠BCF，
∵∠EBF＝∠A+∠E，
而∠EBF＝180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E＝180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E＝180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A＝180°﹣（∠E+∠F），
∵∠E+∠F＝α，
∴∠A＝90°﹣α；
（2）当α＝60°时，∠A＝90°﹣×60°＝60°．
19．（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC＝∠AEN＝90°，
∵∠ANE＝∠CNM，
∴∠BCD＝∠BAM，
∴∠BAM＝BAD，
在△ANE与△ADE中，
，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD＝AN；
（2）∵AE＝2，AE⊥CD，
又∵ON＝1，
∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，
r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1
连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1，
∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，
∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，
解得x＝2，
∴r＝2x﹣1＝3；
20．解：（1）△ABC是等边三角形，
理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）延长BO交⊙O于E，连接CE，
由圆周角定理得，∠E＝∠BAC＝60°，
∴BE＝4，
∴⊙O的半径为2．
21．（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝11，
∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，
∴CE＝BG＝9，
∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．