5.4 函数的奇偶性 同步练习（一）（Word版含解析）

《第四节　函数的奇偶性》同步练习
一、基础巩固
知识点1　奇函数、偶函数的定义及图象特征
1.下列命题正确的是(　　)
A.奇函数的图象关于原点对称,且f(0)=0
B.偶函数的图象关于y轴对称,且f(0)=0
C.存在既是奇函数又是偶函数的函数
D.奇、偶函数的定义域可以不关于原点对称
2.[2022广东深圳平冈中学高一期末]已知函数y=f(x)是奇函数,其图象过点(a,f(a)),则其图象也必过点(　　)
A.(a,f(-a)) B.(-a,f(a))
C.(-a,-f(a)) D.(a,)
3.[2021北京西城区高三上期末]已知f(x)为奇函数,其部分图象如图所示,则(　　)
A.f(2)=2 B.f(2)=-2
C.f(2)>-2 D.f(2)<-2
4.[2022江苏常州高一上监测]函数f(x)=的大致图象是(　　)
知识点2　函数奇偶性的判断
5.[2022江苏南京六校高一上联考]下列函数中,是奇函数的是(　　)
A.f(x)=-x2+4 B.f(x)=x3-1
C.f(x)= D.f(x)=|x|
6.(多选)[2022江苏省梁丰高级中学高一期中]已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,但不是奇函数,则下列函数中为偶函数的有(　　)
A.y=f(|x|) B.y=xf(x)
C.y=f(x)+f(-x) D.y=f(x)+x
7.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2) f(x)=(x-1);
(3)f(x)=;
(4)f(x)=
知识点3　函数奇偶性的应用
8.函数f(x)=ax2+bx+2a-b是定义在[a-1,2a]上的偶函数,则a+b=(　　)
A.- B. C.0 D.1
9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x2-3x+1,则f(1)+f(0)=(　　)
A.5　 B.6
C.-5 D.-6
10.若奇函数f(x)在[1,2]上为减函数且最大值为0,则它在[-2,-1]上(　　)
A.是增函数,有最大值0
B.是增函数,有最小值0
C.是减函数,有最大值0
D.是减函数,有最小值0
11.[2022江苏省常州高级中学高一上期末]若函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x3+3x+1,则当x<0时,f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=2x3+3x-1
B.f(x)=2x3-3x-1
C.f(x)=2x3-3x+1
D.f(x)=-2x3-3x+1
12.[2022江苏扬州江都区高一上期中]已知函数f(x)是偶函数,当0≤x10恒成立,设a=f(-),b=f(-2), c=f(23),则(　　)
A.aC.b13.[2022河南洛阳高三模拟]已知g(x)是定义在R上的奇函数,f(x)=g(x)+x2,若f(a)=2,f(-a)=2a+2,则a的值为(　　)
A.2 B.-1
C.2或-1 D.2或1
14.[2021山东师范大学附属中学高一学业质量检测]已知函数f(x)(x∈R)满足f(x+1)是偶函数.若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则x1+x2+…+xm=(　　)
A.0 B.m
C.2m D.4m
15.若函数f(x)=是奇函数,则实数a的值为　　　　.
16.[2022山东济宁一中高一上期中]已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f()=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性,并用定义证明;
(3)解不等式:f(t+)+f(t-)≤0.
参考答案
1.C　奇函数的图象关于原点对称,但不一定在x=0时有意义,比如y=,A错误;偶函数的图象关于y轴对称,但f(0)不一定等于0,如f(x)=x2+1,B错误;函数y=0既是奇函数又是偶函数,C正确;奇、偶数的定义域均是关于原点对称的区间,D错误.故选C.
2.C　因为函数y=f(x)是奇函数,所以f(-a)=-f(a),即图象必过点(-a,-f(a)).
3.C　由图可知f(-2)<2,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2),即-f(2)<2,所以f(2)>-2.故选C.
4.C　因为f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又f(1)=0,f()=>0,所以A错误,C正确.
5.C 6.AC
7.(1)由得-2≤x≤2且x≠0,
所以f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称,
所以f(x)=.
又f(-x)==-=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)因为f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)对于函数f(x)=,其定义域为{-1,1},关于原点对称.
因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,
所以f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),
所以f(x)=既是奇函数又是偶函数.
(4)方法一　函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称.
①当x=0时,-x=0,
所以f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x);
②当x>0时,-x<0,
所以f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-f(x);
③当x<0时,-x>0,
所以f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f(x).
综上,可知函数f(x)为奇函数.
方法二　作出函数f(x)的图象,如图所示,易得该函数为奇函数.
8.B　由偶函数的定义,知[a-1,2a]关于原点对称,所以2a=1-a,解得a=.又f(x)为偶函数,所以b=0,所以a+b=.
9.C　f(1)=-f(-1)=-[(-1)2-3×(-1)+1]=-5,且f(0)=0,所以f(1)+f(0)=-5.
10.D　因为f(x)为奇函数,所以f(x)在[-2,-1]上也为减函数.易得f(1)=0,所以f(-1)=0,所以f(x)在[-2,-1]上的最小值为0.
11.A　当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-2x3-3x+1,所以f(x)=-f(-x)=2x3+3x-1.
12.A　由题可知f(x)在[0,+∞)上单调递增.又f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减.因为|-|<|-2|<|23|,所以a=f(-)13.C　由题意,得f(-x)+f(x)=g(x)+x2+g(-x)+x2=2x2.由f(a)=2,f(-a)=2a+2,得4+2a=2a2,解得a=2或-1.故选C.
14.B　f(x+1)是偶函数,则f(x+1)=f(-x+1),则f(x)的图象关于直线x=1对称.易知y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称,因此两个函数图象的m个交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)关于直线x=1对称.当m为偶数时,x1+x2+…+xm=2×=m;当m为奇数时,x1+x2+…+xm=2×+1=m.所以x1+x2+…+xm=m.
15.1　若f(x)是奇函数,则有f(-x)=-f(x).当x>0时,-x<0,则f(-x)=a(-x)2+(-x)=ax2-x,又当x>0时,f(x)=-x2+x,所以-f(x)=x2-x.由f(-x)=-f(x),得ax2-x=x2-x,故a=1.
16.(1)由题意得f(0)=b=0.又f()=,所以,解得a=1,
所以f(x)=.
(2)函数f(x)在(-1,1)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(-1,1),且x1f(x2)-f(x1)=.
因为x1,x2∈(-1,1),且x1所以x2-x1>0,1-x1x2>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
所以函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
(3)因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,
所以f(t+)+f(t-)≤0可转化为f(t+)≤f(-t+).
因为函数f(x)在(-1,1)上单调递增,
所以解得-所以不等式的解集为(-,0].