1.1集合的概念与表示 教案

1.1集合的概念与表示
教学目标：
（1）通过实例了解集合的含义，理解集合中元素的特征，知道常用数集及其记法；
（2）了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义；
（3）深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性，并能够用其解决有关问题；
（4）掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地使用适当的方法表示一些简单的集合；
（5）通过集合的学习，培养学生形成分类讨论的思想、集合与方程的思想.
教学重难点：
重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．
难点：元素与集合的关系的判断，空集的应用，集合中元素的三个特性的应用．
课 型：新授课
教学方法：讲练结合
教学过程
一、复习引入
复习初中学习过的“正数集合”、“负数集合”、“整数集合”、“分数集合”.
问题1：每一个集合中的数都是确定的吗？
问题2：每一个集合中的数有相同的吗？
问题3：每一个集合中的数一定要按照顺序排列吗？
说明：通过问题引发学生的思考，为下面集合中元素的性质提供铺垫，加深学生的印象.
二、新课讲授
1. 集合的含义与元素的定义
(1)集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．通常用大写拉丁字母来表示集合．
(2)元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元通常用小写的拉丁字母来表示．
(3)集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性．
例1．下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长
C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生
【答案】A
【分析】根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；
【详解】对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；
对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合
故选：A
已知﹣3是由x﹣2，2x2+5x，12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．
【答案】x的值为．
【分析】由已知可得x﹣2＝﹣3或2x2+5x＝﹣3，分别求出x的值，验证可得结论．
【详解】解：当x﹣2＝﹣3时，x＝﹣1，此时这三个元素构成的集合为{﹣3，﹣3，12}，不满足集合元素的互异性；
当2x2+5x＝﹣3时．x或x＝﹣1（舍），此时这三个元素构成的集合为{，﹣3，12}，满足集合元素的互异性，
综上，x的值为．
集合的表示方法与常用数集
通常用大写拉丁字母表示集合，如集合A、集合B、集合C等.
特别地，全体自然数组成的集合叫作自然数集，记作N；
全体正整数组成的集合叫作正整数集，记作N+或N*；
全体整数组成的集合叫作整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合叫作有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合叫作实数集，记作R.
元素的表示及与集合的关系
集合的元素常用小写拉丁字母表示，如a,b,c等.如果a是集合A的元素，记作，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作，读作“a不属于A”.
例3.（多选）下列关系中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
练习1：用符号或填空：3.1___N，3.1___Z， 3.1____ ，3.1____Q，3.1___R.
练习2：已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
4. 集合的表示
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），放在大括号内，依此表示集合的方法称为列举法，如，等.
说明：①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.
②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
③无限集有时也可用列举法表示.
(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质为集合 A的一个特征性质，此时集合A可以表示为，这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称描述法.
说明：①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.
②集合中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.
Venn图法：有时，为了直观地表示集合，我们还有另外一种表示集合的方式，画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图.
例4. 用列举法表示下列集合
(1)以内非负偶数的集合；
(2)方程的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数与的图象的交点组成的集合．
【答案】(1)；(2)(3)
【分析】（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.
(1)以内的非负偶数有 ，所以构成的集合为 ，
(2)的根为 ，所以所有实数根组成的集合为 ，
(3)联立和，解得 ，所以两个函数图象的交点为 ，构成的集合为
练习：试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的解集；
(2)大于且小于的所有整数组成的集合．
【答案】(1)；(2)；
【分析】按描述法与列举法的要求求解即可
(1)方程的根可以用x表示，它满足的条件是，
因此，用描述法表示为；
又方程的根是，因此，用列举法表示为．
(2)大于且小于的整数可以用x表示，它满足的条件是且，
因此，用描述法表示为；
大于且小于的整数有.
因此，用列举法表示为
5. 集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
集合的分类
按照集合中元素的多少，集合可以分为有限集和无限集．
(1)有限集：含有有限个元素的集合叫作有限集；
(2)无限集：含有无限个元素的集合叫作无限集．
(3)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记作 .
说明：{0}和 不是同一个集合，{0}中含有一个元素0，而 中没有任何元素．
设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（ ）
A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集
C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集
例6. 下列集合与集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】集合表示数字和的集合.
对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误；
对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误；
对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确；
对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误.
故选：C.
拓展巩固
1.已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是下面给出的(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】选D.由元素的互异性知a，b，c均不相等．故D符合题意．
2.已知集合A中含有5和这两个元素，且，则的值为（ ）
A．0 B．1或 C．1 D．
【答案】B
【分析】根据题给条件列出关于a的方程，进而求出a的值，即可求得a3的值
【详解】根据题意得，
整理得，解之得或
则或
故选：B．
3.已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使A＝B.
解：(1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.若a－3＝0，则a＝3，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}＝{0,5,10}≠B.
若2a－1＝0，则a＝，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}＝≠B.
故不存在这样的实数a，x，使A＝B.
4.若，则实数_______.
【答案】4或
【分析】分三种情况讨论即得.
【详解】∵，
∴，即，此时符合题意；
，即，此时，不满足元素的互异性，故舍去；
，即，经检验符合题意；
综上，或.
故答案为：4或.
5.已知集合，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系判断．
【详解】集合有两个元素：和，
故选：B